Inverse Expander Mixing for Hypergraphs
Emma Cohen, Dhruv Mubayi, Peter Ralli, Prasad Tetali
在单纯复形和k-一致超图的背景下，给出并证明了逆混合引理。在超图的情形下，推广了Bilu和Linial关于图的结果。在单纯复形设置，我们的结果回答了Parzanchevski等人的问题。
We formulate and prove inverse mixing lemmas in the settings of simplicial complexes and k-uniform hypergraphs. In the hypergraph setting, we extend results of Bilu and Linial for graphs. In the simplicial complex setting, our results answer a question of Parzanchevski et al.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Hypergraph expanders of all uniformities from Cayley graphs
超图扩展器是具有令人惊讶的、非直观的扩展属性的超图。在最近的一篇论文中，第一作者给出了一个简单的构造，它可以随机化，$3$ -一致超图扩张与多对数度。我们推广了这一构造，给出了对所有$r \geq 3$的$r$ -一致超图扩张子的一个简单构造.
Hypergraph expanders from Cayley graphs
我们提出了一个简单的机制，可以随机化，构造稀疏$3$ -一致超图具有强的扩展性能。这些超图是利用$\mathbb{Z}_2^t$上的Cayley图构造的，其顶点度是顶点数的多对数.它们的扩展性质是从Cayley图出发的，包括图中顶点和边的扩展、骨架图边上随机游动的快速混合、边在大顶点子集上的均匀分布以及几何重叠性质.
Spreading linear triple systems and expander triple systems
对于每个容许的n，存在不含非平凡子系统的n阶Steiner三元系STS（n）是众所周知的.我们用两种方式推广这个结果。首先定义了3-一致超图的扩张性质，证明了几乎完美扩张的Steiner三元系的存在性。其次，我们定义了线性超图的强、弱扩散性质，并确定了具有这些性质的线性三元系的最小尺寸，直到一个小的常数因子。这个属性与结构的连通性和所谓的影响最大化密切相关。我们还讨论了这些结果如何与Erdos的局部稀疏STS猜想，影响最大化，无子方拉丁方和可能的应用在有限几何。
Local Spectral Expansion Approach to High Dimensional Expanders Part II: Mixing and Geometrical overlapping
在本文中，我们进一步探讨了局部到整体的方法展开的单纯复形，我们称之为局部谱展开。具体地说，我们证明了局部膨胀的链接意味着混合和几何重叠的全球扩张现象。我们的混合结果也给出了更严格的边界上的误差项相比，以前已知的结果。
A unified framework for the Expander Mixing Lemma for irregular graphs and its applications
本研究提出基于邻接特征值的不规则图Expander Mixing Lemma统一框架及两个新版本，采用Perron特征向量分量作顶点权重正则化图，并将其应用于推导零强迫数等NP难参数的特征值界。
Discrete norms of a matrix and the converse to the Expander Mixing Lemma
本文用$$ \|A\|_Δ:= \max_{0\neξ\in\{0,1\}^n} \frac{\|Aξ\|}{\|ξ\|}, $$定义了复$m\times n$矩阵$A$的离散范数，并证明了$$ \frac c{\sqrt{\log h(A)+1}}\,\|A\| \le \|A\|_Δ\le \|A\|, $$，其中$c>0$是一个显式表示的绝对常数，$h(A)=\sqrt{\|A\|_1\|A\|_\infty}/\|A\|$，和$\|A\|_1,\|A\|_\infty$，和$\|A\|=\|A\|_2$是$A$的诱导算子范数.同样，对于\emph{discrete Rayleigh norm} $$ \|A\|_P := \max_{\substack{0\neξ\in\{0,1\}^m \\ 0\neη\in\{0,1\}^n}} \frac{|ξ^tAη|}{\|ξ\|\|η\|} $$，我们证明了估计$$ \frac c{\log h(A)+1}\,\|A\| \le \|A\|_P \le \|A\|. $$这些估计被证明是基本上最好的可能。作为结果，我们得到了另一个证明（稍微尖锐和推广的版本）逆膨胀混合引理由Bollobas-Nikiforov和Bilu-Linial。
Arithmetic expanders and deviation bounds for random tensors
我们证明超图变种著名的Alon-Roichman定理的频谱扩展的稀疏随机凯莱图。这些变体之一意味着，对于每个素数$p\geq 3$和任何$\varepsilon > 0$，存在大小为$O_{p,\varepsilon}(p^{(1-1/p +o(1))n})$的方向$D\subseteq \mathbb{F}_p^n$的集合，使得对于密度$α$的每个集合$A\subseteq \mathbb{F}_p^n$，具有$D$中的方向的$A$中的线的分数在$A$中的所有线的分数的$\varepsilonα$内。我们的证明使用新的偏差界的独立随机多线性形式的总和采取的Birkhoff多面体的推广价值。我们的偏差界的证明是基于Dudley的积分不等式和概率构造的$\varepsilon$ -网。利用多项式方法，我们证明了一个由上述集合~ $D$生成的边的Cayley超图需要$|D| \geq Ω_p(n^{p-1})$来进行超图的谱展开.
