矩形实、复和四元数Ginibre矩阵乘积的李雅普诺夫指数

四元数随机矩阵的显式多矩阵拓扑展开

Explicit Multi-Matrix Topological Expansion for Quaternionic Random Matrices

我们提出了一个明确的公式的期望值的产品的几个独立的辛不变矩阵的跟踪和实部功能可能会被应用，可能不同的子表达式。这采用拓扑展开的形式;然而，每个项都有两个拓扑：一个用于迹，另一个用于实部。迹和实部总是可以用指数收缩来表示，但在某些情况下，可以将表达式写成乘积，其中两个函数应用于合法括号图中的括号内区间。我们提出的条件下，这可能是这样做的，和一个算法来构建这样一个表达式的收缩指数时，可能的。拓扑展开中的被加数用矩阵累积量表示。我们计算的四元数Ginibre，高斯辛，四元数Wishart和Haar分布辛矩阵，它允许直接计算的表达式构造从几个独立的合奏这些矩阵的矩阵累积量。

Ginibre随机矩阵、多重正交多项式和硬边标度极限乘积的奇异值

Singular values of products of Ginibre random matrices, multiple orthogonal polynomials and hard edge scaling limits

Akemann，Ipsen和Kieburg最近证明了具有独立复高斯项的M个矩形随机矩阵的乘积的平方奇异值是根据具有相关核的行列式点过程分布的，相关核可以用Meijer G-函数表示。我们表明，这一点的过程可以被解释为一个多正交多项式合奏。我们给出了相关多个正交多项式的积分表示和相关核的新双轮廓积分，这使我们能够找到其在原点（硬边缘）的缩放极限。极限核推广了经典的Bessel核。当M=2时，它们与Bertola、Gekhtman和Szmigielski在Cauchy-Laguerre双矩阵模型中发现的标度极限一致，这表明这些核代表了随机矩阵理论中的一个新的普适类。

矩形随机矩阵乘积的弱交换关系与特征值统计

Weak Commutation Relations and Eigenvalue Statistics for Products of Rectangular Random Matrices

统一研究了实矩形、复矩形和四元数矩形随机矩阵乘积的特征值的联合概率密度。随机矩阵按任意概率密度分布，其唯一的限制是分别与正交、酉或酉辛矩阵左乘和右乘下的不变性。我们证明了矩形矩阵的乘积在统计上等价于方阵的乘积。在此，我们证明了一个弱交换关系的随机矩阵在有限的矩阵大小，这是以前已经讨论了无限的矩阵大小。此外，我们还导出了特征值的联合概率密度。为了说明我们的结果，我们将其应用到产品的随机矩阵Ginibre合奏和Jacobi合奏以及其混合版本。对于这些权重，我们表明，复杂的随机矩阵的产品产生一个决定性的点过程，而真正的和四元数的矩阵合奏对应于Pfwestan点过程。我们的结果是可视化的数值模拟。此外，我们提出了一个应用程序上的一个封闭的，无序的链耦合到一个粒子浴的运输。

复Ginibre矩阵乘积的奇异值：硬边极限和相变

Singular values for products of complex Ginibre matrices with a source: hard edge limit and phase transition

随机矩阵乘积$Y = G_r G_{r-1} \cdots G_1 (G_0 + A)$（其中每个$G_j$是一个矩形标准复高斯矩阵，而$A$是非随机的）的奇异值平方被证明是一个具有由二重围道积分给出的相关核的行列式点过程.当所有，但许多特征值的$A^*A$是等于$bN$，核示出承认一个定义明确的硬边缩放，在这种情况下，建立一个临界值，并观察到相变现象。更具体地说，在$0<b<1$的亚临界区域中的极限核与$b$无关，并且事实上与Kuijlaars和Zhang的$b=0$的情况相同。$b=1$的临界状态允许通过选择$b = (1-τ/\sqrt{N})^{-1}$来实现双标度限制，并且为此建立了临界内核和离群值现象。在最简单的情况下，$r=0$，这是密切相关的非交叉平方贝塞尔路径，对应于有限的移动平均LUE的分布被证明是在超临界状态的$b>1$与两个不同的缩放率的缩放极限。类似的结果也适用于随机矩阵积$T_r T_{r-1} \cdots T_1 (G_0 + A)$，其中每个$T_j$都是截断的酉矩阵。

