Regular Polyhedra of Index Two, II
欧氏空间中的一个多面体称为指标为2的正多面体，如果它是组合正则的，并且它的几何对称群在它的组合自同构群中的指标为2，那么它的自同构群是旗传递的，但它的对称群有两个旗轨道。本文完成了三维空间中指数为2的有限正多面体的分类。特别地，本文列举了对称群下顶点在一条轨道上的指数为2的正多面体。有十个这样的多面体。
2010-11-12 math.CO math.MG
Regular Polyhedra of Index Two, I
欧氏空间中的一个多面体称为指数为2的正多面体，如果它是组合正则的，但“几何正则性差2倍”;它的组合自同构群是旗传递的，但它的几何对称群有两个旗轨道。本文及其第一作者的后继者，描述了三维空间中指数为2的正多面体的一个完整分类。特别地，本文列举了对称群下顶点在两个轨道上的指数为2的正多面体。随后的论文将列举在对称群下顶点在一个轨道上的指数为2的正多面体。
2010-05-26 math.CO math.MG
Semiregular abstract polyhedra with trivial facet stabilizer
Northeastern University（东北大学）
本文构造了具有平凡面稳定化子的半正抽象多面体，展示了其可拥有无界的旗轨道数，同时仅有一个面轨道，并通过操作高阶正则和非正则多面体实现交替半正多面体的构造。
2025-12-16 math.CO
On Artinian Gorenstein algebras associated to the face posets of regular polyhedra
引入了由正多面体的面偏序集定义的Artinian Gorenstein代数。我们考虑代数的强Lefschetz性质和Hodge-Riemann关系。我们证明了所有柏拉图体的代数的强Lefschetz性质。另一方面，对于某些柏拉图体，我们证明了代数不满足Hodge-Riemann关系关于一些强Lefschetz元素。
2020-11-27 math.AC math.CO
Wythoffian Skeletal Polyhedra in Ordinary Space, I
Skeleton多面体是由有限的、平的或斜的、或无限的、螺旋的或锯齿形的多边形作为面组成的离散结构，每个边上有两个面，每个顶点上有一个圆形的顶点图形。当威索夫构造的一个变体被应用于普通空间中的48个正骨架多面体（格伦鲍姆-戴什多面体）时，新的高度对称的骨架多面体作为原始多面体的“截断”而出现。这些Wythoffian是顶点传递的，并且通常具有不同面部形状的吸引力组合的顶点配置。本文件描述了蓝图的建设和对待Wythoffians为区别类的正多面体。第二作者将在第二部分中讨论其余类别的正多面体的威索非。我们还研究当建设产生统一的骨架多面体。
2016-10-11 math.CO math.MG
Toric Geometry of the Regular Convex Polyhedra
在这篇文章中，我们描述辛和复复环面空间与五个正凸多面体。正正四面体和立方体是有理简单的，正八面体不是简单的，正十二面体不是有理的，正二十面体既不简单也不有理。我们注意到，最后两种情况下，不能通过标准的复曲面几何处理。
2016-11-30 math.AG math.CO math.DG
Representing the Sporadic Archimedean Polyhedra as Abstract Polytopes
我们提出的阿基米德多面体（这些多面体只包含一种类型的顶点图形）作为正则抽象多面体的代理的调查结果。生成这些演示文稿的两种方法进行了讨论，其中之一可以应用在一般的设置，另一种是利用与所需的商相同的自同构群的规则多面体。代表的14个零星阿基米德多面体（包括伪hombicuboctahedron）的正抽象多面体的替代品，并总结在一个表中。这些信息用于确定这些多面体中哪些具有无视Petrie方案（即，具有定义良好的Petrie方案）。
2009-10-13 math.CO math.MG
Zigzag Structure of Simple Two-faced Polyhedra
平面图中的Z字形是边的回路，使得任何两个但不是三个连续的边属于同一个面。平面图中的铁路是六边形面的回路，使得任何六边形在相对的边上与其相邻的六边形相邻。没有铁路的曲线图叫做紧曲线。本文研究了一般三度平面图，特别是简单二面多面体的Z字形和铁路形结构，3-只有$a$ -β和$b$ -β面的3价多表位体，其中$3 \le a < b \le 6$ ;主要情况是$(a,b)=(3,6)$、$(4,6)$和$(5,6)$（富勒烯）。我们完整地描述了$(a,b)$ = $(3,6)$情形下的锯齿形结构。对于$(a,b)$ = $(4,6)$的情形，我们描述了对称群，对所有具有简单双标记的紧图进行了分类，并给出了一般紧图双标记数的上界9.对于其余的情况$(a,b)$ = $(5,6)$，我们给出了一个实现预定之字形结构的构造。
2003-08-01 math.CO math.GT
Tight Chiral Polytopes
具有Schläfli符号$\{p_1, \ldots, p_{n-1}\}$的手征多胞形至少具有$2p_1 \cdots p_{n-1}$标志，并且如果标志的数量满足该下界，则其被称为\emph{tight}。紧手征多面体的Schläfli符号在较早的一篇文章中进行了分类，另一篇文章证明了不存在具有$n \geq 6$的紧手征$n$ -多面体。本文证明了不存在紧手性$5$ -多面体，描述了11个紧手性$4$ -多面体族，并证明了每个紧手性$4$ -多面体都覆盖了其中一个族的多面体.
