Compactness of solutions to some geometric fourth-order equations
本文证明了四个流形上具有指数非线性项的四阶方程解的紧性。证明是基于一个完善的冒泡分析，其中的主要估计给出了积分形式。我们的结果是用在随后的文件中找到临界点（通过极大极小参数）的一些几何功能，从而产生共形度量常数$Q$曲率。作为我们的方法的一个副产品，我们也得到了这样的度量的紧凑性。
2005-01-20 math.AP
Existence and non-degeneracy of positive multi-bubbling solutions to critical elliptic systems of Hamiltonian type
本文讨论了下列Hamilton型临界椭圆方程组，它们是临界Lane-Emden方程组的变形，类似于给定曲率问题：\begin{equation*} \begin{cases} -Δu_1=K_1(y)u_2^{p},\ y\in \mathbb{R}^N,\\ -Δu_2=K_2(y)u_1^{q}, \ y\in \mathbb{R}^N,\\ u_1,u_2>0, \end{cases} \end{equation*}其中$N\geq 5, p,q\in(1,\infty)$与$\frac1{p+1}+\frac1{q+1}=\frac{N-2}N$，$K_1(y)$和$K_2(y)$是正径向势.首先，在$K_1,K_2$上适当的条件和指数$p,q$的一定范围内，构造了一个能量可以任意大的无界非径向正向量解序列.此外，我们证明了一类非退化的结果，利用各种Pohozaev恒等式，这是非常有趣的独立。不确定的线性算子和强耦合的非线性使得Hamilton型方程组在研究给定曲率问题时与梯度型方程组和单临界椭圆型方程形成鲜明的对比。值得注意的是，在高维情形$(N\geq5)$中，对于临界椭圆方程组，无论是Hamilton型还是梯度型，都没有关于无穷多个起泡解的存在性的结果。
2022-05-31 math.AP
Segregated Bubbling Solutions for a Critical Schrödinger System of Brezis--Nirenberg Type with Sublinear Competitive Coupling
College of Science, Minzu University of China（中央民族大学理学院）；Laboratory of Mathematics and Complex Systems (Ministry of Education), School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University（北京师范大学数学科学学院数学与复杂系统教育部重点实验室）
针对N≥5的两分量Brezis--Nirenberg型临界薛定谔系统，通过变分法与Brouwer度理论，构造了具次线性竞争耦合的分块气泡解，克服了相互作用势梯度不可微的障碍。
2026-07-30 math.AP
Compactness and stability for planar vortex-pairs with prescribed impulse
本文用集中紧性证明了均匀平面理想流体流中对称定常涡对的变分问题的最大化序列的紧性，其中动能最大化，约束集由给定函数（代表涡量）的所有等测重排组成，这些重排具有预定的冲量（近动量）.推导了一种轨道稳定性的形式。
2020-02-27 math.AP math.FA math.OC
Conformal metrics with prescribed scalar and mean curvature
我们考虑了经典Kazdan-Warner问题的边界维数大于或等于3的情形，即通过度量的共形变形来规定标量和边界的中曲率.我们特别处理的负数量曲率和边界中曲率的任意符号，据我们所知，尚未在文献中处理。我们采用变分的方法来证明新的存在性结果，特别是在三维。这个问题的主要问题之一是获得紧凑性，由于事实上，冒泡可能会发生与双曲球或horospheres的配置文件，因此可能会失去点态估计的共形因子或总的共形体积。我们有时可以使用积分估计，Pohozaev恒等式和不同类型的域变分来防止它们。
2021-05-11 math.AP
"Large" conformal metrics of prescribed Q-curvature in the negative case
给定一个紧致连通的四维光滑黎曼流形$k_P := \int_M Q_{g_0} dV_{g_0} <0$和一个光滑的非常数函数$f_0$，其中$(M,g_0)$和$\max_{p\in M}f_0(p)=0$的极大值点都是非退化的，我们假定Paneitz算子是非负的，核是常数.然后，我们能够证明，对于足够小的$λ>0$至少有两个不同的共形度量$g_λ=e^{2u_λ}g_0$和$g^λ=e^{2u^λ}g_0$的$Q$ -曲率$Q_{g_λ}=Q_{g^λ}=f_0+λ$。此外，通过“单调性技巧”，我们得到了“大”的解决方案$u^λ$，使我们能够研究他们的“冒泡行为”作为$λ\downarrow 0$的关键估计。
2016-02-03 math.AP
Non-compactness of the Prescribed Q-curvature Problem in Large Dimensions
设$(M, g)$是一个维数为$N \geq 5$的紧致黎曼流形，$Q_g$是它的$Q$曲率.指定$Q$曲率问题是在$g$的共形类中寻找常$Q$曲率的度量.这相当于找到\[ P_g (u)= c u^{\frac{N+4}{N-4}}, u>0 {on} M\]的正解，其中$P_g$是Paneitz算子。证明了对于维数$N \geq 25$，给定的$Q$曲率问题的所有正解的集合是{ \em非紧的}.
