Wilf Equivalence for the Charge Statistic
Savage和Sagan最近定义了任意排列统计量st与任意两组排列$Π$和$Π'$的st-Wilf等价性的概念。本文研究了置换上电荷统计量的st-Wilf等价性，并利用电荷统计量与主指数之间的双射证明了Dokos，Dwyer，Johnson，Sagan和Selsor关于2的幂和主指数的一个猜想.
2012-04-13 math.CO
Fertility, Strong Fertility, and Postorder Wilf Equivalence
我们介绍了“生育力Wilf等价”，“强生育力Wilf等价”和“postorder Wilf等价”，Wilf等价的置换类，形式化的一些现象，出现在西方的堆栈排序图的研究中的三个变种。我们介绍了“滑动算子”，并表明，他们诱导有用的双射之间的有效钩配置。结合这些地图与自然分解的有效钩配置，我们给了无限多的例子，生育力，强生育力，和postorderWilf等价。由此，我们得到了关于多个置换统计量的无穷多个联合等分布结果。在一个非常特殊的情况下，我们重新证明并推广了Bouvel和Guibert的一个结果.另一个例子反驳并推广了作者的一个结果。一个单独的非常特殊的情况下证明和推广的猜想，目前的作者关于堆栈排序原像和布尔-加泰罗尼亚数。我们以两个开放性问题结束。
2020-01-10 math.CO
The 26 Wilf-equivalence classes of length five quasi-consecutive patterns
本文提出两族Wilf等价关系，并利用它们将长度为5的拟连续模式明确分类为26个等价类。
2018-10-22 math.CO
Descents and des-Wilf Equivalence of Permutations Avoiding Certain Non-Classical Patterns
模式回避研究中的一个常见问题是识别两组模式$Π, Π'$何时是Wilf等价的，即当$|\text{Av}_n(Π)| = |\text{Av}_n(Π')|$对所有$n$都是Wilf等价的。在Dokos等人最近的工作中，Wilf等价的概念被改进，以反映避免经典模式时保持某些统计量。在这篇文章中，我们继续他们的工作，检查$\text{des}$ -Wilf等价时，避免某些非经典模式。
2018-03-25 math.CO
Bijections for generalized Wilf equivalences
本研究提出从组合恒等式的容斥证明出发、用递归减法构造直接双射的方法，将其用于逆序序列连续模式的广义Wilf等价研究，给出了已有结论的直接双射证明及更强模式关系的新双射证明。
2024-10-29 math.CO
Some Wilf-equivalences for vincular patterns
我们证明了几个长度为4的vincular模式的Wilf-等价，其中一些推广到无限族的vincular模式。我们还给出了用于避免模式124-3、134-2、231-4、241-3、132-4和142-3的单个模式的长度为n的排列的数量的生成函数的函数方程。这几乎完成了长度为4的珠斑模式的Wilf分类。作为一个推论，这些结果意味着威尔夫等价的长度为5的某些禁止模式与一个单一的酒吧。
2014-08-23 math.CO
On (shape-)Wilf-equivalence of certain sets of (partially ordered) patterns
本文证明了Gao-Kitaev猜想，通过推广形状Wilf等价性结果并利用偏序模式的特例，验证了11/12类模式的等价性。
2024-05-22 math.CO
New Wilf-equivalence results for dashed patterns
给出了两个虚线模式$τ^{(1)}-τ^{(2)}-\cdots-τ^{(\ell)}$和$τ^{(\ell)}-τ^{(\ell-1)}-\cdots-τ^{(1)}$（强）Wilf等价的充分条件.这允许解决在一个统一的方式几个问题Heubach和曼苏尔对威尔夫等价的话和组成，以及一个猜想巴克斯特和Pudwell对威尔夫等价的排列。我们也给出了一个更好的解释的参数$\MAK+\bMAJ$和$\MAK'+\bMAJ$的有序集划分的均匀分布。这些结果可以被看作是一个简单命题的结果，该命题指出集值统计量“下降集”和“上升集”在偏序集$(X,\leq)$生成的部分交换幺半群的每个等价类上是等分布的。
2012-01-20 math.CO
Wilf Equivalences for Patterns in Rooted Labeled Forests
