Non-uniform recovery guarantees for binary measurements and infinite-dimensional compressed sensing
由于在磁共振成像（MRI）、核磁共振（NMR）、无线电干涉测量、氦原子散射等方面的许多应用，利用傅里叶变换测量的压缩传感理论已经达到成熟水平。然而，对于通过沃尔什变换的二进制测量，尽管有大量的应用，如荧光显微镜、单像素相机、无透镜相机、压缩全息术、激光故障-二进制测量是信号和图像处理中的支柱，并且可以通过沃尔什变换和沃尔什级数来建模，沃尔什变换和沃尔什级数是相应傅立叶变换和傅立叶级数的二进制表兄弟。同行我们帮助弥合理论上的差距，提供非均匀恢复保证无限维压缩感知与沃尔什样本和小波重构。理论结果表明，压缩感知与沃尔什样本，只要采样策略是高度结构化的，并遵循结构稀疏的信号，是有效的傅立叶的情况下。然而，当小波的光滑度和消失矩增加时，渐近结果就有了根本性的差异。在傅立叶情况下，这改变了最佳采样模式，而在沃尔什设置中不是这种情况。
2021-03-30 cs.IT cs.NA math.IT
SPRIGHT: A Fast and Robust Framework for Sparse Walsh-Hadamard Transform
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）
我们考虑在噪声存在下计算一些$N$长度输入向量的Walsh-Hadamard变换（WHT）的问题，其中对于一些$0<δ<1$，$N$点Walsh谱是$K$ -稀疏的，并且在输入维$N$中$K = {O}(N^δ)$是次线性缩放的.在过去的十年中，在与针对具有$K$稀疏傅立叶谱的某些长度- $N$输入信号的离散傅立叶变换（DFT）的计算相关的研究中已经出现了复苏。特别地，通过稀疏图代码设计，我们早期的基于快速傅立叶混叠的稀疏变换（FFAST）算法的工作通过取${O}(K)$无噪声样本来计算$K$-时间上的稀疏DFT ${O}(K\log K)$。受编码理论设计框架的启发，Scheibler等人提出了稀疏快速阿达玛变换（SparseFHT）算法，该算法在没有噪声的情况下使用时间上的${O}(K\log N)$样本${O}(K\log^2 N)$来优雅地计算$K$ -稀疏WHT。然而，SparseFHT算法明确地利用了问题的无噪声性质，并且不具备处理观测被噪声破坏的情况的能力。因此，一个关键的问题是这个编码理论框架是否可以对噪声具有鲁棒性。此外，如果答案是肯定的，那么为了对噪音保持鲁棒性，需要付出什么额外的代价？在本文中，我们表明，相当有趣的是，有{ \it没有额外的价格}，需要支付的是强大的噪声比一个常数因子。换句话说，我们可以保持相同的样本复杂度${O}(K\log N)$和计算复杂…
2015-08-26 cs.IT cs.LG math.IT
Uniform recovery in infinite-dimensional compressed sensing and applications to structured binary sampling
无限维压缩传感处理从线性测量中恢复模拟信号（函数），通常以积分变换的形式，如傅立叶变换。这个框架非常适合于许多真实世界的逆问题，这些逆问题通常在无限维空间中建模，并且有限维方法的应用可能会导致明显的伪影。这类问题的另一个典型特征是信号不仅在某些字典中是稀疏的，而且在层次结构中具有所谓的局部稀疏性。因此，在设计抽样方案时应考虑到这一额外结构。在本文中，我们介绍了一系列的统一恢复保证无限维压缩感知的基础上稀疏的水平和所谓的多级随机子采样。通过使用加权的$\ell^1$ -正则化，我们得到的测量条件，是尖锐的日志因素，在这个意义上，他们同意某些Oracle估计。这些保证也适用于有限维，并改善了现有的结果为unweighted $\ell^1$ -正则化。为了说明我们的结果，我们考虑的问题，二进制采样的沃尔什变换使用正交小波。二进制采样是某些成像模态的重要机制。通过仔细估计沃尔什和小波基之间的局部相干性，我们得到了这个问题的第一个已知的恢复保证。
2019-04-30 cs.IT math.IT
eGHWT: The Extended Generalized Haar-Walsh Transform