2011-06-08 math.AP math.DG
Bubbling phenomenon for semilinear Neumann elliptic equations of critical exponential growth
在过去的几十年中，半线性Neumann椭圆方程的临界和次临界多项式非线性问题引起了人们的广泛关注，但对于多项式非线性是否可以用指数非线性来代替却知之甚少。本文考虑如下Trudinger-Moser指数增长性的半线性Neumann椭圆问题：\begin{equation*}\begin{cases} -dΔu_d+u_d=u_d(e^{u^2_{d}}-1)\ \ \mbox{in}\ Ω,\\ \frac{\partial u_d}{\partialν}=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mbox{on}\ \partial Ω,\\ \end{cases}\end{equation*}其中$d>0$是参数，$Ω$是$\mathbb{R}^2$中的光滑有界区域，$ν$是$\partial Ω$的单位外法线.我们首先证明了上述方程基态解的存在性。当$d$足够小时，我们证明了任何基态解$u_d$至多有一个极大值点位于$Ω$的边界上，并刻画了凝聚点$P_d$附近基态解$u_d$的形状.证明的关键在于证明当$d\rightarrow0$和$u_d$在适当的尺度变换下强收敛于极限方程$Δw+w=w(e^{w^2}-1)$的基态解时，极大点$P_d$以$\sqrt{d}$的速度接近边界.我们的证明是基于截断函数的能量阈值、Tru…
2023-02-18 math.AP
Spectral Compactness and Critical Lorentz Defects for Maxwell--Ohm Evolution with Prescribed Velocity
University of Florida（佛罗里达大学）
本文为Maxwell--Ohm演化建立谱弱-强稳定性准则，证明在临界Sobolev指标处稳定性尖锐失效，并构造出Lorentz力收敛到非零测度的反例。
2026-09-22 math.AP
Existence and compactness of conformal metrics on the plane with unbounded and sign-changing Gaussian curvature
该研究针对平面上的预定高斯曲率方程，给出了存在指定总曲率解的充要条件，并分析了解在总曲率趋近不同临界值时的紧性与爆破行为。
2023-04-27 math.AP
Unique continuation, nonexistence and bubbling for the critical $p$-Laplace equation in the plane
Università di Modena e Reggio Emilia（摩德纳与雷焦艾米利亚大学）
本文证明平面中临界 $p$-Laplace 方程（$1<p<2$）解的唯一连续延拓性质，由此推广 Esteban-Lions 不存在性及 Struwe 的 bubble 分解结果，并用有限能量解刻画紧性丧失。
2026-10-27 math.AP
Compactness of harmonic maps of surfaces with regular nodes
本文利用Deligne-Mumford模空间与曲线族建立调和映射的一般紧性定理，证明序列在非正则节点外收敛，并给出颈部零能量零长度的充分条件，从而推出$S^2$情形下的能量恒等式与零距离泡化。
2020-12-29 math.AG math.AP math.DG
Unified results of compactness and existence for prescribing fractional $Q$-curvatures problem
本文利用$σ\in (0,n/2)$和$n\geq2$研究了标准球面$\Sn$上共形度量的分数阶$Q$ -曲率问题.紧性和存在性的结果得到的规定曲率函数$K$的平坦阶$β$。利用积分表示和微扰结果，我们发展了一种统一的方法来得到当$β\in [n-2σ,n)$对所有$σ\in (0,n/2)$时的结果.本文推广了Jin-Li-Xiong [Math.Ann.369：109--151，2017]关于$β\in (n-2σ,n)$的相应结果。
2022-10-13 math.AP
Stable prescribed-mean-curvature integral varifolds of codimension 1: regularity and compactness
