An integral representation for the product of two parabolic cylinder functions having unrelated arguments
M. L. Glasser
为抛物柱面函数乘积$D_μ(x)D_μ(-y)$提供了一种整表示，其中$Re\,μ<0$和$x>y$是不相关的。以双曲积分和求和法则的形式给出了一些简单的结论。
An integral representation is provided for the parabolic cylinder function product $D_μ(x)D_μ(-y)$ where $Re\,μ<0$ and $x>y$ are unrelated. A few simple consequences are given in the form of hyperbolic integrals and a sum rule.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Universal Bounds and Monotonicity Properties of Ratios of Hermite and Parabolic Cylinder Functions
本文得到了一类Hermite函数与抛物柱面函数之比的未证明性质。这些比率被证明是严格递减的，并受普适常数的约束。与通常的分析方法不同，我们采用简单的纯概率参数来得出我们的结果。特别是，我们利用厄米和抛物柱面函数和特征函数的无穷小生成的Ornstein-Uhlenbeck过程之间的关系。作为副产品，我们得到了Turán型不等式。
Comments on the paper "Universal bounds and monotonicity properties of ratios of Hermite and Parabolic Cylinder functions"
在[1]的摘要中我们读到：“我们得到了涉及一类Hermite和抛物柱面函数的比的迄今未证明的性质。“然而，我们解释了该论文中的一些主要结果是如何在[2]中得到证明的，即”万有界“。文[1]中讨论了文[2]中的一个错误，它并不影响文[2]中给出的关于这些“泛界”的证明;我们很容易修正这个错误。最后，我们提出了一个猜想，关于最好的可能的上界为一定比例的抛物柱面函数。
Estimates of parabolic cylinder functions on the real axis
我们估计了抛物柱面函数及其导数的简单组合。这些估计对于非解析微扰量子谐振子的谱分析具有重要意义。估计是有效的，在相当复杂的领域和完善有经典的结果Olver。我们确定真实x轴的部分，它在估计的范围内。这需要详细研究标准准经典变量中实x轴的图像。
Uniform asymptotic expansions for solutions of the parabolic cylinder and Weber equations
导出了抛物柱面和Weber微分方程解的渐近展开式。此外，非齐次版本的方程被认为是多项式强迫项的情况下。展开涉及指数，Airy和Scorer函数和缓慢变化的解析系数函数，涉及简单的系数。近似是一致有效的大值的参数和无界的实和复值的参数。明确和易于计算的误差界提供或提供所有的近似。
Parabolic Cylinder Functions: Examples of Error Bounds For Asymptotic Expansions
本文讨论了抛物柱面函数的几种渐近展开式，并给出了展开式中逼近器的误差界。特别是庞加莱{é}型展开的大值的参数$z$和大值的参数的一致的扩展被认为是。这些展开式基于Olver（1959）给出的展开式和Temme（2000）给出的这些展开式的修改。计算机代数技术用于获得表示的界限和数值计算。
Exponentially small expansions related to the parabolic cylinder function
本文讨论了{ \it Appl. Math. Sci.}中给出的汇合型超几何函数$M(a,b,z)$在Stokes线$\arg\,z=π$上的精细渐近展开式。{ \bf 7}（2013）6601- 6609用于推导与韦伯方程相关的二阶微分方程的偶数和奇数解的渐近展开的正确的指数小贡献。它表明，标准渐近的抛物柱面函数$U(a,z)$产生一个不正确的指数小的贡献，这些解决方案。数值结果验证了新展开式的准确性。
Nield-Kuznetsov functions and Laplace transforms of parabolic cylinder functions