2020-09-09 math.CO
Classifying Regular Polyhedra and Polytopes using Wythoff's Construction
Wythoff的构造将一致多面体与Coxeter图相关联，Coxeter图的顶点用十字装饰，十字表示稳定泛点的子群。Champagne、Kjiri、Patera和Sharp指出，通过将更多的信息与Coxeter图相关联，人们可以进一步确定这种多面体的面的类型和数量。本文证明了这一结果，并利用它对正则多面体进行了分类。
2021-12-19 math.CO math.MG
The competition numbers of regular polyhedra
竞争图的概念是由J.E. 1968年的科恩。有向图D的竞争图C（D）是一个（简单无向）图，它与D具有相同的顶点集，并且在两个不同的顶点x和y之间有一条边，当且仅当D中存在一个顶点v，使得（x，v）和（y，v）是D的弧。对任意图G，G加上足够多的新孤立点是某个无圈有向图的竞争图。1978年，F. S. Roberts将图G的竞争数k（G）定义为图G中孤立点的最小个数。一般来说，图G的竞争数k（G）是很难计算的，通过计算图G的竞争数来刻画图G是竞争图研究中的重要问题之一。众所周知，在三维欧几里得空间中存在5种正多面体：四面体、六面体、八面体、十二面体和二十面体。我们把多面体看作一个图.利用已知的竞争数结果，可以很容易地计算四面体、六面体、八面体和十二面体的竞争数。本文以二十面体为研究对象，给出了二十面体竞争数的精确值。
2009-09-29 math.CO
Geodesic trajectories on regular polyhedra
考虑多面体上两点之间的所有测地线。在正四面体上，我们描述了从一个顶点到另一个顶点的所有测地线。利用Stern-Brocot树探讨了立方体顶点间测地线的递归结构，在某种精确意义上证明了某些顶点对间测地线的数目是其他顶点对间测地线的两倍。我们还得到了这样一个事实，即在正四面体或立方体上不存在起始于同一顶点和终止于同一顶点的测地线。
2015-08-12 math.CO math.MG
Geometric realizations of regular abstract polyhedra with automorphism group $H_3$
抽象多面体$\mathcal{P}$的\textit{geometric realization}是一个映射$ρ: \mathcal{P} \to \mathbb{E}^3$，它将一个$i$ -面发送到一个开维集$i$。本文采用Wythoff构造的方法，从正抽象多面体的自同构群$Γ$生成正抽象多面体的满秩实现。该方法需要找到一个真正的正交表示的$Γ$的程度3，并将其图像适当地选择在空间中的开集。为了证明使用的方法，我们将其应用到抽象多面体的自同构群同构的非晶体Coxeter组$H_3$。
2019-10-25 math.CO math.GR
Polyhedra, Complexes, Nets and Symmetry
普通欧氏空间中的Skeleton多面体和多边形复形是具有有趣的几何、组合和代数性质的有限或无限3周期结构。它们可以被看作是有限或无限的3-周期图（网），配备有由面施加的附加结构，允许是斜的，锯齿形的或螺旋形的。一个多面体或复形是“正则”的，如果它的几何对称群在标志上是传递的（关联顶点-边-面三元组）。有48个正多面体（18个有限多面体和30个无限远多面体），以及25个正多边形复合体，都是无限的，不是多面体。它们的边图是晶体学家熟知的网络，我们明确地识别它们。也有6个无限家族的“手征”无面体，它们在旗上有两个轨道，使得相邻的旗位于不同的轨道上。
2014-03-01 math.CO math.MG
Classification of polyhedral graphs by numbers of common neighbours
本研究提出按每对不同顶点的公共邻居数量集合对多面体（平面3-连通图）分类，针对各类非负整数集完成分类、无穷构造或不存在性证明，与强正则图等理论相关，可应用于复杂网络与数据科学。
2025-08-02 math.CO
A note on regular polyhedra over finite fields
