On Automorphisms of Biproducts
David E. Radford
研究了双积的霍普夫代数自同构完全群的某些子群.在这个过程中，某些置换群的有趣子群开始发挥作用。
We study certain subgroups of the full group of Hopf algebra automorphisms of a biproduct. In the process interesting subgroups of certain permutation groups come into play.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Biproducts and Kashina's examples
我们重新审视一类的例子中描述的原文件的双产品，扩大类，并提供了详细的分析，这些例子中的许多的余代数和代数结构。连接与半单霍普夫代数的维数的幂2确定的Kashina。我们构造的有限维非平凡半单余半单霍普夫代数是下余可解的.其中一些有一个正常的正常的Hopf子代数，并不是下可解的。
Biproduct Quasi-Hopf Algebras of Rank 2
受Radford工作启发，研究任意拟Hopf代数上左Yetter-Drinfeld模辫子范畴中的2维Hopf代数，确定其定义的双积拟Hopf代数，构造得到新的偶数维基本拟Hopf代数类与张量范畴类。
On Biproducts and Extensions
该研究刻画了4阶初等阿贝尔群上特定八维Yetter-Drinfel'd Hopf代数的Radford双积能表示为Hopf代数扩张的具体形式，丰富了Hopf代数扩张理论的相关结论。
A construction of Hom-Yetter-Drinfeld category
在最近关于\cite{MLY}中Smash积Hom- Hopf代数的工作的基础上，我们通过Radford双积Hom- Hopf代数引入了Hom-Yetter-Drinfeld范畴$_H^H{\mathbb{YD}}$，证明了Hom-Yetter-Drinfeld模可以给出Hom-杨-巴克斯特方程的解，并且$_H^H{\mathbb{YD}}$是一个预辫张量范畴，其中$(H, \b, S)$是一个Hom-霍普夫代数.进一步得到了$(A^{\natural}_{\diamond} H,\aø\b)$是Radford双积Hom-霍普夫代数的充要条件是$(A,\a)$是范畴$_H^H{\mathbb{YD}}$中的霍普夫代数.最后给出了一些实例和应用。
Duals of pointed Hopf algebras
本文研究了特征为0的代数闭域上具有阿贝尔群like的交换群的有限维点霍普夫代数的可积性，它们是Radford双积或双积的非平凡提升.
Bialgebra cohomology, pointed Hopf algebras, and deformations
给出了双代数上同调与Hochschild上同调的长正合序列中映射的显式公式。给出了连接同态是满射的一个充分条件。我们应用这些结果来计算某些Radford双积（玻色化）的所有双代数两上循环。这些两个上循环正是那些相关的有限维点霍普夫代数在最近的分类Andruskiewitsch和施耐德，在解释这些霍普夫代数的梯度双代数变形的Radford biproducts。
Characterization Results on Generalized Smash Biproduct Hopf Algebras over the Partial Dual Construction
本文在辫子幺半范畴中，当$B$有左对偶$B^\ast$时构造$D\times B^\ast$，证明$B\times D$为其左smash积，并建立Yetter-Drinfeld模范畴的同构，涵盖代数、双代数、Hopf代数三个层次。
Braided Hopf Algebras
在辫子张量范畴中，我们证明了Maschke定理，并给出了双交叉双积和交叉双积以及双积是双代数的充要条件.在对称张量范畴中，证明了对偶定理，构造了量子偶;在具有普通扭曲的普通向量空间范畴中，得到了代数$R$及其交叉积$R #_σH$的整体维数、弱维数、Jacobson根、Baer根之间的关系.我们还给出了余模分解与余代数分解之间的关系。我们对霍普夫代数进行了分类。在具有dim $L \le 3$的李代数$L$上得到了常值经典杨-巴克斯特方程（CYBE）的所有解.给出了$(L, \hbox {[ ]}, Δ_r, r)$是上边界（或三角）李双代数的充必要条件.
Extending lazy 2-cocycles on Hopf algebras and lifting projective representations afforded by them
本文研究了与懒惰2-上圈有关的一些问题，如：（懒惰）2-上圈到Drinfeld双圈和Radford双积的扩张，懒惰2-上圈的Yetter-Drinfeld数据，懒惰2-上圈的射影表示的提升.
