Solving the inverse source problem of the fractional Poisson equation by MC-fPINNs
提出用 MC-fPINNs 同时反演分数阶 Poisson 方程的解与源项，结合 Monte Carlo 采样和物理约束损失，并通过误差分析与最高 10D、含噪数值实验验证其精度与鲁棒性。
2024-07-04 cs.NA math.NA
Geometric multigrid method for solving Poisson's equation on octree grids with irregular boundaries
提出了一种在几何多重网格求解器中包含不规则区域边界的方法。Dirichlet边界条件可以施加在由水平集函数定义的不规则边界上。我们的实现采用四叉树/八叉树网格自适应细化，细胞为中心的离散化和逐点平滑。通过执行线搜索以亚网格分辨率确定边界位置。对于界面附近的网格块，将存储考虑界面的自定义操作符模板。对于远离边界的网格块，使用标准的二阶精度离散化。用几个算例说明了该方法的收敛性、鲁棒性和计算量。
2023-01-25 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A simple GPU implementation of spectral-element methods for solving 3D Poisson type equations on rectangular domains and its applications
本文利用离散 Laplace 算子的张量积结构，在 GPU 上实现了一种简单、快速且可复现的 MATLAB 谱元 Poisson 求解器，A100 上十亿自由度耗时不到1秒，并应用于 Schrödinger 与 Cahn-Hilliard 方程。
2024-06-11 cs.DC cs.NA math.NA
Solving Vlasov-Poisson system with an adaptive Hermite spectral method
Peking University（北京大学）；Beijing Computational Science Research Center（北京计算科学研究中心）；Center for Data Science, Peking University（北京大学数据科学中心）
本文提出了一种基于新开发的频率指示器的自适应Hermite谱方法，用于求解Vlasov-Poisson系统，通过对称加权Hermite基函数和缩放因子来满足分布函数的高分辨率需求，例如由丝状结构引起的需要。通过两步构造快速保守投影算子，首先将投影公式化为约束优化问题以保持质量、动量、能量和分布函数的L^2范数，第二步则采用ODE方法以线性复杂度计算更新的展开系数。
2026-05-18 cs.NA math.NA
Solving Poisson Problems in Polygonal Domains with Singularity Enriched Physics Informed Neural Networks
针对含奇异性的多边形区域泊松问题，提出显式融入解析解奇异性行为的SEPINN方法，给出收敛性分析，经二维三维数值模拟及与现有神经网络方法对比验证了其效率。
2024-04-17 cs.NA math.NA
An inverse averaging finite element method for solving the size-modified Poisson-Nernst-Planck equations in ion channel simulations
在这项工作中，我们介绍了一种逆平均有限元法（IAFEM）求解尺寸修正的Poisson-Nernst-Planck（SMPNP）方程。与经典的Poisson-Nernst-Planck（PNP）方程相比，SMPNP方程在每个Nernst-Planck（NP）通量中增加了一个非线性项来描述空间排斥，可以处理多种非均匀颗粒尺寸。由于引入了离子浓度的和梯度，SMPNP方程的非线性耦合比PNP方程强得多。通过引入一个广义Slotboom变换，将每一个尺寸修正的NP方程转化为一个系数为指数的自伴方程，该方程与标准NP方程在Slotboom变换下具有相似的简单形式.这种处理方法使我们能够采用最近开发的逆平均技术来处理指数系数的重新制定的配方，具有数值稳定性和通量守恒的优点，特别是在强非线性和对流主导的情况下。与以往的稳定化方法相比，本文提出的IAFEM在处理对流占优问题时仍具有数值稳定性。该方法更简洁，更易于数值实现。通过一个具有分析解的模型问题的数值试验，验证了该方法的精度和阶数。对球体模型和离子通道系统的尺寸效应的研究表明，在模拟生物系统的SMPNP方程时，该方法比传统的有限元法（FEM）更有效和鲁棒.
