首页/论文/1503.01361

arXiv 1503.013612015-03-11math.CA

参数化Picard-Vessiot理论的一些应用

Some applications of the parameterized Picard-Vessiot theory

Claude Mitschi

备注：: to appear; Izvestyia RAN, Seriya Matematicheskaya, 2015
DOI：: 10.1070/IM8340

阅读 PDF ↗

arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

摘要英文摘要相关论文

摘要：

本文给出了参数化Picard-Vessiot理论在常微分方程中的一些应用，主要涉及单值性。

英文摘要：

This expository paper presents some applications of the parameterized Picard-Vessiot theory for ordinary differential equations, mainly related to monodromy.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

阅读原文

阅读 PDF ↗

arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

本文内容

摘要英文摘要相关论文

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

继续探索

相关论文

幂幺代数群的Picard-Vessiot扩张

Picard-Vessiot Extensions For Unipotent Algebraic Groups

设F是特征为零的微分场。本文构造了F的Picard-Vessiot扩张，其微分伽罗瓦群同构于F的常数域上的上三角群的全幂幺子群.我们还将给出一个程序来计算线性微分算子为我们的Picard-Vessiot扩展。我们并不要求常数域是代数闭的。

2011-02-15math.CA

关于线性微分方程的Picard-Vessiot环构造的注记

Note on the construction of Picard-Vessiot rings for linear differential equations

本文给出了一种构造线性微分方程的Picard-Vessiot环的方法。

2019-10-01cs.SCmath.AGmath.CA

作为参数化Picard-Vessiot伽罗瓦群的线性代数群

Linear Algebraic Groups as Parameterized Picard-Vessiot Galois Groups

本文证明了对于一定的微分域k，线性代数群是k（x）的参数化Picard-Vessiot扩张的伽罗瓦群，x' = 1，当且仅当它的单位连通区没有一维商作为线性代数群.

2011-08-01math.ACmath.CAmath.GR

Picard-Vessiot结构

Picard--Vessiot structures

在常数域上的某些闭包假设下，证明了域上满足相同性质的线性微分方程组的Picard-Vessiot扩张的存在唯一性.一个例子包括一个方程的情况下，在一个真正的领域，与一个真正的封闭领域的常数。结果是通过一个模型理论的方法。

2018-08-24math.CAmath.LOmath.RT

关于sigma-delta-Picard-Vessiot扩张

On sigma-delta-Picard-Vessiot extensions

在自同构常数域上较弱的假设下，研究了差分方程的微分伽罗瓦论。这个框架产生了一种新的方法来处理C.Hardouin和M.Singer的结果，它肯定地回答了M.Singer的一个问题：在经典假设下，已知的结果仍然有效。特别地，我们的伽罗瓦群在适当的域上同构于他们的群。我们还明确地计算了伽罗瓦群的连通分支数。

2009-04-21math.ACmath.CA

谱/ quadrature对偶：Picard-Vessiot理论和有限能隙势

Spectral/quadrature duality: Picard-Vessiot theory and finite-gap potentials

在微分伽罗瓦论的框架内，我们把经典的谱问题$Ψ"-u(x)Ψ=λΨ$及其有限能隙势看作是Picard-Vessiot在不涉及特殊函数的情况下在求积中精确可解的;这种思想可以追溯到1919年J. Drach的著作。我们表明，通过Weierstrass置换定理的对数阿贝尔积分的谱和正交方法之间的对偶实现。从这个观点出发，我们考察已知的事实，并获得新的事实：一个重要的公式的$Ψ$ -功能和$Θ$ -功能扩展Picard-Vessiot领域。特别地，Jacobi的$θ$ -函数的扩展导致$θ$ -函数本身的（正交）代数可积方程。

2012-01-13math-phmath.CAmath.MP

更多相关论文收起更多论文

平行伸缩与参数化Picard-Vessiot理论

Parallel Telescoping and Parameterized Picard--Vessiot Theory

平行叠积是微分创造叠积从单积分到线积分的自然推广。它计算一个线性常微分算子$L$，称为并行望远镜，为几个多元函数，这样的应用程序的$L$的功能产生一个单一的功能的反导数。本文给出了微分有限函数存在并行解的一个充要条件，并给出了计算相容超指数函数最小解的一个算法.除了计算参数线积分的零化子外，我们还利用平行伸缩法确定了一阶参数偏微分系统的伽罗瓦群。

2014-01-19cs.SCmath.CA

代数几何薛定谔算子的谱Picard-Vessiot场

Spectral Picard-Vessiot fields for Algebro-geometric Schrödinger operators

本文对代数几何二阶微分算子$L$的谱问题$LΨ=λΨ$进行了Galoisian研究，该算子的系数在一个微分域中，其常数域$C$是代数闭的且特征为零.我们的方法认为光谱参数$λ$的代数变量$C$，迫使考虑一个新的领域的系数$L-λ$，其领域的常数是领域$C(Γ)$的光谱曲线$Γ$。由于$C(Γ)$不再是代数封闭的，需要一个新的代数结构，产生的解决方案的频谱问题的$Γ$，称为“频谱Picard-Vessiot字段”的$L-λ$。一个存在定理证明使用微分代数，允许恢复经典Picard Vessiot理论为每个$ λ= λ_0 $。对于有理光谱曲线，建立适当的代数设置，以分析地求解$LΨ=λΨ$并使用符号积分。我们举例说明我们的结果Rosen-Morse孤子。