Semisimple Hopf algebras of dimension $2q^3$
设$q$是素数，$k$是特征为0的代数闭域，$H$是维数为$2q^3$的非平凡半单Hopf代数.本文证明了$H$既可以由群代数及其子代数通过扩张构造，也可以由Radford的双积$H\cong R#kG$构造，其中$kG$是$G$的二阶群代数，$R$是${}^{kG}_{kG}\mathcal{YD}$中维数为$q^3$的半单Yetter-Drinfeld Hopf代数.
An affine PI Hopf algebra not finite over a normal commutative Hopf subalgebra
在建立一个广义的框架来研究某些自然产生于表示论的非交换代数时，K。A.布朗问，如果每一个生成的霍普夫代数满足多项式身份是有限的正常交换的霍普夫子代数。本文证明了Radford的双积应用于李超代数pl（1，1）的包络代数，提供了一个Noether素反例.
The quantum double for quasitriangular quasi-Hopf algebras
设$D(H)$是有限维拟霍普夫代数$H$的量子偶.本文首先推广了Majid的一个结果，即有限维拟三角的Hopf代数$H$是拟三角的当且仅当存在量子对偶$D(H)$在覆盖自然包含的$H$上的投影，然后证明了有限维拟三角的拟霍普夫代数的量子对偶是双积.
Coverings of graded pointed Hopf algebras
引入了分次点霍普夫代数的覆盖的概念。该理论表明，玻色化Nichols代数的复盖可以用Nichols代数的泛余代数覆叠群的商来具体表示.如果有足够的二次关系，泛余代数覆盖是由玻色化的基础机架的包络群。
Note on Nakayama automorphisms of PBW deformations and Hopf actions
Artin-Schelter正则代数的PBW变形是斜Calabi-Yau变形。我们证明了这种PBW变形的Nakayama自同构可以从它们的均匀化中得到。在没有Koszul假设的情况下推广了一些Calabi-Yau性质。我们还表明，这种PBW变形的Nakayama自同构控制它们的Hopf行动。
The Coalgebra Automorphism Group of Hopf Algebra $k_q[x, x^{-1}, y]$
设$k_q[x, x^{-1}, y]$是量子平面$k_q[x, y]$在场$k$上的局域化，其中$0\neq q\in k$。则$k_q[x, x^{-1}, y]$是一个分次Hopf代数，它可以看作是量子包络代数$U_q({\mathfrak sl}_2)$的非负部分.在$q$不是单位根的假设下，研究了$k_q[x, x^{-1}, y]$的余代数自同构群.分别给出了$k_q[x, x^{-1}, y]$的分次余代数自同构群和余代数自同构群的结构.
On Isomorphisms between Certain Yetter-Drinfel'd Hopf Algebras
本文确定了作者先前研究的两族Yetter-Drinfel'd Hopf代数及其Radford双积的同构分类。
Structure of semisimple Hopf algebras of dimension $p^2q^2$
设$p,q$是具有$p^4<q$的素数，$k$是特征为0的代数闭域.证明了维数为$p^2q^2$的半单霍普夫代数既可以由群代数及其子代数通过扩张构造，也可以由Radford双积$R#kG$构造，其中$kG$是阶为$p^2$的群$G$的群代数，$R$是维数为$q^2$的${}^{kG}_{kG}\mathcal{YD}$中的半单Yetter-Drinfeld霍普夫代数.作为应用，给出了维数为$4q^2$的半单霍普夫代数的结构的特殊情况.
Almost involutive Hopf algebras
我们定义了一个霍普夫代数$H$的\emph{companion automorphism}的概念作为一个自同构$σ:H \rightarrow H$：$σ^2=S^2$ --其中$S$表示对极--.一个霍普夫代数称为\emph{almost involutive}（AI），如果它允许一个可以被看作是一个特殊的附加对称的伴随自同构。我们提出的例子和研究的一些基本性质和结构的AI-霍普夫代数集中注意力在有限维的情况下。特别地，我们证明了在维数小于或等于15的霍普夫代数族中，只有在8维和12维上，才存在非几乎对合的霍普夫代数.
Hopf-Galois objects of Calabi-Yau Hopf algebras
利用余群胚的语言证明了具有双射对极的扭曲Calabi-Yau霍普夫代数的Hopf-Galois对象仍然是扭曲Calabi-Yau，并给出了它们的Nakayama自同构.作为应用，证明了扭Calabi-Yau霍普夫代数的分裂Galois对象和非退化双线性型的量子自同构群的Hopf-Galois对象都是扭Calabi-Yau.
