Zeta functions and subgroup growth in $P2/m$
Hermina Alajbegović, Muharem Avdispahić
利用空间群的zeta函数和正规zeta函数，分别确定了空间群的子群个数和空间群的空间群个数。第十晶体群的正规子群。这使我们能够得出关于子群增长和这个群的度的结论。
By means of zeta and normal zeta functions of space groups, we determine the number of subgroups, resp. normal subgroups, of the tenth crystallographic group for any given index. This enables us to draw conclusions on the subgroup growth and the degree of this group.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Zeta and normal zeta functions for a subclass of space groups
计算了点群同构于二阶循环群的空间群的zeta函数和正规zeta函数。所得到的结果被应用到确定的子群的数目，分别。正规子群，其中每个子群具有给定的指数。
Zeta functions of virtually nilpotent groups
本文证明了一个群生成的虚幂零群的子群zeta函数和正规zeta函数是$\mathbb{Q}$上锥积分的Euler积的有限和，并由此推出它们具有收敛的有理横坐标和某些亚纯延拓.我们还定义了一个群生成的虚幂零群的Mal'cev完备化，并证明了后者的子群增长和正规子群增长是它的$\mathbb{Q}$ -Mal'cev完备化的不变量.
On the degree of polynomial subgroup growth of nilpotent groups
设$N$是一个群生成的幂零群. $N$的子群zeta函数$ζ_N^{\leq}(s)$和正规zeta函数$ζ_N^\lhd(s)$是枚举$N$的有限指标子群或有限指标正规子群的Dirichlet级数.我们提出的结果，其横坐标的收敛$α_N^\leq$和$α_N^\lhd$，也被称为程度的多项式子群增长和多项式正规子群增长的$N$，分别。我们首先证明了函数$N\mapsto α_N^\leq$和$N\mapstoα_N^\lhd$的一些上界时，限制到类的挠自由幂零群的一个固定的Hirsch长度。然后证明了如果两个生成的幂零群有同构的$\mathbb{C}$ -Mal'cev完备化，则它们的子群（分别为.正常）zeta函数具有相同的收敛横坐标。这如下，通过马尔切夫对应，从一个类似的结果，我们建立的zeta功能的环。这一结果是通过证明收敛的横坐标的欧拉产品的某些Igusa型局部zeta函数介绍了杜Sautoy和Grunewald保持不变的基础变化。我们也应用这种方法来制定和证明我们的结果的一个版本关于幂零群的虚拟幂零群。作为我们关于环的zeta函数的结果的一个应用，我们给出了关于数域中阶分布的一个结果。
Representation zeta functions of some compact p-adic analytic groups
利用Kirillov轨道方法、p-adic积分的新方法和Clifford理论，研究了紧p-adic解析群的表示zeta函数.特别是，我们给这样的zeta函数的收敛的横坐标的一般估计。我们计算了特征为0的紧致离散赋值环O上定义的某些紧致p进解析群的表示zeta函数的显式公式。其中包括对O的剩余域特征没有任何限制的SL 2（O）的主同余子群，以及O的分式域上的非分裂四元数代数D的范数1群SL 1（D）及其主同余子群.当O具有特征为3的剩余域且在Z_3上无分歧时，我们还确定了SL_3（O）的主同余子群的表示zeta函数.
Finiteness of profinite groups with a rational probabilistic zeta function
证明了具有有理概率zeta函数的某类投射有限群仅具有n个极大子群。
Zeta functions of finite groups by enumerating subgroups
对于有限群$G$，我们考虑zeta函数$ζ_G(s) = \sum_{H} \abs{H}^{-s}$，其中$H$遍历$G$的子群.首先我们给出交换$p$ -群$G$和非交换$p$ -群$G'$的简单例子，它们的阶为$p^m, \; m \geq 3$，分别为奇数$p$。$2^m, \; m \geq 4$），其中$ζ_G(s) = ζ_{G'}(s)$。因此，我们看到有许多非阿贝尔群的zeta函数具有对称性和欧拉积，就像阿贝尔群一样。另一方面，通过估计阿贝尔$p$ -群的子群个数，证明了$ζ_G(s)$决定了$G$在阿贝尔群内的同构类.最后研究了交换$p$ -群与具有相同zeta函数的非交换群相联系的问题.
