On Transformations in the Painlevé Family
Joel Nagloo
在本文中，我们证明了一般的Painlevé方程从不同的家庭是正交的。特别地，这意味着在来自不同族$P_I-P_{VI}$的Painlevé方程之间没有一般的Backlund变换。
In this paper we show that generic Painlevé equations from different families are orthogonal. In particular, this means that there are no general Backlund transformations between Painlevé equations from the different families $P_I-P_{VI}$ .
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Rank three representations of Painlevé systems: II. de Rham structure, Fourier--Laplace transformation
本文通过形式微局化研究Painleve系统rank 3与rank 2 D-模表示间的傅里叶-拉普拉斯变换，并证明相应de Rham复结构间存在双正则映射。
Folding transformation of the Painlevé equations is an algebraic (of degree greater than 1) transformation between solutions of different equations. In 2005 Tsuda, Okamoto and Sakai classified folding transformations of differential Painlevé equations. These transformations are in correspondence with automorphisms of affine Dynkin diagrams. We give a complete classification of folding transformations of the $q$-difference Painlevé equations, these transformations are in correspondence with certain subdiagrams of the affine Dynkin diagrams (possibly with automorphism). The method is based on Sa…
Four-dimensional Painlevé systems of types $D_5^{(1)}$ and $B_4^{(1)}$
我们发现并研究了一类具有$D_5^{(1)}$型仿射外尔群对称性的五参数四维耦合Painlevé V系统.然后，我们给出了一个明确的描述，从这些系统的汇合到一个四参数的家庭的四维耦合Painlevé III系统与仿射外尔群对称的类型$B_4^{(1)}$。
Painlevé VI equations with algebraic solutions and family of curves
在家庭的Painlevé六微分方程具有共同的代数解决方案，我们分类的所有成员来自几何，即相应的线性微分方程这是皮卡-富克斯相关的家庭代数簇。在我们的例子中，我们有一个零维纤维族，所有其他的都是曲线族。我们使用Herfurtner在1992年所做的四个奇异纤维的椭圆曲线族的分类，并推广Doran在2001年和Ben Hamed和Gavrilov在2005年的结果。
Bäcklund Transformations of the Sixth Painlevé Equation in Terms of Riemann-Hilbert Correspondence
众所周知，第六个Painlevé方程$\PVI$允许一组Bäcklund变换，它同构于$\mathrm{D}_4^{(1)}$型仿射外尔群。虽然许多作者已经讨论了这个出乎意料的大对称性的各个方面，但仍然存在一个尚未考虑的基本问题，即用Riemann-Hilbert对应来表征Bäcklund变换的问题。在这个方向上，我们表明，Bäcklund变换只是拉回来的非常简单的变换的模的monodromy表示的黎曼-希尔伯特对应。这个结果给出了一个自然和清晰的图片的Bäcklund变换。关键词：Bäcklund变换，第六Painlevé方程，Riemann-Hilbert对应，等单点形变，$\mathrm{D}_4^{(1)}$型仿射外尔群。
Point configurations, Cremona transformations and the elliptic difference Painlevé equation
在射影空间中点位形空间上的双有理Weyl群作用的框架下，将椭圆型差分潘勒韦方程推广到高维，提供了理论基础.通过引入点构型的椭圆参数化，提出了Weyl群的一种实现，即一组系数中包含椭圆函数的Cremona变换。对于这个椭圆型Cremona系统，我们发展了一个$τ$ -函数理论，将其转化为格点上$τ$ -函数的Hirota-Miwa型双线性方程组.
Geometric Analysis of Reductions from Schlesinger Transformations to Difference Painlevé Equations
我们给出了两个从描述Fuchsian系统的离散Schlesinger变换的演化方程到差分潘勒韦方程的约化的例子：对称群为${E}^{(1)}_{6}$的差分Painlevé方程d- $P\left({A}_{2}^{(1)*}\right)$和对称群为${E}^{(1)}_{7}$的差分Painlevé方程d- $P\left({A}_{1}^{(1)*}\right)$.在这两种情况下，我们详细介绍了如何计算他们的冈本空间的初始条件，并强调所发挥的作用，几何形状，帮助我们了解结构的减少，选择一个良好的坐标系描述的方程，以及如何比较它与其他实例的方程相同类型。
Coupled Painlevé systems with affine Weyl group symmetry of types $D_3^{(2)}$ and $D_5^{(2)}$
在本文中，我们发现了一类具有$D_3^{(2)}$型仿射外尔群对称性的四维双参数耦合Painlevé系统.我们还发现了一类具有$D_5^{(2)}$型仿射外尔群对称性的四维2-耦合$D_3^{(2)}$ -系统.我们表明，对于每个系统，我们给出了它的对称性和全纯性条件，分别。这些对称性、全纯条件和不变因子都是新的。
Geometric Aspects of the Painlevé Equations ${\rm PIII(D_6)}$ and ${\rm PIII(D_7)}$
本文详细研究了方程${\rm PIII(D_6)}$和${\rm PIII(D_7)}$的Riemann-Hilbert方法，包括联络和单值数据的模空间、Okamoto-Painlevé簇、Painlevé性质、特解和显式Bäcklund变换.
