Counting the number of isosceles triangles in rectangular regular grids
在一般的图论中，顶点之间的唯一关系是通过边来表达的。当顶点嵌入在欧几里得空间中时，顶点和边之间的几何关系可以是有趣的研究对象。我们看看等腰三角形的顶点是一个规则的网格上的点的数量，并表明，他们满足递归关系时，网格是足够大的。我们还推导出了锐角、钝角和直角等腰三角形个数的递推关系。
2017-02-06 math.CO
The Structure of the 2-factor Transfer Digraph Common for Rectangular, Thick Cylinder and Moebius Strip Grid Graphs
本文证明了在固定宽度$m$ $(m \in N)$的矩形、厚圆柱和Moebius带格图中，计数2-因子所需的转移有向图${\cal D}^*_m$的除一个分支外，其余分支都是二部有向图，并且它们的阶可用二项式系数表示.此外，我们证明了每个组件的顶点集由所有的二进制$m$ -字，其中零的奇数和偶数位置的差异是常数。
2022-12-01 math.CO
Counting Divisions of a $2\times n$ Rectangular Grid
考虑由$1\times 1$正方形组成的$2\times n$矩形网格。只沿着正方形之间的边缘切割，有多少种方法可以将木板分成$k$块？达勒姆和里士满的工作，谁发现了封闭形式的解决方案的数目分为2和3件，我们证明了一个递归的关系，计数的数目分为$k$件的董事会的部门。使用这种递归，我们得到封闭形式的解决方案，为$k=4$和$k=5$使用拟合技术的递归生成的数据的部门的数量。此外，我们证明了任何固定的$k$的封闭形式的解决方案必须是一个多项式的$n$的次数$2k-2$。
2021-07-21 math.CO
A short note on the order of the double reduced 2-factor transfer digraph for rectangular grid graphs
本文针对矩形网格图中圈的生成并集枚举问题，给出了当m为奇数时双约化2-因子转移有向图阶的精确组合公式。
2023-08-08 math.CO
A spanning union of cycles in rectangular grid graphs, thick grid cylinders and Moebius strips
出于寻找最近的论文中出现的一些问题的答案，在一些特殊类别的网格图处理哈密顿圈（简称HC），我们开始调查的循环，所谓的2-因子，在这些图（作为HC的推广）的生成工会。对于所有三种类型的图的标题和任何整数$m \geq 2$，我们提出了一个算法，用于获得一个专门设计的（转移）有向图${\cal D}^*_m$。将2-因子的计数问题归结为有向图中有向游动的计数问题。计算结果，我们收集的$m \leq 17$揭示了一些有趣的性质，无论是有向图${\cal D}^*_m$和序列的2-因子。我们证明了其中的一些任意$m \geq 2$。
2021-12-08 math.CO
Counting (and Randomly Generating) Hamiltonian Cycles in Rectangular Grids
本文在Maple中实现Stoyan和Strehl的方法，计算矩形网格中哈密顿环的数量并随机生成，同时推导更全面的生成函数。
2026-03-25 math.CO
Some formulas for numbers of line segments and lines in a rectangular grid
给出了一个n_1 × q+1点间连接的线段个数的计算公式. x n_k矩形网格。作为推论，我们得到了至少通过q个点的直线数的公式，并分别通过网格的q个点。众所周知的情况k=2是如此推广。在k=2，n_1=n_2的条件下，我们还给出了这些数的递推公式。众所周知的q=2的情况就是这样推广的。
2011-08-04 math.CO math.NT
Combinatorial Interpretations of $q$-Fibonacci Numbers and Their Binomial Analogues
