Constructing expander graphs by 2-lifts and discrepancy vs. spectral gap
我们提出了一个新的显式构造的扩展图的近最佳谱隙。建筑是基于一系列的2电梯操作。设$G$是以$n$为顶点的图。$G$的2-提升是$2n$顶点上的图$H$，具有覆盖映射$π:H \to G$。不难看出，$G$的所有特征值也是$H$的特征值。此外，$H$具有$n$ "新“特征值。我们猜想每个$d$ -正则图都有一个2-提升，使得所有新的特征值都在$[-2\sqrt{d-1},2\sqrt{d-1}]$的范围内（如果是真的，这是紧的，例如Alon-Boppana界）。在这里，我们表明，每个图的最大程度$d$有一个2-提升，使所有的“新”的特征值是在范围$[-c \sqrt{d \log^3d}, c \sqrt{d \log^3d}]$为一些常数$c$。这导致了构造任意大的$d$ -正则图的多项式时间算法，具有第二特征值$O(\sqrt{d \log^3 d})$。证明使用以下引理：设$A$是实对称矩阵，使得$A$中每行的$l_1$范数至多为$d$。让$α= \max_{x,y \in \{0,1\}^n, supp(x)\cap supp(y)=\emptyset} \frac {|xAy|} {||x||||y||}$。则对于某个普适常数$c$，$A$的谱半径至多为$c α\log(d/α)$。这个引理的一个有趣的推论是扩展混合引理的逆。
2004-04-08 math.CO
Eigenvalues of random lifts and polynomials of random permutation matrices
本文证明独立随机置换在正交补空间上渐近强自由，并由此推出随机提升的非平凡特征值以高概率达到Alon-Boppana界，推广了Friedman定理，且结果可扩展至张量积，适用于量子扩展器。
2023-06-23 math.CO math.OA math.PR
On factored lifts of graphs and their spectra
本文提出因子提升概念以推广提升图，并给出计算其特征值与特征空间的新方法。
2024-04-02 math.CO
The Relativized Second Eigenvalue Conjecture of Alon
我们证明了一个相对化的阿隆第二特征值猜想的所有$d$ -正则基图，$B$，与$d\ge 3$：对于任何$ε>0$，我们表明，一个随机覆盖地图的程度$n$到$B$有一个新的特征值大于$2\sqrt{d-1}+ε$的绝对值的概率$O(1/n)$。此外，如果$B$是一个Ramanujan图，我们表明，这种概率是成比例的$n^{-{η_{\rm \,fund}}(B)}$，其中${η_{\rm \,fund}}(B)$是一个整数依赖于$B$，它可以计算出任何固定的$B$的有限算法。对于任何$d$ -正则图，$B$，${η_{\rm \,fund}}(B)$大于$\sqrt{d-1}$ .我们的证明引入了许多想法，简化和加强了弗里德曼对阿隆原始猜想的证明方法。最重要的新思想是“认证跟踪”，这不仅大大简化了我们的跟踪方法，而且是我们可以获得上述$n^{-{η_{\rm \,fund}}(B)}$估计的原因。这个估计代表了一个改进的Friedman的结果，原来的Alon猜想的随机$d$ -正则图，对于某些值的$d$。
2014-03-13 cs.DM math.CO
On the Relativized Alon Second Eigenvalue Conjecture III: Asymptotic Expansions for Tangle-Free Hashimoto Traces
这是第三次在一系列的文章致力于表明，一个典型的覆盖地图的大程度上一个固定的，经常图有其新的邻接特征值范围内的阿隆所确定的随机定期图。本文考虑固定基图的大度随机覆盖图$n$的随机图。证明了对于长度为$k$的严格非回溯闭游动数的期望值乘以图不含某些{ \em缠结}的指示函数，在$1/n$中存在渐近展开;并证明了这些展开式的系数是$k$的“好函数”，即近似等于$k$中的多项式乘以$k$的指数函数的和。我们的结果使用了Friedman解决Alon猜想的方法，并结合了本系列文章第二篇的结果。与Friedman以前的方法相比，本文中的一个简化是本文中使用的“正则化迹线”，我们称之为{ \em认证迹线}，比以前使用的{ \em选择性迹线}更容易定义和使用。