在前一篇论文中，我们发展了一个正则性和紧性理论，在欧氏环境空间余维1弱稳定CMC积分变倍满足两个（必要）结构条件。在这里，我们将这个理论推广到平均曲率（变倍的正则部分的）由给定的$C^{1, α}$周围函数$g$规定，并且周围空间是一般的$(n+1)$维黎曼流形;我们给出了一般的条件，这意味着支持的varifold，远离维度$\leq n-7,$的可能奇异集合的是具有连续单位法向$ν$和平均曲率$gν$的$C^{2}$浸入的图像。这些条件也确定了一个紧凑的类varifolds受到额外的统一质量约束。如果$g$在任何地方都不为零，或者更一般地说，如果集合$\{g=0\}$足够小（例如，如果${\mathcal H}^{n}\,(\{g=0\})=0$），那么结果及其证明与CMC的情况非常类似。然而，当$g$是任意的时，必须考虑一些额外的考虑：首先，正确的第二变分假设是有限Morse指数的假设（而不是弱稳定性）;第二，要得到一个几何上有用的具有紧性结论的理论，变分流形上的两个结构条件之一必须被削弱;第三，鉴于简单的例子，这种结构假设的弱化需要更多的假设才能得出相同的结论。我们确定了两套额外的假设下，这一结论适用于一般的$g$：其中一个给出了正则性和紧性，另一个给出了正则性，并适用于某些相变问题。我们还提供了推论的多重$1$ varifolds减少边界的Caccioppoli集。在这些情…
2020-10-11 math.AP math.DG
Classification and a priori estimates for the singular prescribing $Q$-curvature equation on 4-manifold
在紧致黎曼$4-$流形$(M,g)$上，我们考虑了定义在具有有限奇异源的$M$上的预定$Q-$曲率方程.首先证明了定义在$\mathbb R^4$上的奇异Liouville方程的一个分类定理，并进行了集中紧性分析。然后，我们推导出一个量化的结果，起泡解决方案，并建立一个先验估计的假设下，某些共形不变量不采取一些量化的值。此外，我们证明了一个球形Harnack不等式周围的奇异源，只要他们的强度不是一个整数。这样的不等式意味着在这种情况下奇异源是\emph{isolated simple blow up points}。
2022-01-24 math.AP
Hypersurfaces with mean curvature prescribed by an ambient function: compactness results
我们认为，在第一种情况下，类的边界集的局部有限周长的（弱定义的）中曲率是$g ν$，对于一个给定的连续正周围的功能$g$，和其中$ν$表示的内部正常。众所周知，在这个类中，在变倍意义上取极限一般是不可能的，这是由于“隐藏边界”的出现，即（弱定义的）中曲率消失的部分（具有偶数重数的正测度），因此$g$没有规定极限中的中曲率。作为一个特殊的情况下，更一般的结果，我们证明了局部均匀$L^q$ -边界（弱定义）的第第二基本型，$q>1$，除了习惯的局部均匀边界上的周长，导致一个紧凑的一类边界与中曲率规定的$g$。证明依赖于将边界视为“定向积分变量”，以利用它们的可定向性特征（当将它们视为（无定向）变量时会丢失）。具体而言，它依赖于制定和分析的一个弱概念的曲率系数为导向的整体varifolds（灵感来自哈钦森的工作）。这个框架给出了（没有额外的努力）一个紧凑的结果，有方向的积分变倍曲率局部有界的$L^q$与$q>1$和中曲率规定的任何$g\in C^0$（事实上，该功能可以改变变倍，它规定的中曲率，只要有局部一致收敛性的规定功能）。我们的概念和陈述是在黎曼流形中给出的，其中定向变分不需要作为边界出现（例如，它们可以来自双侧浸入）。
2022-12-14 math.AP math.DG
Conformal Metrics on the Disk with Prescribed Negative Gaussian Curvature and Boundary Geodesic Curvature
Universidad de Granada IMAG, Departamento de Análisis Matemático（格拉纳达大学 IMAG，数学分析系）
本文研究了通过共形变换给定圆盘负高斯曲率和边界测地曲率的问题，通过变分方法和发散分析得出存在性结果。
2026-02-17 math.AP math.DG
Quantization for the prescribed Q-curvature equation on open domains
讨论了给定的$Q$ -曲率方程$(-Δ)^m u_k=V_ke^{2mu_k}$在$\R{2m}$的开域上的紧性、爆破和量子化现象.在自然积分的假设下，我们表明，当爆破发生时，直到一个子序列$$\lim_{k\to \infty}\int_{Ω_0} V_ke^{2mu_k}dx=LΛ_1,$$，其中$Ω_0\subset\subsetΩ$是开放的，并包含爆破点，$L\in\mathbb{N}$和$Λ_1:=(2m-1)!\vol(S^{2m})$是总的$Q$ -曲率的圆形球体$S^{2m}$。此外，在适当的假设下，爆破点是孤立的。我们不假设$V$为阳性。
2010-03-21 math.AP
Sign-changing solutions for the one-dimensional non-local sinh-Poisson equation
研究了一维有界区间$I$上sinh-泊松方程在$I$外部Dirichlet条件下变号解的存在性.该模型与简单电化学系统电偶腐蚀现象的数学描述密切相关。通过有限维Lyapunov-Schmidt约化方法，我们构造了具有任意数量符号交替峰的起泡解族.通过对解的极限轮廓的仔细分析，我们还证明了节点区域的数目与爆破点的数目一致。