本文提出一个推广Bergeron方法的q-Fibonacci数新模型，为q-Fibonomial系数的阶梯模型提供非双射证明，并展示了涉及该系数的新恒等式，增强了对相关数学对象的组合理解。
2024-10-10 math.CO
Minimal Resolving Sets in Rectangular Grid Graphs: A Complete Characterization and Enumeration
本文针对矩形网格图，通过递归构造和闭式公式，完整刻画并枚举了所有可能基数（含偶数及奇数）的最小分辨集，解决了开放问题。
2026-09-30 math.CO
Graphical Enumeration and Stained Glass Windows, 1: Rectangular Grids
对研究多边形的边用等间距的点作标记而每对点由一条线连接时所形成的图所产生的计数问题的综述。Poonen和Rubinstein在1998年分析了一个正则n边形的所有顶点对都由弦连接而成的图K_n，这是一个经典的例子。然而，这些问题中的大多数都没有得到解决，这篇由两部分组成的文章提供了一些此类问题的数据以及彩色插图，这些插图通常会让人想起彩色玻璃窗。所考虑的多边形包括矩形、中空矩形（或框架）、三角形、五边形、五角形、十字形等，以及通过绘制连接线上等间距点的线段而形成的图形。本文最后简要讨论了如何为这些图设计美观的着色问题。第一部分讨论矩形网格。Legendre和Griffiths研究了1 × n网格，或者说图K_{n+1,n+1}，在这里我们研究了具有给定边数的单元数和具有给定度的节点数。我们只有部分结果的m × n矩形，包括上界的节点和细胞的数量。
2020-12-22 math.CO
DNA Origami and Unknotted A-trails in Torus Graphs
出于确定DNA折纸自组装中的脚手架链的未打结路线的问题，我们研究了嵌入在环面上的图中的A-踪迹的存在性和打结性。我们证明了棋盘可着色环面图中的任何A-迹都是无结的，并利用相关嵌入中的拟树对刻画了棋盘可着色环面图中A-迹的存在性。表面网格是DNA纳米结构自组装的常见目标，因此我们研究了三角形和矩形环面网格。我们证明了，除了一个例外的家庭，三角形环面网格包含A-轨迹当且仅当它有一个奇数顶点，这样的A-轨迹必然是unknotted。另一方面，虽然每个矩形环面网格包含一个unknotted的A-线索，我们还表明，任何环面结可以实现为一个A-线索在一些矩形网格。最后，我们使用一个胶合操作，以构建无限家庭的三角形和矩形网格包含unknotted A-线索表面上的任意属。我们也给无限家庭的三角形网格不包含unknotted A-线索表面的任意非零属。
2017-03-21 math.CO
Perfect domination in rectangular grid graphs
一个图$G$中的控制集$S$称为完美的，如果$G$的每个不在$S$中的顶点都只与$S$的一个顶点相邻。给定$m\times n$格图$G$的边$P_m$的顶点子集$S'$，通过运行时的穷举算法$Θ$ $O(2^{m+n})$，可以确定具有$S'=S\cap V(P_m)$的$G$中的完美控制集$S$.将$Θ$扩展到宽度为$m-1$的无限网格图，周期性使得$Θ$的二叉决策树可被打印成有限线索树，其闭行走产生所有这样的集合$S$ .这些集合$S$的补集所诱导的图可以通过$Θ$由正整数的有序对的阵列编码，对于其生长和确定，存在更快的%贪婪算法。%及其周期结构，进一步研究。最近的一个特征的网格图具有完全完美的代码$S$（只有1-立方体作为诱导组件），由于Klostermeyer和Goldwasser，在$Θ$方面，它允许显示，这些集$S$的限制只有一个完全代码$S_1$的整数格图$Λ$的$\R^2$。此外，补$Λ-S_1$产生非周期性平铺，如彭罗斯平铺。相反，$Λ$中的平行、水平、完全完美码与双无限$\{0,1\}$ -序列1-1对应。
2007-11-27 math.CO
Optimal covering of rectangular grid graphs with tours of constrained length
针对角部带基站的矩形网格图，研究长度受限的闭合巡游覆盖问题，并提出可在线性时间内同时优化巡游数量与总长度的最优算法。
2025-02-18 cs.CG cs.DM math.CO
Asymptotics of the number of threshold functions on a two-dimensional rectangular grid