Analytic properties of zeta functions and subgroup growth
在本文中，我们介绍了一些新的方法来理解的解析行为的zeta函数的一组。然后，我们可以将这些知识与适当的Tauberian定理相结合，推导出关于幂零群中子群增长的结果。为了说明我们的结果，我们引入以下符号。设α为实数，N为非负整数，定义s_N ^α（G）= sum_{n=1} ^Na_n（G）/n ^α.主要定理：设G是一个非线性生成的幂零无限群。(1)证明了Re_G（s）的收敛横坐标α（G）是一个有理数，并且当δ> 0时，Re_G（s）可以亚纯延拓到Re（s）> α（G）-δ.除了在s = α（G）处的极点外，连续函数在\Re（s）=（α）G上是全纯的. (2)存在一个非负整数b（G）和一些实数c，c '使得对N \rightarrow \infty，s_{N}（G）~cN ^{α（G）}（\log N）^{b（G）} s_{N} ^{α（G）}（G）~c'（\log N）^{b（G）+1}.
Zeta functions of groups and rings - recent developments
我调查的一些最新发展理论的zeta函数与无限群和环，特别是zeta函数枚举子群和子环的有限指数或有限维复表示。
Functional equations for zeta functions of groups and rings
我们介绍了一种新的方法来计算各种zeta函数与群和环的显式公式。这些公式的具体形式使我们能够推导出局部函数方程。更确切地说，我们证明了当地的函数方程的子环zeta函数与环，子群，共轭和代表zeta函数的生成，无挠幂零（或$\T$ -）群，和正常zeta函数的$\T$ -群的类2。特别地，我们解决了\cite [第5节]{duSG/06}中提出的两个问题。我们推导出我们的定理从“蓝图的结果”某些$p$进积分的推广工作Denef和其他Igusa的局部zeta函数。Malcev对应和Kirillov型理论开发的Howe被用来“线性化”的问题计数子群和陈述$\T$ -群，分别。
Twisted Poincare Series and Zeta functions on finite quotients of buildings
当$G=$ SL $_{2}(F)$对一个非阿基米德局部域$F$和$Γ$是$G$的一个离散无挠余紧子群时，$G$的Bruhat-Tits树在$Γ$作用下的商的Ihara zeta函数与$G$的仿射外尔群的抛物子群的扭庞加莱级数行列式的交错积之间存在已知的关系。我们如何可以推广到其他分裂简单的代数群的秩二以上$F$，并制定一个猜想，这可能是如何推广到更高的排名。
Representation zeta functions of compact p-adic analytic groups and arithmetic groups
我们引入新的方法，从p-adic整合到研究表示zeta函数与紧p-adic解析群和算术群。它们使我们能够建立，表示zeta函数的通用成员的家庭的p进分析亲p组从一个全球性的，“完美的”李格满足函数方程。在“半单”紧p-adic解析群的情况下，我们表现出相关的p-adic积分和一个自然的过滤的轨迹的不规则元素在相关的半单李代数，定义由centraliser尺寸之间的联系。基于这种代数几何描述，我们计算了群SL 3（O）（O是特征为0的紧离散赋值环）及其相应的酉群的主同余子群的zeta表示函数的显式表达式.这些公式与近似Clifford理论相结合，使我们能够确定与A_2型代数群的算术子群有关的表示zeta函数收敛的横坐标。假设Serre关于同余子群问题的一个猜想，我们证明了Larsen和Lubotzky关于数域上A_2型代数群的高秩半单群格的一个猜想.