(Hopf) Algebra Automorphisms of the Hopf algebra ${\check U}^{\geq 0}_{r,s}({\mathfrak sl_{3}})$
本文完全确定了双参数霍普夫代数${\check U}_{r,s}^{\geq 0}({\mathfrak sl_{3}})$的代数自同构群。由此也确定了$\V$的霍普夫代数自同构群.进一步刻画了子代数$U^{+}_{r,s}({\mathfrak sl_{3})}$的所有导子，并计算了它的一次Hochschild上同调群.
Automorphisms of the two-parameter Hopf algebra $\V$
我们确定了双参数量子化包络代数$\V$的代数自同构群。作为应用，我们证明了$\V$的霍普夫代数自同构群同构于秩为2的环面.
Hopf actions and Nakayama automorphisms
设H是一个对极为S的霍普夫代数，A是一个N-Koszul Artin-Schelter正则代数.研究了当H内忠实地作用在A上时A的Nakayama自同构与H的S^2之间的关系。给出了Artin-Schelter正则代数上Hopf作用的几个应用。
Decomposition of some pointed Hopf algebras given by the canonical Nakayama automorphism
每个有限维霍普夫代数都是一个Frobenius代数，Frobenius同态由一个积分给出。由它确定的Nakayama自同构在循环群中产生一个带度的分解。对于一类点霍普夫代数，我们确定了这种分解是强分次的充要条件.
Cocycle deformations for Hopf algebras with a coalgebra projection
设$H$是特征为$0$的域$K$上的一个Hopf代数，$A$是一个双代数或Hopf代数，使得$H$同构于$A$的一个子Hopf代数，并且存在一个从$A$到$H$的$H$ -双线性余代数投影$π$，它分裂包含.然后是$A \cong R \#_ξH$，其中$R$是共不变量的预双代数。本文研究了$A$通过$H$ -双线性上循环的变形.如果$γ$是$A$的上循环，则$γ$可以被限制为$R$的上循环$γ_R$和$A^γ\cong R^{γ_R} \#_{ξ_γ} H$。作为例子，我们考虑了$\mathcal{B}(V) \# K[Γ]$的提升，其中$Γ$是有限阿贝尔群，$V$是量子平面，$\mathcal{B}(V)$是它的Nichols代数，并显式构造了将Radford双积扭转到提升中的上循环。
Double cross products with projections and relative Rota-Baxter operators on Hopf algebras
本文研究带投影的双交叉积，证明其等价于Hopf代数上的相对Rota-Baxter算子，并探讨其与辫子算子及Doi-Hopf模态射的联系。
Nakayama automorphism and applications
利用Nakayama自同构研究了整体维数为3的Artin-Schelter正则代数上的群作用和霍普夫代数作用.
Cocycle deformations for liftings of quantum linear spaces
设$A$是特征为0的域$K$上的一个Hopf代数，并假设存在一个从$A$到一个分裂包含的子Hopf代数$H$的余代数投影$π$.若投影是$H$ -双线性的，则$A$同构于一个双积$R #_ξH$，其中$(R,ξ)$称为范畴$_{H}^{H}\mathcal{YD}$中的一个带上圈的预双代数。上循环$ξ$将$R \otimes R$映射到$H$。这种情况的例子包括由Andruskiewitsch和Schneider [AS 1]分类的点Hopf代数与点的交换群$Γ$的提升。有人问这样的$A$何时可以被上循环$γ:A\otimes A\rightarrow K$扭曲以获得Radford双积。根据Masuoka [Ma 1，Ma 2]和Grünenfelder和Mastnak [GM]的结果，对于上述的尖升力，这总是可以做到的。在以前的文件[ABM 1]中，我们表明，一个扭曲的上循环的自然候选人是{ $λ\circ ξ$ }，其中$λ\in H^{\ast}$是$H$和$ξ$是如上所述的全积分。我们还计算了量子线性平面提升的扭曲上循环，并发现了一些例子，我们计算的扭曲上循环是不同的{ $λ\circ ξ$ }。在这篇文章中，我们证明了在许多情况下，这个上循环正好是$λ\circξ$，并给出了一些进一步的例子，这是不是这种情况。同时，我们将上循环计算推广到量子线性空间，对维数没有限制。
Finitely generated invariants of Hopf algebras on free associative algebras
证明了有限秩自由结合代数在由群元和斜本原元生成的有限维霍普夫代数的线性作用下的不变量，当作用是纯量时，恰好形成一个有限维Hopf代数的线性生成代数.这推广了一个类似的结果群作用的自同构得到的迪克斯和Formanek，和Kharchenko。
An approach to quasi-Hopf algebras via Frobenius coordinates
本文从Frobenius代数的角度研究了某些交换环上的拟霍普夫代数及其子代数.引入了一类包含Frobenius代数的反自同构和Nakayama自同构的Radford公式，并从这一角度讨论了量子代数中的几个结果.此外，作为Frobenius代数，研究了拟霍普夫代数的可分性和强可分性.
