Low-order preconditioning of the Stokes equations
该研究借鉴偏微分方程高阶离散预条件的低阶利用思路，提出用基于Stokes算子Q₁isoQ₂/Q₁离散的几何多重网格作为Q₂/Q₁离散系统的预条件子，通过局部傅里叶分析优化松弛参数实现鲁棒收敛，为后续将代数多重网格应用于高阶离散系统奠定基础。
2021-04-21 cs.NA math.NA
Wave number-Explicit Analysis for Galerkin Discretizations of Lossy Helmholtz Problems
Technische Universität Wien（维也纳工业大学）；Universität Zürich（苏黎世大学）
本文提出了一种针对有损耗亥姆霍兹方程及其伽辽金离散化的稳定性与收敛性理论，采用罗宾型边界条件，所有估计均显式地依赖于复波数的实部和虚部，适用于Reζ≥0且|ζ|≥1的情况，极端情况下的估计与文献中的结果一致，并在复平面右半部分实现无缝过渡。
2019-03-30 cs.NA math.NA
On the cardinality of lower sets and universal discretization
本文研究多维非负整数网格中下集的基数性质，推导并改进大小为 n 的下集基数结果，并将其应用于由下集生成的三角多项式子空间上 L2-范数的通用离散化问题。
2022-12-22 cs.NA math.NA
An Assessment of Solvers for Algebraically Stabilized Discretizations of Convection-Diffusion-Reaction Equations
本文系统评估了三维对流主导输运问题中通量修正有限元离散的各类求解器，通过新定义的三维测试问题揭示了限制技术、时间离散和求解器选择对整体计算性能的影响。
2021-10-29 cs.NA math.NA
Edge-based discretizations on triangulations in $\mathbb{R}^d$, with special attention to four-dimensional space
Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；National Institute of Aerospace（国家航空航天研究所）
本文提出了一种在任意维度中基于三角剖分的中位数-对偶区域定义，并介绍了计算其超体积和定向超面积向量的新方法，用于开发鲁棒的节点中心边基方案。
2026-02-26 cs.NA math.NA
A Robust Hyperviscosity Formulation for Stable RBF-FD Discretizations of Advection-Diffusion-Reaction Equations on Manifolds
提出了一种新的高粘性格式，用于稳定余维流形$\mathbb{M} \subset \mathbb{R}^3$上对流扩散反应方程的径向基函数-有限差分（RBF-FD）离散。我们的技术涉及自动添加人工高粘度阻尼虚假模式对应于表面梯度的微分矩阵，在这个过程中克服了技术上的限制，最近开发的欧几里德制定。与欧几里德公式类似，流形公式依赖于在辅助微分算子上进行的冯·诺依曼稳定性分析，辅助微分算子模仿由RBF-FD微分矩阵引起的伪解增长。我们证明了高阶收敛速度的问题，涉及表面对流和表面对流扩散。最后，我们证明了我们的配方对流扩散反应方程的流形上描述纯粹的点云的适用性。我们的表面离散化使用最近开发的RBF-LOI方法，并添加高粘度，现在经验高阶准确，稳定，无停滞误差。
2020-04-24 cs.CE cs.NA math.NA
Birational maps from polarization and the preservation of measure and integrals
本文利用极化方法构造双有理离散化，将次数不超过4、任意维数的二阶Hamiltonian系统推广为保持能量、不变测度和相空间维数的格式。
2023-07-13 cs.NA math.DS math.NA
Global behavior of temporal discretizations for Volterra integrodifferential equations with certain nonsmooth kernels
本文利用z变换分析了希尔伯特空间中具有非光滑多项核的Volterra积分微分方程（VIDES）的时间离散解，这类连续问题是由Hannsgen和Wheeler（SIAM J Math Anal 15（1984）579-594）首先考虑和分析的.本文讨论了三种情况下的内核$β_q(t)$包含在积分的多项VIDES，从我们使用相应的数值技术来近似的解决方案的多项VIDES在不同的情况下。对于$β_1(t), β_2(t) \in \mathrm{L}_1(\mathbb{R}_+)$情形，采用Crank-Nicolson（CN）方法和插值求积（IQ）规则对多项VIDES进行时间离散求解，对于$β_1(t)\in \mathrm{L}_1(\mathbb{R}_+)$和$β_2(t)\in \mathrm{L}_{1,\text{loc}}(\mathbb{R}_+)$情形，采用二阶后向微分公式（BDF 2）和二阶卷积求积（CQ）对多项VIDES进行时间离散求解;第三，对于$β_1(t), β_2(t)\in \mathrm{L}_{1,\text{loc}}(\mathbb{R}_+)$的情况，我们利用CN方法和梯形CQ（TCQ）规则对多项问题进行时间近似。然后对三种情形的离散解，基于z变换和适当的假设，证明了其长时间全局稳定性和收敛性。此外，第三种情况下的长时间估计得到了数值检验的证实…