2021-12-03 cs.NA math.NA
Multi-scale Deep Neural Network (MscaleDNN) for Solving Poisson-Boltzmann Equation in Complex Domains
Beijing Computational Science Research Center（北京计算科学研究中心）；Southern Methodist University（南卫理公会大学）；Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
在本文中，我们提出了多尺度深度神经网络（MscaleDNNs），使用频域中的径向缩放思想和具有紧支持的激活函数。径向缩放将偏微分方程解的高频内容的近似问题转换为学习低频函数的问题，并且紧凑支持激活函数便于分离要由相应的DNN近似的目标函数的频率内容。因此，MscaleDNN在多个尺度上实现快速一致收敛。所提出的MscaleDNN被证明是优于传统的全连接DNN，是一个有效的无网格数值方法的泊松-玻尔兹曼方程具有丰富的频率内容在复杂和奇异域。
2020-09-28 cs.LG cs.NA math.NA
Solving the Poisson equation on small aspect ratio domains using unstructured meshes
Imperial College London（帝国理工学院）
针对小纵横比区域上泊松方程离散矩阵的病态问题，提出一种基于多网格预条件子的新解法，显著提升非静力海洋模型在非结构化网格上的计算可行性。
2009-12-10 cs.NA math.NA physics.ao-ph
Some random batch particle methods for the Poisson-Nernst-Planck and Poisson-Boltzmann equations
本文考虑了在外部无界区域内求解Poisson-Nernst-Planck（PNP）方程的无规批处理相互作用粒子方法，从而将Poisson-Boltzmann（PB）方程作为平衡点。为了证明截断域中的模拟是正确的，证明了PB方程在对称情况下截断的误差估计。然后介绍了随机批处理相互作用粒子方法，即每时间步$O(N)$方法。粒子方法不仅可以作为求解PNP和PB方程的数值方法，而且可以作为溶液中带电粒子动力学的直接模拟方法。粒子方法是优选的，由于其简单性和适应复杂的几何形状，并可能是有趣的描述物理过程的动力学。此外，它是可行的，以纳入更多的物理效应和相互作用的粒子方法和描述的现象超出了平均场方程的范围。
2022-03-24 cs.NA math.NA
Solving Poisson Equations using Neural Walk-on-Spheres
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；Caltech（加州理工学院）
本文提出神经球面游走法NWoS，利用球面随机游走递归构造无需空间梯度的神经网络损失，高效求解高维泊松方程，在精度、速度和内存成本上显著优于PINNs等方法，并成功应用于PDE约束优化与分子动力学。
2024-06-05 cs.LG cs.NA math.NA
Convergence of the Point Integral method for the Poisson equation with Dirichlet boundary on point cloud
Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（丘成桐数学科学中心，清华大学）
本文提出点积分法用于求解点云上泊松方程，证明了该方法在狄利克雷边界条件下的收敛性。
2016-05-05 cs.NA math.DG math.NA
Numerical Methods for Solving Nonlinearly Coupled Poisson Equations in Dual-Continuum Modeled Porous Electrodes
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；University of Houston（休斯顿大学）
本文提出了解决双连续多孔电极中非线性耦合泊松方程的数值方法，包括三种方法解决解的非唯一性问题，并评估了不同解策略的计算性能。
2026-03-02 cs.NA math-ph math.MP
An Efficient Finite Element Iterative Method for Solving a Nonuniform Size Modified Poisson-Boltzmann Ion Channel Model
本文提出了一个非均匀尺寸修正的Poisson-Boltzmann离子通道（nuSMPBIC）模型，该模型是一个静电势和多个离子浓度的非线性系统。它混合了非线性代数方程组与泊松边值问题，包括Dirichlet-Neumann混合边值条件和膜表面电荷密度，以反映离子尺寸和膜电荷对静电和离子浓度的影响。为了克服强奇异性和指数非线性的困难，它被分成三个子模型，模型1的解决方案收集所有的奇点和模型2和3更容易解决的数值比原来的nuSMPBIC模型。然后提出了求解模型3的阻尼两块迭代法，以及求解每个相关非线性代数系统的新的修正牛顿迭代格式。为此，推导出一种有效的nuSMPBIC有限元求解器，然后将其实现为适用于具有三维分子结构的离子通道蛋白和多种离子物种混合溶液的程序包。四种离子混合物中电压依赖性阴离子通道（VDAC）的数值结果表明阻尼两块迭代法的快速收敛速度，软件包的高性能，以及考虑非均匀离子尺寸的重要性。此外，VDAC的阴离子选择性也验证了nuSMPBIC模型的正确性.