2020-05-20 math.AP
A Variant Prescribed Curvature Flow on Closed Surfaces with Negative Euler Characteristic
本文在负欧拉示性数闭曲面上提出一种新的预定高斯曲率流变体，无需对预定函数施加符号条件即可求解带加性常数的高斯曲率方程，并建立了局部适定性与全局紧性结果。
2023-09-18 math.AP
Blow-up analysis of conformal metrics of the disk with prescribed Gaussian and geodesic curvatures
本文研究了具有给定高斯曲率和测地曲率的圆盘的度量的紧性。我们考虑了一个爆破的度量序列，并给出了它的渐近行为的精确描述。特别地，度量在边界上的唯一点处爆破，并且我们能够给出关于其位置的必要条件。结果表明，这些条件局部依赖于高斯曲率，但它们以非局部的方式依赖于测地曲率。这是一个新奇的经典尼伦伯格问题，其中爆破条件是本地的，这个新的方面是由边界条件。
2020-04-30 math.AP
Large Conformal metrics with prescribed sign-changing Gauss curvature
设$(M,g)$是亏格为$g(M)>1$的二维紧致黎曼流形.设$f$是$M$上的光滑函数，使得$$f \ge 0, \quad f\not\equiv 0, \quad \min_M f = 0. $$设$p_1,\ldots,p_n$是$f(p_i)=0$和$D^2f(p_i)$非奇异的任意点集。我们证明了，对于所有足够小的$λ>0$存在一个家庭的“冒泡”共形度量$g_λ=e^{u_λ}g$，使他们的高斯曲率给出的符号变化功能$K_{g_λ}=-f+λ^2$。此外，$u_λ$族满足$$u_λ(p_j) = -4\logλ-2\log \left (\frac 1{\sqrt{2}} \log \frac 1λ\right ) +O(1)$$和$$λ^2e^{u_λ}\rightharpoonup8π\sum_{i=1}^{n}δ_{p_i},\quad \mbox{as }λ\to 0,$$，其中$δ_{p}$表示$p$点处的狄拉克质量。
2014-07-08 math.AP math.DG
Conformally prescribed scalar curvature on orbifolds
本文研究了具有孤立奇点的共形轨道上的指定数量曲率问题。证明了$4$维上的一个紧性定理和$n \geq 4$维上的一个存在性定理.这个问题比流形的情况更微妙，因为正质量定理一般不适用于ALE度量。我们还确定了$\rm{U}(2)$不变的勒雷-绍德尔度的一个家庭的负质量orbifolds发现LeBrun。
2021-12-09 math.AP math.DG
Large conformal metrics with prescribed scalar curvature
Università di Roma “La Sapienza”（罗马大学）；Sorbonne Universités, UPMC Univ Paris 06（索邦大学，巴黎第六大学）
该研究在紧黎曼流形上构造指定标量曲率的共形度量，分别在正标量曲率和一般情形下得到冒泡度量族，证明该问题存在多解。
2017-07-04 math.AP math.DG
Standing waves with prescribed $L^2$-norm to nonlinear Schrödinger equations with combined inhomogeneous nonlinearities
本文研究具有预定 $L^2$-范数和混合非齐次非线性项的非线性 Schrödinger 方程驻波解，证明了质量次临界情形下极小化序列的紧性与轨道稳定性，并探讨了质量临界与超临界情形下解的存在性、对称性、不稳定性及基态性质。
2024-01-02 math.AP
Quantization for sequences of blow-up solutions to an elliptic equation having nonlocal exponential nonlinearity
Southern Illinois University（南伊利诺伊大学）
本文研究了具有非局部指数非线性的椭圆方程解序列的渐进行为，通过集中-紧致性替代方案和能量量化结果揭示了解的爆破现象。
2025-12-22 math.AP
Nonlinear variational problems with lack of compactness
本文研究了两类不同的变分问题：1）具有给定曲率的闭曲线问题，或称$H$ -回路问题; 2）分数阶Brezis-Nirenberg问题的节点解。在这两种情况下，我们处理的非线性方程（常微分方程系统的问题1，和一个椭圆型方程的问题2），承认变分结构。然而，在这两种情况下，缺乏紧凑性发生，这构成了一个强大的障碍，应用的直接法的变分法，甚至标准的变分方法。因此，我们需要使用更精细的技术，或者遵循不同的方法，如Lyapunov-Schmidt方法和爆破分析。这将使我们不仅获得存在性和多重性的结果，但也定性性质的解决方案。
