Butson-type complex Hadamard matrices and association schemes on Galois rings of characteristic 4
我们考虑非对称Hermitian复Hadamard矩阵属于交换非对称结合方案的Bose-Mesner代数。首先，我们给出了一类交换非对称结合方案的特征矩阵的一个刻画，该方案的Bose-Mesner代数包含一个非对称Hermitian复Hadamard矩阵，并证明了这样的复Hadamard矩阵必然是一个元素为4阶单位根的Butson型复Hadamard矩阵.给出了特征为4的Galois环上的6类非对称结合方案X，并对属于X的Bose-Mesner代数的Hermitian复Hadamard矩阵进行了分类.它表明，这样的矩阵再次必然是一个Butson型复杂的阿达玛矩阵，其条目是4次根的单位。
2017-12-17 math.CO
Circulant q-Butson Hadamard matrices
如果$q = p^n$是素数幂，则$d$维\emph{$q$-Butson Hadamard matrix} $H$是一个$d\times d$矩阵，其中所有元素$q$的次根都是1，使得$HH^* = dI_d$ .我们利用代数数论证明了循环$q$ Hadamard矩阵在$d = p^m$时的维数上的一个强约束，然后在所有可能的维数上显式地构造了一族例子。这些结果与组合数学中长期存在的循环Hadamard矩阵猜想有关。
2017-03-15 math.CO math.NT
Equivalences of ${\mathbb Z} _t \times {\mathbb Z}_2^2$-cocyclic Hadamard matrices
解决Hadamard猜想的最有前途的结构方法之一是使用${\mathbb Z} _t \times {\mathbb Z}_2^2$上的上循环矩阵族。本文给出了${\mathbb Z} _t \times {\mathbb Z}_2^2$上的两类上循环矩阵的等价关系，用这两类上循环矩阵中的任何一个等价于Hadamard矩阵的上循环矩阵也是Hadamard矩阵。一类是基于任何有限群上的余圈之间的代数关系的，这种类型已经知道一段时间了。最近，独立地，第二种类型，基于${\mathbb Z} _t \times {\mathbb Z}_2^2$上的上循环矩阵的图形可视化之间的四个几何关系，已经发现。在这里，我们将代数等价转换为图形等价，并显示一个图形等价不能得到这种方式。这个额外的等价性被证明是矩阵转置的几何平移。
2015-01-27 math.CO
Some new operations on Zt x Z2,2-cocyclic Hadamard matrices
根据[AGG 11]关于Zt × Z2，2-上循环Hadamard矩阵的思想，我们引入了图的概念，它直观地表示任何上边界集。图是描述和研究路径和交叉点的非常有用的工具，如[AGG 11]所述。然后，我们将研究Zt × Z2，2-上循环矩阵的四种不同的运算。这些操作将被定义在定义矩阵的coboundaries集合上，保持上循环矩阵的Hadamard特征，并允许我们从旧的Hadamard矩阵中获得新的Hadamard矩阵。我们分裂成不相交的轨道的阿达玛矩阵的集合，定义他们的代表，并利用这一事实来计算他们在一个更容易的方式比通常的纯粹详尽的方式。
2014-06-10 math.CO
Butson-Hadamard matrices and Plotkin-optimal p^k-ary codes
Butson-Hadamard矩阵H是n维的方阵，其元素是单位的复根，使得HH*= nI。本文的第一部分研究了广义Gray映射的一些新结果。第二部分证明了由Butson-Hadamard矩阵得到的码及其最小距离的一些界。特别是，我们表明，从一个Butson-Hadamard矩阵得到的代码满足Plotkin界下的非齐次重量。我们还给出了在（非）齐次Gray映射下由修正的Butson-Hadamard矩阵得到的一些码族的参数。
2022-10-01 cs.IT math.CO math.IT
Unitary matrices associated with Butson-Hadamard matrices