University of California, Davis（加州大学戴维斯分校）；Meta Platforms, Inc.（Meta平台公司）
将计算调和分析工具从经典的正则格扩展到更一般的图和网络是非常重要的，最近已经做了很多研究。广义Haar-Walsh变换（Generalized Haar-Walsh Transform，GHWT）是由Irion和Saito（2014）开发的一种用于图上信号的多尺度变换，它是经典Haar和Walsh-Hadamard变换的推广。我们提出了扩展的广义Haar-Walsh变换（eGHWT），它是Thiele和Villemoes（1996）的自适应时频平铺的推广。eGHWT不仅检查图域分区的效率，而且同时检查“序列域”分区的效率。因此，eGHWT及其相关联的最佳基选择算法的图形信号显着提高了性能的先前GHWT具有类似的计算成本，$O(N \log N)$，其中$N$是输入图形的节点的数量。虽然GHWT最佳基算法在$\mathbb{R}^N$中的多于$(1.5)^N$个可能的标准正交基中为给定任务寻找最合适的标准正交基，但是eGHWT最佳基算法可以通过在$\mathbb{R}^N$中搜索多于$0.618\cdot(1.84)^N$个可能的标准正交基来找到更好的标准正交基。本文介绍了eGHWT最佳基算法的细节，并使用几个例子，包括真正的图形信号，以及传统的数字图像视为图形信号，证明其优越性。此外，我们还展示了如何将eGHWT扩展到2D信号和矩阵形式的数据，将它们视为从其列和行生成的图的张量积，…
2021-12-26 cs.CV cs.IT cs.NA
Nearly Optimal Deterministic Algorithm for Sparse Walsh-Hadamard Transform
University of California（加利福尼亚大学）；MIT（麻省理工学院）
对于每一个固定常数$α> 0$，我们设计了一个算法来计算$N$维向量$x \in \mathbb{R}^N$在时间上的$k$稀疏Walsh-Hadamard变换$k^{1+α} (\log N)^{O(1)}$。具体地，该算法被给予对$x$的查询访问，并且对于绝对常数$c > 0$，计算满足$\|\tilde{x} - \hat{x}\|_1 \leq c \|\hat{x} - H_k(\hat{x})\|_1$的$k$ -稀疏$\tilde{x} \in \mathbb{R}^N$，其中$\hat{x}$是$x$的变换，并且$H_k(\hat{x})$是其最佳$k$ -稀疏近似。我们的算法是完全确定性的，并且只使用对$x$的非自适应查询（即，当算法开始时，所有查询被确定并并行执行）。我们使用的一个重要的技术工具是一个接近最佳和线性无损冷凝器的建设，这是一个仔细的GUV冷凝器的实例（Guruswami，乌曼，Vadhan，JACM 2009）。此外，我们设计了一个确定性和非自适应$\ell_1/\ell_1$压缩传感方案的基础上，一般的无损冷凝器，配备了一个快速重建算法运行的时间$k^{1+α} (\log N)^{O(1)}$（GUV为基础的冷凝器），是独立的兴趣。由于Berinde，Gilbert，Indyk，Karloff，Strauss（Allerton 2008），我们…
2015-04-28 cs.CC cs.IT cs.LG
Recovering wavelet coefficients from binary samples using fast transforms
从大量的二进制或傅立叶样本中恢复信号（函数）是现代医学成像中的核心问题之一，并且到目前为止存在过多的用于从这样的样本中恢复信号的方法。可以利用小波重构的方法的示例包括广义采样、无限维压缩感测、参数化背景数据弱（PBDW）方法等。然而，对于要在实践中应用的这些方法中的任何一种，采样基之间的无限维基变化矩阵的$N \times M$部分的精确和快速建模（傅立叶或Walsh-Hadamard样本）和小波重构基础是最重要的。在这项工作中，我们推导出一种算法，它绕过$NM$存储要求和$\mathcal{O}(NM)$计算成本的矩阵向量乘法与此矩阵时，使用沃尔什-哈达玛样本和小波重构。所提出的算法在$\mathcal{O}(N\log N)$操作中计算矩阵向量乘法，并且具有$\mathcal{O}(2^q)$的存储需求，其中$N=2^{dq} M$，（通常为$q \in \{1,2\}$）和$d=1,2$是维度。由于矩阵向量乘法是上述重建方法所使用的迭代算法的计算瓶颈，所提出的算法大大加快了从Walsh-Hadamard样本的小波系数的重建。