2021-09-01 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A Comparison Between Meshless Radial Basis Function Collocation Method and Finite Element Method for Solving Poisson and Stokes Problems
本文比较了有限元法与无网格径向基函数配点法求解 Poisson 和 Stokes 问题的性能，通过形状参数优化和虚拟曲面体积误差计算等技术，从精度、运行时间、条件数和实现难度等方面评估了两种方法的适用准则。
2020-12-28 cs.NA math.NA
Controlling instability in the Vlasov-Poisson system through moment-based optimization
针对聚变能研究中等离子体动力学效应诱导的不稳定性问题，提出基于矩的降阶模型设计外部电场的控制方法，降低计算成本且适配数据驱动场景，通过解析与数值对比验证其相对于完整动力学模型控制的有效性。
2025-08-25 cs.NA math.NA
Fast and accurate multigrid solution of Poissons equation using diagonally oriented grids
本文提出在多重网格层次中加入对角网格的新算法，用于快速求解泊松方程，实验表明其速度可达传统方法的2倍。
1999-07-30 cs.NA math.NA
A Decoupling Two-Grid Method for the Steady-State Poisson-Nernst-Planck Equations
Guilin University of Electronic Technology（桂林电子科技大学）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文提出两种双网格有限元算法，通过粗网格有限元近似解耦稳态泊松-能斯特-普朗克方程，理论分析和数值实验表明其高效有效。
2016-09-08 cs.NA math.NA
Hamiltonian Particle-in-Cell methods for Vlasov-Poisson equations
基于Vlasov-Poisson系统的泊松括号结构，提出了Vlasov-Poisson系统的Particle-in-Cell算法。采用有限元法求解泊松方程，选取适当的有限元空间，保证半离散系统具有明确的离散泊松括号结构。然后，分裂方法应用于半离散系统的哈密尔顿函数分解。证明了离散化是保持泊松括号的。此外，系统的守恒量也得到了很好的保持。在数值实验中，我们使用所提出的数值方法模拟各种物理现象。由于实际计算的计算量巨大，我们采用了并行计算的策略。数值结果验证了新的数值离散的效率。
2022-04-18 cs.NA math.NA
A bi-fidelity method for the uncertain Vlasov-Poisson system near quasineutrality in an asymptotic-preserving particle-in-cell framework
Beijing Computational Science Research Center（北京计算科学研究中心）；Department of Mathematics, The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学数学系）
本文研究了带有不确定性的近准中性Vlasov-Poisson系统（VPME），提出了一种高效的渐进保持粒子-网格方法，用于捕捉准中性极限，同时引入双保真方法处理多维随机参数的不确定性量化。
2026-03-14 cs.NA math.NA
Quantum-Enhanced Spectral Solution of the Poisson Equation
针对齐次Dirichlet边界条件下的Poisson方程，提出基于QFT的数值-量子混合谱方法，直接估计级数系数并降低复杂度、提升精度。
2025-06-09 cs.ET cs.NA math.NA
A dynamic mass transport method for Poisson-Nernst-Planck equations
提出了一种近似求解Poisson-Nernst-Planck（PNP）方程的动态质量输运方法。基于JKO型变分公式的半离散格式自然地强制执行解的正性和能量定律，对于连续PNP系统。完全离散的计划被进一步制定为一个约束最小化问题，证明是可解的，并满足所有三个解决方案的性质（质量守恒，积极性和能量耗散）独立的时间步长或空间网格步长。数值实验验证了计算结果的收敛性和格式的结构保持性。
2022-05-03 cs.NA math.NA
A fourth-order accurate compact difference scheme for solving the three-dimensional Poisson equation with arbitrary boundaries
本文提出一种基于四阶紧致有限差分和预处理BiCGSTAB的三维Poisson方程高阶清晰界面求解方法，通过调整界面附近差分模板避免跳跃修正，在任意边界下保持四阶精度与高效计算。