Hopf Forms and Hopf-Galois Theory
设$K$是$\Q$的有限域扩张，$N$是具有自同构群$F=\Aut(N)$的有限群. R. Haggenmüller和B. Pareigis证明了从$K$的$F$ -伽罗瓦扩张的集合到群环$K[N]$的Hopf形式的集合存在一个双射\[Θ: {\mathcal Gal}(K,F)\rightarrow {\mathcal Hopf}(K[N])\].对于$N=C_n$，$n\ge 1$，$C_p^m$，$p$素数，$m\ge 1$，和$N=D_3,D_4,Q_8$，我们证明了$\Q[N]$允许一个绝对半单的Hopf形式$H$，并找到了$L$，其中$Θ(L)=H$ .此外，如果$H$是由一个Hopf-Galois结构给出的一个Galois扩张$E/K$上的Hopf代数，我们证明了如何构造$H$的原像下$Θ$假设一定的条件。
Isomorphism classes of finite dimensional connected Hopf algebras in positive characteristic
我们对所有具有大交换本原空间的有限维连通霍普夫代数进行了分类。证明了它们是某些限制李代数的限制包络代数的霍普夫代数扩张。对于任何阿贝尔匹配对与这些扩展，我们构造了一个上同调群，分类的所有扩展到等价。此外，我们给出了同构类与上同调群的群商之间的$1$ - $1$对应关系，其中上同调群考虑交换匹配对的自同构，例外点表示限制李代数扩张.
Skew Calabi-Yau property of faithfully flat Hopf Galois extensions
本文研究了忠实平坦霍普夫伽罗华扩张的斜卡拉比-尤安属性，证明了在特定条件下，B的纳卡马自动态可通过A和H的纳卡马自动态及同调确定符推导得出。
Unified products and split extensions of Hopf algebras
在与霍普夫代数的限制扩张结构问题相关的\cite{am3}中定义了统一积：一个霍普夫代数$E$通过一个霍普夫子代数$A$和一个子余代数$H$分解，使得$1\in H$当且仅当$E$同构于一个统一积$A \ltimes H$ .利用Andruskiewitsch和Devoto意义下余代数态射的正规性概念，从霍普夫代数的分裂态射的角度证明了对统一积的一个等价刻画.一个Hopf代数$E$同构于一个统一积$A \ltimes H$当且仅当存在一个霍普夫代数$i: A \rightarrow E$的态射，它的收缩$π: E \to A$是一个正规的左$A$ -模余代数态射。对Yetter-Drinfel'd模范畴$_{A}^{A}{\mathcal YD}$中的双代数$L$，证明了规范态射$i : A \to A\ltimes H$是双代数的分裂单态射的一个充要条件，即统一积$A\ltimes H$同构于Radford双积$L \ast A$的一个条件.因此，我们提出了一个一般的方法来构造统一的产品所产生的酉不一定结合双代数$H$，这是一个右$A$ -模余代数和酉余代数映射$γ: H \to A$满足四个兼容性条件。针对组$G$、指向的右$G$集合$(X, \cdot, \lhd)$和映射$γ: G \to X$详细地计算出这样的示例。
A Note on Braided $T$-categories over Monoidal Hom-Hopf Algebras
设$ Aut_{mHH}(H)$表示在Caenepeel和Goyvaerts \cite{CG2011}意义下具有双射对极的monoidal Hopf代数$H$的所有自同构的集合.本文的主要目的是提供Turaev \cite{T2008}意义下辫子$T$范畴的新例子。为此，我们首先构造了一个Monoidal Hom-Hopf $T$ -余代数$\mathcal{MHD}(H)$，并证明了：如果$H$是有限维的，则$\mathcal{MHD}(H)$的表示的$T$ -范畴$Rep(\mathcal{MHD}(H))$同构于$\mathcal {MHYD}(H)$作为辫子$T$ -范畴.然后我们构造了一个新的辫子$T$ -范畴$\mathcal{ZMHYD}(H)$ over $\mathbb{Z},$，推广了Staic \cite{S2007}的主要构造.
