Failures of the Silver Dichotomy in the Generalised Baire Space
Sy-David Friedman, Vadim Kulikov
证明了在V=L的条件下，广义Baire空间上Borel等价关系的Silver二分法的错误性.
We prove results that falsify Silver's dichotomy for Borel equivalence relations on the generalised Baire space under the assumption V=L.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The Hurewicz dichotomy for generalized Baire spaces
根据Hurewicz，Kechris和Saint-Raymond的经典结果，波兰空间$X$的解析子集被$X$的$K_σ$子集覆盖当且仅当它不包含与Baire空间${}^ωω$同胚的闭入$X$子集.我们认为类似的声明（我们称之为Hurewicz二分法）$Σ^1_1$子集的广义Baire空间${}^κκ$为一个给定的不可数基数$κ$与$κ=κ^{<κ}$，并显示如何迫使它是真的基数和共尾保持扩展的地面模型。此外，我们证明了，如果广义连续统假设（GCH）成立，那么有一个基数保持类力迫扩张，其中${}^κκ$的$Σ^1_1$子集的Hurewicz二分法在所有不可数正则基数$κ$上成立，而强不可折叠和超紧基数被保持。另一方面，在可构造宇宙L中，$Σ^1_1$集的二分法在所有不可数的正则基数上都失败了，同样的情况也发生在任何通过向GCH的模型添加科恩实数而获得的一般扩张中。我们还讨论了与一些正则性质的联系，如$κ$ -完备集性质，$κ$ -Miller可测性和$κ$ -Sacks可测性。
Baire class one colorings and a dichotomy for countable unions of $F_σ$ rectangles
我们研究Baire类一可数染色，即，将可计数划分为$F_σ$集合。这样的划分给出了将对角线覆盖成可数个$F_σ$正方形。这导致了对$F_σ$矩形的可数并集的研究。我们给这样可数工会Hurewicz一样的二分法。
Laver Trees in the Generalized Baire Space
证明了Laver强迫在空间$ κ^κ$上的任何适当推广，对于不可数正则$κ$，必然增加一个Cohen $κ$ -实数.我们还研究了一个二分法和一个理想的自然相关的广义拉弗强迫。利用这种二分法，我们证明了以下更强的结果：如果$ κ^{<κ}=κ$，那么每一个$<κ$ -分配树强加在$κ^κ$添加一个占主导地位的$κ$ -真正的，这是在一个连续函数在地面模型的一般的图像，添加一个科恩$κ$ -真正的。这是对广义Baire空间研究的贡献，并回答了arXiv的一个问题：1611.08140
A dichotomy theorem for the generalized Baire space and elementary embeddability at uncountable cardinals
我们考虑$κ$的广义Baire空间的解析子集上的$Σ^0_2$有限关系$R$的以下二分法：或者所有的$R$ -独立集的大小至多为$κ$，或者存在一个$κ$ -完全$R$ -独立集.这个二分法是（W. Kubietan，Proc. Amer. Math. Soc. 131（2003），no2.：619- 623）和（S. Shelah，Fund.Math.159（1999），no.1：1- 50）。我们证明了上述陈述成立假设$\Diamond_κ$和集合理论假设$I^-(κ)$，这是修改的假设$I(κ)$适合极限基数。当$κ$不可访问时，或者当$R$是封闭二元关系时，不需要假设$\Diamond_κ$。作为推论，我们得到了G. Sági和第一作者（日志。J. IGPL 20（2012），no.6：1064- 1082），关于当被认为是${}^κκ$的$K_κ$子集的元素的同构或基本可嵌入性时，$Σ^1_1(L_{κ^+κ})$语句的$κ$大小的模型。初等嵌入的作用可以由更一般的概念代替，该概念还包括嵌入，以及为$ω\leqμ\leqλ\leqκ$保留$L_{λμ}$的映射和这些逻辑的有限变量片段。
Baire-class $ξ$ colorings: the first three levels
由Kechris，Solecki和Todor \vcevi ć提出的$\mathbb{G}_0$ -二分法刻画了解析关系具有Borel可测可数染色。当$ξ\leq 3$为$\boraxi$ -可测可数着色时，我们给出了一个$\mathbb{G}_0$ -二分法.一个$\boraxi$ -可测可数染色给出了由可数个$\boraxi$正方形组成的对角线的覆盖。这导致了对$\boraxi$矩形的可数并集的研究。我们还给出了Hurewicz一样的二分法，这样可数工会时，$ξ\leq 2$。
A note on an effective Polish topology and Silver's Dichotomy theorem
我们定义了一个波兰拓扑的灵感来自Gandy-Harrington拓扑，并展示了它如何可以用来证明银的二分法定理，而留在波兰的境界。在这种拓扑结构中，一个$Π^1_1$等价关系被分解为一个开闭关系和一个稀疏关系的“和”。我们将其刻画为包含在$Σ^1_1$中的基的最大正则拓扑。
Baire reductions and good Borel reducibilities
本文证明了由良好 Borel 归约导出的度结构的二分法定理，扩展了文献[8]的结果，使其能处理包括 Baire 类 $ξ$ 函数在内的更大类归约概念。
Special subsets of the generalized Cantor space $2^κ$ and generalized Baire space $κ^κ$