2021-06-01 cs.IT cs.NA math.IT
An Algorithm for Computing the Covering Radius of a Linear Code Based on Vilenkin-Chrestenson Transform
我们提出了一个推广的Walsh-Hadamard变换，适用于编码理论的应用，特别是计算的重量分布和覆盖半径的线性码在有限域上。本文所用的变换是Vilenkin-Chrestenson变换的一种改进。我们取一个最大的非比例向量集，而不是使用所考虑的空间中的所有向量，这降低了计算复杂性。
2022-02-24 cs.DM cs.IT math.CO
The combinatorial structure and value distributions of plateaued functions
University of South Florida（南佛罗里达大学）；Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg（奥托·冯·格里克马德堡大学）
本文研究高原函数的组合性质及其值分布，探讨了 Walsh 变换与线性性、差分性质之间的关系，以及高原函数的构造条件和差分均匀性界。
2026-03-25 cs.IT math.CO math.IT
Generalized bent functions - sufficient conditions and related constructions
最近，对于$q=4$和$q=8$，给出了一类函数$f:\mathbb{Z}_2^n \rightarrow \mathbb{Z}_q$的充要条件，其中$q \geq 2$是偶正整数.本文利用$f$的分量布尔函数的Walsh谱给出了广义Walsh-Hadamard变换的另一种刻画，从而导出了$q$对任意偶数的$f$是广义Bent的充分条件.当$q$不是2的幂的情况下，这还没有被解决之前，被单独处理，并采用在组件功能方面的合适的表示。因此，衍生的结果导致这类功能的通用建设方法。剩下的主要任务，这是没有回答在这篇文章中，是充分条件是否也是必要的。有一些迹象表明，这可能是真的，这也是正式确认的广义bent函数，属于类的广义Maiorana-McFarland功能（GMMF），但我们仍然无法完全指定（在必要性方面）gbent条件。
2016-01-29 cs.IT math.CO math.IT
An Optimal-Dimensionality Sampling Scheme on the Sphere with Fast Spherical Harmonic Transforms
我们开发了一个采样方案的球体上，允许精确计算的球谐变换和它的逆信号带限在$L$只使用$L^2$样本。我们得到的最佳数量的样本所给出的自由度的信号在谐波空间。在我们的计划所需的样本数是一个因素的两个或四个比现有的技术，需要$2L^2$或$4L^2$样本少。然而，我们注意到，我们不恢复采样定理的领域，球面谐波变换理论上是准确的。尽管如此，我们实现了高精度，即使是非常大的频带限制。对于我们的最优维数采样方案，我们开发了一个快速，准确的算法来计算球谐变换（和逆），与现有的计划在实践中的计算复杂性。我们进行了数值实验，详细研究的稳定性，精度和计算复杂性的建议变换。我们还强调了所提出的采样方案和相关变换的潜在应用的背景下的优势。
2014-07-23 cs.IT math.IT
Shift-Invariant and Sampling Spaces Associated with the Special Affine Fourier Transform
