Rescaling nonlinear noise for 1D stochastic parabolic equations
B. Goldys, M. Neklyudov
本文证明了当噪声在过程的极值点重新标度时，带加性噪声的一维随机抛物型方程的解收敛于一个鞅（与空间变量无关）。
In this paper we will show that the solution of 1D stochastic parabolic equation with additive noise converges to a martingale (independent upon space variable) when we rescale noise at the extremum points of the process.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Blowup solutions for stochastic parabolic equations
在这篇短文中，我们研究了随机抛物型方程的爆破现象。利用比较原理和确定性抛物型方程的结果，得到了随机抛物型方程解的爆破结果。
An L_p-theory of stochastic parabolic equations with the random fractional Laplacian driven by Lévy processes
本文给出了具有随机分式Laplacian算子的随机抛物型方程的$L_p$ -理论。驱动噪声是一般的Lévy过程。
Covariance structure of parabolic stochastic partial differential equations
本文考虑了抛物型随机偏微分方程和由Wiener过程驱动的抛物型随机偏微分方程。导出了抛物型随机偏微分方程解的二阶矩和协方差的确定性张量化发展方程。建立了该张量化方程的时空弱变分形式的适定性。
Parabolic scaling of a stochastic wave map with co-normal noise: limit and fluctuations
本文研究受余法型乘性高斯噪声扰动的阻尼随机波映射，证明其抛物缩放极限为调和映射热流，并给出涨落的弱中心极限定理。
A new McKean-Vlasov stochastic interpretation of the parabolic-parabolic Keller-Segel model: The one-dimensional case
本文分析了一维无截断抛物-抛物Keller-Segel系统的随机解释。它涉及一个原始类型的McKean-Vlasov相互作用内核。在粒子层次上，每个粒子通过一个包含奇异核的时间积分泛函与其他粒子的所有过去相互作用。在这里研究的平均场水平上，McKean-Vlasov极限过程以类似的奇异方式与其概率分布的所有过去时间边缘相互作用。证明了在整个欧几里得空间中抛物-抛物型Keller-Segel系统及相应的McKean-Vlasov随机微分方程对模型参数的任意值都是适定的.
Large deviations for quasilinear parabolic stochastic partial differential equations
本文建立了带乘性噪声的拟线性抛物型随机偏微分方程的Freidlin-Wentzell大偏差，这类方程既不是单调的，也不是局部单调的.证明是基于弱收敛方法。
On the small time asymptotics of quasilinear parabolic stochastic partial differential equations
本文建立了带乘性噪声的拟线性抛物型随机偏微分方程的小时间大偏差原理，该原理既不是单调的，也不是局部单调的。
Blow-up of stochastic semilinear parabolic equations driven by Lévy noise
针对加性与线性乘性Lévy噪声驱动的随机半线性抛物方程，本文改进随机情形下的凹性方法，证明了有界区域上系统解的爆破现象。
Riemann integral of a random function and the parabolic equation with a general stochastic measure
对于一般随机测度驱动的随机抛物型方程，得到了其弱解.方程中随机函数的积分被认为是黎曼积分和的概率极限。本文研究了这类积分的基本性质。
Backward uniqueness of stochastic parabolic like equations driven by Gaussian multiplicative noise
本文证明了随机半线性抛物型方程和线性乘性高斯噪声驱动的驯服Navier-斯托克斯方程解的向后唯一性。给出了具有初始控制器的非线性随机抛物型方程的逼近能控性的应用。证明的方法依赖于对数凸性的属性，已知的持有的解决方案，线性发展方程在希尔伯特空间与自伴主部。