该研究延续有根森林模式规避研究，通过推广森林Simion-Schmidt双射完成特定模式集的森林-Wilf等价分类，借助森林版Goulden-Jackson簇方法发现新的非平凡c-森林-Wilf等价族，还证明超强c-森林-Wilf等价在森林中是平凡的。
2023-10-04 math.CO
A Bijective Proof of an Unbalanced Wilf Equivalence
University of Florida（佛罗里达大学）
该研究通过构造双射，证明了两组特定模式集合之间的不平衡Wilf等价性。
2026-10-08 math.CO
Wilf equivalence relations for consecutive patterns
如果对于每个$n$，避免$τ$作为连续模式的$S_n$中的置换的数目（即，在相邻位置）与避开$τ$的那些的数目相同。此外，如果对于每个$n$和$k$，包含作为连续模式的$π$的$k$出现的$S_n$中的排列数与$τ$相同，则$π$和$τ$是强c-Wilf等价的。在本文中，我们引入了第三个，更严格的等价关系，定义$π$和$τ$是超强c-Wilf等价的，如果上述条件成立的任何一组规定的位置的$k$发生。我们表明，当限制到非重叠排列，这三个等价关系相吻合。我们还给出了两个置换是强c-Wilf等价的一个必要条件。具体来说，我们表明，如果$S_m$中的$π,τ$是强c-Wilf等价的，那么$|π_m-π_1|=|τ_m-τ_1|$。在非重叠排列$π$和$τ$的特殊情况下，这证明了第二作者猜想的一个较弱版本，该猜想指出$π$和$τ$是c-Wilf等价的当且仅当$π_1=τ_1$和$π_m=τ_m$，直到平凡对称。最后，我们加强了Nakamura和Khoroshkin-Shapiro最近的一个结果，给出了强c-Wilf等价的充分条件。
2018-01-25 math.CO
Egge triples and unbalanced Wilf-equivalence
Egge解释说，避免模式集$\{2143,3142,τ\}$的排列，其中$τ\in\{246135,254613,263514,524361,546132\}$，由大施罗德数枚举。因此，如上所述的具有$τ$的$\{2143,3142,τ\}$与模式集$\{2413,3142\}$是Wilf等价的。Burstein和Pantone证明了$τ=246135$的情况。剩下的四个案子我们都能证明。作为我们证明的副产品，我们还列举了情况$τ=4132$。
2015-11-01 math.CO
On (shape-)Wilf-equivalence for words
Stankova和West证明，对于任何非负整数$s$和$\{4,5,\dots,s+3\}$的任何置换$γ$，避免$231γ$的置换与避免$312γ$的置换一样多。我们将这一结果扩展到单词的设置。
2018-06-01 math.CO
On a refinement of Wilf-equivalence for permutations
最近，Dokos等人证实，对于所有$k, m\geq 1$，模式$ 12\ldots k(k+m+1)\ldots (k+2)(k+1) $和$(m+1)(m+2)\ldots (k+m+1)m\ldots 21 $是$maj$ -Wilf等价的。本文对所有的$k\geq 1$和$m=1$证明了这个猜想。实际上，我们构造了一个下降集，它保持了所有$k\geq 3$的$ 12\ldots k (k-1) $-避免置换和$23\ldots k1$ -避免置换之间的双射.作为一个推论，我们的双射使我们能够解决一个猜想Gowravaram和Jagadeesan关于威尔夫等价的排列与给定的下降集。
2014-10-11 math.CO
Enumeration of super-strong Wilf equivalence classes of permutations in the generalized factor order
本文通过递归公式枚举广义因子序下排列的超强Wilf等价类，并揭示其与移位等价的联系，从而完整描述并枚举排列的移位等价类。
2019-10-28 math.CO
On the Rearrangement Conjecture for Generalized Factor Order Over $\mathbb{P}$
重排猜想指出，如果$\mathbb{P}$上的两个词在$\mathbb{P}^\ast$上的因子顺序上是Wilf等价的，那么它们是彼此的重排。我们引入了强Wilf等价的概念，并证明了如果$\mathbb{P}$上的两个词是强Wilf等价的，那么它们是彼此的重排.我们进一步猜想Wilf-等价蕴涵强Wilf-等价。
2014-09-11 math.CO
Extending Results on Wilf-Equivalence of Partial Shuffles
