Vizing's 2-factor Conjecture Involving Large Maximum Degree
设$G$是$n$阶连通简单图，$Δ(G)$和$χ'(G)$分别表示$G$的最大度和色指数. Vizing证明了$χ'(G)=Δ(G)$或$Δ(G)+1$。根据该结果，如果每个$e\in E(G)$均为$χ'(G)=Δ(G)+1$和$χ'(G-e)=Δ(G)$，则将$G$称为$Δ$ -关键。1968年，Vizing证明了如果$G$是$n$ -顶点$Δ$ -临界图，则独立数$α(G)\le n/2$ .此外，他强调，事实上，PDMATHAMM有一个2因子。Luo和Zhao证明了：如果$G$是一个$n$ -顶点$Δ$ -临界图，且具有$Δ(G)\ge n/2$，则$α(G)\le n/2$ .最近，他们证明了如果$G$是一个$n$ -顶点$Δ$ -临界图，且有$Δ(G)\ge 6n/7$，则$G$有一个哈密尔顿圈，因此$G$有一个2-因子。本文证明了：如果$G$是一个$n$ -顶点$Δ$ -临界图，且有$Δ(G)\ge n/2$，则$G$有2-因子.
2014-09-30 math.CO
A class of graphs approaching Vizing's conjecture
对于任何图$G=(V,E)$，如果所有顶点都包含在$S$的闭邻域中，则称为子集$S\subseteq V$ \emph{dominates} $G$，即$N[S]=V$。在所有这样的$S$上的最小基数被称为支配数，写作$γ(G)$。1963年，V.G. Vizing证明了$γ(G \square H) \geq γ(G)γ(H)$，其中$\square$表示图的笛卡尔积.本文定义了图类$\mathcal{A}_n$，使得每个图都属于某个图类，而$\mathcal{A}_0$对应于Bartsalkin和German的图类$A$.证明了对$\mathcal{A}_1$类中的任意图$G$，$γ(G\square H)\geq \left(γ(G)-\sqrt{γ(G)}\right)γ(H)$ .
2016-04-04 math.CO
Vizing's conjecture for cographs
我们证明了如果$G$是一个余图，即$P_4$是自由的，则对任何图$H$，$γ(G\square H)\geq γ(G)γ(H)$ .通过将上图刻画为$K_1$的并和并的有限序列，这个结果很容易地从Bartsalkin和German的结果得到。然而，所使用的技术是新的，可能有助于证明其他结果。
2016-10-03 math.CO
Vizing's edge-recoloring conjecture holds
1964年Vizing证明了从图G的任意k-边染色出发，仅用Kempe交换就可以得到G的（$Δ$ + 1）-边染色，其中$Δ$是G的最大度。一年后，他证明了如果存在G的一个边，那么也可以得到G的一个$Δ$ -边染色。Bonamy et. al证明了该猜想对于无三角形图的情形是成立的。在本文中，我们证明了所有图的猜想。
2023-02-24 cs.DM math.CO
A $2/3$ Bound for Vizing's Conjecture
Clayton State University（克莱顿州立大学）
本文利用已知结果证明Vizing型不等式γ(G□H) ≥ 0.5809 γ(G)γ(H)，改进了Vizing猜想的常数下界。
2026-09-11 math.CO
Vizing's 2-factor Conjecture Involving Toughness and Maximum Degree Conditions
设$G$是简单图，$Δ(G)$和$χ'(G)$分别表示$G$的最大度和色指数. Vizing证明是$χ'(G)=Δ(G)$或$Δ(G)+1$。如果对$G$的每个真子图$H$，$χ'(G)=Δ+1$和$χ'(H)<χ'(G)$都成立，则称$G$是$Δ$ -临界的. 1968年，Vizing证明了如果$G$是一个$Δ$ -临界图，那么$G$有一个2-因子.设$G$是$n$ -顶点$Δ$ -临界图.证明了如果$Δ(G)\ge n/2$，则$G$有2-因子;如果$Δ(G)\ge 2n/3+12$，则$G$有一个哈密顿循环，因此有2-因子。众所周知，每一个至少有三个顶点的2-坚韧图都有一个2-因子。我们研究了在给定韧性和最大度的条件下，$Δ$临界图中2-因子的存在性。特别地，我们证明了如果$G$是一个$n$ -顶点$Δ$ -临界图，其韧性至少为3/2，最大度至少为$n/3$，则$G$有一个2-因子.此外，我们开发了新的技术，证明存在的2-因子的图。
2017-09-05 math.CO
An Improvement on Vizing's Conjecture
令$γ(G)$表示图$G$的控制数。图$G$的{ \it罗马控制函数}是一个函数$f: V\to\{0,1,2\}$，使得每个0的顶点都有一个2的邻居。{ \it罗马控制数} $γ_R(G)$是所有此类函数上的$f(V(G))=Σ_{v\in V}f(v)$的最小值。令$G\square H$表示图$G$和$H$的笛卡尔积。本文证明了对所有简单图$G$和$H$都有$γ(G)γ(H) \leq γ_R(G\square H)$，它是Clark和Suen给出的$γ(G)γ(H) \leq 2γ(G\square H)$的改进，自$γ(G\square H)\leq γ_R(G\square H)\leq 2γ(G\square H)$ .