我们给出了一个BH（5; 5）矩阵M的例子，它满足酉矩阵$\frac{1}{\sqrt5}M$的特征值都是10阶本原单位根，并且$\frac{1}{5}M^3$不是BH（5; 5）矩阵.这个例子对R.伊根和P.O.凯瑟琳
2020-02-24 math.CO
Orderly generation of Butson Hadamard matrices
本文用计算机辅助方法对小参数的阶为$n$和复杂度为$q$的Butson型复Hadamard矩阵$\mathrm{BH}(n,q)$进行了分类。我们的主要结果包括$\mathrm{BH}(21,3)$、$\mathrm{BH}(16,4)$和$\mathrm{BH}(14,6)$矩阵的计数。确切地存在$72$、1786763和$167776$这样的矩阵，直到单项式等价。此外，我们首次给出了一个$\mathrm{BH}(14,10)$矩阵的例子，并证明了对于$q\in\{10,12,14,15\}$和$\mathrm{BH}(13,10)$矩阵，$\mathrm{BH}(8,15)$、$\mathrm{BH}(11,q)$是不存在的。
2017-07-07 math.CO
Butson Hadamard Matrices from Pairs of Gauss Sums
Nanyang Technological University（南洋理工大学）
本文提出一种利用两个高斯和构造 Butson Hadamard 矩阵的新方法，适用于素数幂 $q$ 及 $q-1$ 的任意因子 $d$，并通过 Butson-Jacobsthal 函数推广了 Jacobsthal 矩阵构造。
2026-09-22 math.CO
On $\mathbb{Z}_t \times \mathbb{Z}_2^2$-cocyclic Hadamard matrices
根据{ \em分布}、{ \em成分}和{ \em配方}的概念，描述了$\mathbb{Z} _t \times \mathbb{Z}_2^2$ -上循环Hadamard矩阵的一个特征.特别是，这些概念导致建立一些界限的数量和分布的2-coboundaries在$\mathbb{Z}_t \times \mathbb{Z} _2^2$使用和方式，它们必须结合起来，以获得一个$\mathbb{Z} _t \times \mathbb{Z}_2^2$ -cocyclic阿达玛矩阵。已经进行了详尽的检索，因此[4]中第132页的表格得到了纠正和补充。此外，我们确定了四个不同的操作定义$\mathbb{Z} _t \times \mathbb{Z}_2^2$ -上循环矩阵，保持正交性的coboundaries集。我们分裂成不相交的轨道的阿达玛矩阵的集合，定义他们的代表，并利用这一事实来计算他们在一个更容易的方式比通常的纯粹穷举的方式，在{ \em图}。设${\cal H}$是$\mathbb{Z}_t \times \mathbb{Z}_2^2$上具有对称图的上循环Hadamard矩阵的集合.我们还证明了Williamson型矩阵集是${\cal H}$的一个子集，其大小为$\frac{|{\cal H}|}{t}$。
2014-06-10 math.CO
Homomorphisms of matrix algebras and constructions of Butson-Hadamard matrices
Worcester Polytechnic Institute（伍斯特理工学院）
一个$n \times n$矩阵$H$是Butson-Hadamard，如果它的元素是$k^{\text{th}}$单位根，并且它满足$HH^* = nI_n$。将这样的矩阵集写成$BH(n, k)$。假设有$k = p^αq^β$，其中$p$和$q$是素数，而$α\geq 1$。最近的一个结果{\displaystyle {\frac {stergård}和Paavola}使用矩阵$H \in BH(n,pk)$来构造$H' \in BH(pn, k)$。我们简化了这个结果的证明，并取消了对$k$的素因子个数的限制。更准确地说，我们证明了，如果$k = mt$，和每个素因子的$k$除$t$，那么我们可以构建一个矩阵$H' \in BH(mn, t)$从任何$H \in BH(n,k)$。
2019-08-16 math.CO
A nonexistence criterion and new constructions for Butson Hadamard matrices
