Comments on various extensions of the Riemann-Liouville fractional derivatives : about the Leibniz and chain rule properties
从Riemann-Liouville导数开始，许多作者建立了自己的分数导数概念，以避免一些经典的困难，如常数函数的非零导数或莱布尼茨关系的相当复杂的模拟。在连续函数上讨论了这类算子的存在性，得到了在保持线性性和Leibniz性质的条件下证明某些算子平凡性的阻塞引理.作为应用，我们讨论了Jumarie分数阶导数和局部分数阶导数的一些性质。我们也从同样的角度讨论了链式法则的性质。
2016-07-09 math.CA
Bilinear and Fractional Leibniz Rules Beyond Euclidean Spaces: Weighted Besov and Triebel--Lizorkin Estimates
本文提出了一种适用于非欧几里得空间的双线性与分数勒贝格法则框架，扩展了经典Kato-Ponce不等式，并在加权空间中建立了新的估计方法。
2025-11-24 math.CA
Discrete fractional calculus and the Saalschutz theorem
在这项工作中，我们提出了一个新的证明萨尔舒茨公式使用离散分数阶微积分的理论。重新讨论了该理论中的一些结果，即分数幂规则和分数莱布尼茨规则的证明。
2022-03-30 math.CA
A New Fractional Derivative with Classical Properties
引入了一种新的分数阶导数，它具有线性、乘积法则、商法则、幂法则、链式法则、常数函数的消失导数、罗尔定理和中值定理等经典性质.定义\[ D^α(f)(t) = \lim_{ε\rightarrow 0} \frac{f(te^{εt^{-α}}) - f(t)}ε, \]是使用极限方法的最自然的推广。对于$0\leq α< 1$，它推广了多项式的经典微积分性质。此外，如果$α= 1$，则定义等价于函数$f$的一阶导数的经典定义。此外，应注意，存在不可微的$α-$可微函数。
2014-11-08 math.CA
On some new properties of fractional derivatives with Mittag-Leffler kernel
建立了一个新的具有Mittag-Leffler核的分数阶导数公式，该公式以一系列Riemann-Liouville分数次积分的形式表示，更清楚地显示了分数阶导数的非局部性，并且更易于处理.我们还证明了存在性和唯一性的结果，某些家庭的线性和非线性分数常微分方程定义使用此分数导数。我们考虑这些衍生物的半群性质的可能性，并建立扩展的产品规则和链式法则，与分数力学的应用。
2017-12-05 math.CA
Extended Mittag-Leffler Function and truncated $ν$-fractional derivatives
本文的主要目的是考虑四参数扩展Mittag-Leffler函数（MLF），给出$ν$ -分数阶导数$μ$ -可微函数.研究了新的$ν$ -分数阶导数满足阶微积分的各种性质，如链式法则、乘积法则、Rolle定理和$μ$ -可微函数及其推广的中值定理.此外，我们还定义了逆性质的推广形式，以及微积分基本定理和积分的中值定理。通过截断的$ν$ -分数次积分建立了与分数次积分的关系。
2018-01-30 math.CA
Validity of the fractional Leibniz rule on a coarse-grained medium yields a modified fractional chain rule
在这个简短的交流，我们表明，莱布尼茨规则的粗粒度介质上的分数导数的有效性带来了修改后的链式法则，在协议与分数微积分的替代版本。我们将我们的结果与最近一篇关于这个问题的文章进行了比较。
2014-05-19 math-ph math.CA math.MP
Regularized and Fractional Taylor expansions of Holderian functions
霍尔德函数具有很强的非线性，这导致导数的奇异性。这份手稿提出了几个分数阶泰勒展开的霍尔德函数周围的点不可微。这些展开式是使用分数速度的概念导出的，分数速度可用于描述导数和非可微函数的奇异行为。分数速度被定义为函数的增量与其辐角之差的分数幂之差商的极限。分数速度可以用来正则化普通导数。为此，可以定义正则化泰勒级数和复合微分规则。特别是一个复合微分规则霍尔德1/2功能证明。利用函数的分数协变的辅助概念，提出了扩展。
2015-08-25 math.CA
Mittag-Leffler functions and the truncated $\mathcal{V}$-fractional derivative