本文对Grothendieck提出的有限域上正多面体理论进行了解释，计算了显式例子，解答了关于dessins d'enfants的问题，并指出了当前方法仍无法解释的观察。
2023-04-06 math.AG math.CO math.GR
Chiral Polyhedra from AGL(1,q)
Northeastern University（东北大学）
本文研究了从AGL(1,q)子群构造手性与正则多面体的方法，并证明了AGL(1,q)作为特定类型多面体的自同构群的条件。
2026-03-03 math.CO
On inside-out Dissections of Polygons and Polyhedra
研究多边形和多面体的内外翻转剖分，提出任意多边形用$2n+1$块、正多边形用至多6块的新上界，并证明可分解为正四面体和正八面体的多面体可剖分。
2024-11-10 cs.CG math.CO
The Regular Grunbaum Polyhedron of Genus 5
本文讨论亏格为5的经典Reichke-Klein正则映射在一般三维空间中的多面体嵌入。这个多面体最初是由Grunbaum在1999年，但最近重新发现的Bambum和威尔斯。我们建立了Grunbaum多面体的组合正则性。的GrUnbaum多面体是目前已知的为数不多的亏格G > 2的几何顶点传递多面体之一，并且被证明是该亏格范围内唯一的组合正则的顶点传递多面体。我们还贡献了一个新的顶点传递多面体，亏格11，这个列表，作为第7个已知的例子。此外，我们还证明了在整个亏格范围g > 2内，只有100个顶点可迁多面体。
2012-12-29 math.CO math.MG
Shellings of Unbounded Polyhedra
Technische Universität Berlin（柏林工业大学）；Max-Planck Institute for Mathematics in the Sciences, Leipzig（莱比锡马克斯·普朗克科学计量学研究所）
研究无界多面体边界复形的剥壳性，先研究紧化，利用多面体结果得热带超曲面剥壳性，探讨多面体复形对偶性与剥壳性相互作用，转化到离散莫尔斯理论，揭示正则细分紧支撑特性。
2026-07-14 math.AG math.CO
The number of extreme points of tropical polyhedra
著名的McMullen上界定理确定了多面体的最大极值点个数，它是由多面体的维数和定义它的约束数决定的，表明最大值是由循环多面体的极线决定的。我们表明，同样的约束是有效的热带设置，一个平凡的修改。然后，我们研究了最大化多面体的自然候选者，这是一个家庭的循环多面体配备了一个符号模式的极。我们构造双射之间的极值点，这些极性和格路径的符号模式，从中我们推导出明确的界限的极值点的数量，特别是显示的上界是渐近紧的尺寸趋于无穷大，保持固定的约束数量。当转置到经典的情况下，以前的建设产生一些格路径推广盖尔的均匀性标准。
2009-06-18 math.CO math.OC
Regular Polygonal Complexes in Space, II
三维欧氏空间中的正多边形复形是以有限或无限多边形为面，以有限个图为顶点的离散的类多面体结构，其对称群在旗上是传递的。本文及其前篇文章给出了三维空间中正多边形复形的一个完整分类。在第一部分中，我们建立了对称群的基本结构结果，讨论了它们的生成元上的运算，刻画了具有面镜的复形为3-空间中正则4-apeirotopes的2-骨架，并完整地列举了具有镜向量（1，2）的单旗传递复形。本文完成了所有正多边形复形的计数，并特别描述了其余镜像向量的单旗传递复形。发现在相似性条件下，恰好有25个正多边形复形不是正多面体，即21个简单旗传递复形和4个复形是正4-apeirotopes的2-骨架.
2012-10-07 math.CO math.MG
Polyhedra with hexagonal and triangular faces and three faces around each vertex
本文研究了由六边形和三角形组成且每个顶点有三个面的3-正则平面图（trihexes），通过signature标记法建立了其与等价类的双射，并据此限制了给定顶点数下的trihexes数量及证明了无六边形“belts”的猜想。
2023-06-27 math.CO math.GT