2009-09-21 math.CO
Towards a Computational Proof of Vizing's Conjecture using Semidefinite Programming and Sums-of-Squares
Vizing猜想（1968年公开）将两个图的控制数的乘积与它们的笛卡儿积图的控制数联系起来。在本文中，我们将Vizing猜想表述为一个正恒星存在性问题。特别是，我们选择类的图，根据他们的顶点数和控制数和编码的猜想作为一个理想/多项式对，这样的多项式是非负的各种与理想的当且仅当猜想是真的这个图形类。使用半定规划，我们获得数字平方和证书，然后我们设法转换成符号证书，确认我们的多项式的非负性。具体来说，我们获得确切的低度稀疏平方和证书的特定类别的图形。所获得的证书允许更大的图形类的泛化。除了计算验证这些更一般的证书，我们还提出了理论证明，以及进一步调查的问题。
2020-03-09 math.CO math.OC
Precoloring extension of Vizing's Theorem for multigraphs
设$G$是一个具有最大度$Δ(G)$和最大重数$μ(G)$的图. Vizing和Gupta在20世纪60年代分别证明了$G$的色指数至多为$Δ(G)+μ(G)$。$G$中的两条边$e$和$f$之间的距离是连接$e$的端顶点和$f$的端顶点的最短路径的长度。距离- $t$匹配是成对距离至少为$t$的一组边。Edwards等人提出了如下猜想：对于任何图$G$，使用调色板$\{1, \dots, Δ(G)+μ(G)\}$，距离- $2$匹配上的任何预着色都可以扩展为$G$的适当边着色。Girão和Kang用距离- $9$匹配验证了这个猜想。在本文中，我们改进了重图$G$与$μ(G) \ge 2$的从$9$到$3$的所需距离。
2022-04-03 math.CO
A list analog of Vizing's Theorem for simple graphs with triangles but no other odd cycles
这篇论文已被作者撤回。Peterson和Woodall以前证明了列表边着色猜想对没有长度为5或更长的奇圈的图成立。D. Peterson和D. R. Woodall，Edge-Choosability in line-perfect multigraphs，Discrete Mathematics 202（1999），191-199. D. Peterson和D. R. Woodall，Erratum to“Edge-Choosability in line-perfect multigraphs”，Discrete Mathematics 260（2003），323-326.
2015-08-07 math.CO
An Optimization-Based Sum-of-Squares Approach to Vizing's Conjecture
Vizing猜想（1968年公开）将两个图的控制集的大小与它们的笛卡儿积图的控制集的大小联系起来。在本文中，我们制定Vizing的猜想本身作为一个Positivstellenestimate存在性问题。特别地，我们将猜想编码为理想/多项式对，使得多项式是非负的当且仅当猜想为真。我们演示了如何使用半定优化技术来计算获得数字平方和证书，然后展示了如何将这些数字证书转换为符号证书批准我们的多项式的非负性。在概述了这个基于计算机的证明Vizing猜想的理论结构，我们提出了计算和理论结果。特别是，我们提出了确切的低度稀疏平方和证书的特定家庭的图形。
2019-05-06 cs.SC math.AC math.AG
On a Vizing-type integer domination conjecture
给定一个简单图$G$，$G$中的支配集是一个顶点$S$的集合，使得每个不在$S$中的顶点都有一个邻居。用$γ(G)$表示$G$的控制数，它是$G$的任何最小控制集的大小。对于任何整数$k\ge 1$，函数$f : V (G) \rightarrow \{0, 1, . . ., k\}$称为\emph{$\{k\}$-dominating function}，如果它的函数值在任何封闭邻域上的和至少是$k$。$\{k\}$ -支配函数的权是它在所有顶点上的值之和。定义$G$的$\{k\}$ -控制数$γ_{\{k\}}(G)$为所有$\{k\}$ -控制函数的最小权. Brešar，Henning和Klavžar（关于图中的整数支配和Vizing类问题。\emph{Taiwanese J. Math.} {10（5）}（2006）pp. 1317--1328）询问是否存在整数$k\ge 2$使得$γ_{\{k\}}(G\square H)\ge γ(G)γ(H)$。在本注记中，我们使用罗马$\{2\}$ -支配数，Chellali，Haynes，Hedetniemi和McRae的$γ_{R2}$（罗马$\{2\}$ -支配数。\emph{Discrete Applied Mathematics} {204}（2016）pp.（第22至28段）证明了若$G$是无爪图，$H$是任意图，则…