Dualising complexes and twisted Hochschild (co)homology for noetherian Hopf algebras
我们证明了许多Noether霍普夫代数A都有一个刚性对偶复形R，R同构于^νA^1 [d].这里，d是代数的内射维数，ν是A的某个k-代数自同构，直到内自同构为止是唯一的。为了纪念在此推广的有限维理论，我们称ν为A的Nakayama自同构。证明了ν= S^2 \XXi，其中S是A的对极，\XXi是由A的左积分确定的A的左绕自同构.当A是整体维数为d的Artin-Schelter正则Noether霍普夫代数时，系数在适当扭自由双模中的霍赫希尔德同调和上同调群在顶维d上是非零的.（扭曲的）庞加莱对偶在这种情况下成立，这是从范登伯格定理推导出来的。还利用相反的余代数结构计算A的ν，我们确定了S^4的一个公式，它推广了Radford在1976年对有限维A的一个公式。给出了这些结果在A为PI、包络代数、量子群、量子化函数代数和群代数等情形中的应用。
Hopf algebras and associative representations of two-dimensional evolution algebras
本文通过自同构代数群建立二维演化代数与Hopf代数的联系，计算了相关联的p-代数，并给出了忠实交换结合表示存在性及同构条件的刻画。
Universal Coacting Hopf algebra of a Finite dimensional Lie-Yamaguti algebra
本文为有限维Lie-Yamaguti代数构造了具有双代数结构的泛代数，进而导出其泛共作用Hopf代数，并发展了表示论版本，最终应用于刻画自同构群与分类阿贝尔群分次。
Bilinear Forms on Frobenius Algebras
本文分析了霍普夫代数和具有剩余域\(k\)的局部Frobenius \(k\) -代数\(R\)上的结合双线性型的同构类型.若\(R\)是对称的，则在\(R\)上存在一个唯一的形式直到同素当且仅当\(R\)是交换的.如果\(R\)是Frobenius，那么我们引入了一个基于\(R\)的Nakayama自同构的范数.我们表明，如果两个形式上的\(R\)是位似的，那么分隔它们的单位的范数是中心的，我们推测相反。我们证明了，如果\(R\)的维数是偶数，则在\(\dot k/\dot k^2\)中取的\(R\)上的形式的行列式是\(R\)的不变量。\textit{Key words}：双线性型，Frobenius代数，同构，霍普夫代数，等距，局部代数，Nakayama自同构，Ore扩张，对称代数
Constructing New Braided $T$-categories over Monoidal Hom-Hopf Algebras
设$ Aut_{mHH}(H)$表示在Caenepeel S意义下具有双射对极的monoidal Hopf代数$H$的所有自同构的集合.和戈伊瓦茨岛（Commun. Algebra 39，2216-2240，2011），并且令$G$是交叉乘积群$ Aut_{mHH}(H)\times Aut_{mHH}(H)$。本文的主要目的是提供进一步的例子编织$T$ -范畴在Turaev（1994，2008）的意义。为此，我们首先引入了一类新的具有$A, B \in Aut_{mHH}(H)$的Monoidal Hom $(A, B)$-Yetter-Drinfeld模范畴$_{H}\mathcal {MHYD}^{H}(A, B)$.然后我们证明范畴${\cal MHYD}(H)=\{{}_{H}\mathcal {MHYD}^{H}(A, B)\}_{(A, B)\in G}$形成一个辫子$T$ -范畴，推广了Panaite和Staic（Isr J Math 158：349-365，2007）的主要构式构造。
Infinitesimal (BiHom-)bialgebras of any weight (II): Representations
本文研究任意权无穷小（双Hom-）双代数的表示理论，提出双积双代数，揭示其与Rota-Baxter、树状及pre-Lie双模的联系，并给出两类Gelfand-Dorfman定理。
A sequence to compute the Brauer group of certain quasi-triangular Hopf algebras