设$m,n\ge 2$，$m\le n$。众所周知，$m\times n$矩形网格上的（二维）门限函数的数目为{eqnarray*} t（m，n）= \frac{6}{π^2}（mn）^2+O（m^2n \log{n}）+O（mn^2 \log{\log{n}}）= \frac{6}{π^2}（mn）^2+O（mn^2 \log{m}）。{eqnarray*}我们通过证明$$ t(m,n)=\frac{6}{π^2}(mn)^2+O(mn^2). $$
2012-09-20 cs.IT math.CO math.IT
The minimum stretch spanning tree problem for typical graphs
最小拉伸生成树问题在配电系统和通信网络中有广泛的应用，它是指求图G的一棵生成树T，使得T中两个邻顶点之间的最大距离最小。该问题已被证明是NP-难的，并对某些特殊的图类得到了固定参数多项式算法。在本文中，我们集中在典型的图类的最优性特征。我们确定了Petersen图、完全k-部图、分裂图、广义凸图和几种平面网格（包括矩形网格、三角形网格和三角矩形网格）的精确最优性表示。
2017-12-10 math.CO
Reconfiguration of Hamiltonian Cycles in Rectangular Grid Graphs
York University（约克大学）
研究通过双切换移动在矩形网格图中重构哈密顿环，证明任意两个哈密顿环可通过有效移动转换，且移动次数受mn²限制。
2026-01-11 math.CO
Adjacency and Broadcast Dimension of Grid and Directed Graphs
该研究部分解决Zhang的问题，得到两类路径笛卡尔积图邻接维数的精确界，还研究有向图的邻接与广播维数，给出有向完全k叉树邻接维数、特定有向树两维数相等的结论，以及无向与有向图广播维数的量级关系。
2024-04-17 math.CO
The Flexibility and Rigidity of Leaper Frameworks
跳跃者框架是杆和关节框架，其关节是形成矩形网格的整数点，并且其杆对应于给定跳跃者在该网格内的所有移动。我们研究了跳跃框架的柔性和刚性。令$p$和$q$是正整数，使得$(p, q)$跳跃器$L$是自由的。József Solymosi和Ethan White在2018年证实，侧边$2(p + q) - 1$的正方形网格上的$L$的跳跃框架，以及所有更大的网格，都是刚性的。我们证明了这个猜想。我们还证明了Solymosi和White的猜想在某种意义上是尖锐的。也就是说，$L$在侧面$2(p + q) - 2$和$2(p + q) - 1$的矩形网格上的跳跃框架，等等所有较小的网格（除了$1 \times 1$网格），是灵活的。特别是，我们完全解决了在正方形网格上的跳跃框架的柔性和刚性问题。我们也建立了一些相关的结果。
2019-11-10 math.CO
Reconfiguration of Hamiltonian Paths and Cycles in Rectangular Grid Graphs
York University（约克大学）
研究通过双切换移动将矩形网格图中的哈密顿循环相互转换，并扩展到哈密顿路径，引入回咬移动以实现端点重定位。
2026-01-11 math.CO
On the number of tiles visited by a line segment on a rectangular grid
本文研究矩形网格上线段长度与所经过瓦片数的关系，分别在确定性和随机模型下刻画最大经过数、所需长度下确界及平均经过数与概率，并与布丰投针问题建立联系。
2023-10-26 math.CO math.MG math.PR
Dimers and Dominoes
利用Kasteleyn的行列式方法，我们计算正方形网格的矩形子图的完美匹配。
2014-05-12 math.CO
How to Physically Verify a Rectangle in a Grid: A Physical ZKP for Shikaku