School of Computing, University of Otago（奥塔哥大学计算机学院）；Department of Mathematics and Statistics, University of Otago（奥塔哥大学数学与统计系）
本文通过迭代方法证明了部分洗牌的Wilf等价性，并探讨了递减模式对Wilf等价性的影响，同时给出了避免类的枚举结果。
2025-12-24 math.CO
Proof of a conjecture on the shape-Wilf-equivalence for partially ordered patterns
本文通过在给定 Young diagram 的两组避模式横截之间建立双射，证实了 Burstein-Han-Kitaev-Zhang 提出的关于长度为 $k$ 的偏序模式（POP）的 shape-Wilf-equivalence 猜想。
2025-07-16 math.CO
Matchings and shape-Wilf-Equivalence of sets of patterns of length three I: Triples
Indian Institute of Science（印度科学学院）；Indian Institute of Technology, Bombay（孟买印度理工学院）
本文完整分类了长度为三的模式三元组的形状-Wilf-等价类，利用双射编码证明，并枚举了避免这些模式的匹配，扩展了先前结果，发现了与Fuss-Catalan数等序列相关的新组合族。
2026-10-27 math.CO
A Wilf equivalence related to two stack sortable permutations
一个排列是所谓的两栈可排序的，如果它（i）避免（分散的）模式2-3-4-1，和（ii）包含一个3-2-4-1模式仅作为一个3-5-2-4-1模式的一部分。在这里，我们证明了仅满足条件（ii）的[n]上的排列与避免混合分散/连续模式的[n]上的排列是等量的。证明使用了一个已知的从3-2-1-避免到3-1-2-避免排列的双射。
2005-10-11 math.CO
A refinement of Wilf-equivalence for patterns of length 4
在他们的论文\cite{DokosDwyer:Permutat12}中，Dokos等人推测主索引统计量在1423-避免、2413-避免和2314-避免排列中是均匀分布的。本文通过构造两个保主指数的双射$Θ:S_n(1423)\to S_n(2413)$和$Ω:S_n(2314)\to S_n(2413)$来证实这个猜想.事实上，我们证明了$Θ$（分别为$Ω$）保留了许多其他统计量，包括下降集，从右到左的最大值（分别为从左到右的最小值），以及一个新的统计量，我们称之为顶部步骤（分别为底部步骤）。
2014-07-12 math.CO
Shift equivalence in the generalized factor order
我们提供了一个几何条件，保证强威尔夫等价的广义因子顺序。这为证明具体的和一般的Wilf等价结果提供了一个有力的工具，并给出了几个这样的例子。
2016-12-28 math.CO
Matchings and shape-Wilf-Equivalence of sets of patterns of length three II: Quadruples and Quintuples
Indian Institute of Technology, Bombay（印度孟买理工学院）；Indian Institute of Science, Bengaluru（印度班加罗尔印度科学学院）
本文完成了长度为三的模式四元组和五元组的shape-Wilf等价分类，引入Dyck路径方法处理Ferrers板，获得新等价关系、计数公式及匹配枚举的双射解释。
2026-10-02 math.CO
Wilf equivalences between vincular patterns in inversion sequences
反转序列是非负整数的有限序列，其中每个条目的值由其位置从上方限定。反转序列中的模式由Corteel-Martinez-Savage-Weselcouch和Mansour-Shattuck在经典情况下进行了研究，其中模式可以出现在任何位置，而Auli-Elizalde在连续情况下，只有相邻的条目可以形成模式的出现。这些文件分类的长度为3的经典和连续模式到Wilf等价类，根据反转序列的数量，避免他们。在本文中，我们考虑了反转序列中的vincular模式，它类似于置换中的Babson-Steingr 'ımsson模式，只需要出现的某些条目相邻，从而推广了经典模式和连续模式。解决一个猜想的林和严，我们提供了一个完整的分类的vincular模式的长度为3的反转序列到Wilf等价类，并考虑到更严格的类的出现的模式和位置的出现次数。我们发现的第一个已知的实例中的反转序列的模式，这两个更严格的类不一致。