本文基于有限群正定函数提出Butson Hadamard矩阵存在的新必要条件，证明了若干不存在性结果，结合计算机搜索发现新矩阵，还利用分圆陪集首次构造出四类具有2-循环结构的Butson Hadamard矩阵。
2025-11-14 math.CO
Non-Existence of Some Nearly Perfect Sequences, Near Butson-Hadamard Matrices, and Near Conference Matrices
本文通过（近）Butson-Hadamard（BH）矩阵和（近）会议矩阵的关系，研究了（近）完美（近）$m$ -元序列的不存在性问题.首先，我们应用一个关于单位根消失和的结果和Brock关于分圆数域上某些方程的不可解性的结果，得到了近BH矩阵和近会议矩阵的不存在性结果。其次，在整数环不是主理想整环的分圆数域的情形下，我们改进了Brock的思想，得到了许多新的不存在性结果。
2014-07-24 math.CO math.NT
Morphisms of Butson classes
University of Rijeka（里耶卡大学）；Worcester Polytechnic Institute（伍斯特理工学院）
本文引入了从k阶单位根上的Butson Hadamard矩阵集到$\ell$阶单位根上的Butson矩阵集的态射的概念。作为这种态射的具体例子，我们描述了张量积映射，它以增加维数为代价降低了Butson矩阵中出现的单位根的阶。这样的映射可以由特征值满足一定自然条件的Butson矩阵构造。我们的工作统一和generalises Turyn的建设真正的阿达玛矩阵从Butson矩阵的第4根和工作的康普顿，Craigen和德Launey 'unreal' Butson矩阵的第6根。作为一个案例研究，我们将k阶单位根上的$n \times n$ Butson矩阵集合到$\ell$阶单位根上的$2n\times 2n$ Butson矩阵集合的所有态射分类，其中$\ell < k$ .
2017-10-25 math.CO
Small circulant complex Hadamard matrices of Butson type
研究了元素为单位根为$l$的$n$阶循环复Hadamard矩阵.对于$n=l$素数，我们证明了唯一这样的矩阵，直到等价，是傅立叶矩阵，而对于$n=p+q,l=pq$与$p,q$不同的素数有没有这样的矩阵。然后，我们提供了这样的矩阵的等价类的列表，为小值的$n,l$。
2014-12-07 math.CO math.FA
New Constructions of Group-Invariant Butson Hadamard Matrices
设$G$是有限群，$h$是正整数. $\text{BH}(G,h)$矩阵是$G$不变的$|G|\times |G|$矩阵$H$，其条目是单位的复数$h$次根，使得$HH^*=|G|I_{|G|}$，其中$H^*$表示$H$的复共轭的转置，而$I_{|G|}$是$|G|$阶的单位矩阵.本文给出了$\text{BH}(G,h)$矩阵的三种新构造。第一种构造是第一个已知的$\text{BH}(G,h)$矩阵族，其中$G$不需要是阿贝尔矩阵。第二种和第三种构造是两个$\text{BH}(G,h)$矩阵族，其中$G$是有限局部环。
2019-12-13 math.CO
Uniqueness of Butson Hadamard matrices of small degrees
对于正整数$m$和$n$，我们用$\mathrm{BH}(m,n)$表示所有$H\in M_{n\times n}(\mathbb{C})$的集合，使得$HH^\ast=nI_n$和$H$的每个条目是$m$的单位根，其中$H^\ast$是$H$的伴随矩阵，$I_n$是单位矩阵。对于$H_1,H_2\in \mathrm{BH}(m,n)$，我们说$H_1$是\textit{equivalent}到$H_2$，如果对于某些非零元素是$m$的单位根的单式矩阵$P, Q$，$H_1=PH_2 Q$。本文用计算机检索的方法对$\mathrm{BH}(17,17)$进行了等价分类。
2014-02-27 math.CO
Butson full propelinear codes