2020-07-08 math.CO
The History of the Total Chromatic Number Conjecture
全色数色数猜想至今已在几百篇文章和无数的书籍中出现，是经典的数学未解问题之一。似乎许多作者巧合地将其归功于M教授。Behzad教授和/或V.G.维辛40年后，A. Soifer调查了这个猜想的起源，并在2009年的《数学着色书》（The Mathematical Coloring Book）上发表了他的发现，并表示：“在我看来，这毫无疑问应该归功于Vizing和Behzad。“在检查了所有提出的论点和引用的指责后，我决定自己调查这本书中陈述的争议。我在本报告中提出的调查结果具体表明了以下两点。- M. Behzad是全色数猜想的唯一作者。- 在过去的44年里，许多作者提供了错误的转介，以表明Vizing的作者身份，必须通过适当的手段尽快引起作者和研究人员的注意。
2011-04-15 math.CO
A new bound for Vizing's conjecture
该研究通过定义图的幂$π(G)$，建立控制顶点与邻域子集的高效对应，得到Vizing猜想的新下界，并推导奇偶控制数情形的界及$γ(G)=3$时猜想的简短证明。
2025-09-05 math.CO
A precolouring extension of Vizing's theorem
固定$Δ+1$颜色的调色板$\mathcal K$、具有最大度$Δ$的图以及边缘之间的最小距离至少为$9$的边缘集的子集$M$。如果$M$的边是从$\mathcal K$任意预着色的，则保证存在仅使用来自$\mathcal K$的颜色的适当的边着色，其将$M$上的预着色扩展到整个图。这个结果是Vizing定理的第一个一般预着色推广形式，并且在稍强的距离要求下证明了Albertson和Moore的一个猜想。当图中不含长度为$5$的圈时，距离的条件可降为$5$ .
2018-12-27 math.CO
Kőnig's Line Coloring and Vizing's Theorems for Graphings
经典的Vizing定理指出，每个最大度$d$的图允许至多有$d+1$色的边染色。此外，正如Kynnig先前所示，如果图是二分图，则$d$颜色就足够了。研究了图的可测边着色的存在性。图是有界度图的一种分析推广，它出现在各种领域，如稀疏图极限、轨道等价理论和可测群论。我们证明了最大度$d$的每一个图都有一个用$d + O(\sqrt{d})$颜色的可测边染色;此外，如果图没有奇圈，那么$d+1$颜色就足够了。事实上，如果关于有限图的某个猜想加强了Vizing定理，那么我们的方法将表明$d+1$颜色总是足够的。
2016-08-21 math.CO
A constant-factor step towards Vizing's conjecture
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
本文改进了Clark-Suen关于图支配数的乘积下界，将常数因子从1/2提升至约0.5643，首次实现绝对常数改进。
2026-06-15 math.CO
Vizing-Goldberg type bounds for the equitable chromatic number of block graphs
图$G$的均匀染色是图$G$的适当顶点染色，使得任意两个色类的大小相差至多1。在本文中，我们提出了一个猜想，提供了一个间隙一界的最小数量的颜色需要公平的颜色每个块图。换句话说，我们的猜想的上界和下界之间的差至多为1。因此，在某种意义上，这种情况类似于色指数，我们有经典的Vizing定理和Goldberg猜想。文中的结果支持了我们的猜想。更准确地说，我们验证了它在类的覆盖良好的块图，这是块图中的每个顶点属于一个最大独立集。我们还表明，猜想是真实的块图，其中包含一个顶点，不在于一个独立集的大小大于2。最后，我们验证了一些类图块图的猜想。为了得到我们的结果，我们得到了这些类的块图的结构特征。
2020-04-29 cs.DM math.CO
Bounding the k-rainbow total domination number
最近，$k$ -彩虹全控制的概念被引入到图$G$中，其动机是希望将计算广义棱柱$G \Box K_k$的全控制数的问题简化为$G$上的整数标号问题。在本文中，我们进一步证明了标记方法的有用性，根据全控制数，彩虹控制数和彩虹全控制数以及通常的控制数给出了彩虹全控制数的界限，其中后者给出了Goddard和Henning（2018）结果的推广。我们建立了彩虹支配和彩虹全支配的Vizing样结果。通过对彩虹全控制的一个Vizing猜想的陈述，对Vizing猜想在二部图的情形下提出了一个不同的观点.