Probabilistic representation of parabolic stochastic variational inequality with Dirichlet-Neumann boundary and variational generalized backward doubly stochastic differential equations
本文在非Lipschitz条件下证明了一类广义倒向双随机微分方程解的存在唯一性，并据此给出具有Dirichlet-Neumann边界条件的抛物型随机变分不等式的随机粘性解概率表示。
The effect of noise intensity on stochastic parabolic equations
本文讨论了噪声强度对随机抛物型方程解的影响。研究了噪声对随机抛物型方程能量解的影响。利用伊藤公式和能量估计方法，得到了能量解$u$在任意有限时刻$t$的激发指数.此外，我们改进了文献中的某些现有结果，提出了一个非常简单的方法来显示这些现有的结果。
Stochastic models for fully coupled systems of nonlinear parabolic equations
我们构建了一个概率表示的一个系统的完全耦合的抛物型方程所产生的模型描述的空间隔离的相互作用的人口物种。我们推导出一个封闭的随机方程组，使得它的解决方案可以获得一个概率表示的弱解的柯西问题的PDE系统。相应的随机系统是以描述非线性马尔可夫过程及其乘性泛函的随机方程组的形式给出的。
$L^{p}$ Theory for Super-parabolic Backward Stochastic Partial Differential Equations in the Whole Space
研究了超抛物型半线性倒向随机偏微分方程（简称BSPDE）。本文分别对$p\in (1,2]$和$p\in (2, \infty)$的情形，给出了BSPDE的Cauchy问题的$L^p$ -理论.还讨论了一个比较定理。
Accelerated finite elements schemes for parabolic stochastic partial differential equations
对于一类线性随机抛物型偏微分方程的有限元逼近，证明了用Richardson外推法可以加快收敛速率。更确切地说，通过采取适当的混合有限元近似，可以加速收敛到任何给定的速度，提供的系数，初始和自由数据是足够光滑的。
Non-uniqueness for non-negative solutions of parabolic stochastic partial differential equations
建立了抛物型随机偏微分方程$$\frac{\partial X}{\partial t}=\fracΔ{2}X+X^p\dot W+ψ,\ X_0\equiv 0$$的非负解的路径非唯一性，其中$\dot W$是白噪声，$ψ\ge 0$是光滑的、紧支撑的和非平凡的，而$0<p<1/2$ .我们进一步证明了任何解在0函数处花费正时间。
Strong convergence rate in averaging principle for stochastic hyperbolic-parabolic equations with two time-scales
本文研究了具有两个时间尺度的随机双曲-抛物型方程的平均原理，其中快、慢分量均受乘性噪声扰动。特别是，我们证明了慢分量的平均动力学的强收敛速度是为了$1/2$，这显着提高了我们以前的工作中建立的顺序$1/4$。
Extended Backward Stochastic Volterra Integral Equations, Quasilinear Parabolic Equations, and Feynman-Kac Formula
建立了倒向随机Volterra积分方程（简称BSVIEs）与一类非局部拟线性（可能退化）抛物型方程之间的关系.首先介绍了广义后向随机Volterra积分方程（EBSVIEs，简称EBSVIEs）。在适当的条件下，我们建立了EBSVIEs的适定性，并利用Malliavin演算得到了EBSVIEs适应解的一些正则性结果。我们证明了用EBSVIEs的解表示的给定函数可解一类非局部抛物型偏微分方程（PDE），推广了Pardoux{Peng [21]中著名的非线性Feynman-Kac公式.
Strict solutions to stochastic parabolic evolution equations in M-type 2 Banach spaces
研究M-2型巴拿赫空间中随机线性发展方程$dX+A(t)Xdt=F(t)dt+ G(t)dw_t$。基于确定性线性发展方程的理论，我们构造了方程的唯一严格解。抽象结果应用于随机扩散方程。
Covariance structure of parabolic stochastic partial differential equations with multiplicative Lévy noise
本文研究了一类随机偏微分方程解过程的协方差函数在抛物型乘性Lévy噪声下的特征。对于温和解的二阶矩，导出了射影张量积空间和内射张量积空间上的适定的确定性时空变分问题，进而导出了协方差函数的确定性方程.