研究了第一类Nield-Kuznetsov函数，它是非齐次抛物型Weber方程的解，并在流体流动问题中有应用。构造了它们之间的连接公式、齐次型微分方程的数值满意解和一个新的互补Nield-Kuznetsov函数。渐近展开，然后推导出一致有效的大值的参数和无界的实值和复值的参数。拉普拉斯变换的抛物柱面函数$W(a,x)$和$U(a,x)$随后被证明是明确表示的补充Nield-Kuznetsov功能和密切相关的功能，并从这些统一的渐近展开的积分。
Uniform asymptotic expansions for the zeros of parabolic cylinder functions
本文针对抛物柱面函数 $U(a,z)$ 的实与复零点，推导了在大 $|a|$ 下对无界 $z$ 一致有效且借助 Airy 函数零点表示的渐近展开，并通过高精度数值对比验证了复零点近似的准确性。
Uniform (very) sharp bounds for ratios of Parabolic Cylinder functions
抛物柱面函数是一类经典的特殊函数，在许多领域都有着广泛的应用。然而，关于这些函数的简单一致逼近和边界的信息很少。我们得到非常尖锐的界限的比率$Φ_n(x)=U(n-1,x)/U(n,x)$和双重比率$Φ_n(x)/Φ_{n+1}(x)$的初等函数（代数或三角），并证明了这些比率的单调性;界$U(n,z)/U(n,y)$也可。边界非常尖锐的$x\rightarrow \pm \infty$和$n\rightarrow +\infty$，在三个不同的方向上的同时清晰度解释了他们的显着的全球准确性。上和下的基本界限，获得能够产生几位数的准确度为中等大的$|x|$和/或$n$。
Product of parabolic cylinder functions involving Laplace transforms of confluent hypergeometric functions
本文利用Kummer的汇合型超几何函数的Laplace变换和傅里叶变换，建立了抛物柱面函数的乘积$D_ν(\pm z)D_{ν+μ-1}(z)$，它具有不同的参数$μ$和$ν$.所提供的整表示被变换为容易产生Nicholson型积分形式，并用于推导抛物柱面函数的乘积的其他级数展开式。
Absence of Zeros and Asymptotic Error Estimates for Airy and Parabolic Cylinder Functions
我们推导了复平面上一类Airy和抛物柱面函数的WKB近似，包括定量的误差界.证明了Airy函数的零点都位于复平面上的一条射线上，而抛物柱面函数没有零点。我们还分析了抛物柱面函数的Airy和Airy-WKB极限。
Integral representations for products of two parabolic cylinder functions with different arguments and orders
本文导出了两个抛物柱面函数乘积的新整表示。特别地，获得了D_{nu}（x）D_{mu}（y）的表达式，其中x>0且y>0，其允许两个抛物柱面函数中的不同阶和自变量。利用抛物柱面函数与Kummer汇合型超几何函数之间的联系，得到了D_{nu}（-x）D_{mu}（y）的两个整表示.该整表示专用于两个互补误差函数和两个第二类1/4阶修正贝塞尔函数的乘积，以及专用于抛物柱面函数和第一类1/4阶修正贝塞尔函数的乘积。
Parabolic cylinder functions revisited using the Laplace transform
本文利用Borel-Laplace方法系统扩展了抛物柱面函数的经典结果，重新审视了Weber方程标准解的构造，提供了复参数下的拉普拉斯积分表示，并基于渐近行为定义了新的解析基本系统。
Eigenfunction expansions for a fundamental solution of Laplace's equation on $\R^3$ in parabolic and elliptic cylinder coordinates
三维拉普拉斯方程的一个基本解被展开为在抛物或椭圆柱面坐标中分离的调和函数。在每种情况下都有两个展开式，它们简化为贝塞尔函数$J_0(kr)$或$K_0(kr)$、$r^2=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2$在抛物线和椭圆柱面谐波中的展开式。利用$K_0(kr)$是欧氏平面上偏微分方程的基本解和$J_0(kr)$是黎曼函数的事实。
Computation of parabolic cylinder functions having complex argument
本文给出了抛物柱面$U(a,z)$的数值计算方法，包括实$a$和复$z$。主要工具是最近的渐近展开式涉及指数和艾里函数，缓慢变化的解析系数函数涉及简单的系数，和稳定的整表示，这两个主要的主要方法可以补充麦克劳林级数和庞加莱渐近展开。我们提供的数值证据表明，这些方法的组合是足够的计算功能与$5\times 10^{-13}$相对精度在双精度浮点运算。