2020-03-20 math.CO
Sum-of-Squares Certificates for Vizing's Conjecture via Determining Gröbner Bases
本文针对 Vizing 猜想，通过确定 Vizing 理想的 Gröbner 基，推导出 SOS 证书的最小次数，并提出一种基于更小 SDP 的证书寻找方法，在 SageMath 中实现并给出新证书。
2023-06-21 math.CO math.OC
On the 3-colorability of triangle-free and fork-free graphs
本文证实了Randerath于1998年提出的猜想，即无三角形且无fork的图满足Vizing界$χ(G)\leq ω(G)+1$。
2025-04-01 math.CO
Proper Additive Edge Colorings of Regular Graphs
本文研究正则图的正常加性边色数，证明了对于d-正则Vizing-1类图，其正常加性边色数等于边色数，并给出了Vizing-2类图的上界。
2026-06-17 math.CO
Remarks on planar edge-chromatic critical graphs
Vizing猜想的唯一公开的情形是$Δ= 6$，即每个具有$Δ\geq 6$的平面图都是1类图。我们给出了以下命题的一个简短证明：不存在6-临界平面图$G$，使得$G$的每个顶点至多与三个3-面关联. \cite{Wang_Xu_2013}中给出了一个更强有力的声明，不限于临界图。然而，那里给出的证明只对临界图有效。进一步证明了每个5-临界平面图都有一个3-面与一个$k$ -面$(k\in \{3,4\})$相邻.对于$Δ= 5$，我们的结果揭示了平面$5$ -临界图的结构，对于$Δ=6$，我们的结果支持了Vizing平面图猜想的正确性.
2017-02-24 math.CO
Face-degree bounds for planar critical graphs
唯一剩下的情况下，一个著名的猜想Vizing国家，没有可平面图的最大程度6和边色数7。我们引入了可平面图的参数，基于面的度，并研究了平面边色临界图的这些参数是否存在上界的问题。我们的研究结果提供了这些参数的最小反例Vizing的猜想的上界，从而提供了这样的图的部分特征，如果它们存在。对于$k \leq 5$，这些结果给出了平面边色临界图的结构。
2016-08-24 math.CO
Signed list edge coloring in graphs of bounded treewidth
Yan’an University（延安大学）；School of Mathematics and Statistics, Northwestern Polytechnical University（西北工业大学数学与统计学院）；School of Mathematics and Statistics & Key Laboratory of Analytical Mathematics and Applications (Ministry of Education), Fujian Normal University（福建师范大学数学与统计学院与分析数学及应用重点实验室（教育部））；School of Marine Science and Technology, Northwestern Polytechnical University（西北工业大学海洋科学与技术学院）
本文研究符号图的列表边着色，将经典列表边着色与符号边着色推广，证明树宽为3的符号图及树宽4且Δ≥10的符号图满足 Vizing 猜想的符号类似。
2026-08-21 math.CO
Chromatic index, treewidth and maximum degree
我们猜想，树宽为~ $k$且最大度为$Δ(G)\geq k + \sqrt{k}$的图$G$满足$χ'(G)=Δ(G)$ .在支持的猜想，我们证明其分数版本。我们还证明了树宽为$k\geq 4$且度为最大的图$G$满足$χ'(G)=Δ(G)$，改进了Vizing的一个旧结果.
2018-04-24 math.CO
Average degrees of edge-chromatic critical graphs
给定一个图$G$，用$Δ$、$\bar{d}$和$χ^\prime$分别表示图$G$的最大度、平均度和色指数.一个简单图$G$称为{ \it edge- $Δ$ -critical}，如果对$G$的每个真子图$H$，有$χ^\prime(G)=Δ+1$和$χ^\prime(H)\leΔ$. Vizing在1968年指出，如果$G$是边缘- $Δ$ -临界的，那么$\bar{d}\geq Δ-1+ \frac{3}{n}$。我们证明了$$ \begin{displaystyle} \avd \ge \begin{cases} 0.69241\D-0.15658 \quad\,\: \mbox{ if } Δ\geq 66, 0.69392\D-0.20642\quad\;\,\mbox{ if } Δ=65, \mbox{ and } 0.68706\D+0.19815\quad\! \quad\mbox{if } 56\leq Δ\leq64. \end{cases} \end{displaystyle} $$这个结果改进了Woodall在2007年为$Δ\geq 56$得到的最好的已知结合$\frac{2}{3}(Δ+2)$。此外，Woodall构造了一个无限图族，证明他的结果不能用著名的Vizing邻接引理和其他已知的边着色技术来改进。为了克服这一障碍，我们遵循最近发展的Tas…
2017-08-03 math.CO
A note on Goldberg's conjecture on total chromatic numbers
设$G=(V(G), E(G))$是一个具有最大度$Δ(G)$、色指数$χ'(G)$和全色数$χ''(G)$的多重图. Behzad和Vizing分别提出了全着色猜想，证明了对于重图$G$，有$χ''(G)\leq Δ(G)+μ(G) +1$，其中$μ(G)$是$G$的重数.此外，Goldberg证明了$χ''(G)=χ'(G)$是$χ'(G)\geq Δ(G)+3$的充要条件，并注意到当$G$是边色临界图时该猜想成立.通过Goldberg-Seymour猜想，本文证明了$χ''(G)=χ'(G)$若为$χ'(G)\geq \max\{ Δ(G)+2, |V(G)|+1\}$.因此，$χ''(G) = χ'(G)$若$χ'(G) \ge Δ(G) +2$和$G$有一个生成边色临界子图.