Stochastic parabolic evolution equations in M-type 2 Banach spaces
研究M-2型巴拿赫空间中带加性噪声的随机抛物型发展方程。我们构造严格和温和的解决方案具有很强的可伸缩性。首先，我们考虑线性情况。我们证明了严格解和温和解的存在唯一性，并给出了它们的最大解。第二，我们探讨半线性的情况。证明了弱解和严格解的存在性、唯一性和正则性。研究了温和解对初始值的正则依赖性。最后，给出了随机偏微分方程的一些应用。
Strong invariance and noise-comparison principles for some parabolic stochastic PDEs
我们考虑整数格点上的相互作用扩散系统。通过让网格步长为零，并通过使用一个适当的缩放，我们表明，该系统收敛（在很强的意义上）的随机热方程的解决方案的实数线。作为结果，我们得到了具有不同非线性项的随机热方程的乘积矩的比较不等式。
Well-posedness of stochastic parabolic equations with gradient nonlinearities and applications to phase-field models
基于临界空间中的最大正则性框架，通过分别控制漂移和噪声系数，扩展了随机抛物型方程的适定性结果，并应用于相场模型的全局适定性。
Average principles for forward-backward multivalued stochastic systems and homogenization for systems of nonlinear parabolic PDEs
本文针对前向-后向多值随机系统，在L^2p和L^2意义下分别证明了一般随机微分方程和后向随机变分不等式的平均原理，并应用于非线性抛物型偏微分方程的均匀化。
On the convergence of stochastic transport equations to a deterministic parabolic one
研究了带乘性空时不定常噪声的随机输运线性方程（STLE）.结果表明，在适当的假设下的噪声，乘法重整化导致STLE的解决方案收敛到一个确定性的抛物型方程的解决方案。讨论了STLE解的存在唯一性。我们的方法工作在尺寸$d\geq 2$的情况下$d=1$也进行了调查，但没有得到结论性的答案。
Time inhomogeneous Stochastic Differential Equations involving the local time of the unknown process, and associated parabolic operators
在本文中，我们研究了时间非齐次形式的一维随机微分方程（随机微分方程），它涉及曲线上未知过程的局部时。在温和的假设下证明了这些问题的存在性和唯一性之后，我们探索了它们与具有传输条件的抛物微分方程（PDE）的联系。我们研究了这类偏微分方程解的正则性，并证明了Feynman-Kac表示公式的有效性。然后，这些结果被用来描述这些时间非齐次马尔可夫费勒过程的解决方案。
Random attractors via pathwise mild solutions for stochastic parabolic evolution equations
我们研究了具有依赖于时间和潜在概率空间的微分算子的随机偏微分方程（SPDE）的长期行为。特别地，我们考虑了带加性噪声的巴拿赫空间中的随机抛物发展问题，证明了随机指数吸引子的存在性。这些是有限分形维数的紧凑随机集，包含全局随机吸引子，并以指数速率吸引。为了应用随机动力系统的框架，我们使用路径温和的解决方案的概念。这种方法是必不可少的，因为随机发展方程不能通过平稳的Ornstein-Uhlenbeck过程转化为一个家庭的随机系数的偏微分方程。
Large Deviations for a Class of Parabolic Semilinear Stochastic Partial Differential Equations in Any Space Dimension
在$C\big([0,T]:L^ρ(D)\big)$中证明了一类乘性噪声驱动的抛物型半线性随机偏微分方程解的大偏差原理，其中具有$d\geqslant 1$的$D\subset {\mathbb R}^d$是一个具有光滑边界的有界凸区域，$ρ$是任意实数、正数和足够大的数.该方程具有任意阶多项式增长的非线性项，空间变量为任意维数，证明是基于弱收敛方法。
Averaging principle and normal deviations for multi-scale stochastic hyperbolic-parabolic equations
研究了具有慢和快时间尺度的随机双曲型抛物型方程的渐近性态。建立了平均原理的强收敛性和弱收敛性，并将其视为一个泛函大数定律。然后我们研究了原系统围绕其平均方程的随机涨落。证明了归一化差分弱收敛于线性随机波动方程的解，这是泛函中心极限定理的一种形式。利用希尔伯特空间中的泊松方程，给出了上述收敛性的统一证明.此外，尖锐的收敛速度得到，这是不依赖于在方程中的系数的快变量的规律性。
On strongly Petrovskii's parabolic SPDEs in arbitrary dimension and the stochastic Cahn-Hilliard equation
在本文中，我们证明了Cahn-Hilliard随机SPDE有一个函数值的解决方案时，驱动的空间相关的高斯噪声的扰动。这是证明一般结果的SPDE与全球Lipschitz系数与运营商的光滑域上的$\mathbb{R}^d$是抛物线的意义上的彼得罗夫斯基}，并不一定定义一个半群的运营商。我们研究了解的轨线的正则性以及在给定的时间和位置上的绝对连续性。
A weighted Sobolev space theory of parabolic stochastic PDEs on non-smooth domains