Discrete Schlesinger Transformations, their Hamiltonian Formulation, and Difference Painlevé Equations
Schlesinger变换是Fuchsian系统的代数变换，它保持其单值表示，并通过积分移位作用于系统的特征指数。研究这类变换的一个重要原因是Schlesinger变换与离散潘勒韦方程之间的关系，这也是我们工作背后的主题。我们导出了描述由初等Schlesinger变换生成的离散动力系统的\emph{discrete Schlesinger evolution equations}，并给出了它们的离散Hamilton描述。Fuchsian系统空间上的标准辛结构。作为应用，我们计算了两个从Schlesinger变换到差分潘勒韦方程约化的例子.第一个例子d- $P\big(D_{4}^{(1)}\big)$（或差分Painlevé V）对应于连续$P_{\text{VI}}$的贝克隆变换。第二个例子d- $P\big(A_{2}^{(1)*}\big)$（具有对称群$E_{6}^{(1)}$）是纯离散的。我们还描述了冈本空间的初始条件，在比较不同的方程相同类型的几何所发挥的作用。
Coupled Painlevé systems with affine Weyl group symmetry of types $A_7^{(2)},A_5^{(2)}$ and $D_4^{(3)}$
我们发现了一类四参数的四维Painlevé VI系统，它们具有$A_7^{(2)}$型的仿射外尔群对称性.这是第一个例子，给出了高阶Painlevé方程的类型$A_{2l+5}^{(2)}$。然后，我们给出了一个明确的描述，从这个系统的合流过程中的一个3-参数家庭的耦合Painlevé V和III系统在4维$W(A_5^{(2)})$对称性。对于$A_5^{(2)}$系统的退化系统，我们还发现了一类具有$D_4^{(3)}$型仿射外尔群对称性的四维常微分系统.这是给出$D_4^{(3)}$型高阶Painlevé方程的第一个例子。我们表明，对于每个系统，我们给它的对称性和全纯性条件。这些对称性、全纯条件和不变因子都是新的。
Segre surfaces and geometry of the Painlevé equations
本文研究了六参数的仿射Segre曲面与Painlevé方程的单调性 manifold 之间的关系，揭示了不同极限形式的几何结构。
On some Hamiltonian structures of coupled Painlevé II systems in dimension four
我们发现并研究了一类具有几种类型的仿射外尔群对称性的四维双参数耦合Painlevé II系统。此外，我们发现了一类三参数的二元多项式哈密顿系统$t,s$。设置$s=0$，我们可以获得耦合Painlevé II系统的自主版本。给出了它的对称性和全纯性条件。
Coupled Painlevé VI systems in dimension four with affine Weyl group symmetry of type $D_6^{(1)}$, II
本文从对称性和全纯性的观点出发，给出了一类具有$D_6^{(1)}$型仿射外尔群对称性的六参数耦合Painlevé VI系统的一个重新表述.
Coupled Painlevé III systems with affine Weyl group symmetry of types $B_4^{(1)}$, $D_4^{(1)}$ and $D_5^{(2)}$
我们发现并研究了四类具有仿射外尔群对称性的四参数四维耦合Painlevé III系统：$B_4^{(1)}$，$D_4^{(1)}$和$D_5^{(2)}$ .我们还表明，这些系统是等价的一个明确的双有理和辛变换，分别。
Moduli of Stable Parabolic Connections, Riemann-Hilbert Correspondence and Geometry of Painlevé Equation of Type VI, Part II
本文证明了$\BP^1$上秩为2的$\balpha'$ -稳定$(\bt, \blambda)$ -抛物$ϕ$ -联络的模空间族与Okamoto \cite{O1}和\cite{STT02}引入的Okamoto-Painlevé对族同构.我们还讨论了我们的理论的推广到的情况下的秩的连接和亏格的基曲线是任意的。通过Riemann-Hilbert对应在稳定抛物联络的模空间族上定义等单流，我们将证明Riemann-Hilbert对应的一个性质蕴含等单流的Painlevé性质。
Studies on the second member of the second Painlevé hierarchy
在本文中，我们研究了第二Painlevé层次$P_{II}^{(2)}$的第二成员。我们证明了双有理变换将该方程化为四维多项式哈密顿系统，并且该哈密顿系统可以看作是一个单参数耦合Painlevé系统族.这个哈密尔顿算子是新的。我们还证明了该系统具有$A_1^{(1)}$型的广义仿射外尔群对称性，并且可以通过其全纯性条件恢复。我们还研究了该哈密顿量所满足的一个五阶常微分方程。通过双有理变换将该方程化为一个五维多项式型一阶常微分方程组，给出了它的对称性和全纯性条件.