2021-09-15 math.CO
The Hilton--Zhao Conjecture is True for Graphs with Maximum Degree 4
一个单图$G$是\emph{overfull}，如果$|E(G)|>Δ\lfloor|V(G)|/2\rfloor$。根据鸽子洞原理，每个过满图$G$都有$χ'(G)>Δ$。图的\emph{core}，记作$G_Δ$，是由它的度点$Δ$导出的子图。Vizing的邻接引理意味着如果$χ'(G)>Δ$，则$G_Δ$包含圈。Hilton和Zhao证明，如果$G_Δ$具有最大度2和$Δ\ge 4$，则$χ'(G)>Δ$恰好在$G$过满时。我们证明了这个猜想的情况$Δ=4$。
2019-05-18 math.CO
Adjoining edges to $G\mathbin{\square}H$ to construct a minimal dominating set of size $γ(G)γ(H)$
对于图$G,H$，可以将$(|V(G)|-γ(G))(|V(H)|-γ(H))$边添加到笛卡儿积$G\mathbin{\square}H$，使得出现大小为$γ(G)γ(H)$的最小支配集$D$。我们假设$D$也是所得图的最小支配集，并表明这意味着Vizing的猜想。
2021-11-16 math.CO
A proof of the Total Coloring Conjecture
图的\textit{Total Coloring}是组合数学中的一个主要着色问题，在早期的$1960$中引入.图$G$的\textit{total coloring}是映射$f:V(G) \cup E(G) \rightarrow \mathcal{K}$，其中$\mathcal{K}$是一组颜色，满足以下三个条件：1.对于任意两个相邻顶点$u, v \in V(G)$的$f(u) \neq f(v)$; 2.对于任意两个相邻边$e, e' \in E(G)$的$f(e) \neq f(e')$;以及3. $f(v) \neq f(e)$，用于任何顶点$v \in V(G)$和与同一顶点$v$关联的任何边$e \in E(G)$。\textit{total chromatic number}、$χ''(G)$是$G$的\textit{total coloring}所需的最小颜色数。Behzad（1965）和Vizing（1968）证明了对任何图$G$ $χ''(G)\leq Δ+ 2$。这个猜想是一个经典的未解决的数学问题。本文通过证明图的\textit{total chromatic number} $χ''(G)$确实由$Δ+2$上有界来解决这个经典猜想。我们的新方法涉及代数设置在一个有限域$\mathbb{Z}_p$和Vizing定理是一个重要的组成部分的代数设置。
2021-06-17 cs.DM math.CO
Independence number of edge-chromatic critical graphs
设$G$是一个简单图，其最大度为$Δ(G)$，色指数为$χ'(G)$ . Vizing的一个经典结果表明，$χ'(G )=Δ(G)$或$χ'(G )=Δ(G)+1$。图$G$称为$Δ$ -关键的，如果$G$是连接的，$χ'(G )=Δ(G)+1$和任何$e\in E(G)$，$χ'(G-e)=Δ(G)$。设$G$是$n$ -顶点$Δ$ -临界图. Vizing证明了$G$的独立数$α(G)$至多为$\frac{n}{2}$。目前关于这个猜想的最好结果是$α(G)<\frac{3n}{5}$。我们证明了对任意给定的$\varepsilon\in (0,1)$，存在正的常数$d_0(\varepsilon)$和$D_0(\varepsilon)$，使得如果$G$是一个$n$ -顶点$Δ$ -临界图，其最小度至少为$d_0$，最大度至少为$D_0$，则$α(G)<(\frac{1}{2}+\varepsilon)n$ .特别地，我们证明了如果$G$是一个$n$ -顶点$Δ$ -临界图，其最小度至少为$d$和$Δ(G)\ge (d+2)^{5d+10}$，则\[ α(G) < \left. \begin{cases} \frac{7n}{12}, & \text{if $d= 3$; } \frac{4n}{7}, & \text{if $d= 4$; } \frac{d+2+\sqrt[…
2018-05-15 math.CO
The Abu-Khzam$\unicode{x2013}$Langston Conjecture for Graphs with $α(G) = 2$
Technische Universität Ilmenau（伊尔梅瑙工业大学）