2023-03-28 cs.NA math.NA
Stable discretizations of elastic flow in Riemannian manifolds
弹性流是弹性能的$L^2$ -梯度流，在几何学和弹性理论中有几个应用。本文对二维共形平坦的黎曼流形中的弹性流给出了稳定的离散方法，即共形等价于欧几里得空间。例子包括双曲平面，双曲盘，椭圆平面以及任何共形参数化的二维流形在${\mathbb R}^d$，$d\geq 3$。数值结果表明，该方法的鲁棒性，以及平方收敛的空间离散。
2019-06-14 cs.NA math.DG math.NA
An hp Multigrid Approach for Tensor-Product Space-Time Finite Element Discretizations of the Stokes Equations
本文提出了一种用于斯托克斯方程的 hp 多网格方法，结合空间-时间离散化技术，通过无矩阵能力提升计算效率。
2025-08-13 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Finite element discretization of a biological network formation system: a preliminary study
本文针对Cai-Hu生物网络形成模型，提出低阶有限元空间离散与半隐式时间推进格式，并通过数值测试和Richardson外推验证了方法的有效性。
2023-08-15 cs.NA math.NA
Sharp convergence rates of time discretization for stochastic time-fractional PDEs subject to additive space-time white noise
Florida State University（佛罗里达州立大学）；The Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学）；Mississippi State University（密西西比州立大学）
本文研究了随机时间分数PDEs在加性时空白噪声下的时间离散化收敛性，通过后向欧拉卷积求解法建立了误差估计，并展示了在时空白噪声下的最优收敛率。
2018-08-08 cs.NA math.NA
Positivity preservation of implicit discretizations of the advection equation
本文从正性保持的观点出发，分析了一类基本偏微分方程--一维平流方程周期边值问题的离散化。通过将有限差分空间半离散化（二阶和一些高阶中心差分格式或傅立叶谱配置法）与时间上的任意$θ$方法（包括向前和向后欧拉方法以及通过适当选择$θ\in [0,1]$的二阶方法）耦合来获得全离散化。完全离散化生成循环矩阵$M\in\mathbb{R}^{m\times m}$的双参数族，其中每个矩阵项是$θ$和$ν$中的有理函数。这里，$ν$表示CFL数，与时间和空间离散化步长之间的比率成比例。矩阵$M$的入口方向的非负性-这是等价的正性保持的全离散计划-研究通过离散傅立叶分析，也通过解决一些低阶参数线性递归。我们发现当空间网格点$m$的个数为偶数时，全离散系统的正性保持是不可能的。然而，事实证明，如果适当地选择$ν$和$θ\ge 1/2$，则对于$m$的\emph{odd}值，完全离散系统的正性保持被恢复。这些结果是有趣的，因为系统的常微分方程通过空间半离散研究是\emph{not}正性保持。
2021-05-16 cs.NA math.NA
Finite Element Error Analysis of Surface Stokes Equations in Stream Function Formulation
本文研究了无边界单连通定向曲面$Γ\subset \mathbb{R}^3$上的流函数曲面Stokes问题。该公式导致两个二阶标量表面偏微分方程的耦合系统（对于流函数和辅助变量）。对这一耦合系统采用迹有限元离散方法。本文的主要议题是这种离散化方法的误差分析，导致最佳阶离散化误差界。本文的分析也适用于Dziuk-Elliott的曲面有限元法。我们还研究了从流函数近似重建速度和压力的方法。数值实验的结果包括在内。
2019-10-21 cs.NA math.NA
Condition number estimates for matrices arising in NURBS based isogeometric discretizations of elliptic partial differential equations
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）；University of Wyoming（怀俄明大学）
本文研究了NURBS基等几何离散化椭圆偏微分方程矩阵的最小和最大特征值及谱条件数的界，分析了网格尺寸和多项式次数对条件数的影响，给出了刚度和质量矩阵的条件数估计。
2014-06-26 cs.NA math.NA
Unique continuation principles for finite-element discretizations of the Laplacian
本文针对二维多边形区域上拉普拉斯特征值问题的分片线性与双线性有限元离散，在特定几何和拓扑条件下证明了唯一延拓原理，并通过反例说明拓扑假设不满足时存在非零内解，还将其应用于特征值交错问题。