Shikaku是一个铅笔拼图，由一个矩形网格组成，其中一些单元格包含一个数字。玩家必须将网格划分为矩形，每个矩形包含一个与该矩形面积相等的数字。在本文中，我们提出了两个使用扑克牌的物理零知识证明协议，它允许证明者在物理上证明他/她知道谜题的解决方案而不暴露它。最重要的是，在我们的第二个协议中，我们开发了一个通用的技术来物理验证矩形网格中具有一定大小的矩形区域，其可用于验证具有类似约束的其它问题。
2022-10-25 cs.CR math.CO
Golden-Ratio-Based Rectangular Tilings
通过沿着一个轴绘制位于$ϕ$的所有偶数次幂处的垂直和水平网格线，以及沿着另一个轴绘制位于$ϕ$的所有奇数次幂处的垂直和水平网格线，来构造欧几里德平面的第一象限的基于黄金比例的矩形平铺。由这些线形成的矩形的顶点可以由从原点开始的具有$ϕ$的奇次幂的斜率的射线连接。这种平铺的细化结果是沿着每个轴以$ϕ$的每个幂的水平和垂直网格线。给出了几种已知幂级数在$ϕ$中收敛的几何证明。
2016-11-01 math.CO math.HO math.MG
Maximal independent sets on a grid graph
图的独立点集是指图中没有两个点相邻的点的集合，而极大独立集是指不是任何其他独立集的真子集的集。本文计算了完全矩形格图上极大独立点集的个数。更准确地说，我们提供了一个递归矩阵关系产生的分拆函数的顶点数。给出了最大硬平方熵常数的渐近性质。我们采用状态矩阵递归算法，最近发明的作者回答各种二维规则格点模型问题的计数组合学和统计力学。
2017-09-12 math.CO
Chocolate Numbers
在本文中，我们考虑了一个游戏上的矩形$m \times n$网格巧克力棒。每走一步，一个玩家沿着网格线打破酒吧。之后的每一步都包括拿任何一块巧克力，沿着现有的网格线再次打破它，直到只剩下$mn$单独的方块。本文列举了打破一个$m \times n$条的方法的数量，我们称之为巧克力数，并介绍了与这些数相关的四个新序列。使用各种技术，我们证明有趣的整除这些序列的结果。
2015-09-21 math.CO
Bounding the number of holes required for folding rectangular polyominoes into cubes
该研究针对带孔矩形多联骨牌沿网格线折痕能否折叠成立方体的问题，探究保证可折叠性的最小孔洞集合，发现同型孔洞时最小集合规模至多为4，异型孔洞时规模无上限。
2025-10-22 cs.CG math.CO
Asymptotic growth rate of square grids dominating sets: a symbolic dynamics approach
在本文中，我们证明了有限矩形网格上的控制集（和变量）的数量的渐近增长率的存在性，当网格的维数增长到无穷大。此外，我们提供，为每个变种，一个算法，计算的增长率。我们还给出了这些速度的界限由计算机程序。
2019-08-12 cs.DM math.CO
Scrambled Vandermonde Convolutions of Gaussian Polynomials
众所周知，高斯多项式（即，$q$ -二项式）描述矩形网格中单调路径上的$area$统计量的分布。我们引入了两个新的统计量，$corners$和$cindex$ ;附加“干扰”到网格;并重新评估这些统计量，以证明所有加扰版本的$cindex$统计量与$area$是均匀分布的。我们的主要结果是一个双统计$(cindex,corners)$的生成函数表示为一个两个变量的Vandermonde卷积的原始高斯多项式。证明依赖于不同方向路径之间的显式双射。
2020-04-04 math.CO
Excluding a rectangular grid
Université Côte d’Azur（蔚蓝海岸大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；Inria（法国国家数字科学研究所）；I3S（信息科学与系统研究所）
该文定义k-树深度参数，证明图类有界k-树深度等价于排除特定网格类子式，由此强化网格子式定理，为子式封闭图类的树深度、树宽相关性质提供统一刻画。
2026-08-03 cs.DM math.CO
Combinatorial settlement planning