2020-03-25 math.CO
Constraining Strong c-Wilf Equivalence Using Cluster Poset Asymptotics
设$π\in \mathfrak{S}_m$和$σ\in \mathfrak{S}_n$是置换。在$σ$中作为连续模式出现的$π$是具有与$π$相同顺序关系的$σ$的子序列$σ_i σ_{i+1} \cdots σ_{i+m-1}$。我们说模式$π, τ\in \mathfrak{S}_m$是强c-Wilf等价的，如果对于所有的$n$和$k$，在$\mathfrak{S}_n$中，$π$作为连续模式恰好在$k$中出现的排列数与$τ$相同。2018年，Dwyer和Elizalde提出（推广了Elizalde在2012年提出的一个猜想），如果$π, τ\in \mathfrak{S}_m$是强c-Wilf等价的，那么$(τ_1, τ_m)$等于$(π_1, π_m)$、$(π_m, π_1)$、$(m+1 - π_1, m+1-π_m)$或$(m+1 - π_m, m+1 - π_1)$中的一个。我们证明了这一猜想使用的集群方法介绍了Goulden和Jackson在1979年，其中Dwyer和Elizalde以前应用于证明$|π_1 - π_m| = |τ_1 - τ_m|$。我们的结果的一个后果是完全分类的c-Wilf等价的一类特殊的排列，非重叠排列。我们的方法使用分析方法来近似Elizalde和Noy的“簇偏序集”的线性扩展的数量。
2018-07-13 math.CO
Wilf classification of three and four letter signed patterns
我们给出了一些新的Wilf等价的签署模式，使长度为3和4的签署模式的完整分类。该问题被认为是一般的，以及对合符号置换的模式避免。
2006-04-03 math.CO
On criteria for rook equivalence of Ferrers boards
在文[2]中，我们引入了整数分拆的Wilf等价的新概念，并证明了车等价蕴涵Wilf等价。在本文中，我们证明了相反的，从而建立一个新的标准车等价。我们还完善了两个标准的标准车等价，并建立另一个新的涉及我们所谓的\emph{nested sequences of L's}。
2018-08-13 math.CO
An assortment of problems in permutation patterns: unimodality, equivalence, derangements, and sorting
University of Florida（佛罗里达大学）
本文探讨了排列模式中的单峰性、等价性、错排计数及排序问题，提出四个开放研究方向。
2026-11-03 math.CO
Consecutive Pattern Containment and c-Wilf Equivalence
本文用初等方法重新证明连续模式包含的已有结果，并给出排列中连续模式避免增长率的新一般界。
2024-05-10 math.CO math.PR
New equivalences for pattern avoiding involutions
我们完成了长度为5的符号模式的Wilf分类，包括符号置换和符号对合。给出了模式的新的一般等价关系，证明了Jaggard关于对称群中对合的命题，避免了某些长度为5和6的模式.用这种方法，我们还完成了S_5，S_6和S_7的排列和对合的Wilf分类。
2008-01-22 math.CO
Wilf Equivalence for Length-Three Patterns and Flat POPs, and a Conjecture of Qiu and Remmel
Center for Combinatorics, LPMC, Nankai University（南开大学组合数学中心）；Department of Mathematics and Statistics, University of Strathclyde（斯特拉斯克莱德大学数学与统计系）；School of Mathematical Sciences, LPMC, Nankai University（南开大学数学科学学院）
本文研究同时避免长度为3的经典模式与平坦偏序模式的排列的Wilf等价性，解决Qiu和Remmel的相关猜想并纠正其论文错误，得出不同ℓ对应的Wilf等价类数量。
2026-08-20 math.CO
Wilf collapse in permutation classes