2019-01-24 math.AP math.DG
Interior curvature estimates for convex solutions of a prescribed curvature quotient equation
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；Westlake University（西湖大学）
本文针对椭圆型Weingarten曲率商方程的严格凸解，借助方程算子的凹性不等式与新颖辅助函数，通过初等最大值原理证明其先验内部曲率界，还得到低维特殊拉格朗日曲率方程严格凸解的对应估计。
2026-10-30 math.AP math.DG
Conformally Invariant Dirac Equation with Non-Local Nonlinearity
本文研究受4维共形爱因斯坦-狄拉克问题启发的共形不变狄拉克方程，通过分析能量泛函的性质、刻画基态解、证明Aubin型不等式及研究线性扰动，确保了问题解的存在性并得到相关结果。
2025-04-15 math.AP math.DG
Critical Geller Equations on Complex Hyperbolic Space: Sharp Stability, Ground-State Symmetry, and Global Compactness
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文研究复双曲空间上的临界Geller方程，确定其Sobolev常数、解的分类等性质，构造了相关正解并证明了全局紧性等结果。
2026-08-28 math.AP math.DG math.FA
On critical dimensions for compactness in the boundary Yamabe problem, I
Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；Hanyang University（汉阳大学）；University of Bath（巴斯大学）
本文构造了边界 Yamabe 方程具有无界正解序列的光滑非局部共形平坦度量，确定了不同曲率条件下紧致性失效的临界维数范围，并证明了约化能量二次项具有负的非退化局部极值。
2026-10-01 math.AP math.DG
Rough Axisymmetric Euler Dynamics: Global Energy Compactness and Kinetic Passage Across Regularity Breakdown
Dalian University of Technology（大连理工大学）；Shenzhen University（深圳大学）；University of Wisconsin–Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
该研究建立了粗糙轴对称欧拉流的全局能量紧性，并利用它构造了碰撞动力学方程的流体动力学极限，实现了跨越欧拉正则性破缺的能量守恒延拓。
2026-10-06 math.AP
Harmonic maps with prescribed degrees on the boundary of an annulus and bifurcation of catenoids
设$A \subset \mathbb{R} ^2 $是光滑双连通区域.我们考虑狄利克雷能量$E(u)=\int_{A} |\nabla u|^2$，其中$u:A \rightarrow \mathbb{C}$，并寻找这个能量的临界点与规定的模$|u|=1$上$\partial A$和规定的程度上的两个连接组件的$\partial A$。这个变分问题是一个缺乏紧性的问题，因此我们不能使用变分法的直接方法。我们的分析依赖于所谓的霍普夫微分和这个问题和问题之间的强有力的联系，找到所有极小曲面有界的两个$p$覆盖的圆在平行的平面。然后，我们构造新的浸入极小曲面在$\mathbb{R} ^3$与此属性。这些曲面是由悬链线的$p$ -覆盖族分支得到的。
2015-03-12 math.AP math.CV math.DG
Compactness and isotopy finiteness for submanifolds with uniformly bounded geometric curvature energies
在本文中，我们建立了各种几何曲率能量，包括积分门格尔曲率，和切点排斥势，定义了一个先验类的紧凑，嵌入$m$ -维Lipschitz子流形${\mathbb{R}}^n$紧。结果表明，由于光滑效应，任何具有一致有界能量的子流形序列都包含一个在$C^1$中收敛到极限子流形的子序列。这个结果有两个应用。第一个是一个合痕有限性定理：只有100多个合痕类型的这样的子流形低于一个给定的能量值，我们提供明确的界限上的数量的合痕类型的各自的能量。第二个是所有几何曲率能量的下半连续性--相对于子流形的Hausdorff-收敛--可以用来在规定的合痕类中最小化这些能量。