特殊仿射傅立叶变换或SAFT概括了许多众所周知的酉变换以及信号处理和光学相关的数学运算。平移不变空间在采样理论、多分辨率分析以及信号和图像处理的许多其他领域也起着重要作用。香农采样定理是现代数字通信的核心，是移位不变空间中采样的一个特例。此外，众所周知，Poisson求和公式等价于采样定理，Zak变换与采样定理和Poisson求和公式密切相关。几十年来，这些结果在傅里叶变换域中是成立的，最近，A. Bhandari和A.扎耶德本文的主要目标是表明，这些结果也适用于SAFT域。我们提供了一个简短的，自包含的证明香农定理的函数带限在SAFT域，然后表明，采样在SAFT域相当于正交投影的函数到子空间的带限的基础与SAFT域。这种对抽样的解释导致了最小二乘最优抽样定理。此外，我们表明，这种近似过程与卷积和半离散卷积算子，与SAFT域。最后，我们的文章与分数延迟滤波的SAFT带限函数的应用。
2016-01-21 cs.IT math.IT
Universality of Linearized Message Passing for Phase Retrieval with Structured Sensing Matrices
在相位恢复问题中，试图从形式为$y_i = |(\mathbf{A} \mathbf{x})_i|$的$m$测量中恢复未知的$n$维信号矢量$\mathbf{x}$，其中$\mathbf{A}$表示感测矩阵。许多算法都是基于近似消息传递的。对于这些算法，已知如果感测矩阵$n$是通过对均匀随机（即，Haar分布）正交矩阵，在高维渐近区域（$m,n \rightarrow \infty, n/m \rightarrow κ$）中，算法的动力学由称为状态演化的确定性递归给出。对于一类特殊的线性化的消息传递算法，我们表明，状态演变是普遍的：它继续持有，即使当$\mathbf{A}$是由随机子采样列的Hadamard-Walsh矩阵，提供的信号是从高斯先验。
2022-06-09 cs.IT math.IT math.ST
A sampling theorem on shift-invariant spaces associated with the fractional Fourier transform domain
作为傅里叶变换的推广，分数阶傅里叶变换被引入并在理论和信号处理应用方面得到了进一步的研究。在分数傅里叶变换域上得到了平移不变空间上的一个采样定理。所得的采样定理不仅推广了经典的Whittaker-Shannon-Kotelnikov采样定理与分数傅里叶变换域，但也推广了以前的采样定理的移位不变空间。
2013-02-10 cs.IT math.FA math.IT
A Fast Hadamard Transform for Signals with Sub-linear Sparsity in the Transform Domain
提出了一种新的低复杂度迭代算法，用于计算具有$K$ -稀疏WHT的$N$维信号的Walsh-Hadamard变换（WHT），其中$N$是2的幂，并且对于某些$0 < α< 1$，$K = O(N^α)$在$N$中次线性缩放.假设非零变换域分量的随机支持模型，该算法重构具有样本复杂度$O(K \log_2(\frac{N}{K}))$、计算复杂性$O(K\log_2(K)\log_2(\frac{N}{K}))$并且具有非常高的概率渐近趋于1的信号的WHT。该方法是基于WHT的二次采样（混叠）属性，其中通过对时域信号进行精心设计的二次采样，可以在变换域中诱导出合适的混叠模式。通过将混叠模式视为奇偶校验约束并借用擦除校正稀疏图码的思想，已将非零频谱值的恢复制定为用于二进制擦除信道（BEC）的稀疏图码上的置信传播（BP）算法（剥离解码）。从编码理论的工具被用来分析的算法在非常稀疏（$α\in(0,\frac{1}{3}]$）和稀疏（$α\in(\frac{1}{3},1)$）制度的渐近性能。
2013-12-29 cs.IT math.IT stat.ML
Generalized Sampling Expansions Associated with Quaternion Fourier Transform
四元数值信号与四元数傅里叶变换（QFT）一起为矢量值信号和图像处理提供了一个有效的框架。然而，四元数值信号的抽样论还没有得到很好的发展。本文利用广义平移和卷积，给出了与QFT相关的广义采样展开式。证明了基于QFT的M个线性系的输出信号样本可以重构出QFT意义下的σ-带限四元数值信号。四元数线性正则变换（QLCT）是六参数QFT的推广。利用QFT之间的关系，推导了σ-带限四元数信号在QLCT意义下的采样公式。最后举例说明了我们的结果。
2016-06-28 cs.IT math.CA math.FA