High dimensional expansion using zig-zag product
我们希望重新讨论最近的组合结构，是3-均匀超图扩展，查看他们在一个更一般的角度来看，揭示了一个以前未知的关系之字形产品。我们通过引入一种称为三元组结构的新结构来实现这一点，该结构在每个顶点周围保持相同的局部环境。在某些情况下，该结构预计会产生一个有界族的超图扩展器，其二维随机游动收敛。我们已经将这里获得的结果应用到几个已知的结构中，获得了比以前已知的更好的膨胀率。也就是说，我们在Conlon构造和Chapman、Linal和Peled的$S=[1,1,0]$构造的情况下这样做。
Well-mixing vertices and almost expanders
研究正则图中良混合顶点与扩张图的关系，证明正比例良混合顶点蕴含近似扩张性并回答Pak的问题，推论存在多项式时间可找的长圈，且良混合性质可从正比例推广到几乎所有顶点。
Mixing in high-dimensional expanders
我们证明了任意（有限）单纯复形的扩展混合引理的推广。最初的引理指出，图的拉普拉斯谱的集中意味着组合扩展（也称为混合或准随机性）。最近，这个引理的一个类似证明了任意维数的单纯复形，只要复形的骨架是完整的。更确切地说，它表明，单纯霍奇拉普拉斯算子的集中谱意味着一个类似类型的扩展，如在图中。在本文中，我们删除了一个完整的骨架的假设，表明浓度的拉普拉斯光谱在所有维度意味着组合扩展在任何复杂的。作为应用，我们证明了谱集中蕴涵了Gromov的几何重叠性质，并且可以用来限定复形的色数。
Hypergraph universality via branching random walks
研究有界度均匀超图的通用性问题，沿用Alon–Capalbo图策略，结合扩张器定制积、有界密度超图分解及分支随机游走尾界，构造边数接近计数下界的通用超图。
Local spectral expansion approach to high dimensional expanders
本文引入了单纯复形的局部谱展开的概念，作为图的谱展开的一种可能的类比。我们发现局部谱展开的条件有几个很好的含义。例如，对于具有局部谱展开的单纯复形，我们证明了实系数上同调的消失，Cheeger型不等式，混合型结果和几何重叠结果.
New High Dimensional Expanders from Covers
基于单纯复形的覆盖空间，我们构造了一个新的高维扩张子。高维扩展器（HDX）是扩展图的超图类似物。它们在理论计算机科学中有许多用途，但不幸的是，只有很少的构造是已知的，具有任意小的局部谱展开。我们给出了一个随机算法，作为输入的高维扩展$X$（满足一些温和的假设）。它输出一个子复体$Y \subseteq X$，它是一个高维扩展器，具有无限多个单纯覆盖。这些覆盖形成了新的有界度高维扩张子族。子复形$Y$继承了$X$的基础图，并且其链路是$X$的链路的稀疏化。当$X$的链路的大小是$O(\log |X|)$时，该算法可以是确定性的。我们的算法基于Lubotzky，Samuels和Vishne（2005）发现的群和生成集，这些群和生成集被用来构造第一个发现的高维扩张子。我们表明，这些群体产生了更多的“随机化”的高维扩展。此外，我们的技术还提供了一个随机稀疏化算法的高维扩展，保持其局部谱特性。这可能是独立的利益。
Expanders from Markov bases
Diaconis和Sturmfels介绍了一种很有影响力的方法，用交换代数来构造马尔可夫链。他们的方法的一个要点是，通过一个代数计算同时证明了无限族的图是连通的。对于无限族中的大状态空间，这些马尔可夫链不能快速混合，只有特别的方法可以改善它们的混合时间。通过构造Diaconis-Sturmfels型马尔可夫链的扩张子，给出了一种快速混合的方法.