在本文中，我们考虑矩形网格上的组合定居模型，其中每个房屋的至少一侧（东、南或西）必须无障碍地暴露在阳光下。我们感兴趣的是最大的配置，其中没有额外的房子可以添加。对于一个固定的$m\times n$网格，我们明确计算的最低数量的房子，并给出接近最佳的最大配置可以有房子的最高数量的界限。此外，我们提供了一个整数规划制定的问题，并明确解决它的小值的$m$和$n$。
2021-07-15 math.CO
Sandpiles and Dominos
我们考虑的阿贝尔沙堆组的网格图组成的配置的沙子是对称的关于中心的垂直和水平轴的子群。我们表明，这个组的大小是（i）多米诺骨牌的数量相应的加权矩形棋盘;（ii）一个产品的切比雪夫多项式的特殊值;和（iii）一个双重产品的因素是三角函数的值的平方和。我们提供了一个新的推导公式，由于Kasteleyn和Temperley和Fisher计数多米诺瓷砖的数量的2 m × 2n的矩形棋盘和一个新的方式计数多米诺瓷砖的数量的2 m × 2n的棋盘上的默比乌斯带。
2014-05-31 math.CO
On the bend number of circular-arc graphs as edge intersection graphs of paths on a grid
本文研究了圆弧图作为网格上路径边相交图的弯曲数，证明了所有圆弧图均为 $B_3$-EPG 图且存在非 $B_2$-EPG 图，并在矩形表示下给出了相关界限与 $B_1$-EPR 图的禁用子图刻画。
2015-06-29 math.CO
Counting tilings of the $n \times m$ grid, cylinder, and torus
本文提出统一框架，用任意瓦片集并纳入几何对称与行列循环移位，计算矩形网格、圆柱面和环面的铺砌数，推广了已有两色环面铺砌计数工作。
2023-12-22 math.CO math.GR
The Smith and Critical Groups of the Square Rook's Graph and its Complement
设$R_{n}$表示顶点集由一个$n \times n$网格的正方形组成的图，当两个正方形位于同一行或列时，它们相邻。这是方车图，也可以被认为是两个$n$阶完全图的笛卡儿积，或者是完全二部图$K_{n,n}$的线图。本文计算了图$R_{n}$及其补图的Smith群和临界群。这等价于确定这些图中的每一个的邻接矩阵和拉普拉斯矩阵的史密斯标准形。在这样做，我们验证了1986年的Rushanan猜想。
2015-07-23 math.CO
Routing by matching on convex pieces of grid graphs
路由数是由Alon，Chung和Graham在1994年引入的图不变量，并且已经针对树和其他类别的图（如超立方体）进行了研究。它给出了对一组不同的标记进行排序所需的最小路由步骤数，每个顶点上放置一个标记，其中每个路由步骤交换一组不相交的相邻标记对。我们的主要定理推广了已知的估计：一个宽为w（R），高为h（R）的矩形格图R的路由数rt（R）在O（w（R）+h（R））中.证明了对于任意凸多边形包围的无限正方形格的子图P，它的路由数rt（P）是O（w（P）+h（P））.
2021-06-20 cs.CG math.CO
Asymptotics of the number of 2-threshold functions
大小为$m \times n$的矩形网格上的$k$ -阈值函数是同一域上的$k$门限函数的合取。在本文中，我们集中在$k=2$的情况下，并证明了二维2-门限函数的数量是~ $\dfrac{25}{12π^4} m^4 n^4 + o(m^4n^4)$。
2021-02-02 cs.DM math.CO
Minimum Number of Bends of Paths of Trees in a Grid Embedding
我们感兴趣的是在矩形网格中嵌入最大度至多为4的树T，使得T的顶点对应于网格点，而T的边对应于网格线的不相交的直线段。这种嵌入被称为直接模型。虽然每个边由直线段表示，但T的路径在模型中由对应于其边的段的并集表示，其可以由模型中具有若干弯曲的路径组成。目标是确定给定树T的直模型，使T的所有路径上的最大弯曲数最小化。我们为这个问题提供了一个二次时间算法。我们还展示了如何构建直模型，k作为其最小数量的弯曲和最少数量的顶点可能。作为算法的一个应用，我们给出了VPT和EPT图的EPG模型的弯曲数的上界。
2021-09-06 cs.CC cs.DM math.CO