2015-10-02 math.AP math.DG math.MG
The Nirenberg problem of prescribed Gauss curvature on $S^{2}$
我们介绍了一个新的角度来理解可能的高斯曲率的度量$S^{2}$共形的圆度量的经典尼伦伯格问题。一个关键的工具是采用光滑Cheeger-Gromov紧性定理，以获得一般的和本质上尖锐的先验估计高斯曲率$K$包含在自然定义的稳定区域。我们证明了在这样的稳定区域中，映射$u \rightarrow K_{g}$，$g = e^{2u}g_{+1}$是每个分支上度定义良好的真Fredholm映射.这导致了一些新的存在和不存在的结果。我们还给出了$S^{2}$上偶共形度量的高斯曲率的Moser定理的一个新的证明和推广。与以前的工作相比，这里的工作没有使用任何的Sobolev型不等式Trudinger-Moser-Aubin-Onofri。
2021-02-25 math.AP math.DG
Prescribing the symmetric function of the eigenvalues of the Schouten tensor
本文研究了带边界的紧致黎曼流形上Schouten张量特征值的度量共形变形为给定对称函数的问题。在Ricci张量为非负定的条件下，证明了该方程的可解性和解集的紧性。
2010-10-29 math.AP math.DG
Critical fractional $p$-Hardy Sobolev equations: Global compactness and multiplicity of positive solutions
Indian Institute of Science Education and Research Pune（印度科学教育研究所浦那分校）；Gandhi Institute of Technology and Management (GITAM) University（甘地科技与管理大学）；Krea University（克雷亚大学）
研究临界分数阶 p-Hardy-Sobolev 方程，建立 Palais-Smale 序列的全局紧性，分析两种集中机制，并在小扰动条件下利用极小极大方法证明两个不同正解的存在性。
2026-09-09 math.AP math.FA
Concentration phenomena for the fractional $Q$-curvature equation in dimension 3 and fractional Poisson formulas
本文研究了$\R^3$中指定分数阶$3$-曲率度量的紧性.我们将使用一种从共形几何中得到启发的方法，将$\R^3$子集上的度量看作是$\R^4_+$上的度量的限制，其四阶$Q$ -曲率为零。我们将证明，一系列这样的度量与一致有界分数$Q$曲率可以炸毁一个大的集合（大致上，零集的跟踪一个非正的双调和函数$Φ$在$\R^4_+$），在类比的$4$维结果的Adimurthi-Robert-Struwe，并构建这样的行为的例子。在这样做的过程中，我们产生了通用的Poisson型表示公式（也适用于更高维度），这些公式具有独立的兴趣。
2018-12-26 math.AP
On the density and multiplicity of solutions to the fractional Nirenberg problem
本文利用变分粘合、气泡行为精细分析、延拓公式和爆破分析等方法，证明了分数阶Nirenberg问题无穷多个多峰解的存在性、共形度量光滑曲率函数在C⁰拓扑中的稠密性，以及渐近周期情形下分数阶Laplacian方程的无穷多解。
2023-07-10 math.AP
Two-bump axisymmetric solutions of the Nirenberg problem
Rutgers University（罗格斯大学）；University of Oxford（牛津大学）；Beijing Institute of Technology（北京理工大学）
针对Nirenberg问题，在临界超曲面Σ⁰附近一侧构造了n≥4维的双凸起轴对称解，揭示了从该侧发生双凸起爆破而另一侧解集保持紧致的一侧精细化现象。
2026-06-07 math.AP
Compactness of conformal metrics with constant $Q$-curvature of higher order
Indian Institute of Technology, Bombay（孟买印度理工学院）；Université Libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）
本文研究了高阶$Q$-曲率方程的紧致性问题，通过递归公式和精细分析证明了在特定条件下解集的紧致性。
2026-09-21 math.AP math.DG