2025-05-06 cs.NA math.AP math.NA
Two Frameworks and their Fourth Order Implicit Schemes for Time Discretization of Maxwell's Equations
Indraprastha Institute of Information Technology, Delhi（德里信息技术大学）
本文提出两种框架及其四阶隐式格式用于麦克斯韦方程组的时间离散化，开发了能量守恒的四阶时间离散化方法并证明了其收敛性。
2026-01-19 cs.NA math.NA
An Arbitrarily Higher-Order Time Implicit Scheme for Maxwell's Equations
Indraprastha Institute of Information Technology, Delhi（德里印度理工学院）
本文提出了一种任意高阶隐式Leapfrog方案，用于高阶有限元空间下的麦克斯韦方程组时间离散化，并通过数值实验验证了其稳定性与能量守恒特性。
2026-02-06 cs.NA math.NA
Eulerian and Semi-Lagrangian Methods for Convection-Diffusion for Differential Forms
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
针对有界域上微分形式的广义线性瞬态对流扩散问题，基于离散微分形式的伽辽金近似，构造了新的欧拉和半拉格朗日方法用于李导数的离散化，并讨论了实现细节及其在运动介质中涡流方程离散化中的应用。
2010-01-07 cs.NA math.DG math.NA
$L^{2}$-Discretization Error Bounds for Maps into Riemannian Manifolds
Technische Universität Dresden（德累斯顿工业大学）
研究了将欧几里得域映射到黎曼流形的函数近似，通过限制能量最小化问题到一组符合的有限维近似中，证明了与标准欧几里得有限元类似的先验$W^{1,2}$和$L^2$近似误差界。
2018-05-24 cs.NA math.NA
Tensor-based techniques for fast discretization and solution of 3D elliptic equations with random coefficients
本文提出并分析了随机介质中周期椭圆问题快速求解的数值算法$\mathbb{R}^d$、$d=2,3$。我们考虑的随机实现使用棋盘配置的方程系数建立在一个大的$L \times L \times L$格，其中$L$是代表体积元的大小。为了快速生成张量网格上的有限差分离散刚度矩阵，引入了Kronecker张量积格式。我们描述了张量技术的建设低克罗内克秩谱等价预条件在周期性的设置中使用的框架中的PCG迭代。在我们的构造中，傅立叶基中表示的离散拉普拉斯逆的对角矩阵被整形为3D张量，然后由低秩正则张量近似，通过多重网格塔克正则张量变换计算。详细描述了张量网格上的FDM离散方案，并举例说明了PCG迭代的3D Matlab实现的$L$方面的计算特性。本文的工作继续了[22]中的工作，其中数值研究了具有随机系数的二维椭圆型偏微分方程的均匀化矩阵的渐近收敛速度与$L$的关系。所提出的椭圆问题求解器可用于三维随机均匀化问题数值分析中长序列随机实现的计算、求解三维准周期几何均匀化问题以及动力学多体相互作用过程和多粒子静电学的数值模拟。
2020-07-15 cs.NA math.NA
Conservative DG Method for the Micro-Macro Decomposition of the Vlasov-Poisson-Lenard-Bernstein Model
微观-宏观（mM）分解方法被认为是数值解的Vlasov-Poisson-Lenard-Bernstein（VPLB）系统，这是相关的等离子体物理应用。在mM方法中，动力学分布函数被分解为$f=\mathcal{E}[\boldsymbolρ_{f}]+g$，其中$\mathcal{E}$是局部平衡分布，取决于宏观矩$\boldsymbolρ_{f}=\int_{\mathbb{R}}\boldsymbol{e} fdv=\langle\boldsymbol{e} f\rangle_{\mathbb{R}}$，其中$\boldsymbol{e}=(1,v,\frac{1}{2}v^{2})^{\rm{T}}$和微观分布$g$被定义为使得$\langle\boldsymbol{e} g\rangle_{\mathbb{R}}=0$。我们的目标是设计数值方法的VPLB系统，其中包括耦合方程$\boldsymbolρ_{f}$和$g$的mM分解。为此，我们使用不连续Galerkin（DG）方法相空间离散化，隐式显式（IMEX）时间积分，其中相空间平流项明确集成和碰撞算子集成隐式。我们给予特别考虑，以确保所得到的mM方法保持$\langle\boldsymbol{e} g\rangle_{\mathbb{R}}=0$约束，这可能是必要的，以获得（i）令人满意的结果，在碰撞为主的制度与粗速度分…
2021-07-22 cs.NA math.NA physics.comp-ph
L1 scheme for solving an inverse problem subject to a fractional diffusion equation
