In this paper we study the distribution of the size of the value set for a random polynomial with degree at most $q-1$ over a finite field $\mathbb{F}_q$. We obtain the exact probability distribution and show that the number of missing values tends to a normal distribution as $q$ goes to infinity. We obtain these results through a study of a random $r$-th order cyclotomic mappings. A variation on the size of the union of some random sets is also considered.
Deriving the Probabilistic Capacity of General Run-Length Sets Using Generating Functions
在“Reliable Communication in the Absence of a Common Clock”（Yeung et al.，2009），作者介绍了一般游程长度集，它形成了一类允许游程长度来自可数无限集的约束系统。对于概率容量的特定定义，他们表明概率容量等于组合容量。在目前的工作中，它表明，同样的结果也适用于香农的原始定义的概率能力。这里给出的推导是基于约束系统的生成函数，如在“On the Capacity of Constrained Systems”（Boecherer et al.，2010），并提供了一个统一的信息理论处理一般游程集。
A probabilistic technique for finding almost-periods of convolutions
我们介绍了一种新的概率技术，找到“几乎周期”的卷积的子集组。这给出了类似于通过阿贝尔群上的傅里叶分析建立的Bogolyubov型估计的结果，但不需要存在良好的傅里叶变换。我们还提出了应用程序，其中一些是新的，即使在阿贝尔设置。这些包括关于三项等差数列的Roth定理的概率证明，以及关于和集A+B中长等差数列的存在性的Bourgain-Green定理的变体的证明，其适用于{1，.比以前可能的。在非阿贝尔的情况下，我们展示了与Bogolyubov-Freiman-Halberstam-Ruzsa型加法组合学结果类似的结果，表明乘积集A B C和A^2 A^{-2}是相当结构化的，因为它们包含非常大的迭代乘积集。当所讨论的集合满足小加倍条件或高乘性能量条件时，情况尤其如此。我们还提出了结果的产品集A B的结构。我们的结果是“本地”的性质，这意味着它是没有必要的，所考虑的集是稠密的环境组。特别是，我们的结果适用于有限子集的无限群提供他们“互动很好”与其他一些集。