2019-11-13 cs.DM math.CO
The SDP value for random two-eigenvalue CSPs
我们精确地确定了某些类型的约束满足问题，“两特征值2CSP”的大随机实例的SDP值（等价地，量子值）。我们发现这个SDP值与谱弛豫值相吻合，可能表明一个计算阈值。我们的分析扩展了以前解决的随机规则$\mathsf{2XOR}$和$\textsf{NAE-3SAT}$的情况下，并包括新的情况下，如随机$\mathsf{Sort}_4$（相当于，$\mathsf{CHSH}$）和$\mathsf{Forrelation}$ CSP。我们的技术包括新的概括的nonbacktracking算子，Ihara-巴斯公式，和弗里德曼/Bordenave证明阿隆猜想。
2019-06-16 cs.CC cs.DM cs.DS
On the Expansion of Group-Based Lifts
$n$ -顶点基图$G$的$k$ -提升是$n\times k$顶点上的图$H$，其中$G$的每个顶点$v$由$k$顶点$v_1,\cdots{},v_k$代替，并且$G$中的每个边$(u,v)$由表示双射$π_{uv}$的匹配代替，使得$H$的边具有$(u_i,v_{π_{uv}(i)})$的形式.升降机已被研究作为一种手段，以有效地构建扩张器。在这项工作中，我们研究电梯获得的群体和群体行动。我们通过基础群的表示论原理推导出这种提升的谱。我们的主要结果是：（1）存在一个常数$c_1$，使得对于每个$k\geq 2^{c_1nd}$，不存在任何$n$ -顶点$d$ -正则基图的交换$k$ -提升$H$，且$H$几乎是Ramanujan（邻接矩阵的非平凡特征值的大小至多为$O(\sqrt{d})$）.这可以看作是一个类似的著名的无膨胀结果的阿贝尔凯莱图。(2)在任意$n$ -顶点$d$ -正则基图$G$的$k$阶循环群中，当$G$的邻接矩阵的非平凡特征值在大小上以$λ$为界时，一致随机提升有新的非平凡特征值也以概率$1-ke^{-Ω(n/d^2)}$在大小上以$λ+O(\sqrt{d})$为界.特别地，存在一个常数$c_2$，使得对于每一个$k\leq 2^{c_2n/d^2}$，在一个$k$阶循环群中存在每一个Ramanujan图的提升$H$，且$H$几乎是Ramanujan图.利…
2016-12-17 cs.DM math.CO
Esthetic Numbers and Lifting Restrictions on the Analysis of Summatory Functions of Regular Sequences
当在Allouche和Shallit的意义下渐近分析$q$ -正则序列的求和函数时，序列的线性表示的矩阵之和的特征值决定了渐近公式的“形状”（特别是增长）。现有的一般结果，用于确定精确的行为（包括出现的波动的傅里叶系数），以前受到限制的技术条件，这些特征值。这项工作的目的是解除这些限制，同时提供一个有见地的证明基于生成函数的主要伪Tauberian定理。(This定理是克服Mellin-Perron求和在渐近分析中的收敛问题的关键成分。一个例子进行了更详细的讨论：一个精确的渐近公式的审美数的数量在第一个~ $N$自然数。在此之前，只有这些数字的渐近量与给定的数字长度是已知的。
2018-10-29 math.CO
The Spectral Norm of Random Lifts of Matrices