对于一个遗传置换类$\mathcal{C}$，如果$\mathcal{C}$中避开$π$的置换个数与避开$σ$的置换个数相同，则称$\mathcal{C}$的两个置换$π$和$σ$在$\mathcal{C}$中是Wilf等价的.我们说一个置换类$\mathcal{C}$表现出Wilf坍缩，如果在$\mathcal{C}$中大小为$n$的置换的数目渐近大于由这些置换形成的Wilf等价类的数目。在本文中，我们表明，Wilf崩溃是一个令人惊讶的普遍现象。在其他结果中，我们表明，威尔夫崩溃发生在任何置换类的无限增长和许多总和不可分解的置换。我们的证明是基于编码的置换类$\mathcal{C}$的元素作为单词，并分析了结构的随机置换在$\mathcal{C}$使用这种表示。
2019-09-29 math.CO
Refined Wilf-equivalences by Comtet statistics
我们利用统计量$\mathsf{comp}$和$\mathsf{iar}$对精化Wilf等价进行了系统的研究，其中$\mathsf{comp}(π)$和$\mathsf{iar}(π)$分别是置换$π$的组成部分个数和初始上升游程的长度.由于孔泰是第一个考虑统计量$\mathsf{comp}$在他的书{ \em Analyse combinatoire}，任何统计量等分布与$\mathsf{comp}$在一类排列我们称为一个{ \em孔泰统计量}在这样的类。这项工作的动机是一个三重均匀分布的结果Rubey $321$ -避免排列，以及最近的结果的第一和第三作者，$\mathsf{iar}$是一个孔泰统计可分离的排列。我们的结果的一些亮点是：（1）双孔泰分布$(\mathsf{comp},\mathsf{iar})$在几个Catalan和Schröder类的对称性的双射证明，保持从左到右的最大值。(2)长度$3$模式和长度$3$模式对的$\mathsf{comp}$-和$\mathsf{iar}$ -Wilf-等价的一个完整分类。计算这些模式避免类和可分离排列上的$(\mathsf{des},\mathsf{iar},\mathsf{comp})$生成函数。(3)利用孔泰统计量$\mathsf{iar}$进一步改进了Wang最近提出的可分置换和$(2413,4213)$ -避免置换之…
2020-09-09 cs.DM math.CO
Arrow-Wilf equivalences and enumerative results for short arrow patterns
College of Mathematics Physics and Information Shaoxing University（绍兴学院数学与信息技术学院）
本文研究箭头模式避免，建立结构引理并推导 Arrow-Wilf 等价关系，解决两个未决情形，枚举大小为 3 的箭头模式并给出与贝尔数等相关的显式公式，仅留一个开放问题。
2026-09-25 math.CO
Rationality, irrationality, and Wilf equivalence in generalized factor order
设$P$是一个偏序集，考虑$P$上所有词的自由幺半群$P^*$。如果$w,w'\in P^*$，则$w'$是$w$的因子，如果有$u,v$和$w=uw'v$的话。定义$P^*$上的广义因子序，如果存在$w$的因子$w'$与$u$具有相同的长度，则令$u\le w$，使得$u\le w'$，其中$u$和$w'$的比较使用$P$中的偏序按分量进行。通过坚持$u=w'$，或者等价地，通过把$P$当作一个反链，人们得到了普通的因子序。给定$u\in P^*$，我们证明了语言$\cF(u)=\{w : w\ge u\}$是接受的有限状态自动机。如果$P$是有限的，那么生成函数$F(u)=\sum_{w\ge u} w$是有理数的。这是比约纳和萨根关于广义子词序的一个类似定理。我们还考虑$P=\bbP$，通常的总顺序的正整数，使$P^*$是一组组成。在这种情况下，通过在每次$n\in\bbP$出现在$F(u)$中时代入$tx^n$来获得权重生成函数$F(u;t,x)$。我们证明了这个生成函数也是合理的使用转移矩阵方法。如果$F(u;t,x)=F(v;t,x)$成立，则称词$u,v$是Wilf等价的，并且我们组合地证明了各种Wilf等价。比约纳发现了一个递归公式的莫比乌斯函数的普通因素秩序$P^*$。因此，人们总是拥有$μ(u,w)=0,\pm1$。利用Pumping引理证明了生成函数$M(u)…
2008-06-20 math.CO
Pattern avoidance and dominating compositions