本文通过解释Brauer群的直积分解成立的原因和描述Brauer群中出现的不可解释因子，对Brauer群的计算有了更深的理解.对于辫子monoidal范畴$\C$中的一个Hopf代数$B$，在辫子的某些假设下，本文给出了一个关于Brauer群的计算公式，并给出了一个关于Brauer群的计算公式.（若$\C$是对称的，则满足），构造了$B$ -模代数的Brauer群$\BM(\C;B)$的一个序列，推广了Beattie的序列.它允许一个证明，$\BM(\C;B) \cong \Br(\C) \times \Gal(\C;B),$其中$\Br(\C)$是Brauer群的$\C$和$\Gal(\C;B)$组的$B$ -伽罗瓦对象.我们还表明，$\BM(\C;B)$包含一个子群同构于$\Br(\C) \times \Hc(\C;B,I),$，其中$\Hc(\C;B,I)$是第二Sweedler上同调群的$B$的单位对象$I$的$\C$。这些结果被应用到拟三角形Hopf代数的Brauer群上，该代数是Radford双积$B \times H$，其中$H$是域$K$上的一个普通的Hopf代数，由拟三角形结构$\R$生成的Hopf子代数包含在$H$中，$B$是左$H$ -模范畴${}_H\M$中的一个Hopf代数.最近计算了Brauer群的霍普夫代数符合这个框架。我们最后表明，$\BM(K,H,…
Derivations of the two-parameter quantized enveloping algebra $\U$
令$r,s$是从$\C^{\ast}$中选择的两个参数，使得$r^{m}s^{n}=1$隐含$m=n=0$。计算了双参数量子化包络代数$\U$的导子，并计算了它的一次Hochschild上同调群.进一步确定了双参数霍普夫代数$\V$的代数自同构群。结果，我们确定了$\V$的霍普夫代数自同构群.
A prelie algebra associated to a linear endomorphism and related algebraic structures
我们给任意向量空间V的任意线性自同态f附加一个shuffle代数T（V）上的prelie代数的结构，描述了它的包络代数，对偶霍普夫代数和相应的特征标群.对于f=Id\_V，我们发现的代数形式的同态，被视为一个子代数的Connes-Kreimer霍普夫代数的有根树的上下文中的QFT;对于其他精心选择的f，我们得到的Fliess运营商在控制理论的群体。给出了这类Come霍普夫代数的代数结构：层次、自同构群、V生成的子对象等.
Strictification of weakly equivariant Hopf algebras
弱等变的霍普夫代数是一个霍普夫代数A，它的作用是有限群G直到内自同构。我们证明了每个弱等变霍普夫代数都可以被一个Morita等价代数B所取代，B具有G的严格作用，并具有一个余代数结构，导致一个张量等价表示范畴。然而，一般来说，这种严格化的余积不能被选择为酉的，因此G作用的严格化只能在弱霍普夫代数B上找到。
On tensor factorizations of Hopf algebras
本文证明了有限维霍普夫代数（更一般地说，霍普夫代数在适当的辫范畴中满足链条件）的张量积因子分解的各种结果。这些结果类似于著名的有限群（或具有链条件的群）的直积分解结果，如Fitting引理和Krull-Remak-Schmidt分解的唯一性。我们分析了正规（和余正规）霍普夫代数自同态的概念，以及张量积的自同态和自同构的结构。然后将所得结果应用于计算一个有限群的Drinfeld二重的自同构群，其中该群包含一个交换因子。(If如果没有，则可以通过第一作者的结果来计算该组。）
On Braided Differential Calculi and Quantum G-structures
该研究在辫子幺正范畴发展微分演算理论，结合双积构造协变smash积微分演算，引入量子G-结构并以实例说明，为量子几何提供新理论框架。
Classifying bicrossed products of Hopf algebras
设$A$和$H$是两个霍普夫代数.我们将分类到一个同构，稳定$A$所有的霍普夫代数$E$，通过$A$和$H$分解的上同调类型对象${\mathcal H}^{2} (A, H)$。等价地，我们分类到一个左$A$ -线性霍普夫代数同构，所有双交叉产品$A \bowtie H$的集合相关联的所有可能的匹配对的霍普夫代数$(A, H, \triangleleft, \triangleright)$，可以定义在$A$和$H$之间。在构造${\mathcal H}^{2} (A, H)$中，$CoZ^{1} (H, A) \times \Aut_{\rm CoAlg}^1 (H)$的特殊元素起着关键作用，其中$CoZ^{1} (H, A)$是酉余中心映射群，$\Aut_{\rm CoAlg}^1(H)$是余代数$H$的酉自同构群.在几个应用和例子中，所有的双交叉积$H_4 \bowtie k[C_n]$都用生成元和关系描述并分类：它们是单位根上的量子群$H_{4n, ω}$，它们用环$\mathbb{Z}_n$的纯算术性质分类。狄利克雷定理素数是用来计算的数量类型的同构的这个家庭的$4n$ -维量子群。由于我们的方法的组$\Aut_{\rm Hopf}(H_{4n, ω})$的Hopf代数自同构的结果是充分描述。