本文证明了 Abu-Khzam–Langston 猜想对于独立数为 2 的图类成立，并引入了图的环匹配着色概念，证明了在此设定下 Vizing 定理的一个加强形式。
2026-05-27 math.CO
A Tight Upper Bound on the Average Order of Dominating Sets of a Graph
本文研究了图的控制集的平均阶，即图的控制集的平均阶$\operatorname{avd}(G)$ .像其他平均图参数一样，极值图也是有趣的。Beaton和Brown（2021）证明了对于所有不含孤立点的$n$阶的图$G$，有$\operatorname{avd}(G) \leq 2n/3$ .最近，Erey（2021）证明了无孤立点森林的猜想。本文证明了猜想，并对具有$\operatorname{avd}(G) = 2n/3$的图进行了分类.我们还使用我们的边界来证明Vizing猜想的平均版本。
2022-11-14 cs.DM math.CO
Proof of the Core Conjecture of Hilton and Zhao
设$G$是一个简单图，其度为$Δ$的最大值.如果是$|E(G)|>Δ\lfloor |V(G)|/2\rfloor$，我们称之为$G$ \emph{overfull}。$G$的\emph{core}，记作$G_Δ$，是$G$的由其度$Δ$的顶点导出的子图。Vizing的一个经典结果表明，$G$的色指数$χ'(G)$是$Δ$或$Δ+1$。确定一般图的色指数是NP-完全的。但是，如果$G$过满，则$χ'(G)=Δ+1$。Hilton和Zhao在1996年证明了：如果$G$是一个简单连通图，且有$Δ\ge 3$和$Δ(G_Δ)\le 2$，则有$χ'(G)=Δ+1$当且仅当$G$是过满图或$G=P^*$，其中$P^*$是从Petersen图中删除一个顶点得到的.如果这个猜想成立，则给出了一种计算满足条件的图$G$的$χ'(G)$的简便方法.该猜想的进展缓慢：仅在2003年和2017年分别证实了$Δ=3,4$。本文对所有的$Δ\ge 4$证明了这个猜想.
2020-04-01 math.CO
$(2P_2,K_4)$-Free Graphs are 4-Colorable
本文证明了所有无$(2P_2,K_4)$图都是4-可着色的.五轮和七轮的补充达到了界限。这回答了Wagon \cite{Wa80}在20世纪80年代提出的一个悬而未决的问题。我们的结果也可以被看作是一个结果，在研究的Vizing界的图类。图着色计算复杂性研究中的一个主要问题是无$(4P_1,C_4)$图的着色能否在多项式时间内解决。Lozin和Malyshev \cite{LM17}推测答案是肯定的。作为我们主要结果的应用，我们给出了$(4P_1,C_4)$ -free图的一个2-近似染色算法，为猜想提供了第一个肯定的证据。
2018-12-14 math.CO
On the neighbour sum distinguishing index of planar graphs
设$c$是图$G=(V,E)$的一个真边染色，其整数为$1,2,\ldots,k$ .然后$k\geq Δ(G)$，而根据Vizing定理，构造这样的$c$所需的不超过$k=Δ(G)+1$。在研究图中的不规则性的过程中，还证实了只有稍大的$k$，即，$k=Δ(G)+2$使得能够实施$c$的附加强特征，即，它将不同的入射颜色和归因于$G$中的相邻顶点，只要该图没有孤立的边并且不同构于$C_5$。我们证明了这个猜想对最大度足够大的平面图是成立的。事实上，更强的声明举行，作为必要的数量的颜色所产生的结果Vizing被证明是足够的这一家庭的图表。具体地说，我们的主要结果指出，每个平面图PDMATHAMT的最大程度至少$28$，其中不包含孤立的边缘承认一个适当的边着色$c:E\to\{1,2,\ldots,Δ(G)+1\}$，使$\sum_{e\ni u}c(e)\neq \sum_{e\ni v}c(e)$的每一个边$uv$的PDMATHAMT。
2018-03-05 cs.DM math.CO
Total-coloring of planar graphs with maximum degree 6 and without prescribed 4-cycles
Guangzhou University（广州大学）；Peking University（北京大学）
本文改进了平面图全染色结果，证明最大度为6且不含某些特殊4环的平面图是7-全可染的，推进了全染色猜想在平面图上的研究。
2026-09-18 math.CO
Vu's conjecture holds for claw-free graphs