2019-02-04 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Fast Poisson solvers for spectral methods
School of Engineering and Applied Sciences, Harvard University（哈佛大学生物工程与应用科学学院）；Department of Mathematics, Cornell University（康奈尔大学数学系）
本文提出高效的谱方法求解泊松方程，实现最优复杂度，适用于方形、圆柱体、实心球体和立方体等几何形状，可在标准笔记本电脑上快速处理百万级自由度。
2017-10-30 cs.NA math.NA
Quantum radial basis function method for the Poisson equation
采用径向基函数（RBF）方法对高维Poisson问题进行数值求解。近似解可以通过求解大型线性方程组来找到。在这里，我们调查的范围内，RBF方法可以加速使用一个有效的量子算法的线性方程组。我们比较了我们的量子算法的理论性能与一个标准的经典算法，共轭梯度法。我们发现，量子算法可以实现多项式加速比。
2023-01-15 cs.NA math.NA quant-ph
The Numerical Flow Iteration for the Vlasov-Poisson equation
提出了求解Vlasov-泊松方程的数值流迭代法（NuFI）.在本文稍后指定的某种意义上，NuFI提供分布函数的无限分辨率。NuFI完全保留了正性，所有$L^p$ -范数，电荷和熵。数值实验表明没有能量漂移。NuFI速度快，需要的内存比传统方法少几个数量级，并且可以在GPU集群上非常有效地并行化。低保真度模拟提供了良好的定性结果，为延长的时间段，可以计算在低成本的工作站。
2023-01-13 cs.NA math.NA physics.comp-ph
An EM based Iterative Method for Solving Large Sparse Linear Systems
Case Western Reserve University（凯斯西储大学）
本文提出一种基于EM算法的迭代算法，用于求解大规模稀疏线性系统，保证收敛性并具有几何收敛速率，适用于唯一解或最小Kullback-Leibler散度点的情况。
2018-08-01 cs.NA math.NA
A fast solver for Poisson problems on infinite regular lattices
Dartmouth College（达特茅斯学院）；University of Colorado at Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
提出一种基于离散基本解的快速求和技巧，用于无限规则格点上椭圆差分方程的快速求解，计算复杂度为O(N_source)，优于FFT方法的O(N_Ω log N_Ω)。
2011-12-30 cs.NA math.NA
Solving 1D Poisson problem with a Variational Quantum Linear Solver
针对混合量子-经典算法在真实硬件上仅能解决少数量子物理问题的局限，本文提出基于泡利字符串和多量子比特门的矩阵新分解方法，用变分量子线性求解器（VQLS）解决一维泊松问题，首次在模拟和真实硬件上实现了线性代数问题的求解。
2024-12-06 cs.CE cs.NA math.NA
Positivity-preserving third order DG schemes for Poisson--Nernst--Planck equations
在本文中，我们设计并分析了三阶保正间断Galerkin（DG）格式求解含时Poisson-Nernst-Planck（PNP）方程组，它已在不同的应用中得到了广泛的应用。我们的DG方法与欧拉前向时间离散保持积极的细胞平均在所有的时间步长。数值解的正性然后通过参考正加权单元平均的缩放限制器来恢复。该方法还示出保持稳定状态。数值例子证明了三阶精度，并说明了在一维和二维保正属性。
2021-02-23 cs.NA math.NA
Solving stationary nonlinear Fokker-Planck equations via sampling
本文利用相互作用粒子系统与非线性 Fokker–Planck 方程的联系，提出从 N 体 Gibbs 分布采样求稳态解，证明 Gibbs 测度在有界核与非低温条件下收敛，并通过数值实验验证。
2023-10-01 cs.NA math.NA
A FFT-based GMRES for fast solving of Poisson equation in concatenated geometry
针对拼接复合几何中的 Poisson 方程，提出结合 FFT 预条件子与 GMRES 的区域分解法，保持单步最优复杂度并实现二阶精度，最高加速逾40倍。
2025-09-27 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Convergence analysis of Wirtinger Flow for Poisson phase retrieval
针对泊松相位恢复问题，本文开展Wirtinger Flow算法的收敛性分析，提出无需额外处理的低复杂度框架，证明其无噪线性收敛与有界噪声鲁棒性，还提出高效增量式变体且保证高概率收敛。