The Integral Representation for the Product of Two Parabolic Cylinder Functions $D_ν(x) D_ν(-x)$ at $Re ν<0$ by Means of the Fundamental Solution of a Landau-Type Operator
用两种方法计算了一阶矩阵常微分方程Landau型问题的基本解（格林函数）。这两种表示的重合导致两个抛物柱面函数$D_ν(x) D_ν(-x)$在$Re ν<0$，$x$的乘积的积分公式是实数。
Some Laplace transforms and integral representations for parabolic cylinder functions and error functions
本文利用拉普拉斯变换的卷积定理，导出了两个自变量可能符号相反的抛物柱面函数乘积的新拉普拉斯逆变换。这些变换随后专门用于误差函数及其补函数的乘积，从而产生后两个函数的乘积的新的整表示。本文推导的变换还允许校正文献中广泛报道的两个拉普拉斯逆变换，并随后使用校正后的表达式之一来获得广义超几何函数的两个新的定积分。
Numerical and Asymptotic Aspects of Parabolic Cylinder Functions
本文改进Olver的抛物柱面函数一致渐近展开，用初等函数和Airy函数表示，扩大数值算法适用区间，并给出三组展开的数值测试。
A numerical algorithm for computing the zeros of parabolic cylinder functions in the complex plane
提出一种Matlab实现的数值算法，利用精确初始近似和四阶不动点迭代计算复平面中抛物柱面函数的零点，并通过Liouville-Green展开提高效率，测试验证了其准确性和高效性。
Integral Representations for Computing Real Parabolic Cylinder Functions
本文为抛物柱面函数及其导数推导了新的积分表示，基于鞍点法和最速下降法，适用于大参数情形，为数值求积算法提供稳定起点，并与一致渐近展开建立联系。
Extrapolation of solvability of the parabolic $L^p$ Neumann problem on bounded Lipschitz cylinders
本文研究了抛物型 $L^p$ 霍尔德问题在有界利普希茨圆柱上的可解性外推问题，提出新的方法以解决该问题。
Turán type inequalities for Tricomi confluent hypergeometric functions
得到了抛物柱面函数和Tricomi汇合型超几何函数的一些尖锐的双边Turán型不等式.证明是基于抛物柱面函数和Tricomi汇合型超几何函数的乘积的整表示，这是在研究Fisher-Snedecor F分布的无限可分性时出现的。同时，给出了Tricomi汇合型超几何函数的Turán行列式的一些完全单调性结果.这些结果补充和改进了Ismail和Laforgia [23]的一些结果。
On bounds for ratios of contiguous hypergeometric functions
本文回顾并补全了抛物柱面函数、修正贝塞尔函数等超几何型相邻函数之比的单调性与界限结果，并推广到Kummer和Gauss超几何函数，基于相关常微分方程的简单定性分析获得迄今最精确的全局界限。
More on some non-gaussian wave packets
我们扩大了以前的研究，提供了一个广义的波函数与抛物柱面函数和连接与两个粒子的位置空间波函数。我们还提供了一个明确的公式，波函数与最近的工作，由本作者和M。狼
Convergence of Magnus integral addition theorems for confluent hypergeometric functions
在1946年，马格努斯提出了一个补充定理汇合型超几何函数的第二类$U$与参数$x+y$表示为一个积分的产品的两个$U$的，一个与参数$x$和另一个与参数$y$。我们利用最近获得的渐近性$U$与大复杂的第一个参数，以确定一个域的收敛Magnus的结果。利用著名的特殊化$U$，我们得到相应的积分加法定理与精确的收敛域的修改抛物柱面函数，和Hankel，Macdonald，和贝塞尔函数的第一和第二类零和一阶。
The $L^p$ regularity problem for parabolic operators
本文研究了抛物PDE在Lipschitz圆柱上的正则性问题，证明了在某些$p\in(1,\infty)$范围内存在解，并解决了Carleson条件下的问题。
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