本文研究了Butson-Hadamard矩阵，以及由这些矩阵生成的对数形式的有限环上的BH-码。通过对数形式的矩阵上的广义Gray映射，我们引入了Butson-Hadamard矩阵的一个新的态射，它与最近的一个注记中给出的态射类似.也就是说，我们展示了如何，如果给定一个Butson Hadamard矩阵的$k^{\rm th}$单位根，我们可以构建一个更大的Butson矩阵的$\ell^{\rm th}$单位根的任何$\ell$除$k$，提供任何素数$p$除$k$也除$\ell$。证明了一个以$p$为素数的$\mathbb{Z}_{p^s}$ -可加码与$\mathbb{Z}_{p^s}$上的BH-码作为一个群同构，并且这个BH-码在Gray映射下的像是$\mathbb{Z}_p$（$p=2$的二进制Hadamard码）上的BH-码.此外，我们调查固有的propelinear结构的这些代码（和他们的图像）时，Butson矩阵是上循环的。研究了这些码的一些结构性质，并给出了算例。
2020-11-27 cs.IT math.CO math.IT
Bilinear Forms on Finite Abelian Groups and Group-Invariant Butson Hadamard Matrices
设$K$是一个有限阿贝尔群，$\exp(K)$表示$K$中元素阶的最小公倍数. $BH(K,h)$矩阵是$K$不变的$|K|\times |K|$矩阵$H$，其条目是复数$h$的单位根，使得$HH^*=|K|I$，其中$H^*$表示$H$的复数共轭转置，$I$是阶$|K|$的单位矩阵.令$ν_p(x)$表示整数$x$的$p$-adic赋值。利用$K$上的双线性型，我们证明了当（i）对$|K|$的每个素因子$p$有$ν_p(h) \geq \lceil ν_p(\exp(K))/2 \rceil$，（ii）当$ν_2(|K|)$是奇数且$K$有一个直因子$\mathbb{Z}_2$时有$ν_2(h) \ge 2$时，存在$BH(K,h)$.利用域下降法，证明了当$K$是素数幂阶循环时，这些条件是存在$BH(K,h)$矩阵的必要条件.
2019-03-18 math.CO
A generalisation of bent vectors for Butson Hadamard matrices
Universidad de Sevilla（塞维利亚大学）；Dublin City University（都柏林城市大学）；University of Lethbridge（莱斯布里奇大学）
本文推广了Butson哈达玛矩阵的bent向量概念，定义了自对偶和共轭自对偶bent向量，利用代数数论证明其阶条件与不存在性结果，通过张量构造等给出例子，并应用于推广Reed-Muller码的非线性码覆盖半径研究。
2025-04-16 cs.IT math.CO math.IT
Spectra of Hadamard matrices
National University of Ireland, Galway（爱尔兰国立大学高威分校）；Worcester Polytechnic Institute（伍斯特理工学院）；College of William & Mary（威廉与玛丽学院）
Butson Hadamard矩阵$H$在单位的第k个根中具有元素，并且满足矩阵方程$HH^{\ast} = nI_{n}$。我们将这类矩阵的集合写成$\mathrm{BH}(n, k)$。Butson矩阵的一个完全态射是一个映射$\mathrm{BH}(n, k) \rightarrow \mathrm{BH}(m, \ell)$。在本文中，我们开发了一种技术，用于控制某些阿达玛矩阵的频谱。对于每一个整数$t$，我们构造了一个$n_{t} = 2^{2^{t-1}-1}$阶的实Hadamard矩阵$H_{t}$，使得$\frac{1}{\sqrt{n_{t}}}H_{t}$的最小多项式是分圆多项式$Φ_{2^{t+1}}(x)$ .这样的矩阵产生新的例子完全态射\[ \mathrm{BH}(n, 2^{t}) \rightarrow \mathrm{BH}(2^{2^{t-1}-1}n, 2)\,, \]为每个$t \geq 2$，推广了一个众所周知的结果Turyn。
2019-01-11 math.CO
Circulant Hadamard matrices as HFP-codes of type $C_{4n}\times C_2$