本文研究了定义在任意有界区域$\cO \subset \bR^d$上的抛物型随机偏微分方程满足Hardy不等式：$$ \int_{\cO}|ρ^{-1}g|^2\,dx\leq C\int_{\cO}|g_x|^2 dx, \quad \forall g\in C^{\infty}_0(\cO), $$其中$ρ(x)=\text{dist}(x,\partial \cO)$ .在加权Sobolev空间$\frH^γ_{p,θ}(\cO,T)$中给出解的存在唯一性结果，其中$p\in [2,\infty)$，$γ\in \bR$是解的导数个数，$θ$控制解的边界表现.此外，还得到了解的几个Hölder估计。允许方程的系数在边界附近爆炸。
On the Cauchy problem for stochastic parabolic equations in Hölder spaces
本文对抛物型随机偏微分方程在全空间上建立了一个精确的$C^{2+α}$ -理论。
Some Parabolic Pdes Whose Drift is an Irregular Random Noise in Space
考虑一类新的随机抛物型偏微分方程，其中随机项由不规则噪声漂移组成，不一定是高斯的，并给出了相应的解释.在冻结漂移（随机过程）的实现之后，我们研究了相关的抛物型方程的存在唯一性（在某种适当的意义上），并研究了概率解释。
On stochastic finite difference schemes
研究了退化随机抛物型偏微分方程空间变量的有限差分格式。在光滑性假设下，给出了随机抛物型差分格式的$L_p$速度和有限差分逼近的几乎必然收敛的精确结果，并建立了随机抛物型差分格式的Richardson外推结果.
Stochastic Parabolic Equations of Full Second Order
描述了一种利用Cameron-Martin版本的Wiener混沌展开来定义随机微分方程的广义解的方法。对于漂移算子和扩散算子均为二阶的抛物型随机偏微分方程，建立了该Wiener混沌解的存在唯一性.
Second order backward stochastic differential equations and fully non-linear parabolic PDEs
引入了一类二阶倒向随机微分方程，并证明了它与完全非线性抛物型偏微分方程的关系。特别是，我们提供了这样的偏微分方程的解决方案的随机表示结果，并讨论了蒙特卡罗方法的数值处理。
On nonlinear Feynman-Kac formulas for viscosity solutions of semilinear parabolic partial differential equations with gradient-dependent nonlinearities
本文将Feynman-Kac表示推广到非线性项依赖解梯度的半线性抛物型偏微分方程，通过随机不动点方程建立粘性解的表示公式。
On the Dirichlet Problem for Backward Parabolic Stochastic Partial Differential Equations in General Smooth Domains
在光滑区域上考虑变系数抛物型倒向随机偏微分方程。在加权索伯列夫空间中给出了解的存在性和唯一性结果，并使解的导数在边界附近爆破.
Explosive solutions of parabolic stochastic partial differential equations with L$\acute{e}$vy noise
本文研究了一类由L $\acute{\mbox{e}}$ vy型噪声驱动的抛物型随机半线性微分方程的爆炸解.给出了一类随机偏微分方程存在唯一正解的充分条件。此外，我们还证明了当初值、非线性项和乘性噪声满足一定条件时，正解在平均$L^{p}$ -范数意义下会在有限时间爆破.文中给出了几个例子来说明该理论。最后，我们建立了一个基于李雅普诺夫泛函的整体存在定理，并证明了由L $\acute{\mbox{e}}$ vy噪声驱动的随机Allen-Cahn方程存在整体解。
On L_p- theory for stochastic parabolic integro-differential equations
研究了一类随机抛物型积分微分方程Cauchy问题在分数阶索伯列夫空间中解的存在唯一性.考虑了一个系数与空间变量无关的模型问题。例如，在具有跳跃信号和跳跃观测过程的滤波问题中出现该方程。
On a Small Elliptic Perturbation of a Backward-Forward Parabolic Problem, with Applications to Stochastic Models
我们考虑一个双变量椭圆型偏微分方程。当一个参数趋近于零时，这个偏微分方程坍缩成一个抛物线方程，即在一部分区域中是前向抛物线，在其余区域中是后向抛物线。这样的问题自然会出现在各种随机模型中，例如数据处理系统的流体模型和马尔可夫调制队列。我们采用奇异扰动方法来研究小参数的问题。
Existence results for linear evolution equations of parabolic type
研究了巴拿赫空间中$dX+AXdt=F(t)dt+G(t)dW(t)$形式的抛物型发展方程的严格解和温和解.首先，我们探讨确定性的情况。证明了解的极大正则性。其次，我们研究了随机的情况。证明了严格解的存在性，并证明了严格解的时空正则性。最后，我们应用我们的抽象结果的随机热方程。
Nonlinear parabolic SPDEs involving Dirichlet operators
研究了含有正则（非对称）Dirichlet型算子的非线性随机偏微分方程Cauchy问题概率解的存在性、唯一性和正则性.在证明中，我们将倒向双重随机微分方程的方法与概率位势理论和Dirichlet形式的方法相结合。
Impact of noise on parabolic equations
在这篇短文中，我们主要研究随机抛物型方程的爆破现象。我们首先讨论解保持为正的事件的概率。然后，在整个空间的爆破现象被认为是。给出了解在有限时间内爆破的概率。最后，得到了随机抛物型方程爆破时间大于或小于确定性情形的概率。
The stochastic logarithmic Schrödinger equation
本文证明了带线性乘性噪声的随机对数薛定谔方程整体解的存在唯一性。我们的方法主要是基于重标度方法和极大单调算子方法。此外，还得到了能量空间$H^1(\mathbb{R}^d)$和适当Orlicz空间中解的一致估计.