Jelínek、Mansour和Shattuck研究了$\{σ,τ\}$形式的模式对之间的Wilf-等价性，其中$σ$是一个大小为$3$且至少有两个块的集合划分。他们得到了这样的配对的威尔夫等价类的数量的上界。我们证明了它们的上界是等价类的确切数目，从而解决了它们所提出的一个问题。
2021-04-15 math.CO
On Refinements of Wilf-Equivalence for Involutions
令$\mathcal{S}_n(π)$（分别$\mathcal{I}_n(π)$和$\mathcal{AI}_n(π)$）表示排列的集合（分别为对合和交替对合），避免了置换模式$π$。对于$k,m\geq 1$，Backelin-West-Xin通过在这两个集合之间建立双射证明了$|\mathcal{S}_n(12\cdots kτ)|= |\mathcal{S}_n(k\cdots 21τ)|$，其中$τ= τ_1τ_2\cdots τ_m$是$k+1,k+2,\ldots,k+m$的任意置换。这个结果已经被Bousquet-Mélou和Steingrímsson推广到对合，并被第一作者推广到交替排列。本文通过横截、匹配、振荡表和不相交的Dyck路对作为中间结构，建立了$\mathcal{I}_n(123τ)$和$\mathcal{I}_n(321τ)$之间的保峰集双射.我们的结果是一个细化的结果Bousquet-Mélou和Steingrímsson的情况下，$k=3$。作为一个应用，我们双射表明，$|\mathcal{AI}_n(123τ)| = |\mathcal{AI}_n(321τ)|$，证实了最近的猜想Barnabei-Bonetti-Castronuovo-Silimbani。此外，还证明了Barnabei-Bonetti-Castronuovo-Silimbani…
2022-12-04 math.CO
Mirror Variations on Catalan Multijections
本文针对卡塔兰多重映射，在Isaak与Langley的未发表研究基础上，提出新的多重映射，得到与已有多重映射不同的划分。
2026-08-04 math.CO
Operators of equivalent sorting power and related Wilf-equivalences
我们研究排序算子$\mathbf{A}$的排列，得到组成Knuth的堆栈排序算子$\mathbf{S}$和反转算子$\mathbf{R}$，多次所需的。对于任何这样的运营商$\mathbf{A}$，我们提供了一个大小保持双射之间的一组排列排序的$\mathbf{S} \circ \mathbf{A}$和一组排序的$\mathbf{S} \circ \mathbf{R} \circ \mathbf{A}$，证明这些集合是由相同的序列枚举，而且许多经典的排列统计量均匀分布在这两个集。这个双射族的描述是基于避免模式$231$的置换集和避免$132$的置换集之间的双射，这保留了许多置换统计。我们还提出了这种双射的其他性质，特别是寻找对威尔夫等价置换类。
2014-02-10 cs.DM math.CO
Descent c-Wilf Equivalence
本文研究排列的 c-Wilf 等价性，给出下降数、逆序数和从左到右最小值数的 c-Wilf 等价例子，并证明最小重叠排列在特定条件下是 (des,inv)-c-Wilf 等价的。
2017-02-28 math.CO
Decreasing subsequences in permutations and Wilf equivalence for involutions
在最近的一篇论文中，Backelin，West和Xin描述了一个映射$ϕ^*$，它递归地用模式$(k-1)... 21 k$的出现替换置换$σ$中模式$k... 21$的所有出现。得到的置换$ϕ^*(σ)$不包含长度递减的子序列$k$。我们证明，而出乎意料的是，映射$ϕ^*$与取逆置换交换。在BWX论文中，$ϕ^*$的定义实际上被扩展到Ferrers板上的满车放置（排列对应于正方形板），并且映射$ϕ^*$的构造是证明以下结果的关键步骤。令$T$是以前缀$12... k$开始的模式集合。令$T'$是通过在$T$的每个模式中将该前缀替换为$k... 21$而获得的模式集合。那么对于所有的$n$，对称群$\Sn_n$中避开$T$的置换数等于$\Sn_n$中避开$T'$的置换数。我们的交换结果，推广到费勒斯板，意味着避免$T$的$\Sn_n$的{ \em对合}的数目等于避免$T'$的$\Sn_n$的对合的数目，正如Jaggard最近所证明的。
2004-05-17 math.CO
Generating functions for Wilf equivalence under generalized factor order