A nilpotent group without local functional equations for pro-isomorphic subgroups
无挠群生成的幂零群G的准同构zeta函数枚举有限指数子群H使得H和G有同构的准有限完备化.它承认欧拉积分解，由有理素数索引。我们构造了无挠群生成的幂零群G的第一个例子，使得它的准同构zeta函数的局部Euler因子不满足函数方程。群G的幂零性等级为4，Hirsch长度为25。它是通过Malcev对应从具有适当代数自同构群Aut（L）的Z-Lie格L得到的。
Geometric structure of class two nilpotent groups and subgroup growth
本文给出了第二类幂零群的正规zeta函数的一个显式表达式，其对应的Pfronan超曲面是光滑的.特别是，我们展示了如何当地的zeta函数依赖于计数模p有理点的相关品种，我们描述了品种，可以出现在这样的分解。作为推论，我们也建立明确的结果，在这些群体的多项式多项式的次数子群增长，我们研究了这个zeta函数的极点的行为。在一定的几何条件下，我们还证实了这些函数满足一个函数方程。
A finiteness condition on the coefficients of the probabilistic zeta function
我们讨论了是否可以从概率zeta函数$P_G(s)$的系数推导出一个投射有限群$G$的有限性。特别地，我们证明了：如果$P_G(s)$是有理的，且对于某个素数$p$，$G$的非交换合成因子除1/2外都同构于$PSL(2,p)$，则$G$只包含1/2个极大子群.
Rationality of the probabilistic zeta function of finitely generated profinite groups
讨论了概率zeta函数$P_G(s)$是否可以推导出投射有限群$G$的有限性.特别地，我们证明了：如果$P_G(s)$是有理数的，且$G$的非交换合成因子除1000个外都是具有固定特征的Lie型群，则$G$只包含1000个极大子群.
Normal subgroup growth in free class-2-nilpotent groups
设$F_{2,d}$表示$d$生成元上的自由2类幂零群.我们计算了正规zeta函数$ζ^\triangleleft_{F_{2,d}}(s)$，证明了它们满足局部函数方程，并确定了它们的收敛横坐标和极点阶。
Counting subgroups in a family of nilpotent semi-direct products
本文计算了$$G_n=<x_1,...,x_n,y_1,...,y_{n-1}|[x_i,x_n]=y_i, 1\leq i\leq n-1, \text{all other $[,]$ trivial}>$$型群的幂零半直积的子群zeta函数，并导出了局部函数方程。
Large normal subgroup growth and large characteristic subgroup growth
有限生成群的最大正规子群增长型是$n^{\log n}$。对这种增长类型的群体知之甚少。特别地，以下是一个长期存在的问题：设$Γ$是一个群，$Δ$是有限指数的子群。设$Δ$有$n^{\log n}$型的正规子群增长，$Γ$有$n^{\log n}$型的正规子群增长吗？在某些情况下我们给出了肯定的回答，推广了Müller和第二作者的一个结果以及Gerdau的一个结果.例如，假设$G$是投射有限群，$H$是$G$的开子群。证明了若$H$是广义Golod-Shafarevich群，则$G$具有$n^{\log n}$型的正规子群增长性.我们还使用我们的方法来表明，可以找到一个组的特征子群增长类型为$n^{\log n}$。
Subgroup growth of all Baumslag-Solitar groups
本文给出了Baumslag-Solitar群的子群增长和极大子群增长的渐近公式。
Subgroup growth in free class-$2$-nilpotent groups
本研究提出计算任意生成元数的自由2类幂零群局部子群zeta函数的有效程序，得到d=4时的显式公式、d∈{4,5}时的拓扑子群zeta函数，还给出两类子代数zeta函数的相关结果，部分证实了T. Rossmann的猜想。
Relative Subgroup Growth and Subgroup Distortion
研究了有限生成群在有限生成群中的相对增长性，以及相应的嵌入偏差函数。我们探讨了哪些函数等价于非线性生成子群的相对增长函数和偏差函数。我们还研究了群嵌入的这两个渐近不变量之间的联系。本文给出了有限生成群上的长度函数可以推广到更大群上的长度函数的条件。
Zeta functions of the 3-dimensional almost-Bieberbach groups
一个可生成的虚幂零群的子群zeta函数和正规zeta函数可以表示为允许Euler积分解的狄利克雷级数的有限和.我们计算这些系列，除了有限数量的本地因素时，该集团几乎是幂零的赫希长度3。我们证明了它们可以亚纯延拓到整个复平面，并且满足局部函数方程。完整的计算（没有例外的本地因素），这些群体也是无挠，即，为3维几乎比伯巴赫群。