Mean--field limit of a particle approximation of the one-dimensional parabolic--parabolic Keller-Segel model without smoothing
本文证明了奇异相互作用随机粒子系统的适定性，并建立了混沌结果向一维抛物-抛物Keller-Segel模型的传播。
Solution theory to semilinear parabolic stochastic partial differential equations with polynomially bounded coefficients
研究了一类随机偏微分方程的函数值解，该方程涉及系数多项式有界的算子。在适当的抛物性假设下，我们考虑半线性方程。我们提供的初始数据和随机项的条件，即在相关的谱测度，使这些温和的解决方案存在唯一的适当选择的功能类。
Wick-type stochastic parabolic equations with random potentials
考虑了具有随机位势、驱动力和初始条件的随机抛物型方程。利用Wick乘积来表示两个广义随机过程的乘积，并利用混沌展开方法从白噪声分析的角度证明了解的存在唯一性.给出了解的混沌展开形式的系数估计。
Uniqueness in law for parabolic SPDEs and infinite-dimensional SDEs
证明了一类抛物型随机偏微分方程在温度u乘时空白噪声的泛函A（u）驱动下的解的唯一性.泛函A（u）在u中是大于1/2阶的Hölder连续的。我们的方法涉及到寻找一个相关的系统的无限维随机微分方程，我们得到了这样的系统的唯一性结果。
On a multi-dimensional McKean-Vlasov SDE with memorial and singular interaction associated to the parabolic-parabolic Keller-Segel model
本文首先证明了具有奇异交互作用核的McKean-Vlasov随机微分方程的非线性鞅问题在$\mathbb{R}^d$中对于$d\geq 3$的适定性。我们的设置的特殊性是，我们研究的McKean-Vlasov过程在每一个时间与它的所有过去的时间边缘的法律通过一个奇异的时空内核相互作用。其次，我们证明了我们的随机过程是$\mathbb{R}^d$中抛物-抛物Keller-Segel系统的概率解释。在模型参数的显式小条件下，我们得到了后者的适定性结果。
A macroscopic multifractal analysis of parabolic stochastic PDEs
一般认为，具有乘性噪声的随机偏微分方程（如$\dot{u}=\frac12 u"+uξ$，其中$ξ$表示时空白噪声）的解通常会产生“宏观多重分形”的异常大的峰值。例如，参见Giovanni和Doering（2005）、Giovanni和Titi（2005）以及Zimmermann等人（2000）。几年前，我们证明了上述随机偏微分方程解的空间峰确实形成了Barlow和Taylor（1989; 1992）宏观意义下的随机多重分形。本文的主要结果是证明了一个严格的公式的断言，即时空峰值的解决方案形成无限-许多不同的多重分形在无限-许多不同的尺度，我们有时称为“拉伸因子。“一个更简单的，虽然仍然复杂，这样的结构也存在于所述随机PDE的常数系数版本。
Noise sensitivity for stochastic heat and Schrödinger equation
本文研究随机热方程与薛定谔方程的噪声敏感性，证明混沌在时间 t 时以 1/t 尺度出现，且中心化重缩放后的傅里叶谱渐近高斯。
A new McKean-Vlasov stochastic interpretation of the parabolic-parabolic Keller-Segel model: The two-dimensional case
在Talay和Tomasevic [20]中，我们提出了一种新的无截断抛物-抛物Keller-Segel系统的随机解释。它涉及到一个原始类型的McKean-Vlasov相互作用核，它涉及到所有过去的时间边缘的概率分布在一个奇异的方式。在本文中，我们研究这种McKean-Vlasov表示在二维情况下。在这种情况下，如果模型的某些参数较大，则Keller-Segel系统存在有限时间爆破的可能性。事实上，我们证明了适当的约束下的McKean-Vlasov方程的参数的模型和初始数据。在这些约束条件下，我们还证明了Keller-Segel模型在平面上的整体存在性。为了得到这个结果，我们结合偏微分方程分析和随机分析技术。