本文从结构图论角度首次探讨Vu的猜想，证明无爪图的色数最多为$Δ_2(G)+3$且该界紧致，推广了Vizing边着色经典界。
2025-11-05 math.CO
Simultaneous edge-colourings
本研究推广Vizing定理，针对同时为多个图边着色的问题，给出了渐近最优的颜色数界，解决了相关猜想，并扩展到列表设置。
2024-11-06 math.CO
The union-closed sets conjecture almost holds for almost all random bipartite graphs
弗兰克尔的并闭集猜想指出，在每一个集合的有限并闭集中，有一个元素包含在至少一半的成员集中（假设至少有两个成员）。这个猜想在图的方面有一个等价的公式：在每个至少有一条边的二部图中，两个色类都包含一个至多属于一半的最大稳定集的顶点。证明了对任意固定的边概率，几乎任意的随机二部图几乎满足Frankl猜想。
2013-02-28 math.CO
A short proof of the Goldberg-Seymour conjecture
本文给出了Goldberg-Seymour猜想的简短证明，并提出时间复杂度为$O(|V|^5|E|^3)$的多项式算法，证实了Hochbaum-Nishizeki-Shmoys关于边着色可多项式时间求解的猜想。
2024-07-12 math.CO
Labelled version of the almost bounded case of S. B. Rao's degree sequence conjecture
S. B. Rao证明了图序列在基于诱导子图的包含下是良准序的。这个猜想现在已经被Chudnovsky和Seymour证明了。我们给出了S的几乎有界情形的标号形式的一个独立的简短证明。B. Rao猜想，我们有一个度的界限，但允许有界数量的顶点有无界度的情况。
2013-06-14 math.CO
Chromatic index determined by fractional chromatic index
给定一个可能有多条边但没有环的图$G$，分别用$Δ$表示$G$的{\it最大度}，$μ$表示$G$的{\it重数}，$χ'$表示$G$的{\it色指数}，$χ_f'$表示$G$的{ \it分数色指数}。已知$Δ\le χ_f' \le χ' \le Δ+ μ$，其中上界是Vizing的经典结果。而$χ'$的精确值的确定是一个经典的NP完全问题，$χ_f'$的计算是在多项式时间内。事实上，它表明，如果$χ_f' > Δ$然后$χ_f'= \max \frac{|E(H)|}{\lfloor |V(H)|/2\rfloor}$，其中的最大值是在所有诱导子图$G$ $H$。Gupta\，（1967），Goldberg\，（1973），Andersen\，（1977），and Seymour\，（1979）证明了$χ'=\lceilχ_f'\rceil$若$χ'\ge Δ+2$，这通常被称为Goldberg猜想。在本文中，我们表明，如果$χ' >Δ+\sqrt[3]{Δ/2}$然后$χ'=\lceilχ_f'\rceil$。以前最著名的结果是由Scheide和Chen，Yu和Zang独立地得到的具有$χ'> Δ+\sqrt{Δ/2}$的图。本文证明了Goldberg猜想等价于Jakobsen的猜想：{ \it对于任何正整数$m$和$m\ge 3$，每个图$G$和$χ'>\frac{m}{m…
2016-12-12 math.CO
The 1-2-3 Conjecture almost holds for regular graphs
著名的1-2-3猜想断言，每个没有孤立边的图的边都可以用$1$、$2$和$3$加权，使得邻顶点的加权度不同。这通常是开放的，而从权重集$\{1,2,3,4,5\}$已知是可能的。我们证明了对于正则图，使用权值$1$，$2$，$3$，$4$是足够的。此外，我们还证明了对于每一个具有$d\geq 10^8$的$d$ -正则图，这个猜想都成立.
2019-12-18 math.CO
Brouwer's conjecture holds asymptotically almost surely
我们证明了，对于随机图序列，当顶点数趋于无穷大时，Brouwer猜想的概率趋于1。令人惊讶的是，发现类似的陈述也适用于可能具有负权重的加权图。对于顶点数固定的图，这个结果意味着存在常数$C>0$和$n_{0}$，使得如果$n\geq n_{0}$，则在所有顶点数为$n$的$2^{n \choose 2}$图中，至少有$\left(1-\exp\left(-Cn\right)\right)2^{n \choose 2}$图满足Brouwer猜想.