研究了矩阵随机提升的谱范数。给定一个$n\times n$对称矩阵$A$，以及一个在$k\times k\ (k\ge 2)$对称矩阵上的中心分布$π$，其谱范数至多为$1$，令矩阵随机提升$A^{(k,π)}$为随机对称$kn\times kn$矩阵$(A_{ij}X_{ij})_{1\le i < j \le n}$，其中$X_{ij}$是来自$π$的独立样本。我们证明了$$\mathbb{E} \|A^{(k,π)}\|\lesssim \max_{i}\sqrt{\sum_j A_{ij}^2}+\max_{ij}|A_{ij}|\sqrt{\log (kn)}.$$这个结果可以被看作是现有的谱界的独立项的随机矩阵的扩展，提供了进一步的情况下，乘法$\sqrt{\log n}$因子的非交换Khintchine不等式可以删除。作为我们的结果的一个直接应用，我们证明了一个新的特征值的随机$k$ -升降机的固定$G = (V,E)$与$|V| = n$和最大程度$Δ$的$2(1+ε)\sqrtΔ+O(\sqrt{\log(kn)})$的上界，相比以前的结果$O(\sqrt{Δ\log(kn)})$ Oliveira和最近的突破，由Bordenave和柯林斯这给$2\sqrt{Δ-1} + o(1)$作为$k\rightarrow\infty$的$Δ$ -正则图$G$。
2021-06-01 math.CO math.PR
A new type of spectral mapping theorem for quantum walks with a moving shift on graphs
传统的谱映射定理的量子行走只能适用于行走采用移位算子的平方是单位元。该定理通过将诱导自伴矩阵$T$的特征值提升到复平面上的单位圆上，给出了时间演化矩阵$U$的大部分特征值.我们得到了有限图上立方为单位元的移位算子的Grover行走的一个新的谱映射定理。此外，我们可以考虑具有这样的移位算子的量子行走的图的特征在于三角剖分。本文称这类图为可三角化图。我们的谱映射定理与传统的谱映射定理的区别之一是将$T-1/2$的特征值提升到单位圆上给出了$U$的大部分特征值。
2021-03-09 math.CO quant-ph
Expansion of Random Graphs: New Proofs, New Results
我们提出了一种新的方法来证明随机图是近最优的扩展。这种方法是基于组合群论中最近的深入结果。它适用于规则和不规则的随机图。设G是n阶随机d-正则图，λ是G的邻接矩阵的非平凡特征值的最大绝对值. Alon [86 ']证明了随机d-正则图几乎是Ramanujan图，在以下意义下：对任意e>0，λ<2 \sqrt{d-1} + e渐近几乎必然.弗里德曼在[08 ']中提出了这个猜想的著名证明。在这里，我们提出了一个新的，相当简单的证明：我们证明了随机d-正则图满足λ< 2 \sqrt{d-1} + 1 a.a.s.我们的方法的一个主要优点是，它是适用于一个广义的猜想：对于d even，一个d-正则图在n个顶点是一个n-覆盖空间的一束d/2回路。更一般地，固定任意基图H，我们研究G（H的随机n-覆盖）的谱。设λ是G的一个非平凡特征值的最大绝对值.弗里德曼将阿隆的猜想扩展到这个更一般的模型，推测对于每个e>0，a.a.s.λ< ρ+e，其中ρ是H的泛覆盖的谱半径.当H是正则的时，我们得到ρ +0.84的上界，对于任意的H，我们证明了\sqrt{3} ρ的一个近似最优上界.这是对所有已知结果（Friedman，Linial-Puder，Lubetzky-Sudakov-Vu和Addario-Berry-Griffiths）的实质性改进。
2015-08-21 math.CO math.GR math.PR
Semidefinite programming and eigenvalue bounds for the graph partition problem
图划分问题是将图的顶点集划分为固定数量的给定大小的集合，使得连接不同集合的边的权重之和最优化的问题。在本文中，我们简化了一个已知的矩阵提升半定规划松弛的图划分问题的几类图，也显示了如何聚合额外的三角形和独立集的限制，对称图。给出了强正则图的图划分问题的特征值界，推广了均分问题的类似结果。对于某些Johnson图和Kneser图，我们还导出了图划分问题的一个线性规划界.使用我们所谓的拉普拉斯代数的一个图，我们得出的特征值界的图划分问题，这是第一个已知的封闭形式的界限，适用于任何图形，从而扩展了一个众所周知的结果，在谱图论。最后，我们加强了一个已知的半定规划松弛的一个特定的二次指派问题和上述矩阵提升半定规划松弛通过添加两个约束，对应于分配两个顶点的图的不同部分的分区。当其他松弛提供弱或平凡的界限时，这种加强在高度对称图上表现良好。