Uniform Lipschitz regularity for two-phase singularly perturbed fully nonlinear elliptic equations
Universidade Federal da Paraíba（帕拉伊巴联邦大学）；King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）；Oklahoma State University（俄克拉荷马州立大学）
该研究针对两相奇异摄动完全非线性椭圆方程的变号粘性解，证明了与摄动参数无关的一致Lipschitz正则性估计，消除了相关分析的长期紧性障碍，为后续锐界面分析提供了关键框架。
2026-08-18 math.AP
Existence and non existence results for the singular Nirenberg problem
在本文中，我们研究的问题，所提出的Troyanov，规定的高斯曲率下的共形变化的度量的表面上的圆锥奇点。这样的几何问题可以归结为具有指数型非线性的变分结构的非线性偏微分方程的可解性。特别是，我们关心的情况下，规定的功能$K$改变的迹象。当曲面为标准球面时，即对于奇异的Nirenberg问题，利用极小极大方法和新的紧性论证，给出了$K$为具有指定锥奇点的共形度量的高斯曲率的充分条件，主要涉及其节线的正则性和正节区的拓扑.此外，我们还发现了$\mathbb{S}^2$上的一类函数，它们不满足我们的条件，并且不能实现为具有一个锥奇点的共形度量的高斯曲率.这表明我们的结果在某种程度上是尖锐的。
2016-02-28 math.AP
Normalized Solutions and Semiclassical Concentration for Upper-Critical Fractional Choquard Equations
Ghent University（根特大学）；Guangxi University of Science and Technology（广西科技大学）；Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院）；Yunnan Normal University（云南师范大学）
本文研究了带有 $L^2$-超临界扰动的上临界分数Choquard方程归一化解的多重性，通过约束变分方法证明了在小参数下存在多个集中解。
2026-08-04 math.AP
Normalized solutions of $L^2$-supercritical NLS equations on noncompact metric graphs
本文基于 mountain pass 技术研究非紧度量图上 $L^2$-超临界非线性 Schrödinger 方程的归一化解，证明了小质量下正解的存在性并揭示了拓扑结构的作用。
2025-04-01 math.AP
The Nirenberg problem and its generalizations: A unified approach
利用整表示，我们开发了一个统一的方法来建立爆破配置文件，紧性和正解的存在性的共形不变方程$P_σ(v)= Kv^{\frac{n+2σ}{n-2σ}}$在标准单位球$\mathbb{S}^n$上的所有$σ\in (0,n/2)$，其中$P_σ$是$2σ$阶交织算子。寻找这些方程的正解等价于在具有给定曲率的球面上的标准度量的共形类中寻找度量。当$σ=1$时，它是规定的数量曲率问题或Nirenberg问题，当$σ=2$时，它是规定的$Q$ -曲率问题。
2014-11-21 math.AP math.DG
A DeGiorgi type conjecture for minimal solutions to a nonlinear Stokes equation
我们研究了非线性斯托克斯方程$$ \begin{cases} -Δu+\nabla W(u)=\nabla p&\text{in }\mathbb{R}^d,\\ \nabla\cdot u=0&\text{in }\mathbb{R}^d, \end{cases} $$解的一维对称性，这些解在$d-1$最后一个变量中是周期性的（生活在环面$\mathbb{T}^{d-1}$上），并且在$Ω=\mathbb{R}\times \mathbb{T}^{d-1}$中全局最小化相应的能量，即，$$ E(u)=\int_Ω \frac12 |\nabla u|^2+W(u)\, dx, \quad \nabla\cdot u=0. $$即，我们确定一类非线性势$W\geq 0$，使得连接$W$的两个零点作为$x_1\to\pm\infty$的$E$的任何全局极小元$u$是一维的，即，$u$仅依赖于$x_1$变量。特别地，这个类在维度$d=2$中包括非线性$W=w^2$，其中$w$是谐波函数或波动方程的解，而在维度$d\geq 3$中，这个类包含金斯堡-朗道势的扰动以及具有在阱之间具有规定的过渡成本的$d+1$阱的势$W$。为此，我们发展了一个理论的校准依赖于熵的概念（来自标量守恒定律）。我们还研究了一般势$W$的$E$的全局极小解的存在性问题，特别是对于连接两个$W$阱的$Ω$中的能量均匀…
2018-04-20 math.AP