On a family of liftings of the Jordan plane
研究无限循环群上Jordan平面的一族Hopf代数提升，确定其中心、素谱、本原谱和自同构群，证明每个素理想是完全素理想且非零理想与中心非平凡相交，构造对应于所有本原理想的显式单模并分类有限维单模，最后证明这些Hopf代数满足Dixmier-Moeglin等价性。
Asymptotics of H-identities for associative algebras with an H-invariant radical
证明了特征$0$的代数闭域上具有结合代数$H$和$1$的广义Hopf作用的有限维结合代数$A$的Hopf PI指数的存在性，仅假设Jacobson根$J(A)$在$H$ -作用下的不变性和$A/J(A)$分解为$H$ -单代数之和的存在性.因此，我们表明，类似的Amitsur猜想持有$G$ -余维的有限维结合代数在一个领域的特征$0$与行动的任意一个组$G$的自同构和反自同构和微分余维的有限维结合代数与行动的任意李代数的导子。
Pre- and Post-Lie Algebras: The Algebro-Geometric View
我们将前李代数和后李代数中的合成和替换与代数几何联系起来. Connes-Kreimer霍普夫代数和MKW霍普夫代数则分别是由一系列树构成的无限维仿射簇的坐标环。有序树的Lie序列。此外，我们描述了霍普夫代数，这是坐标环的自同构群的这些品种，其中管理的替代法律前和后李代数。
The Hochschild cohomology ring of a Frobenius algebra with semisimple Nakayama automorphism is a Batalin-Vilkovisky algebra
类似于N. Kowalzig和U. Krähmer关于扭曲的Calabi-Yau代数，我们证明了具有半单Nakayama自同构的Frobenius代数的Hochschild上同调环是Batalin-Vilkovisky代数，从而推广了T.Tradler关于有限维对称代数的一个结果.本文给出了一个判别条件，判定由关系式给出的Frobenius代数何时具有半单Nakayama自同构，并将其应用于已知的Tame Frobenius代数类.我们还提供了大量的例子，包括量子完全相交，定义在特征为零的代数闭域上的有限维霍普夫代数和三维Koszul Artin-Schelter正则代数的Koszul代数。
Skew Hopf algebras, irreducible extensions and the pi-method
延伸至深度2 A| B上的对偶双代数胚S：= \End {}_BA_B和T：=（A_BA_A）^B.在R是B的子代数的情况下，这是很常见的，S和T的两个非退化对将定义代数S的反自同构τ。利用双边深度为2的结构，证明了τ是对极，S是一类称为斜霍普夫代数的霍普夫代数胚.最后一节讨论了τ和非退化对如何通过深度为2的pi-方法推广到模，并且上链复形的某个导出映射是零同伦的。
Skew Calabi-Yau Algebras and Homological Identities
斜Calabi-Yau代数是允许非平凡Nakayama自同构的Calabi-Yau代数的推广。证明了Nakayama自同构的三个同调恒等式，并给出了几个应用。我们证明的恒等式表明：（i）Smash积代数A # H的Nakayama自同构与分次斜Calabi-Yau代数A和作用在其上的有限维霍普夫代数H的Nakayama自同构之间的关系;（ii）A的分次扭的Nakayama自同构与A的Nakayama自同构之间的关系;当A是Noether、连通分次和Koszul代数时，斜Calabi-Yau代数A的Nakayama自同构有平凡同调行列式.
Weak Hopf algebras corresponding to Cartan matrices
将有限维半单李代数${\frak g}$的量子化包络代数$U_q({\frak{g}})$的类群元替换为正则幺半群，得到弱霍普夫代数${\frak{w}}_q^{\sf d}({\frak g})$ .它是弱霍普夫代数的一个新子类，但不是霍普夫代数.然后构造了${\frak{w}}_q^{\sf d}({\frak g})$的一个基，并确定了当$q$不是单位根时，${\frak{w}}_q^{\sf d}({\frak g})$的弱霍普夫代数自同构群.