Representation growth and representation zeta functions of groups
我们给出了一个简短的介绍的主题的代表性增长和代表性zeta函数的群体，省略所有的证明。我们的重点是结果是相关的研究算术群在半单代数群，如特殊线性群的次数n的整数环。在最后两节中，我们陈述了最近与N。阿夫尼湖Onn和C.卷。
Branch groups, orbit growth, and subgroup growth types for pro-$p$ groups
首先证明了一类$p$支群包括Grigorchuk群和Gupta-Sidki群都有子群增长型$n^{\log n}$ .然后，我们引入轨道增长的概念，并使用它来构建Grigorchuk群和Gupta-Sidki群的扩展。我们计算了这些扩张的子群增长型，并推导出在$n^{(\log n)^2}$和$e^n$之间的所有函数都作为一个亲$p$群的子群增长型出现，从而几乎完整地回答了Lubotzky和Segal提出的一个问题.
A formula for the normal subgroup growth of Baumslag-Solitar groups
当p和q互质时，给出了Baumslag-Solitar群BS（p，q）中每个有限指标的正规子群个数的精确公式.与所有有限指数子群的公式不同，这个公式区分了不同的Baumslag-Solitar群，并且不是乘法的。这使我们能够给出一个例子，一个非线性生成的投射有限群，它不是虚幂零的，但它的zeta函数有一个欧拉积。
Universal groups of intermediate growth and their invariant random subgroups
我们展示的例子与$2^{\aleph_0}$遍历，连续，不变的随机子群的中间增长的群体。这些例子是与一个中间增长群族相关联的通用群。
Adjoint Orbits of Matrix Groups over Finite Quotients of Compact Discrete Valuation Rings and Representation Zeta Functions
本文给出了描述$\mathbf{G}(\mathfrak{o}_r)$在$\mathrm{Lie}(\mathbf{G})(\mathfrak{o}_r)$上的伴随轨道的方法，其中$\mathfrak{o}_r=\mathfrak{o}/\mathfrak{p}^r$（$r\in\mathbb{N}$）是数域整数环的局部化$\mathfrak{o}$在素理想$\mathfrak{p}$上的有限商，$\mathbf{G}$是$\mathrm{GL}_{n}$的闭$\mathbb{Z}$ -子群概型，且使得Lie环$\mathrm{Lie}(\mathbf{G})(\mathfrak{o})$是二次的.主要结果是分类的伴随轨道在$\mathrm{Lie}(\mathbf{G})(\mathfrak{o}_{r+1})$，其减少$\bmod\,\mathfrak{p}^{r}$包含$a\in\mathrm{Lie}(\mathbf{G})(\mathfrak{o}_r)$方面的减少$\bmod\mathfrak{p}$的稳定剂的$a$的$\mathbf{G}(\mathfrak{o}_r)$ -伴随作用。作为一个应用，这个结果被用来计算$\mathrm{SL}_{3}(\mathfrak{o})$的主同余子群的表示zeta函数.
On subgroup growth of iterated wreath products in product action
本文研究了通过迭代wreath产物在积作用下得到的hereditarily just infinite profinite群的子群增长类型，证明了存在任意子群增长类型的群。
Subgroups of a free group with every growth rate
该研究证明自由群$F_r$中存在增长率可取区间[1,2r-1]内任意值$α$的子群$H$。
Density of growth rates of subgroups of a free group -- an alternative proof
本文通过另一种证明方法，展示了自由群有限生成子群的增长率在特定区间内具有密集性。
Profinite groups in which the probabilistic zeta function has no negative coefficients
对于一个随机生成的profinite群$G$，一个形式狄利克雷级数$P_G(s)=\sum_{n \in \mathbb N} {a_n(G)}/{n^s}$是相关联的，其中$a_n(G)=\sum_{|G:H|=n}μ(H, G)$和$μ(H,G)$表示$G.$的开子群格的莫比乌斯函数它的形式逆$P_G^{-1}(s)$是$G$的概率zeta函数。当$G$是前可解的时，$(P_G(s))^{-1}$的所有系数都是非负的.本文讨论了一般情形，给出了一个非预可解的例子的存在性，并构造了一个具有相同性质的非预可有限生成群$G$.