在本文中，我们感兴趣的相似之处，在$\R$的特殊子集定义在广义Cantor和Baire空间（$2^κ$和$κ^κ$）的经典概念。我们考虑了一些著名的特殊子集类的推广，如Lusin集，强空集，集中集，完全稀疏集，$σ$-集，$γ$-集，具有Menger，Rothberger或Hurewicz性质的集，以及一些不太知名的类，如$X$-小集，稀疏可加集，Ramsey空集，Marczewski，Silver，Miller和Laver-空集。我们注意到许多关于这些类的经典定理可以相对容易地推广到更高的基数，尽管有时需要一些额外的假设。本文作为一个目录，这样的结果以及其他一些推广和开放的问题。
The open dihypergraph dichotomy for generalized Baire spaces and its applications
研究广义贝尔空间的开放双超图二分法，通过两种方式将相关结果提升到${}^\kappa\kappa$，并应用此方法解决了关于广义贝尔空间可定义子集的多个问题，如胡列维茨二分法变体等。
A dichotomy for Borel functions
Solecki在\cite{Sol}中发现的二分法指出，任何Baire类1函数要么是$σ$ -连续的，要么“包含”Pawlikowski函数$P$。本文的目的是给一个论点，这是简单的比原来的证明索莱茨基，并给出了一个更强的声明：二分法的所有波莱尔职能。
The Solecki dichotomy for functions with analytic graphs
一个二分法发现Solecki说，一个Baire类1功能从一个Souslin空间到一个波兰空间要么可以分解成可数许多连续函数，否则包含一个特定的功能，不能这样分解。在本文中，我们推广这种二分法任意函数的解析图。我们提供了一个“经典”的证明，它只使用初等组合学和拓扑。
On Star operation and some ideals on the Baire space
本文研究了Baire空间上的几个σ-理想，引入并分析了理想G和SMZ⁺，建立了它们与经典理想的结构关系，计算了M₋的基数不变量，并证明了星运算下的对偶关系，最后证明了M₋的树二分定理。
A dichotomy characterizing analytic digraphs of uncountable Borel chromatic number in any dimension
我们研究了解析图上Kechris-Solecki-Todorcevic二分法到维度大于2的扩展。我们证明了扩展是可能的，在任何维度，有限或无限。原来的证明在有限维的情况下工作。我们首先证明了在无穷维情形下，由于原定理中使用了连续同态的概念，自然扩张不起作用。然后我们在无限维的情况下解决了这个问题。最后，证明了在无限维情形下，自然扩张是有效的，但不考虑Baire-measurable同态的概念。
Finite generators for countable group actions in the Borel and Baire category settings
对于可数离散群$G$在波兰空间$X$上的连续作用，如果$G \cdot P := \{ gC : g \in G, C \in P \}$生成$X$的Borel $σ$ -代数，则称$X$的可数Borel分拆$P$为生成元.对于$G = Z$，Kolmogorov-Sinai定理给出了有限生成元存在的测度论障碍：它们不存在于具有无穷熵的不变概率测度中。80年代末，本杰明·韦斯（Benjamin Weiss）提出了一个问题：不存在任何不变的概率测度是否保证了有限生成元的存在。我们证明了对于任意可数群$G$和$σ$ -紧$X$（特别是对于局部紧$X$），答案是肯定的（事实上，存在32-生成元）。我们还表明，任何连续的非周期作用的$G$的任意波兰空间承认一个4-发电机上的comeager集，从而给出了一个肯定的答案亚历山大Kechris问在90年代中期。此外，假设一个肯定的答案Weiss的问题，任意波兰空间和$G = Z$，我们证明了以下二分法：每个非周期Borel作用的$Z$波兰空间$X$承认要么不变的概率测度的无穷熵或有限的生成元。作为一个辅助引理，我们证明了以下陈述，这可能是独立的兴趣：波兰空间$X$上的可数群$G$的每个非周期Borel作用允许$G$ -等变Borel映射到$2^G$上的$G$移位作用的非周期部分。我们还得到了其它一些相关结果，其中之一是$Z$的连续作用不存在非贫…
The finite Friedman-Stanley jumps: generic dichotomies for Borel homomorphisms
本文证明有限 Friedman-Stanley 跳跃到可数结构可分类等价关系的 Borel 同态二分法，并推广了相关结果，回答了 Clemens 的问题。
$F_σ$ equivalence relations and Laver forcing
在V.Kanovei，M. Sabok和J.Zapletal研究了Laver树上的Borel等价。本文证明了可约化为$ω$上的$F_σ$ $P$-理想所给出的$2^ω$上的等价关系的等价关系Borel可以规范化为完全等价关系或恒等关系.这有几个推论，例如银型二分法的拉沃理想和等价博雷尔约等价关系所给予的$F_σ$ $P$-理想。
Borel and countably determined reducibility in nonstandard domain
我们考虑了非标准域中等价关系（ER）的约简，用Borel约简和可数确定约简（CD）来表示.这揭示了部分类似于那些发现在描述集合论的现象。给出了 *N中Borel集的Borel约化结构和CD集的（部分）CD约化结构.证明了等价类可数的CD ER都是CD-光滑的，但并不是所有的CD ER都是B-光滑的，例如在 *N上有有限差分的ER.类似于波兰空间中的西尔弗二分法，*N上的任何CD ER要么最多有连续多类，要么有无限个两两不等价元素的内部集合。我们对 *N上的一元ER的研究，即，形式为x E y的等式当且仅当|X-Y|属于 *N中给定的可加Borel割，表明这些ER分裂成两个线性族，与可数共尾和可数共初割相关联，每个线性族都按Borel约简线性排序.研究了 *N的超有限子集上的一元ER与有限对称差分的ER之间的关系。
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