arXiv 1407.19862014-07math.PR

无一致耗散漂移扩散过程在$L^p$ -Wasserstein距离上的指数收敛

Exponential Convergence in $L^p$-Wasserstein Distance for Diffusion Processes without Uniformly Dissipative Drift

Dejun Luo, Jian Wang

备注：: 22 pages

摘要：

通过采用反射耦合和选择一个在无穷远附近凸的辅助函数，建立了扩散半群$(P_t)_{t\ge0}$关于标准$L^p$ -Wasserstein距离的指数收敛性，对于所有$p\in[1,\infty)$ .特别地，我们证明了对于伊藤随机微分方程$$\d X_t=\d B_t+b(X_t)\,\d t,$$，如果漂移项$b$满足，对于任何$x,y\in\R^d$，$$\langle b(x)-b(y),x-y\rangle\le \begin{cases} K_1|x-y|^2,& |x-y|\le L; -K_2|x-y|^2,& |x-y|> L \end{cases}$$与一些正的常数$K_1$，$K_2$和$L>0$成立，则存在一个常数$λ:=λ(K_1,K_2,L)>0$，使得对于所有的$p\in[1,\infty)$，$t>0$和$x,y\in\R^d$，$$W_p(δ_x P_t,δ_y P_t)\leq Ce^{-λt/p} \begin{cases} |x-y|^{1/p}, & \mbox{if } |x-y|\le 1; |x-y|, & \mbox{if } |x-y|> 1. \end{cases}$$，其中$C:=C(K_1,K_2,L,p)$是一个正的常数.这改进了\cite{Eberle}中的主要结果，其中仅证明了$L^1$ -Wasserstein距离的指数收敛。

英文摘要：

By adopting the coupling by reflection and choosing an auxiliary function which is convex near infinity, we establish the exponential convergence of diffusion semigroups $(P_t)_{t\ge0}$ with respect to the standard $L^p$-Wasserstein distance for all $p\in[1,\infty)$. In particular, we show that for the Itô stochastic differential equation $$\d X_t=\d B_t+b(X_t)\,\d t,$$ if the drift term $b$ satisfies that for any $x,y\in\R^d$, $$\langle b(x)-b(y),x-y\rangle\le \begin{cases} K_1|x-y|^2,& |x-y|\le L; -K_2|x-y|^2,& |x-y|> L \end{cases}$$ holds with some positive constants $K_1$, $K_2$ and $L>0$, then there is a constant $λ:=λ(K_1,K_2,L)>0$ such that for all $p\in[1,\infty)$, $t>0$ and $x,y\in\R^d$, $$W_p(δ_x P_t,δ_y P_t)\leq Ce^{-λt/p} \begin{cases} |x-y|^{1/p}, & \mbox{if } |x-y|\le 1; |x-y|, & \mbox{if } |x-y|> 1. \end{cases}$$ where $C:=C(K_1,K_2,L,p)$ is a positive constant. This improves the main result in \cite{Eberle} where the exponential convergence is only proved for the $L^1$-Wasserstein distance.

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摘要：

英文摘要：

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