Power variations in fractional Sobolev spaces for a class of parabolic stochastic PDEs
考虑一类包含随机热方程的有界区域$D\subseteq\mathbb{R}^d$上的抛物型随机偏微分方程，但其幂函数为拉普拉斯算子的分数阶$γ$.将解看作是分数索伯列夫空间$H_r$尺度上的一个过程，利用$r < γ- d/2$，我们研究了它在$H_r$中沿时间轴规则分区的幂次变化.当网格尺寸趋于零时，我们发现在$r=-d/2$处有一个相变：当$r<-d/2$时，解有一个非平凡的二次变分，当$r>-d/2$时，解有一个非平凡的$p$阶变分。更一般地，任何阶的适当归一化的幂变化在第一种情况下满足真正的大数定律，在第二种情况下满足退化极限定理。当$r<-d/2$时，二次变分通过涉及谱zeta函数的表达式显式给出，当$d=1$和$D$为区间时，谱zeta函数可简化为黎曼zeta函数。
Null controllability for stochastic fourth order semi-discrete parabolic equations
本文针对空间有限差分离散、时间连续的随机四阶半离散抛物型方程，通过建立依赖网格尺寸的全局Carleman估计和松弛可观测性估计，并利用对偶技巧证明了其$ϕ$-零能控性。
Parabolic Littlewood-Paley inequality for $ϕ(-Δ)$-type operators and applications to Stochastic integro-differential equations
本文证明了$ϕ(-Δ)$型算子的抛物型Littlewood-Paley不等式，其中$ϕ$是Bernstein函数.作为应用，我们构造了$du=(-ϕ(-Δ)u+f)dt +gdW_t$型随机积分微分方程的$L_p$ -理论。
On the Cauchy problem for stochastic integrodifferential parabolic equations in the scale of Lp-spaces of generalized smoothness
在全空间中考虑随机抛物型积分微分问题。通过证明Hörmander条件，证明了Lp-空间中正则性由可伸缩Levy测度定义的函数的存在唯一性.一些粗糙的密度函数估计的相关Levy过程中使用。
Strong solutions of semilinear parabolic equations with measure data and generalized backward stochastic differential equations
证明了在自然的数据假设下，右端含测度的半线性散度型抛物方程在索伯列夫空间中的强解可以用广义倒向随机微分方程的解表示.作为应用，我们利用反射倒向随机微分方程的解给出了障碍问题强解的随机表示。为了证明后一个结果，我们使用随机单应近似的反射向后方程的解决方案。近似可以被看作是一个随机模拟的单应近似的障碍问题的解决方案。
Carleman estimates for space semi-discrete approximations of one-dimensional stochastic parabolic equation and its applications
本文为一维随机抛物方程的空间半离散格式建立齐次与非齐次边界下的Carleman估计，并分别用于证明离散反随机源问题的Lipschitz稳定性和离散Cauchy问题的Hölder稳定性。
A $W^n_2$-Theory of Stochastic Parabolic Partial Differential Systems on $C^1$-domains
本文给出了随机抛物型偏微分方程组的$W^n_2$ -理论。特别是，我们专注于非发散型。我们考虑的空间域是$\bR^d$，$\bR^d_+$和最终的一般有界$C^1$ -域$\mathcal{O}$ .根据随机抛物型方程的性质，我们需要加权索伯列夫空间来证明其解的存在唯一性。在我们选择的空间中，我们允许解的导数在边界附近爆破，而且允许系统的系数在很大程度上振荡或在边界附近爆破。
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