本文证明了长度为$4n$的循环Hadamard码总是可以看作是$C_{4n}\times C_2$型的HFP码（Hadamard全推进线性码），其中$C_2=\langle u\rangle$或相同，作为一个上循环Hadamard码.我们计算了这类码的核的秩和维数。
2017-11-26 math.CO
Generalized Hadamard full propelinear codes
已经引入了来自广义Hadamard矩阵的码。在这里，我们处理这些代码时，广义Hadamard矩阵是上循环的。因此，我们称之为广义Hadamard全propelinear码的一类新的代码。证明了它们的存在性等价于中心相对$(v,w,v,v/w)$ -差集的存在性。此外，还研究了这些码的一些结构性质，并给出了例子。
2019-06-14 math.CO
Construction of Butson matrices using Fourier matrices as input
本文利用傅里叶矩阵作为输入，在$n$和$m$为偶数时，提出了构造$BH(m,(n-1)n)$和$BH(m,(\frac{n}{2}-1)n)$的两种方法，并给出Hadamard矩阵构造的相关结果。
2025-04-22 math.CO
On Some Quaternionic Hadamard Matrices of Small Order
我们引入了元素为四元数的阿达玛矩阵。然后，我们继续提供分类的四元数阿达玛矩阵的循环核心的订单2至5。我们还介绍了四元Hadamard矩阵的Butson型和方法来创建四元Hadamard矩阵从实和复Hadamard矩阵。例子显示，展示如何阿达玛矩阵的四元数比阿达玛矩阵的复数更丰富。
2022-03-07 math.CO math.RA
Determinants of $(-1,1)$-matrices of the skew-symmetric type: a cocyclic approach
$n$ × $n$斜对称型$(-1,1)$ -矩阵$K=[k_{i,j}]$在主对角线上具有$1$，而在其它地方具有$\pm 1$和$k_{i,j}=-k_{j,i}$ .这种矩阵$K$的最大可能行列式是一个有趣的问题。有关$n\equiv 0 \mod 4$（斜阿达玛矩阵）的文献很多，但对于$n\equiv 2\mod 4$，这个问题的已知结果很少。在本文中，我们探讨这个问题，构造上的二面体群的$2t$元素的上循环矩阵，$t$奇，这是等价于$(-1,1)$ -矩阵的斜型。一些显式计算已经完成了$t=11$。据我们所知，18阶和22阶极大行列式的上界已得到改进。
2013-11-28 math.CO
On permanents of Sylvester Hadamard matrices
众所周知，计算任意$(-1,1)$ -矩阵的积和式是一个困难的问题。Ryser公式是已知的计算永久式的最快的通用算法之一。本文利用Sylvester Hadamard矩阵的上循环结构，对Sylvester Hadamard矩阵的特殊情况改写了Ryser公式。重写的公式提出了一个重要的减少的数量集的$r$不同行的矩阵被认为是。然而，该算法需要一个预处理部分，这仍然是耗时的一般。
2013-11-11 math.CO
A universal theory of switching for combinatorial objects, and applications to complex Hadamard matrices
Faculty of Mathematics, University of Rijeka（里耶卡大学数学系）；School of Mathematical Sciences, Dublin City University（都柏林城市大学数学科学学院）
本文提出一种通用切换理论，用于生成不同类型的Hadamard矩阵，并探讨了复杂Hadamard矩阵中的贸易概念及开放性问题。
2026-05-12 math.CO
An explicit half-flip family of 32-modular Hadamard matrices at L = 3 mod 8: structural placement and mod-tower analysis
Rice University（莱斯大学）
本文提出 L≡3 (mod 8) 时 32-模 Hadamard 矩阵的显式半翻转族，通过主恒等式简化构造，在未解阶 n=716 和 n=1132 处给出矩阵，并分析其结构性质与模塔分类。
2026-09-23 math.CO