Subnormal subgroups in free groups, their growth and cogrowth
本文作者（1）比较了自由群中有限集的次正规闭包，（2）证明了次正规闭包的指数增长性（例如r），也就是说，g（n）的n次根的极限对于自由群F的任何子群H都存在，其中g（n）是子群H关于F的有限自由基的增长函数;（3）给出了例如r的精确估计.（4）证明了F中自由自由群元的次正规次正规子群的共生性。
The subgroup growth spectrum of virtually free groups
对于一个有限生成群$Γ$，用$μ(Γ)$表示$Γ$的增长系数，即所有实数$d$上的下确界，使得$s_n(Γ)<n!^d$。证明了虚自由群的增长系数总是有理数，并且每个有理数都是某个虚自由群的增长系数。此外，我们描述了一个算法来计算$μ$。
Growth Rate Gap for Stable Subgroups
本文证明Morse局部到整体群的无限指数稳定子群具有严格小于环境群的增长率，推广了已有结果并移除了额外假设。
Zeta functions of $\mathbb{F}_p$-Lie algebras and finite $p$-groups
本文提出计算 $\mathbb{F}_p$-李代数 zeta 函数的通用蓝图方法，获得新例子的显式公式，并通过 Lazard 对应为指数 $p$ 的有限 $p$-群提供子群计数，探讨其与有限 $p$-群研究的联系。
On growth types of quotients of Coxeter groups by parabolic subgroups
本文主要研究既不是有限也不是仿射的Coxeter群$W$。de la Harpe的一个著名结果断言，这样的群具有指数增长性。本文利用$W$的抛物子群和某类反射子群来研究$W$的代数。我们发现这些变量也有指数增长性。为了实现这一点，我们使用戴尔定理构造一个反射子群的$W$是同构的通用Coxeter群上的三个发电机。这些结果都是在$W$的Coxeter图是简单的约束下证明的，并对如何放宽这一约束作了一些评论。
The relative exponential growth rate of subgroups of acylindrically hyperbolic groups
引入了有限生成群的一个新的不变量--模糊函数，证明了每个有限生成非圆柱双曲群都有一个线性有界的模糊函数.利用这一结果证明了：如果$H$包含$G$的斜驶元，则非圆柱双曲群$G$的子群$H$关于$G$的每个有限生成集$X$存在相对指数增长性率$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\vert B^{X}_H(n) \vert}$.进一步证明了直角Artin群$A_Γ$的每一个非线性生成子群$H$关于$A_Γ$的每一个有限生成集的相对指数增长性.