Kitaev、Liese、Remmel和Sagan最近定义了由偏序集合$(P, \leq_P)$中的字母组成的单词的广义因子序，如果存在与$u$相同长度的$w$的子字$v$，则设置$u \leq_P w$，使得对于所有$i$，$v$的第$i$ -个字符大于或等于$u$的第$i$ -个字符。这个子字$v$被称为$u$到$w$的嵌入。对于$P$是具有通常顺序的正整数的情况，他们将单词$w = w_1\ldots w_n$的权重定义为$\text{wt}(w) = x^{\sum_{i=1}^n w_i} t^{n}$，以及相应的权重生成函数$F(u;t,x) = \sum_{w \geq_P u} \text{wt}(w)$。然后，他们定义了两个词$u$和$v$是Wilf等价的，记为$u \backsim v$，当且仅当$F(u;t,x) = F(v;t,x)$。他们还定义了相关的生成函数$S(u;t,x) = \sum_{w \in \mathcal{S}(u)} \text{wt}(w)$，其中$\mathcal{S}(u)$是所有词$w$的集合，使得$u$到$w$中的唯一嵌入是$w$的后缀，并证明了$u \backsim v$当且仅当$S(u;t,x) = S(v;t,x)$。我们继续这项研究，给出了一个明确的公式$S(u;t,x)$，如果$u$因素成一个弱增加的字，其次是一个弱…
2010-05-24 math.CO
Modular Catalan Numbers
加泰罗尼亚数字$C_n$枚举$x_0*\dotsb*x_n$的括号，其中$*$是二元运算。当$*$满足推广通常结合性的$k$ -结合律时，我们引入模Catalan数$C_{k,n}$来计算$x_0*\dotsb*x_n$的括号化的等价类.这导致了一个研究的限制家庭的加泰罗尼亚对象列举的$C_{k,n}$，重点是二叉树，平面树和戴克路径，每个避免某些模式。给出了$C_{k,n}$的闭公式，并给出了两种不同的证明.对于每个$n\ge0$，我们计算的最大尺寸的$k$ -关联等价类，并表明，这个大小的类的数量是一个加泰罗尼亚数。
2016-11-10 math.CO
Modular Fuss-Catalan numbers
模卡塔兰数$C_{k,n}$由Hein和Huang在2016年引入，计算$x_0 * x_1 * \dots *x_n$的括号的等价类，其中$*$是二进制$k$ -结合运算，$k$是正整数。结合性的经典概念是1-结合性，在这种情况下是$C_{1,n} = 1$，唯一类的大小由加泰罗尼亚数$C_n$给出。本文引入了模Fuss-Catalan数$C_{k,n}^{m}$，它计算了$x_0 * x_1 * \dots *x_n$的括号化的等价类，其中$*$是$m \geq 2$的$m$元$k$ -结合运算.我们的主要结果是$C_{k,n}^{m}$的一个封闭公式和$k$ -结合性的一个特征。
2020-07-01 math.CO
Equivalence classes of mesh patterns with a dominating pattern
本文研究了网格模式在限制于避免较长经典模式的排列中的重合与Wilf等价性，给出了重合的充分条件，并完全分类了长度2网格模式与长度3经典模式的族，以及231-避免排列中长度2网格模式的Wilf类。
2018-02-05 math.CO
Consecutive and quasi-consecutive patterns: $\mathrm{des}$-Wilf classifications and generating functions
本文基于连续与拟连续模式排列下降分布的相关性，完成长度≤4拟连续模式的$\text{des}$-Wilf分类，通过构造保持下降的双射补充文献双射论证，并利用广义游程定理推导单元素类的二元生成函数。
2025-02-14 cs.DM math.CO
Permutation Statistics and Multiple Pattern Avoidance
对于一组排列模式$Π$，设$F^\text{st}_n(Π,q)$是避免$Π$中所有模式的排列的st-多项式。假设是$312\inΠ$。对于一类包含反转统计量和下降统计量的置换统计量，我们给出了用这些st-多项式表示$F^\text{st}_n(Π;q)$的公式，其中我们取$Π$中模式的一些子块.利用这个公式，我们可以构造许多非平凡的st-Wilf等价的例子。特别是，这推翻了Dokos、Dwyer、Johnson、Sagan和Selsor的一个猜想，即所有的$\text{inv}$ -Wilf等价都是平凡的。
2013-09-12 math.CO
Avoiding a pair of patterns in multisets and compositions