独立随机矩阵乘积的最近精确和渐近结果

Recent exact and asymptotic results for products of independent random matrices

本文综述了有限大小随机矩阵有限乘积的复特征值和奇异值、它们的关联函数和渐近极限的最新结果。乘积中的矩阵取自独立的实数、复数或四元数Ginibre矩阵或截断酉矩阵的集合。还涵盖了一个系综内矩阵及其逆矩阵之间的额外混合。给出了用正交多项式或正交函数的相应核表示的行列式和Pfidian的精确表达式。在这里，我们列出了所有已知的情况和一些简单的概括。大矩阵尺寸的渐近结果包括原点处新的微观普适类和接近单位圆的弱非么正性的推广。到目前为止，在光谱的所有其他部分，已知的标准普适类已经被识别出来。在无穷乘积的极限下，李雅普诺夫指数和稳定性指数服从相同的正态分布。对于首序，它们都遵循一个恒常点过程。我们的重点是介绍这一快速发展的研究领域的最新进展。

A non-Hermitian generalisation of the Marchenko-Pastur distribution: from the circular law to multi-criticality

We consider the complex eigenvalues of a Wishart type random matrix model $X=X_1 X_2^*$, where two rectangular complex Ginibre matrices $X_{1,2}$ of size $N\times (N+ν)$ are correlated through a non-Hermiticity parameter $τ\in[0,1]$. For general $ν=O(N)$ and $τ$ we obtain the global limiting density and its support, given by a shifted ellipse. It provides a non-Hermitian generalisation of the Marchenko-Pastur distribution, which is recovered at maximal correlation $X_1=X_2$ when $τ=1$. The square root of the complex Wishart eigenvalues, corresponding to the non-zero complex eigenvalues of the …

丢弃独立性：两个耦合随机矩阵乘积的奇异值

Dropping the independence: singular values for products of two coupled random matrices

研究了两个耦合矩形随机矩阵乘积作为一个行列式点过程的奇异值问题。这两个因素中的每一个都由两个独立的复高斯随机矩阵的参数相关线性组合给出，这相当于通过Itzykson-Zuber项耦合这两个因素。我们证明了这样的产品的平方奇异值形成一个双正交系综，并建立其精确的可解性。的参数依赖性允许我们插值之间的奇异值统计的Laguerre合奏和两个独立的复杂的Ginibre合奏的产品都是已知的。我们给出了精确的公式的相关核在一个复杂的双围道积分，适用于随后的渐近分析。特别是，我们推导出的相关核的Christoffel-Darboux型公式的基础上，我们的双正交函数的五项递归关系。它使我们能够在代表硬边的原点处找到其缩放极限。由此产生的限制内核与几位作者在不同的合奏中发现的通用Meijer G-内核相吻合。我们证明了奇异值线性统计量的中心极限定理成立，并明确给出了极限方差。

实非对称矩阵的手征高斯双矩阵系综

The chiral Gaussian two-matrix ensemble of real asymmetric matrices

我们解决了一个家庭的高斯双矩阵模型与矩形Nx（N+v）矩阵，具有真正的非对称矩阵元素和依赖于一个非厄米参数μ。我们的模型可以被认为是真正的Ginibre系综的手征扩展，相关的狄拉克运营商在同一对称类。它的特征值要么是实数，要么是纯虚数，要么是复共轭特征值对。我们的模型的特征值联合概率分布显式计算，导致非高斯分布，包括K-Bessel函数。所有的n-点密度关联函数表示为有限的N在Pfronan形式。这包含一个内核，涉及拉盖尔多项式在复杂的平面作为一个积木，这是以前计算的作者。这个核可以用复非厄米矩阵的核来表示，推广了已知的厄米随机矩阵系综之间的关系。作为例子，给出了有限N处密度的紧致表达式，以及在强非厄米性和弱非厄米性下，固定v时，密度在原点处的微观大N极限。

An induced real quaternion spherical ensemble of random matrices

We study the induced spherical ensemble of non-Hermitian matrices with real quaternion entries (considering each quaternion as a $2\times 2$ complex matrix). We define the ensemble by the matrix probability distribution function that is proportional to $$\frac{\det (\mathbf{G} \mathbf{G}^{\dagger})^{2 L}} {\det(1_N+ \mathbf{G} \mathbf{G}^{\dagger})^{2(n+N+L)}}.$$ These matrices can also be constructed via a procedure called `inducing', using a product of a Wishart matrix (with parameters $n,N$) and a rectangular Ginibre matrix of size $(N+L)\times N$. The inducing procedure imposes a repulsion…