Representation growth of compact linear groups
研究了紧致李群和$\mathrm{SL}_n(\mathcal{O})$的表示增长，其中$\mathcal{O}$是紧致离散赋值环，以及$\mathrm{GL}_n(\mathcal{O})$的扭曲表示增长.这相当于一个研究的横坐标的收敛相应的（扭曲）表示zeta函数。我们确定了一类Mellin zeta函数的横坐标，其中包括Witten zeta函数。作为一个特例，我们得到了Larsen和Lubotzky定理的一个新的证明：Witten zeta函数的横坐标是$r/κ$，其中$r$是秩，$κ$是正根的个数.然后，我们表明，扭曲zeta函数的$\mathrm{GL}_n(\mathcal{O})$存在，并具有相同的横坐标收敛的zeta函数的$\mathrm{SL}_n(\mathcal{O})$，提供$n$不分$\text{char}\,{\mathcal{O}}$。当$\mathcal{O}$的剩余特征$p$为奇数时，计算了$\mathrm{GL}_2(\mathcal{O})$的扭曲zeta函数，当$p=2$为奇数时，对zeta函数进行了近似，得出横坐标为$1$ .最后，我们构造了$\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_q[[t]])$，甚至$q$的大部分表示，并推导出它的横坐标位于区间$[1,\,5/2]$。
Maximal subgroup growth of a few polycyclic groups
本文给出了两类多环群的严格极大子群增长性。令$G_k = \langle x_1, x_2, ..., x_k \mid x_ix_jx_i^{-1}x_j \text{ for all } i < j \rangle$。所以是$G_k = \mathbb{Z} \rtimes (\mathbb{Z} \rtimes (\mathbb{Z} \rtimes ... \rtimes \mathbb{Z})$。然后对所有的$k \geq 2$，精确地计算了$n$的$G_k$的极大子群个数$m_n(G_k)$.此外，对于形式为$\mathbb{Z}^2 \rtimes G_2$的无穷多个群$H_k$，我们精确地计算了$m_n(H_k)$。
A finitely generated branch group of exponential growth without free subgroups
我们将给出一个具有指数增长性但不包含任何非阿贝尔自由子群的分支群$G$的例子。这肯定地回答了来自\cite{Bartholdi}的问题16。证明演示了如何为任何$a,b \in G$构造非平凡字$w_{a,b}(x,y)$，使得$w_{a,b}(a,b) = 1$。群$G$不只是-无限的。证明了$G$的每个正规子群都是抽象群的逆生成子群，每个真商都是可解的.此外，$G$具有无限大的虚拟第一贝蒂数，但不是很大。
Subgroup growth of lattices in semisimple Lie groups
我们给出了算术群的同余子群增长的精确界。这使我们能够确定半单李群的不可约格的子群增长。在最一般的情况下，我们的结果依赖于数域的广义黎曼假设，但我们可以陈述以下无条件定理：设$G$是一个实秩至少为2的单李群，不同于$D_4(\bbc)$，并设$Γ$是$G$的任何非均匀格。令$s_n(Γ)$表示$Γ$中索引至多为$n$的子群的数目。则极限$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{\log s_n(Γ)}{(\log n)^2/ \log \log n}$存在并且等于常数$γ(G)$，该常数仅取决于$G$的Lie型并且可以容易地从其根系计算。
Detecting the growth of free group automorphisms by their action on the homology of subgroups of finite index
证明了：若F是一个n阶生成的自由群，且f：F -> F是一个d次多项式增长的自同构，则存在一个有限指数的特征子群S < F，使得S的阿贝尔化的诱导自同构也是d次多项式增长的.证明是几何性质的，并利用改进的相对训练轨道代表。
Ideal growth in amalgamated powers of nilpotent rings of class two and zeta functions of quiver representations
设$L$是特征为零或充分大正特征的紧致离散赋值环$A$上的第二类幂零代数.令$q$为$A$的剩余基数。$L$的理想zeta函数是枚举$L$的有限指标理想的Dirichlet级数。我们证明，有一个合理的功能$q$，$q^m$，$q^{-s}$，$q^{-ms}$给出理想的zeta函数的融合$m$副本$L$的派生子环，对于每个$m \geq 1$，直到一个明确的因素。更一般地说，我们证明了这一点的zeta函数的幂零表示类二定义的李和Voll，特别是狄利克雷级数计数分次子模块的分次$A$ -模块。如果代数$L$，或称代数表示，定义在$\mathbb{Z}$上，则我们得到一致合理性结果。
Maximal subgroup growth of some metabelian groups
令$m_n(G)$表示指数为$n$的$G$的极大子群的数目。给出了所有多环亚阿贝尔群$G$的极大子群增长度的上界（即，对于$\limsup \frac{\log m_n(G)}{\log n}$，为$m_n(G)$的多项式增长次数）。给出了达到这个上界的条件。对于$G = \mathbb{Z}^k \rtimes \mathbb{Z}$，其中$A \in GL(k,\mathbb{Z})$，它表明，$m_n(G)$的增长像一个多项式的次数等于在$A$的有理典范形的块的数目。该多项式的首项是最小块的特征多项式的不同根的数目（在$\mathbb{C}$中）。
Local functional equations for submodule zeta functions associated to nilpotent algebras of endomorphisms
给出了数域上自同态的幂零代数的子模zeta函数的一般局部函数方程的一个充分判据。这使我们，特别是，证明各种代数上的这种函数方程的理想zeta函数的幂零李格。通过Mal'cev对应，这些结果有关于zeta函数枚举任意类的生成幂零群中有限指数的正规子群的推论，特别是任意类的生成自由幂零群.