通过六参数截断Mittag-Leffler函数，我们对$α$ -可微函数引入了一种新的导数，即截断的$\mathcal{V}$ -分数阶导数，它推广了最近引入的几种分数阶导数：一致分数阶导数，交替分数阶导数，截断的交替分数阶导数，$M$ -分数阶导数和截断的$M$ -分数阶导数.这种新的截断$\mathcal{V}$ -分数阶导数满足全阶微积分的性质，其中包括：线性、乘积规则、商规则、函数合成和链式规则。此外，在卡普托导数的情况下，常数的导数为零。由于六参数Mittag-Leffler函数是一、二、三、四、五参数Mittag-Leffler函数的推广，我们可以推广全阶微积分的一些经典结果，即：Rolle定理、中值定理及其推广。此外，我们还给出了导数指数法则定理，并计算了双参数Mittag-Leffler函数的截断$\mathcal{V}$ -分数阶导数。最后，我们提出了$\mathcal{V}$ -分数次积分，作为一个自然的结果，新的结果出现作为应用。具体地说，我们推广了逆性质，微积分的基本定理，与经典的分部积分法，和积分的中值定理。并计算了双参数Mittag-Leffler函数的$\mathcal{V}$ -分数次积分。进一步，通过截断的$\mathcal{V}$ -分数阶导数和$\mathcal{V}$ -分数次积分，得到了在$0<α<1$情形下，分数阶导数和分数阶积分在Rie…
2017-05-10 math.CA
Fractional Leibniz rule on the torus
该研究探讨了d维环面上周期函数的分数阶莱布尼茨法则（含端点情形），并给出了涉及负正则性分布的乘积估计应用。
2024-12-12 math.AP math.CA
Existence and Uniqueness Theorems for Sequential Linear Conformable Fractional Differential Equations
最近，在[4]中给出了一种新的分数阶导数，称为协调分数阶导数。然后，在[5]中发展了链式法则、指数函数、Gronwalls不等式、分部积分法、Taylor幂级数展开式的分式形式。本文给出了序列线性协调分数阶微分方程解的存在唯一性定理。
2015-03-18 math.CA
Solution of Conformable Fractional Ordinary Differential Equations via Differential Transform Method
最近，在文献[1]中导数的基本极限定义的基础上，给出了一种新的分数阶导数，称为协调分数阶导数。然后，在[2]中发展了链式法则、指数函数、Gronwall不等式、分部积分法、Taylor幂级数展开式的分数阶形式。给出了共形分数阶微分变换方法及其在共形分数阶微分方程中的应用。
2016-02-04 math.CA
Convergence of solutions of fractional differential equations to power-type functions
本文研究几类分数阶微分方程解的渐近性态。我们证明了收敛到幂型函数的一些假设下的非线性。我们的结果推广和改进了关于常微分方程解的一些已知结果。适当的估计和引理，如一个分数版本的L'Hopital的规则。
2020-11-18 math.CA
On fractional calculus with general analytic kernels
从经典的Riemann-刘维尔公式及其推广出发，并通过用其他核函数替换幂函数核来修改它，已经提出了许多可能的分数阶导数和积分的定义。我们证明，在一些假设下，如何所有这些修改可以被认为是一个单一的，统一的，模型的分数微积分的特殊情况。我们提供了一个基本的连接与经典的分数阶微积分写这些一般的分数阶算子在原来的Riemann-Liouville分数次积分运营商。我们还考虑了新算子的反演性质，证明了分数阶微积分模型中的Leibniz规则和链式法则的类似性，并利用新算子求解了一些分数阶微分方程.
2019-03-01 math.CA
Smoothing Properties of Bilinear Operators and Leibniz-Type Rules in Lebesgue and Mixed Lebesgue Spaces
我们证明了双线性分数次积分算子和类似的乘子是光滑的，因为它们改善了函数的正则性。我们还处理双线性奇异乘子算子保持正则性，并获得了几个Leibniz型规则的背景下的Lebesgue和混合Lebesgue空间。
2017-01-10 math.CA
A derivative concept with respect to an arbitrary kernel and applications to fractional calculus
本文提出了关于任意核函数的导数的新概念。研究了与这种新算子有关的若干性质，如反演规则、分部积分法等。特别是，我们引入的共轭核的概念，这将是有用的保证，建议的导数算子承认一个右逆。所提出的概念包括作为特殊情况的Riemann-Liouville分数阶导数，Hadamard分数阶导数和许多其他分数阶算子。此外，利用我们的概念，引入了涉及某些特殊函数的新的分数次算子，并研究了它们的一些性质。最后，证明了涉及所引入的导算子的边值问题的存在性结果。
2018-08-06 math.CA
On Fractional derivative of Hurwitz Zeta function and Jacobi Theta function
本文基于Grunwald-Letnikov分数阶导数的复推广形式，研究Hurwitz Zeta函数与Jacobi Theta函数的分数阶导数，提出推广的Hurwitz Zeta函数方程恒等式，推导Jacobi Theta函数方程并研究相关性质。
2024-06-25 math.CA
