arXivDaily arXiv每日学术速递 周一至周五更新
arXiv 1409.4258math.NT
收藏

移位立方和

Sums of cubes with shifts

Sam Chow

阅读 PDF
arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

摘要：

设$μ_1, \ldots, μ_s$为实数，其中$μ_1$为无理数。本文研究了移位立方体的和$F(x_1,\ldots,x_s) = (x_1 - μ_1)^3 + \ldots + (x_s - μ_s)^3$ .证明了如果$η$是实数，$τ>0$是充分大的，且$s \ge 9$，则存在整数$x_1 > μ_1, \ldots, x_s > μ_s$使得$|F(\mathbf{x})- τ| < η$ .这是一个真正的模拟华林的问题。然后，我们证明了一个完整的密度结果相同的味道$s \ge 5$。对于$s \ge 11$，我们给出了一个渐近公式。如果$s \ge 6$，则$F(\mathbf{Z}^s)$在实数上是稠密的。给定九个变量，我们可以将其推广到一元三次多项式的和。

英文摘要：

Let $μ_1, \ldots, μ_s$ be real numbers, with $μ_1$ irrational. We investigate sums of shifted cubes $F(x_1,\ldots,x_s) = (x_1 - μ_1)^3 + \ldots + (x_s - μ_s)^3$. We show that if $η$ is real, $τ>0$ is sufficiently large, and $s \ge 9$, then there exist integers $x_1 > μ_1, \ldots, x_s > μ_s$ such that $|F(\mathbf{x})- τ| < η$. This is a real analogue to Waring's problem. We then prove a full density result of the same flavour for $s \ge 5$. For $s \ge 11$, we provide an asymptotic formula. If $s \ge 6$ then $F(\mathbf{Z}^s)$ is dense on the reals. Given nine variables, we can generalise this to sums of univariate cubic polynomials.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

↑