2015-03-20 math.CO math.OC
Arbitrary Spectral Edge of Regular Graphs
Harvard University（哈佛大学）；Stanford University（斯坦福大学）
该研究证明了d≥3、k≥2时d-正则图序列前k个特征值的极限点集，证实了Alon和Wei的猜想，通过推广随机正则图分布的无限随机图及相关定理证明完成推导。
2024-12-12 math.CO math.SP
The Distribution of the Largest Non-trivial Eigenvalues in Families of Random Regular Graphs
最近弗里德曼证明了阿隆猜想的许多家庭的d-正则图，即任何给定的0> 0的“大多数”图有其最大的非平凡特征值至多2 sqrt{d-1}+ numb的绝对值;如果最大的非平凡特征值的绝对值是至多2 sqrt{d-1}然后该图被称为拉马努金。这些图在通信网络理论中有着重要的应用，可以用来建造超集中器和无阻塞网络，编码理论和密码学。由于许多这些应用程序依赖于最大的非平凡的正和负特征值的大小，这是很自然的调查他们的分布。我们表明，这些都是很好的模拟β =1 Tracy-Widom分布的几个家庭。如果观察到的平均值和标准差的增长率作为顶点数的函数在极限内成立，那么在极限内，大约52%的来自二分族的d-正则图应该是Ramanujan的，大约27%的来自非二分族的d-正则图应该是Ramanujan的（假设最大的正特征值和负特征值是独立的）。
2008-03-11 math.CO
Eigenvalue Bounds for Random Matrices via Zerofreeness
本文提出基于 Jensen 公式与特征多项式无零点性的非渐近方法，为 Girko、Wigner 矩阵及随机正则图邻接矩阵给出常数概率下紧至常数的特征值界。
2025-09-29 math.CO math.PR
Words Maps and Spectra of Random Graph Lifts
我们从正式词汇的新分析开始。设w是一个正式的单词，用字母g_1，...，g_k。与w相关联的词映射映射排列s_1，.，S_n中的s_k到通过对每个i用s_i替换w中的g_i的每次出现而获得的置换。当s_i是均匀随机选取的时，我们研究了在这个排列中计数不动点的随机变量X_w^n.我们工作的一个主要组成部分是一个新的词的分类，大大扩展了原始与非原始词的二分法。我们建立了一些结果，并对期望E（X_w^n）与这一新的范畴化之间的关系作了一些说明。这一分析对我们研究图的随机提升的谱有很大的贡献。设G是一个连通图，无限树T是它的泛覆盖空间.如果L和R分别是G和T的谱半径，则如J. Friedman所示，对于G的几乎每个n-提升H，H的所有“新”特征值都< O（L^（1/2）R^（1/2））。我们将这个上界改进为O（L^（1/3）R^（2/3）），并且我们前面提到的结构提供了一种可能的方法来证明O（R）的上界.这是随机二维正则图第二特征值定界问题的推广。作为题外话，我们得到了A. Nica，它确定，对于每个固定的w，极限分布（作为n \to \infty）的X_w^n。这个定理的一个令人惊讶的方面是，答案只取决于最大的整数d，因此对于某个单词u，w=u^d。
2009-03-07 math.CO
Obstructions and kernel transport for Hecke lifts of partition q-brackets
Stanford Online High School（斯坦福在线高中）
研究通过划分q-括号提升拟模形式的level-1 Hecke作用，证明无精确提升是乘性的或满足严格Q2-塔条件，通过核作用和Hecke上循环分类固定权重的精确提升，并推导核传输与谱可除性结论。