本文研究了多集置换之间的Wilf型等价关系。我们确定所有的多集等价对模式组成的一个模式的长度为3和另一个模式的长度最多为4。为了建立我们的结果，我们利用各种技术，包括费雷尔等价参数，排序的最小/最大的字母，分析活性位点和直接双射。在某些情况下，我们的论点可以扩展到证明多集等价的模式对的无限家庭。我们的结果同样适用于Wilf型分类的组成，并作为一个结果，我们得到了一个完整的描述的Wilf-等价类的类型（3，3）和（3，4）的模式对组成，与两个类的类型（3，4）的可能例外。
2021-11-11 cs.DM math.CO
Permutation patterns and statistics
设S_n表示集合{1，2，.，n}且令S = \cup_{n\ge0} S_n。若Pi是一个置换集，则Av_n（Pi）是S_n中在模式回避意义下避开Pi的所有置换的置换集。模式论中一个著名的概念是Wilf等价，其中Pi和Pi'是Wilf等价的，如果对于所有n \ge 0，#Av_n（Pi）=#Av_n（Pi'）。在最近的一篇论文中，萨根和萨维奇建议研究这个概念的q-类似物，定义如下。设st：S->N是一个置换统计量，其中N表示非负整数.考虑相应的生成函数F_n^{st}（Pi;q）= sum_{sigma in Av_n(Pi)} q^{st sigma}，并且如果对于所有n \ge 0，F_n^{st}（Pi;q）=F_n ^{st}（Pi '; q），则称Pi、Pi' st-Wilf等价。我们提出了第一次深入研究这个概念的投资和主要统计。特别地，我们确定了S_3中任意Pi的所有inv-和maj-Wilf等价。这使我们考虑加泰罗尼亚数、斐波那契数、三角数和2的幂的各种q-类似物。我们的证明技术使用格路径，整数分区，和Foata的基本双射。我们还回答了萨根-萨维奇文章中提出的关于Mahonian对的问题。
2012-05-09 math.CO
The last distribution-equivalence class of mesh patterns of length 2
School of Mathematical Science Hebei Normal University（河北师范大学数学科学学院）
证明2019年提出的长度为2的网格模式分布等价猜想，通过构造标记出现双射完成分类，得出分布等价类和威尔夫等价类数量分别为105和46。
2026-07-07 math.CO
Uniquely-Wilf classes
本文刻画了在每个大小上仅有一个 Wilf 等价类的无限排列类，条件为避免至少一个 3 长排列或至少三个 4 长排列。
2019-10-20 cs.DM math.CO
Ordinal and disjoint sums of partially ordered patterns
本文通过引入标记偏序集的序数和与不交和，推广 POP 的 shape-Wilf 等价理论，证明若干模式集等价，并完全分类连通分量为链的 3 至 5 阶 POP。
2025-10-21 math.CO
Equivalence classes of permutations avoiding a pattern
给定一个置换模式p和一个置换上的等价关系，我们研究了所有成员都避开p的等价类，研究了四种关系：共轭，序同构，Knuth等价和Toric等价.每一个都产生一个已知的置换类或一个已知的计数序列。例如，对合对应于共轭性，而插入表是钩形的且第一行为2的置换对应于克努特等价。这些置换与图自同态的某些同余类是等数的。在复曲面等价的情况下，我们发现一类排列，计数的欧拉totient函数，与子类计数的除数函数的数量。我们还提供了一个新的对称性的双点模式，产生一些新的非平凡的Wilf-等价
2010-05-29 math.CO
On mesh patterns of short length: Equidistribution and enumeration
College of Mathematics and Statistics, Chongqing University（重庆大学数学与统计学院）；Center for Discrete Mathematics, Chongqing University（重庆大学离散数学中心）；Department of Mathematics and Statistics, University of Strathclyde（斯特拉斯克莱德大学数学与统计系）；College of Mathematical Sciences & Institute of Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Tianjin Normal University（天津师范大学数学科学学院与数学及交叉科学研究院）
本文通过构造对合和双射解决两个关于长度2网格模式的分布等价猜想，将分布等价类和Wilf等价类的已知上界分别降至106和47，并确定了另外三类长度2网格模式的分布。
2026-10-14 math.CO