研究了一类时间分数阶扩散方程反问题的时间离散化。首先，证明了具有谱角$< π/2 $的任意扇形算子的L1格式的收敛性，即对于某些$ π/2 < θ< π$，该算子的预解集包含$ \{z\in\mathbb C\setminus\{0\}:\ |\operatorname{Arg} z|< θ\}$.时间分数阶数$α\in (0, 1)$和误差估计中的常数之间的关系被精确地表征，揭示了L1方案在$ α$接近$ 1 $时是鲁棒的。然后分析了一类分数阶扩散方程的反问题，并给出了该反问题时间离散化的收敛性分析。最后，数值结果证实了理论结果。
2022-01-06 cs.NA math.NA
Projection-Based Reconstruction for Achieving High-Order Accuracy from Low-Order DGSEM Simulations
ETSIAE-UPM-School of Aeronautics（马德里理工大学航空工程学院）；Delft University of Technology（代尔夫特理工大学）
提出一种修正的PnPm方法，通过投影重建高阶分量，在低阶自由度演化中恢复高阶精度，并引入紧凑投影算子避免大型最小二乘系统，数值实验验证了收敛性和效率。
2026-06-23 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Exponential Runge Kutta time semidiscetizations with low regularity initial data
我们应用指数龙格库塔时间离散的半线性发展方程$\frac { {\rm d} U}{{\rm d} t}=AU+B(U)$提出的Hilbert空间${\mathcal Y}$。这里$A$是正规的并生成强连续半群，$B$是从${\mathcal Y}_\ell = D(A^\ell)$到自身的光滑非线性，并且是$\ell \in I \subseteq [0,L]$，$L \geq 0$，$0,L \in I$ .特别是半线性波动方程和非线性薛定谔方程的周期边界条件或提出的${\mathbb R}^d$适合这个框架。本文证明了对于非光滑初值$U^0\in{\mathcal Y}_\ell$，阶$O(h^{\min(\ell,p)})$的收敛性，其中$\ell >0$，对于经典阶$p$方法.我们表明，在一个例子中的指数欧拉离散的线性发展方程，我们的估计是尖锐的，并证实了这一点在半线性波动方程的数值实验。为了证明我们的结果，我们用Galerkin截断了半流数值方法，并将Galerkin截断误差与投影系统的时间离散误差进行了平衡。我们也将这些结果推广到指数Rosenbrock方法。
2019-11-14 cs.NA math.NA
Diffusive behavior of transport noise on $\mathbb{S}^2$
本文通过理论和数值模拟研究球面上输运噪声的扩散行为，证明适当缩放的输运噪声在保持涡度拟能和余伴随轨道的同时诱导能量耗散，为地球物理流体模拟的参数化奠定基础。
2025-08-06 cs.NA math.NA math.PR
Robust multigrid techniques for augmented Lagrangian preconditioning of incompressible Stokes equations with extreme viscosity variations
我们提出了增广拉格朗日Schur补预条件和强大的多重网格方法的不可压缩Stokes问题的极端粘度变化。这样的斯托克斯系统出现，例如，在线性化的非线性粘性流动问题，他们可以有严重的非均匀和各向异性系数。使用一个增广的拉格朗日公式的不可压缩性约束，使舒尔补更容易近似，但在斯托克斯系统中的一个近奇异的（1，1）块的结果。我们提出的Schur补近似的质量的特征值估计。为了解决（1，1）-块的近奇异性问题，我们扩展了一个多重网格格式，并引入了一个依赖于离散化的光滑算子，将三角形/四面体的算子转换为四边形/六面体的有限元离散化$[\mathbb{Q}_k]^d\times \mathbb{P}_{k-1}^{\text{disc}}$，$k\geq 2$，$d=2,3$ .使用标量和各向异性的四阶张量粘塑性本构关系线性化所产生的数值例子，我们确认的多重网格方案的鲁棒性和整体效率的求解器。我们目前的可扩展性结果使用多达28，672个并行任务的问题高达16亿个未知数和粘度对比高达十个数量级。
2021-11-02 cs.CE cs.NA math.NA
A splitting semi-implicit method for stochastic incompressible Euler equations on $\mathbb T^2$
本文针对环面 $\mathbb{T}^2$ 上由加性噪声驱动的随机不可压缩 Euler 方程，提出时间方向的分裂半隐式方法，利用 Galerkin 逼近与不动点技术证明唯一可解性，并得出逐路径与依概率的收敛阶。
2021-02-02 cs.NA math.NA
Monolithic Algebraic Multigrid Preconditioners for the Stokes Equations
本文提出一种基于低阶算子与AMG插值构造的整体代数多重网格预条件子，用于Stokes方程的高阶离散，并通过Vanka块分解和Chebyshev自适应松弛提升效率与并行性，在2D和3D问题中表现稳健。
2024-08-31 cs.NA math.NA
Absorbing boundary conditions for the time-dependent Schrödinger-type equations in $\mathbb R^3$