2026-07-20 math.CO math.NT
Perfecting the Line Graph
本文研究了双重边阶段提升结构，证明其在特定条件下具有完美、无爪和盒完美性质，并给出了正则情况下的谱公式及非双色输入的谱间隙控制。
2026-04-17 math.CO
Norm Bounds for Sparse Random Tensors and Spectral Gap of Random Hypergraphs
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
研究\(n\)个顶点上\(r\)均匀埃尔德什 - 雷尼超图谱隙问题，通过显式分解相关选择过程克服技术挑战，得到稀疏随机张量改进范数界，并在矩等价假设下将随机矩阵结果扩展到张量。
2026-07-09 cs.DM math.CO math.PR
Cheeger Inequalities for Directed Graphs and Hypergraphs Using Reweighted Eigenvalues
University of Waterloo（滑铁卢大学）
我们推导出Cheeger不等式的有向图和超图使用的加权特征值的方法，最近开发的顶点扩张无向图[OZ22，KLT22，JPV22]。目标是开发有向图的新谱理论和超图的替代谱理论。第一个主要结果是一个Cheeger不等式，它将有向图$G$的顶点扩展$\vecψ(G)$与顶点容量限制的最大加权第二特征值$\vecλ_2^{v*}$联系起来：\[ \vecλ_2^{v*} \lesssim \vecψ(G) \lesssim \sqrt{\vecλ_2^{v*} \cdot \log (Δ/\vecλ_2^{v*})}. \]这提供了一个由顶点扩展得到的有向图的最快混合时间的组合特征，并建立了有向图的加权特征值、顶点扩展和最快混合时间之间的新联系。第二个主要结果是将有向图$G$的边电导$\vecϕ(G)$与边容量限制的最大重加权第二特征值$\vecλ_2^{e*}$相关联的更强的Cheeger不等式：\[ \vecλ_2^{e*} \lesssim \vecϕ(G) \lesssim \sqrt{\vecλ_2^{e*} \cdot \log (1/\vecλ_2^{e*})}. \]这为有向图提供了作为扩展器的证书和在有向图中找到稀疏切割的谱算法，在证明图的扩展和无向图的谱划分算法中，扮演着与Cheeger不等式类似的角色。我们还利用这种重加权特征值方法导出了有向图的改进的Cheeger…
2022-11-17 cs.DM cs.DS cs.LG
Extremal spectral behavior of weighted random $d$-regular graphs
本文研究带随机边权重的随机 $d$-正则图，刻画极值谱随边权尾部的相变，并证明极值特征向量局部化。
2023-06-06 cs.DM math.CO math.PR
Tight bounds for positive discrepancy via eigenvalues
EPFL（洛桑联邦理工学院）；Umeå University（于默奥大学）；Trinity College, University of Cambridge（剑桥大学三一学院）
通过特征值引理证明正偏差的紧下界，改进最大割、二分宽度和偏差结果，并证实Räty-Sudakov-Tomon猜想。
2026-10-14 math.CO
Equitable partitions for Ramanajun graphs
对于d-正则图G，如果邻接矩阵的绝对特征值至多为2 \sqrt{d-1}，则称边符号σ：E（G）\rightarrow {-1，1}是好符号. Bilu-Linial证明了每个正则图都存在一个好的符号。本文利用“公平分割”的概念，解决了某些情形下的双线性猜想。给出了特殊完全图和两个图的字典积的一个好的符号。特别地，如果图G存在两个好的符号，那么我们可以为图G的一个2-提升找到一个好的符号。
2021-07-31 math.CO