Normal zeta functions of small $\mathfrak{T}_2$-groups and their behaviour on residue classes
设$G$是一个二阶生成幂零无挠群.研究了G的正规子群的zeta函数在剩余类上的变化.特别是，我们表明，对于小这样的$G$的Hirsch长度小于或等于7，正常的zeta函数一般总是有理函数的剩余类。然后，我们表明，有赫希长度为8的正常zeta函数是不是一个有理函数的剩余类的群体的例子。我们观察到Higman的PORC猜想的连接。
Growth in higher Baumslag-Solitar groups
本文研究了由立方自同态$g\mapsto g^3$给出的$\mathbb{Z}^m$的HNN扩张，证明了这类群具有有理增长.为此，我们描述了一种方法来计算的horocyclic子群$\mathbb{Z}^m$在这个家庭的例子的子群增长系列，证明了所有的$m$的群体有合理的增长。在附录中，计算了所有$m \leq 10$的亚组增长序列。
Representation zeta functions of wreath products with finite groups
设G是一个群，对所有n，有有限个n维不可约复线性表示r_n（G）.设$ζ(G,s) = \sum_{n=1}^{\infty} r_n(G) n^{-s}$为其表示zeta函数。首先，设G是H与置换群Q作用在有限集合X上的置换圈积，我们利用H和Q的子群的zeta函数，以及与X在Q的子群下的轨道上的划分格有关的Moebius函数，建立了$ζ(G,s)$的公式.然后，我们考虑群W（Q，k），它们是Q的k重迭代圈积，以及几个相关的无限群W（Q），包括profinite群，局部有限群，和几个有限生成群，它们都同构于它们自身与Q的圈积。在适当的假设下（特别是Q是完全的），我们证明了r_n（W（Q））对所有n都是有限的，并建立了Dirichlet级数$ζ(W(Q),s)$有一个有限的正收敛横坐标s_0.此外，函数$ζ(W(Q),s)$满足一个涉及$ζ(W(Q),es)$的显著函数方程，其中e=1，.，|X|。因此，我们展示了一些性质的功能，特别是$ζ(W(Q),s)$有一个奇异性在s_0，在s_0的有限值，和Puietrix的扩展周围s_0。最后给出了60阶和168阶单群Q的数值计算.