2019-06-12 math.CO
Towards the Overfull Conjecture II
Georgia State University（佐治亚州立大学）；Auburn University（奥本大学）
本文研究图边染色中的过满猜想，针对最大度大于|V(G)|/3的图，证明了在满足一定密度条件的鲁棒扩展图中猜想成立，并推出对最大度至少为(1+ε)|V(G)|/2的足够大图猜想成立。
2026-07-03 math.CO
Towards the Overfull Conjecture
本文首次在无最小度条件下推进过满猜想，证明对任意 0<ε≤1/14，当图 G 的顶点数 n 足够大且最大度 Δ(G)≥(1-ε)n 时猜想成立，并同时推出 Vizing 平均度猜想。
2024-09-05 math.CO
$Δ$-critical graphs with a vertex of degree 2
设$G$是一个简单图，其度为$Δ$的最大值. Vizing的一个经典结果表明，$G$的色指数$χ'(G)$是$Δ$或$Δ+1$。如果$χ'(G)=Δ$，我们说$G$是\emph{Class 1}的，否则是\emph{Class 2}的。一个图$G$是\emph{$Δ$-critical}，如果$χ'(G)=Δ+1$和$χ'(H)<Δ+1$对$G$的每个真子图$H$，并且是\emph{overfull}，如果$|E(G)|>Δ\lfloor (|V(G)|-1)/2 \rfloor$。显然，过满图是第二类。Hilton和Zhao在1997年证明了如果$G$是从$n$ -顶点$Δ$ -正则1类图中通过分裂一个顶点得到的，且其最大度大于$n/3$，则过满是$G$是2类图的唯一原因.这个猜想只有在$Δ\ge \frac{n}{2}(\sqrt{7}-1)\approx 0.82n$ .本文将$Δ$上的界从$\frac{n}{2}(\sqrt{7}-1)$改进为$0.75n$ .考虑顶点度为2的$Δ$ -临界图的结构，我们还证明了对于一个顶点度为$Δ\ge \frac{3n}{4}$的$n$ -顶点$Δ$ -临界图，如果它包含一个顶点度为2的图，则它是过满的.我们实际上得到了这个结果的一个更一般的形式，它部分地支持了Chetwynd和Hilton在1986年提出的过满猜想，即如果$G$是一个…
2020-05-25 math.CO
Bollobás-Nikiforov conjecture holds asymptotically almost surely
该研究针对Bollobás-Nikiforov提出的图邻接矩阵特征值与边数、团数关系的猜想，证明了在随机图序列中，当顶点数趋于无穷时，该猜想成立的概率趋于1，即猜想渐近几乎必然成立。
2025-01-13 math.CO
Almost all 9-regular graphs have a modulo-5 orientation
针对Jaeger推广的Tutte流猜想中p=2的情况，证明随机9正则图渐近几乎必然存在入度为2或7的边定向，且几乎所有9正则、8边连通图满足该猜想，结果基于小subgraph条件化方法。
2025-04-16 math.CO
Random 4-regular graphs have 3-star decompositions asymptotically almost surely
2006年，Barat和Barassen证明了每个平面4-正则4-边连通图的边都可以分解为具有3片叶子的星的副本。不久之后，Lai构造了这个猜想的一个反例。利用Robinson和Wormald的小子图条件化方法，证明了随机4-正则图几乎必然渐近地有一个$S_3$ -分解，只要顶点数能被3整除.
2018-03-29 math.CO
Almost All Regular Graphs are Normal
1999年，De Simone和Körner证明了每个没有导出$C_5,C_7,\overline{C}_7$的图都包含一个团覆盖$\mathcal C$和一个独立集覆盖$\mathcal I$，使得$\mathcal C$中的每个团和$\mathcal I$中的每个独立集有一个公共点。这个猜想起源于信息论，被称为正规图猜想。在这里，我们证明了所有有界的最大程度和足够大的奇围长（线性的最大程度）的图是正常的。这意味着对于每一个固定的$d$，随机的$d$ -正则图是a.a. s。正常
2015-11-24 math.CO
On the chromatic number of almost s-stable Kneser graphs
在2011年，Meunier证明了对于具有$ k\geq 2$，$r\geq 2$和$n\geq \max (\{r,s\})k$的正整数$n,k,r,s$，$s$ -稳定的$r$ -均匀Kneser超图的色数等于$\left\lceil \frac{n-\max (\{r,s\})(k-1)}{r-1}\right\rceil $。它是Ziegler（2002）和Alon，Drewnowski and Schluczak（2009）提出的猜想的加强版本。Meunier（2011）也引入了几乎$s$ -稳定的$r$ -一致Kneser超图的色数问题.对于Meunier猜想的$r=2$情形，Jonsson（2012）提供了一个纯粹的组合证明，以证实$s\geq 4$和$n$足够大的猜想，Chen（2015）甚至证明了$s$和任何$n$。$ s=3$的情况是完全开放的，即使是通常的几乎$s$ -稳定的Kneser图的色数.本文用不同的方法得到了几乎$s$ -稳定的$r$ -一致Kneser超图的色数的一个拓扑下界。对于$r=2$情形，我们得到几乎$s$ -稳定Kneser图的色数对所有的$s\geq 2$都等于$n-s(k-1)$.设置$t=n-s(k-1)$。证明了几乎$s$稳定Kneser图的任意真染色必含有完全多色完全二部子图$K_{\left\lceil \frac{t}{2}…
2017-11-17 math.CO