Weighted fractional chain rule and nonlinear wave equations with minimal regularity
本文考虑三维二次半线性波动方程$\Box u = a |\partial_t u|^2+b|\nabla_x u|^2$，$u(0,x)=u_0(x)\in H^{s}_{\mathrm{rad}}$，$\partial_t u(0,x)=u_1(x)\in H^{s-1}_{\mathrm{rad}}$的局部适定性。已知该问题对于$s\ge 2$是适定的，对于$s<3/2$是不适定的.在本文中，我们证明了无条件适定性的尺度不变的正则性，也就是说，为$s>3/2$，从而填补了空白，这是多年来一直没有解决的问题。为此，我们还得到了一个加权分数链式法则，这是独立的利益。我们的方法也适用于一类具有一般幂型非线性项的非线性波动方程，其中包含未知函数的时空导数。特别地，我们证明了在径向的情况下，最小的正则性假设下的Alfressey猜想。
2018-02-12 math.AP math.CA
Fractional derivative of composite functions: exact results and physical applications
本文研究了复合函数的分数阶导数，给出了Caputo分数阶导数的乘积和链式法则的推广。这些结果是特别重要的物理和生物系统，表现出多个空间和时间尺度，如多孔材料和集群的神经元，其中运输现象是由一个分数阶导数的缓慢变化的参数给出的初等函数。Caputo分数阶导数的乘积定则和链式法则都是由分数阶导数关于整数阶导数的无穷级数展开得到的。分数乘积规则的实际实现的关键步骤依赖于具有幂律参数的广义超几何函数的累次积分的精确计算。通过应用广义欧拉积分变换，我们能够表示的累次积分的一个单一的超几何函数的一个更高的顺序。我们证明了所获得的结果的精确评估的Caputo分数阶导数的双曲正切描述暗孤子在非线性介质中的传播。我们的结论是，在最一般的情况下，分数链和产品规则的结果是一个无穷级数的广义超几何函数。
2019-01-09 math-ph math.CA math.MP
Fractional derivatives of composite functions and the Cauchy problem for the nonlinear half wave equation
本文给出了具有幂型非线性项的半波方程Cauchy问题的适定性的新结果。为此，我们提出了两种方法的基础上的压缩映射参数。其中之一依赖于$L_t^q L_x^\infty$的Ekenhartz型估计与链式法则相当一般的分数阶。这个链式法则有它自己的意义。此外，除了Hidano、Jiang、Lee和Wang（arXiv：1605.06748v1 [math.AP]）建立的加权分数链式法则外，另一种方法使用非齐次方程的加权时空$L^2$估计，这些估计是从二阶波动方程的估计恢复的。特别地，通过后一种方法，我们解决了Bellazzini、Georgiev和Visciglia（arXiv：1611.04823v1 [math.AP]）中关于$H^{s}_{\rm rad}({\mathbb R}^n)$与$s>1/2$的局部适定性的问题。
2017-07-26 math.AP math.CA
A new theory of fractional differential calculus
本文提出了一种完备的一维弱分数微分学新理论。这一新理论的关键是引入了弱分数阶导数的概念，这是整数阶弱导数的自然推广;它还有助于统一现有的多个分数阶导数定义，并刻画什么函数是分数阶可微的。对弱分数阶导数建立了各种微积分规则，包括微积分基本定理、积和链式法则、分部积分分部积分法公式。此外，还建立了弱分数阶可微函数与经典分数阶导数的关系以及弱分数阶可微函数的详细刻画。此外，还将弱分数阶导数的概念系统地推广到一般分布，而不仅仅是某些特殊分布。这一新的理论为以后的工作中系统而严格地发展分数索伯列夫空间、分数变分法和分数偏微分方程的新理论及其数值解奠定了坚实的理论基础。本文是参考文献[9]第1-4节和第6节材料的简要介绍。
2020-07-12 math.CA math.FA
A new theory of fractional differential calculus and fractional Sobolev spaces: One-dimensional case
本文给出了一维弱分数微分学和分数索伯列夫空间的一个完备的新理论。这一新理论的关键是引入了弱分数阶导数的概念，这是整数阶弱导数的自然推广;它还有助于统一现有的多个分数阶导数定义，并刻画什么函数是分数阶可微的。建立了弱分数阶导数的各种微积分规则，包括微积分基本定理、积和链式法则、分部积分法公式，并得到了它们与经典导数的关系.基于弱分数导数的概念，引入了新的分数阶索伯列夫空间，并建立了许多重要的定理和性质，例如密度/逼近定理、扩张定理、迹定理以及这些索伯列夫空间中的各种嵌入定理。此外，还建立了与已有分数索伯列夫空间的一些关系.此外，还将弱分数阶导数的概念系统地推广到一般分布，而不仅仅是某些特殊分布。新理论为以后系统、严谨地发展分数阶变分理论和分数阶偏微分方程理论及其数值解奠定了坚实的理论基础。
2020-05-21 math.CA math.FA