Actions of some pointed Hopf algebras on path algebras of quivers
在箭图是无环的、有限的和Schurian的情况下，我们对Taft代数T（n）在箭图的路代数上的Hopf作用进行了分类.作为推论，我们看到每个容许Z_n-作用（通过有向图自同构）的图也容许Taft代数的内忠实作用。给出了Sweedler代数T（2）的作用和T（3）的作用的几个例子。然后将Taft代数作用在路代数上的结果推广到Frobenius-Lusztig核u_q（sl_2）的作用和T（n）的Drinfeld双倍的作用.
Cocommutative Calabi-Yau Hopf algebras and deformations
利用最近引入的研究无穷维AS-Gorenstein霍普夫代数的工具--同调积分，讨论了余交换霍普夫代数的Calabi-Yau性质.证明了有限维李代数$\g$的泛包络代数的斜群代数是Calabi-Yau当且仅当泛包络代数本身是Calabi-Yau且$G$是特殊线性群$SL(\g)$的子群.描述了维数不大于3的Noether余交换Calabi-Yau霍普夫代数.讨论了有限维李代数的Sridharan包络代数的Calabi-Yau性质。得到了Sridharan包络代数是Calabi-Yau的几个等价条件，从而部分回答了Berger提出的一个问题.我们列出了所有非同构的三维Calabi-Yau Sridharan包络代数。
Classifying coalgebra split extensions of Hopf algebras
对于给定的Hopf代数$A$，我们将所有的霍普夫代数$A$通过$H_4$进行余代数分裂扩张，其中$H_4$是Sweedler的四维Hopf代数.等价地，我们通过明确计算两个分类对象：上同调“群”${\mathcal H}^{2} (H_4, A)$和所有交叉积的同构类型集$A # H_4$的$\textsc{C}\textsc{r}\textsc{p} (H_4, A) :=$，对霍普夫代数代数$A # H_4$的所有交叉积进行分类.所有的交叉积$A #H_4$由生成元和关系描述并分类：它们由$A$的所有中心本原元素的集合${\mathcal Z}{\mathcal P} (A)$参数化。几个例子的详细工作：特别是，在一个领域的特征$p \geq 3$一个无限的家庭的非同构霍普夫代数的尺寸$4p$的构造。本文还描述了这些霍普夫代数的自同构群。
Hopf Algebras which Factorize through the Taft Algebra $T_{m^{2}}(q)$ and the Group Hopf Algebra $K[C_{n}]$
我们完全描述的生成元和关系和分类所有的霍普夫代数的分解通过塔夫特代数$T_{m^{2}}(q)$和组霍普夫代数$K[C_{n}]$：它们是$nm^{2}$维量子群$T_{nm^{2}}^ ω(q)$相关的$n$ -th根单位$ω$。此外，利用狄利克雷素数定理，我们能够计数的同构类型的数量这样的霍普夫代数。更精确地说，如果$d = {\rm gcd}(m,ν(n))$和$\frac{ν(n)}{d} = p_1^{α_1} \cdots p_r^{α_r}$是$\frac{ν(n)}{d}$的素分解，那么通过$T_{m^{2}}(q)$和$K[C_n]$分解的霍普夫代数的类型数等于$(α_1 + 1)(α_2 + 1) \cdots (α_r + 1)$，其中$ν(n)$是$K$中$n$阶单位根的群的阶。作为我们的方法的结果，这些霍普夫代数的自同构群的描述。
Smash Products of Calabi-Yau Algebras by Hopf Algebras
设H是霍普夫代数，A是H-模代数.本文研究了Smash积A#H是（斜）Calabi-Yau、具有Van den Bergh对偶、Artin-Schelter正则或Gorenstein时的情形.特别地，如果A和H是斜Calabi-Yau，则A#H也是斜Calabi-Yau，并且它的Nakayama自同构用A和H的自同构表示。这是基于描述的逆对偶复A#H时，A是一个同调光滑的dg代数和H是同调光滑，可逆对极。这个描述也被用来解释Calabi-Yau dg代数的标准构造与取Smash积的相容性。
Bicrossed products with the Taft algebra
设$G$是一个群，它的生成元集由有穷级元组成.证明了通过Taft代数和群Hopf代数$K[G]$分解的任何Hopf代数（等价于上述霍普夫代数之间的任何双交叉积）同构于相同的两个霍普夫代数之间的smash积.这些粉碎产品的分类被证明是密切相关的问题描述的$G$的群自同构。作为应用，我们用生成元和关系完全刻画了Taft代数与群霍普夫代数$K[D_{2n}]$的双交叉积，其中$D_{2n}$表示二面体群.
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