Coupled Painlevé VI systems in dimension four with affine Weyl group symmetry of type $E_6^{(2)}$
我们发现了一类四参数的四维Painlevé VI系统，它们具有$E_6^{(2)}$型的仿射外尔群对称性.这是第一个例子，给出了高阶Painlevé型系统的类型$E_{6}^{(2)}$。我们研究了它的对称性和全纯性条件。
Coupled Painlevé systems in dimension four with affine Weyl group symmetry of types $A_4^{(2)}$ and $A_1^{(1)}$
我们发现一类具有$A_4^{(2)}$型仿射外尔群对称性的四维双参数耦合Painlevé系统.对于$A_4^{(2)}$系统的退化系统，我们还发现了一类具有$A_1^{(1)}$型仿射外尔群对称性的四维单参数耦合Painlevé系统.我们表明，对于每个系统，我们给它的对称性和全纯性条件。这些对称性、全纯条件和不变因子都是新的。此外，我们还发现了一类具有$W(A_1^{(1)})$对称性的单参数三元偏微分系统。我们证明了它的多项式哈密顿系统和$A_1^{(1)}$型系统的自治版本之间的关系。
Painlevé equations and deformations of rational surfaces with rational double points
本文证明了Painlevé方程的Bäcklund变换来自于Okamoto构造的有理曲面作为初始条件空间的双有理映射.有理曲面族的有理二重点的同时分解产生了触发器，触发器是Painlevé方程对称群的起源。同时指出Kodaira-Spencer有理曲面变形理论解释了Painlevé方程的几何意义。
Coupled Painlevé III systems with affine Weyl group symmetry of types $B_5^{(1)},D_5^{(1)}$ and $D_6^{(2)}$
我们发现并研究了四类五参数六维耦合Painlevé III系统，它们具有仿射外尔群对称性，类型为$D_5^{(1)},B_5^{(1)}$和$D_6^{(2)}$ .我们表明，每个系统是等价的一个明确的双有理和辛变换，分别。我们还表明，我们从全纯的观点来描述每个系统。
Resolution of singularities for a family of third-order differential systems with small meromorphic solution spaces
关于Painlevé型微分方程的奇点的分解，二阶Painlevé方程与高阶Painlevé方程有着重要的区别.与二阶情形不同，在高阶情形中可能存在余维为2的亚纯解空间。本文给出了一类余维为2的亚纯解空间的三参数三阶微分系统奇点的显式整体奇点的分解。
Picard and Chazy solutions to the Painleve' VI equation
我研究了一个特殊的家庭的Painlevé VI方程的参数$β=γ=0, δ=1/2$和$2α=(2μ-1)^2$的解决方案，为$2μ\in\interi$。我表明，半整数$μ$的情况下是可积的，解决方案有两种类型：所谓的皮卡德解决方案和所谓的Chazy解决方案。给出了它们的显式公式，并完全确定了它们在奇点$0,1,\infty$附近的渐近行为和它们的非线性单值性。本文研究PVI $μ$方程解的解析延拓的结构，对于任何$μ$使得$2μ\in\interi$。作为一个应用，我对所有的代数解进行了分类。对于$μ$半整数，证明了它们与平面上的正多边形或星形多边形一一对应。对于$μ$整数，证明了所有的代数解都属于一个单参数有理解族。
Since the classification of discrete Painlevé equations in terms of rational surfaces, there has been much interest in the range of integrable equations arising from each of the 22 surface types in Sakai's list. For all but the most degenerate type in the list, the surfaces come in families which admit affine Weyl groups of symmetries. Translation elements of this symmetry group define discrete Painlevé equations with the same number of parameters as their family of surfaces. While non-translation elements of the symmetry group have been observed to correspond to discrete systems of Painlevé-t…
Poncelet pairs of a circle and parabolas from a confocal family and Painlevé VI equations
研究圆与抛物线的Poncelet对，揭示等周期性性质，并构造Painlevé VI方程的代数解。
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