Normal Subgroup Growth of Linear Groups: the (G2; F4;E8)-Theorem
设G是一个有限生成群，Mn（G）是它的指数不超过n的正规子群的个数.对于线性群G，我们证明了M_n（G）在n中多项式增长的唯一条件是G的Zerkiki闭包的半单部分只具有G2，F4或E8型的单分支（在这种情况下确实会发生这种情况！）
The expected number of elements to generate a finite group with $d$-generated Sylow subgroups
给定一个有限群$G,$，令$e(G)$是在找到一组生成元之前随机抽取的$G$元素的期望个数，如果$G$的所有Sylow子群都可以由$d$元素生成，则$e(G)\leq d+κ$与$κ\sim 2.75239495.$ $κ$的个数用黎曼zeta函数明确描述，并且是最佳可能的。如果$G$是次数为$n,$的置换群，则$G=S_3$和$e(G)=2.9$或$e(G)\leq \lfloor n/2\rfloor+κ^*$和$κ^* \sim 1.606695.$
Growth rates, stable subgroups, and regular languages
证明有限生成群中稳定子群的测地线语言是正则的，并存在双射子语言，从而导出其增长函数为有理函数，并应用于多种群类，同时给出稳定子群成员问题不可解的例子。
Synchronization points: growth, asymptotics, congruences, and the synchronization zeta function
本文研究了同步点的增长、渐进行为及同余关系，引入同步ζ函数并探讨其与拓扑熵和Reidemeister束缚的联系。
Representation zeta functions of split extensions of $SL_2^m(O)$
本文研究了SL₂^m(O)分裂扩展的表示ζ函数，证明其可分解为原群和扩展相关的ζ函数乘积，并计算了两类无限族扩展的ζ函数。
A family of class-2 nilpotent groups, their automorphisms and pro-isomorphic zeta functions
一个广义生成的幂零群$Γ$的准同构zeta函数是一个Dirichlet生成函数，它枚举了有限指数子群，其准有限完备化与$Γ$的准有限完备化同构。这样的zeta函数可以表示为在与$Γ$相关联的代数自同构群的$p$-adic点上的$p$-adic积分的欧拉积。这样，它们就与局部域上代数群的经典zeta函数密切相关。我们描述了一类自然的$2$类幂零群的代数自同构群，这些群可以看作是奇Hirsch长度的$D^*$ -群的推广.一般的$D^*$ -群，即具有中心Hirsch长度$2$的“不可分解”的无挠类- $2$幂零群，被Grunewald和Segal分类为可分解的。我们计算的本地亲同构的zeta函数，我们的群体，并获得，特别是，明确的公式与$D^*$ -奇数Hirsch长度的群的本地亲同构zeta函数。从这些，我们推导出本地函数方程，为全球zeta函数，我们描述了收敛的横坐标，并找到亚纯连续。证明了二类幂零群的准同构zeta函数的收敛横坐标谱包含无穷多个聚点。例如，确定了奇Hirsch长度的$D^*$ -群的前同构zeta函数的全局收敛横坐标，并得到了聚点$6$ .
Product set growth in virtual subgroups of mapping class groups
本文研究拟树和双曲空间上非圆柱作用群的乘积集增长，证明映射类群有限对称子集在无无限中心有限指数子群条件下呈指数增长，并推广到虚子群及直角 Artin 群等 virtually special 群。
Characteristic Subgroup Growth
本文研究有限生成自由群的特征子群计数函数增长，证明其增长类型为 n^{log n}，否定了 Thurston 关于 r=2 与 r>2 差异的猜想，并解答了相关正规子群增长问题。
Portrait growth in contracting, regular branch groups
我们解决一个问题Grigorchuk通过提供一个系统的递归公式和一个渐近结果的肖像增长的第一Grigorchuk组。这些结果是通过分析群的分支子群结构的一些特征得到的。更一般地说，我们提供了递归公式的纵向增长的任何numbergenerated，收缩，定期分支组，根据陪集分解的组，是较高的分支子群结构的较低的子群。使用相同的一般方法，我们充分描述了所有非对称GGS-组和阿波罗组的肖像增长。
Growth Gaps for Quotients by Confined Subgroups
研究具有统计凸紧作用群中受限子群商的增长间隙问题，通过特定方法建立间隙，并探讨其在一致递归子群的应用。
Lower bound on growth of non-elementary subgroups in relatively hyperbolic groups
本文证明了在非初等相对双曲群中，任意非初等子群的对数增长率都有一个由相应生成集大小的对数决定的线性下界.因此，任何非初等子群都具有一致的指数增长性。
Dynamical zeta functions of Reidemeister type and representations spaces
在本文中，我们继续研究Reidemeister zeta函数。我们证明了Pólya -卡尔森二分法之间的合理性和自然边界的Reidemeister zeta函数的分析行为的一大类自同构的阿贝尔群。我们还研究了动态表示论zeta函数计数的固定不可约表示的自同态迭代。对几类群证明了这些zeta函数的合理性和函数方程。我们发现这些zeta函数和相应的映射环面的Reidemeister扭转之间的连接。在子群和商群的自同态约束下，我们建立了Reidemeister zeta函数和动力学表示论zeta函数之间的联系.
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