The mixing time of the giant component of a random graph
我们证明了超临界Erdos-Renyi图巨分支上简单随机游动的混合时间的全变差为log^2 n.这一说法直到最近才被方图拉基斯和里德独立地证明。我们的证明如下从这些图的结构结果，这是有趣的，在其本身的权利。我们表明，这些图是“装饰扩展器”-扩展器粘到图形的大小具有恒定的期望和指数尾，并使每个顶点在扩展器粘到不超过一个常数数量的装饰。
Overlap properties of geometric expanders
有限$(d+1)$ -均匀超图$H$的{ \em重叠数}定义为最大常数$c(H)\in (0,1]$，使得无论如何将$H$的顶点映射到$\R^d$，都存在一个点被至少一个由其超边的像所诱导的单形的$c(H)$ -分数所覆盖.在~ \cite{Gro2}中，为了寻找高维单纯复形的图扩张的类似概念，有人问是否存在一个任意大的$(d+1)$ -有界度一致超图的序列$\{H_n\}_{n=1}^\infty$，其中$\inf_{n\ge 1} c(H_n)>0$。使用随机的方法和明确的建设，我们回答这个问题，积极通过构建无限家庭的$(d+1)$ -一致超图有界度，使他们的重叠数是有界的正常数$c=c(d)$从下面。我们还表明，对于每个$d$，常数$c=c(d)$的最佳值，可以实现这样的建设是渐近等于极限的完全$(d+1)$ -一致超图的$n$顶点的重叠数，作为$n\rightarrow\infty$。为了证明后一种说法，我们建立了以下独立感兴趣的几何划分结果。对于任何$d$和任何$ε>0$，存在满足以下条件的$K=K(ε,d)\ge d+1$。对于任何$k\ge K$，对于任何点$q \in \mathbb{R}^d$和对于$\mathbb{R}^d$上的任何有限Borel测度$μ$，关于其每个超平面具有测度$0$，将$\mathbb{R}^d=A_1 \cup \ldots \cup A…
Finite Hypergraph Families with Rich Extremal Turán Constructions via Mixing Patterns
本文证明任意有限极小r-图模式集合都对应一个有限禁用r-图族，其极值Turán构造恰为通过膨胀和递归混合这些模式所得的最大r-图，并据此构造出具有指数多个极值结构且非有限稳定的3-图族，以及可行区域函数在正Hausdorff维数Cantor集上取最大值的3-图族。
Random Schreier graphs as expanders
针对随机图构造扩张图随机比特消耗过高的问题，本文通过限制双射类别（线性双射、Toeplitz矩阵）减少随机比特用量，通过实验验证其仍保留良好混合特性，并给出相关特征值界。
Constructing expander graphs by 2-lifts and discrepancy vs. spectral gap
我们提出了一个新的显式构造的扩展图的近最佳谱隙。建筑是基于一系列的2电梯操作。设$G$是以$n$为顶点的图。$G$的2-提升是$2n$顶点上的图$H$，具有覆盖映射$π:H \to G$。不难看出，$G$的所有特征值也是$H$的特征值。此外，$H$具有$n$ "新“特征值。我们猜想每个$d$ -正则图都有一个2-提升，使得所有新的特征值都在$[-2\sqrt{d-1},2\sqrt{d-1}]$的范围内（如果是真的，这是紧的，例如Alon-Boppana界）。在这里，我们表明，每个图的最大程度$d$有一个2-提升，使所有的“新”的特征值是在范围$[-c \sqrt{d \log^3d}, c \sqrt{d \log^3d}]$为一些常数$c$。这导致了构造任意大的$d$ -正则图的多项式时间算法，具有第二特征值$O(\sqrt{d \log^3 d})$。证明使用以下引理：设$A$是实对称矩阵，使得$A$中每行的$l_1$范数至多为$d$。让$α= \max_{x,y \in \{0,1\}^n, supp(x)\cap supp(y)=\emptyset} \frac {|xAy|} {||x||||y||}$。则对于某个普适常数$c$，$A$的谱半径至多为$c α\log(d/α)$。这个引理的一个有趣的推论是扩展混合引理的逆。
Non-backtracking random walks mix faster
我们计算了正则扩展上的非回溯随机游动的混合率。利用第二类切比雪夫多项式的一些性质，我们证明了这个速率可能是简单随机游动的混合速率的两倍。扩展器越接近Ramanujan图，上述两个混合速率之间的比率越高。作为一个应用，我们证明了如果$G$是$n$顶点上的高围长正则扩展子，则长度为$n$的典型非回溯随机游动在$G$上访问一个顶点不超过$(1+o(1))\frac{\log n}{\log\log n}$次，并且这个结果是紧的.在这个意义上，访问顶点的多集合类似于将$n$球均匀地扔到$n$箱的结果，而不是$G$上的简单随机游动，其几乎肯定访问一些顶点$Ω(\log n)$次。
Time-Biased Random Walks and Robustness of Expanders
本研究针对扩展器上的随机游走，建立了混合时间鲁棒性的二分法，并将结果应用于时间依赖的ε-偏置随机游走，将其覆盖时间改进至Θ(n)，同时证明了首个非平凡下界ω(n)。
Spectral Bounds for Directed Graphs Via Asymmetric Matrices: Applications to Toughness
本文利用非对称转移概率矩阵的特征值为有向图建立了 Expander Mixing Lemma，并据此推导出有向图韧性的谱界，推广了 Alon 关于 $k$-正则图的经典结论。
Robustness for expander graphs
本文研究了 $(n,d,λ)$-扩张图在随机稀疏化下的鲁棒性质，证明了其包含完美匹配、Hamilton 圈和三角形因子的概率下界，并解决了 Frieze 和 Krivelevich 提出的相关问题。
Mixing Times of Switch Chains via High-Dimensional Expansion
该研究通过高维展开理论分析开关链的混合时间，证明了在边数满足一定条件时混合时间为O(Δ²m log m)，解决了Cooper等人的猜想。
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