Fractional Leibniz rules for the Dunkl Laplacian in Besov and Triebel--Lizorkin spaces
Macquarie University（麦考瑞大学）；Hefei Institute of Technology（合肥工业大学）；Indian Institute of Technology Bombay（印度理工学院孟买分校）
针对归一化根系和多重函数下的 Dunkl Laplacian 的分数幂，在 Besov 和 Triebel--Lizorkin 空间中建立了 Leibniz 型法则，通过谱乘子与 Dunkl 变换的相互作用以及 Dunkl 平移相关分布的支持性质，将 L^p 空间上的估计推广到更广泛的函数空间。
2026-06-08 math.AP math.CA math.FA
On conformable fractional calulus
最近，作者Khalil，R.，Al Horani，M.，尤瑟夫A.和Sababheh，M.，在“A new Denition Of Fractional Derivative，J. COMPUT. 264.第二百六十四章pp. 6570，2014年。引入了一个新的简单的良好行为的定义的分数导数称为一致的分数导数。在这篇文章中，我们继续发展那里的定义，并在这个新的简单有趣的分数微积分中设置基本概念。提出并讨论了链式法则、指数函数、Gronwall不等式、分部积分法、Taylor幂级数展开式、拉普拉斯变换和线性微分系统的分数阶形式。
2014-02-27 math.CA math.DS
Series representations for fractional-calculus operators involving generalised Mittag-Leffler functions
我们考虑一个积分变换介绍Prabhakar，涉及广义多参数Mittag-Leffler函数，它可以用来介绍和调查几种不同的模型分数微积分。我们推导出一个新的级数表达式的这种变换，在经典的Riemann-Liouville分数次积分，并使用它来获得或验证在各种特定情况下对应于不同的分数微积分模型的级数公式。我们证明了我们的结果的权力，通过应用系列公式推导出类似的产品和链式法则在更一般的分数的情况下。我们还讨论了如何Prabhakar模型可以用来探索与半群性质的分数迭代的想法。
2018-07-26 math.CA math.CV
Pointwise Decay of solutions to the energy critical nonlinear Schrödinger equations
在本文中，我们证明了三维能量临界非线性薛定谔方程的解随时间的逐点衰减，假设数据在$L^1\cap H^3$中。主要成分是由于Miyachi \cite{Miyachi}和Hardy空间中的分数Leibniz规则，薛定谔传播子在Hardy空间中的有界性。我们还将分数链式法则推广到Hardy空间。
2022-10-18 math.AP math.CA
Local Fractional Derivatives of Differentiable Functions are Integer-order Derivatives or Zero
本文证明了可微函数的局部分数阶导数是整数阶导数或零算子。我们证明了局部分数阶导数是左侧Caputo分数阶导数的极限。函数f（x）的分数阶α的Caputo导数被定义为整数阶n的导数f^（n）（x）的（n-alpha）阶分数积分。整数阶导数存在的要求使我们得出结论，局部分数阶导数不能被认为是描述无处可微函数和分形对象的最佳方法。我们还证明了未违反莱布尼茨规则不能举行的衍生物的订单α，这是不等于一。
2018-01-24 math.CA math.DS
Derivative with two fractional orders: New door of investigation toward revolution in fractional calculus
为了用分数阶导数的概念描述更复杂的问题，本文引入了分数阶导数的概念。新的定义是基于幂律的概念与广义Mittag-Leffler函数。第一阶包含在幂律函数中，第二阶包含在广义Mittag-Leffler函数中。因此，每一个顺序都起着重要的作用，例如在对具有不同属性的两个层的问题进行建模时。例如，在热科学中，对于具有两个不同性质的不同层的介质内的反应扩散，就是这种情况。另一种情况是地下水在含水层中流动，在含水层中，地质构造由两层性质不同的地层组成。本文提出了新的有用的信息范围内的分数微积分，将打开新的大门，研究和调查模拟现实世界的问题。
2016-04-13 math.AP math.CA
Some Generalized Clifford-Jacobi Polynomials and Associated Spheroidal Wavelets
本文将分数阶微积分推广到Cliffors分析的框架中，提出了一类新的小波函数。首先，在Clifford分析的背景下，基于2-参数权函数给出了几类单演多项式，这些单演多项式是经典Jacobi单演多项式的推广。所发现的多项式集接下来被应用于引入新的小波函数。重建公式以及Fourier-Plancherel规则已被证明。主要工具是将分数阶导数、分数次积分和分数阶傅里叶变换推广到Clifford分析。
2017-04-06 math-ph math.CA math.MP