2025-01-11 cs.NA math.NA
A numerical strategy to discretize and solve the Poisson equation on dynamically adapted multiresolution grids for time-dependent streamer discharge simulations
Univ. Nice Sophia Antipolis（尼斯索菲亚安提波利斯大学）；Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）；Masaryk University（马萨里克大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；Laboratoire EM2C（EM2C实验室）；Ecole Centrale Paris（巴黎中央理工学院）
本文提出了一种数值策略，用于在动态适应网格上求解多维泊松方程，以解决涉及传播前沿的进化问题，该方法扩展了用于求解双曲和抛物型时间依赖PDE的多分辨率有限体积方案，确保在用户定义的精度容差内求解泊松方程。
2015-02-24 cs.NA math.AP math.NA
A higher-order finite-volume discretization method for Poisson's equation in cut cell geometries
Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）
本文提出一种在二维和三维笛卡尔切割单元网格上实现高阶有限体积离散化的方法，通过求解小的加权最小二乘线性系统生成通量 stencil，证明该方法在截断误差和解误差上可达到二阶和四阶精度，并展示拉普拉斯算子具有稳定的特征值。
2014-11-16 cs.NA math.NA
A scalable high-order multigrid-FFT Poisson solver for unbounded domains on adaptive multiresolution grids
本文提出了一种可扩展的高阶多网格-FFT泊松求解器，用于处理无界域上的自适应多分辨率网格，通过灵活的多网格方法和高阶紧凑Stencil提高求解效率和精度。
2025-12-09 cs.DC cs.NA math.NA
Generalized high-order minimization-based polynomial corrections on unfitted spectral elements for the Poisson problem
Laboratoire Jacques-Louis Lions（雅克-路易·利翁斯实验室）；Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；Department of Applied Mathematics and Computer Science（应用数学与计算机科学系）；Technical University of Denmark（丹麦技术大学）
本研究提出广义高阶极小化基多项式修正方法，推广SBM与ROD技术，可提升非匹配谱元法的系统条件数，适用于Neumann和Robin边界，经泊松问题数值实验验证其高阶精度。
2026-08-10 cs.NA math.NA
A note on spectral Monte-Carlo method for fractional Poisson equation on high-dimensional ball
针对现有分数阶泊松方程谱蒙特卡洛方法本质为一维的局限，研究通过采用新的分数阶拉普拉斯本征函数与插值公式，将其推广至高维球径向解场景，经数值验证有效。
2025-10-06 cs.NA math.NA
A note on using the mass matrix as a preconditioner for the Poisson equation
我们表明，从有限元导出的质量矩阵可以有效地用作迭代求解线性系所产生的有限差分离散的泊松方程，使用共轭梯度法的预条件。我们解析地导出了预条件算子的条件数。理论分析表明，拉普拉斯算子的条件数与预条件算子的条件数之比在一维为$8/3$，二维为$9/2$，三维为$2^9/3^4 \approx 6.3$.由此得出，用于实现残差的范数的固定减少的预期迭代计数小于2D和3D中的未预处理CG的迭代次数的一半。该格式易于实现，数值实验表明了其有效性.
2021-11-04 cs.NA math.NA
Convergence of Stochastic Gradient Methods for Wide Two-Layer Physics-Informed Neural Networks for the Poisson Equation
Department of Mathematics, The Chinese University of Hong Kong, Shatin, N.T., Hong Kong, P.R. China（香港中文大学（深圳）数学系）
研究求解泊松方程的过参数化两层物理信息神经网络，建立随机梯度下降/流的线性收敛性，扩展现有梯度下降分析结果，为随机算法训练物理信息神经网络提供保障。
2026-07-07 cs.LG cs.NA math.NA