提出了三维不定常薛定谔型方程的吸收边界条件，作为减少量子力学计算量的一种手段.边界条件首先从薛定谔方程的半离散逼近导出，其优点是所得公式自动与有限差分格式兼容，并且不需要在空间中进一步离散。吸收边界条件表示为离散的狄利克雷-诺依曼（Dirichlet-to-Neumann，DtN）映射，其可以通过使用拉普拉斯变换的有理逼近在时间上进一步近似，以实现更有效的实现。这种方法可以应用于具有任意几何形状的域。证明了零阶和一阶吸收边界条件的稳定性。我们在基准问题上测试了边界条件。通过一个含Skyrme相互作用的不定常Hartree-Fock模型进一步验证了该方法的有效性。能量和核子密度方面的准确性进行了检查。
2019-12-18 cs.NA math.NA physics.comp-ph
On a time and space discretized approximation of the Boltzmann equation in the whole space
Institute of Space Science（空间科学研究所）；Institute of Mathematical Statistics and Applied Mathematics of the Romanian Academy（罗马尼亚科学院数学统计与应用数学研究所）
本文扩展了Babovsky和Illner在受限域中Boltzmann方程离散模型解收敛性的结果，将研究扩展到整个物理空间，证明了离散模型解在L^1意义下收敛于Boltzmann方程解，并给出了实现该结果的充分条件。
2014-02-10 cs.NA math.NA
On the convergence of discrete dynamic unbalanced transport models
本文研究广义非平衡最优输运距离${\rm WB}_\Lambda$的离散输运问题收敛性，提出抽象离散化收敛框架及具体方案，并证明Wasserstein-Fisher-Rao距离可移除绝对连续假设。
2024-05-24 cs.NA math.NA math.OC
A fast-marching algorithm for non-monotonically evolving fronts
McGill University（麦吉尔大学）
本文提出一种快速推进算法，用于解决非单调前沿传播问题，通过离散化Dirichlet问题计算每个点，不依赖速度函数符号，实验表明其计算复杂度与快速推进法相当，且具有全局一阶精度。
2016-05-25 cs.NA math.NA
Convergence of a conservative Crank-Nicolson finite difference scheme for the KdV equation with smooth and non-smooth initial data
本文研究KdV方程初值问题的Crank-Nicolson有限差分格式，证明其L2守恒性，并利用Kato局部平滑效应分析收敛性，对光滑和非光滑初值分别获得最优收敛速率，数值实验验证了理论结果。
2023-12-22 cs.NA math.NA
A Volumetric Approach to Monge's Optimal Transport on Surfaces
针对三维空间曲面上的最优传输问题，提出在曲面邻近薄管状区域定义新问题的体积方法，可通过简单数值方法求解球面和二维环面的最优传输，且结果与原问题一致。
2024-05-15 cs.NA math.NA
A Monolithic hp Space-Time Multigrid Preconditioned Newton-Krylov Solver for Space-Time FEM applied to the Incompressible Navier-Stokes Equations
University of Magdeburg（马格德堡大学）；Helmut Schmidt University（赫尔穆特·施密特大学）
本文提出了一种基于 hp-STMG 的求解器，用于高效求解不可压缩纳维-斯托克斯方程，结合了空间-时间多重网格与牛顿-克雷洛夫方法，实现了高鲁棒性和计算效率。
2026-02-14 cs.NA math.NA
Solution of nonlinear Stokes equations discretized by high-order finite elements on nonconforming and anisotropic meshes, with application to ice sheet dynamics
Institute for Computational Engineering & Sciences, The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校计算工程与科学研究所）；Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学库朗数学科学研究所）
本文设计了高阶有限元离散方法和可扩展求解器，用于求解非线性不可压缩斯托克斯方程，应用于冰盖动力学中的幂律和剪薄流变学模型，并在各向异性网格上实现高效求解。
2015-07-09 cs.CE cs.NA math.NA
Boundary Element Methods for the Laplace Hypersingular Integral Equation on Multiscreens: a two-level Substructuring Preconditioner
本文针对拉普拉斯超奇异方程在多屏曲面上的边界元离散系统，提出基于子结构域分解的预条件子，证明条件数随网格比多对数增长，数值验证界限尖锐，可显著加速迭代求解。
2023-10-13 cs.NA math.NA