2021-02-09math-phmath.CAmath.MP

参数化Picard-Vessiot扩展和Atiyah扩展

Parameterized Picard-Vessiot extensions and Atiyah extensions

推广Atiyah扩张，引入并研究了微分环上的微分交换张量范畴.所谓微分环，是指具有李环的导子作用的交换环.特别地，这些导子作用于微分范畴。一个微分Tannakian理论的发展。主要应用是伽罗瓦理论的线性微分方程的参数。也就是说，我们表明存在一个参数化的Picard-Vessiot扩展，因此，伽罗瓦对应的许多微分领域，可能是非差分封闭领域的常数，即领域的功能参数。其他应用包括一个大大简化的测试线性微分方程组的参数是isomonodromic，这将出现在一个单独的文件。这种应用是基于本文中开发的微分范畴，而不仅仅是微分代数群及其表示。

2013-03-03math.ACmath.AGmath.CA

矩阵常微分算子的Burchnall-Chaundy多项式与Picard-Vessiot理论

Burchnall-Chaundy polynomials for matrix ODOs and Picard-Vessiot Theory

本文研究了矩阵常微分算子的BC多项式及其与Picard-Vessiot理论的关系，通过定义矩阵微分结果，证明了其具有常数系数并提供了谱问题的解条件。

2023-05-23math.AGmath.CA

微分方程的Liouvillian首次积分：一种Galois方法

Liouvillian first integrals of differential equations: A Galoisian approach

Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）；Indian Institute of Science Education and Research (IISER) Mohali（印度科学教育研究所（IISER）莫哈利分校）

利用微分Galois理论证明一阶微分方程组存在Liouvillian首次积分等价于其在Liouvillian Picard-Vessiot扩张或环中存在，给出Singer定理的新证明，并展示Liouvillian假设不可去掉。

2026-10-07math.ACmath.CAmath.DS

域R（z）上微分伽罗瓦论的反问题

The inverse problem of differential Galois theory over the field R(z)

本文描述了具有非代数闭域常数场的微分场的Picard-Vessiot理论。作为构造和分类Picard-Vessiot扩张的技术，我们发展了伽罗瓦下降理论。利用这一理论证明了$\mathbb{R}$上的每个线性代数群$G$都是$\mathbb{R}(z)$上的微分伽罗瓦群。证明的主要内容是$\mathbb{C}(z)$上正则奇异微分方程的Riemann-Hilbert对应。

2008-02-20math.AGmath.CA

具有正则奇点的参数化线性微分方程的单值群

Monodromy groups of parameterized linear differential equations with regular singularities

我们研究了参数化复常线性微分系统的正则奇点的概念，证明了正则奇点系统的Schlesinger定理的一个类似物，并解决了弱黎曼-希尔伯特问题的参数化版本和参数化Picard-Vessiot理论中反问题的一个特殊情况.

2012-06-01math.CA

代数Lie-Vessiot系统的微分伽罗瓦论

Differential Galois Theory of Algebraic Lie-Vessiot Systems

本文发展了代数齐性空间中代数Lie-Vessiot系统的微分伽罗瓦论。Lie-Vessiot系统是一种非自治向量场，它是一个代数李群作用的基本向量场的系数依赖于时间的线性组合。这些系统是微分方程的基石，允许叠加的解决方案。代数齐性空间中的Lie-Vessiot系统包括线性微分方程的情况。因此，Lie-Vessiot系统的微分伽罗瓦论是经典Picard-Vessiot理论的推广。特别是，代数Lie-Vessiot系统是可解的Kolchin的强正规扩张。因此，强正规扩张在几何上被解释为伽罗瓦群上主齐性空间上的函数域。最后我们考虑了自守微分方程的可积性和可解性问题。我们的主要工具是一种经典的归约方法，在某些地方被称为Lie归约。我们开发了这种方法的代数版本，我们称之为Lie-Kolchin还原。应用的障碍与伽罗瓦上同调有关。

2009-01-28math.AGmath.CA

作为参数化微分伽罗瓦群的幂幺微分代数群

Unipotent differential algebraic groups as parameterized differential Galois groups

我们处理的参数化Picard-Vessiot（PPV）理论的正问题和逆问题的方面。已知对于某些域，线性微分代数群G是这些域上的PPV伽罗瓦群当且仅当G包含Kolchin-dense有限生成群.我们证明了，对于一类LDAG G，包括幂幺群幂幺群，G是这样的群当且仅当它有微分型0。我们给出了一个程序，以确定是否参数化的线性微分方程有PPV伽罗瓦群在这个类中，并显示如何可以计算PPV伽罗瓦群的参数化的线性微分方程，如果它的伽罗瓦群具有微分类型0。

2013-07-04math.ACmath.CAmath.DS

不完全Γ函数微分超越性的伽罗瓦理论证明

A Galois-theoretic proof of the differential transcendence of the incomplete Gamma function

本文给出了二阶参数化线性微分方程\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2} -\frac{\partial Y}{\partial x} = 0的解的$\frac{\partial}{\partial t}$超越的简单的充要条件，其中$p\in F(x)$是$x$中的有理函数，其系数在$\frac{\partial}{\partial t}$ -域$F$中.这一结果对于发展计算$F(x)$上任意参数化二阶线性微分方程的参数化Picard-Vessiot群的有效算法是至关重要的.我们的准则特别地暗示了不完全Γ函数$γ(t,x)$的$\frac{\partial}{\partial t}$超越性，推广了Johnson，Reinhart和Rubel [9]的结果.

2013-04-06math.ACmath.APmath.CA

Picard-Fuchs方程的卷积

Convolution of Picard-Fuchs equations

我们确定了由fuchsian线性微分方程的解构造的上同调群的显式生成元，并描述了它与系数在局部系统中的上同调群的关系。在参数化的情况下，这产生了一种算法，该算法从依赖于多个参数的那些方程计算新的富克斯微分方程。这推广了Fuchsian微分方程解的经典卷积。

2019-09-26math-phmath.AGmath.CA