$Ω$-theorem for short trigonometric sum
Jan Moser
本文给出了经典E.C. Titchmarsh'离散方法（1934）在理论的黎曼$\zf$ -功能。也就是说，我们将证明第一个局部化的$Ω$ -定理短三角和。本文是参考文献\cite{4}的英文版。
We obtain in this paper new application of the classical E.C. Titchmarsh' discrete method (1934) in the theory of the Riemann $\zf$ - function. Namely, we shall prove the first localized $Ω$-theorem for short trigonometric sum. This paper is the English version of the work of reference \cite{4}.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Inequalities for finite trigonometric sums. An interplay: with some series related to Harmonic numbers
研究了某些与调和数有关的级数的和与某些有限三角和之间的相互影响。这使我们能够表示这些系列的总和在考虑三角和，并允许我们找到尖锐的不等式边界这些三角和。特别地，这肯定地回答了H. Chen（2010年）。
Summation of certain trigonometric series with logarithmic coefficients
推广了Lerch首先利用的一种方法，导出了三个对数系数三角级数的和.通过对其中两个级数应用Frullani定理，利用双Γ函数计算了两个涉及双曲函数的非平凡积分.
Estimates for approximations by Fourier sums, best approximations and best orthogonal trigonometric approximations of the classes of (ψ, β)-differentiable functions
本文给出了2π周期函数类的Fourier和逼近、最佳逼近和最佳正交三角逼近在度量空间L_s，1 \leq s< \infty中的正序估计，其中（π，β）-导数属于L_ \infty的单位球.
The method of summation of divergent trigonometric series
本文研究发散三角级数的广义求和，即用$σ_k(r,a)$ -因子法。证明了周期函数$f(t)$的傅里叶级数的这种求和导致该函数与核$De(r,α,t)$的卷积;如果参数$r$是整数，则这些核是$r-1$ $(r=1,2,\ldots)$阶的多项式归一化基本$B$ -样条。证明了带$σ_k(r,a)$ -因子的求和方法是$F$ -有效的.
Addendum to my paper `The Lebesgue summability of trigonometric integrals" (J. Math. Anal. Appl. 390 (2012), 188-196)
我们观察到，如果条件（2.7）被更弱的条件（$$f(t) \in L^1(-T, T) \quad {\rm for\ all} \quad T>0.\eqno(2.7')$$）代替，则定理2中的陈述（2.9）仍然有效
Cesàro means of subsequences of partial sums of trigonometric Fourier series
在1936年Zygmunt Zalcwasser问相对于三角系统，如何“罕见”可以一系列严格单调递增整数$(n_j)$是这样的，几乎处处关系$\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N S_{n_j}f \to f$是履行每个可积函数$f$。在本文中，我们对这个问题给出了答案。它遵循的主要结果，这a.e.对于每个可积函数$f$和自然数的缺项序列$(n_j)$，都有一个关系。
Uniform approximation of periodical functions by trigonometric sums of a special type
研究了一种特殊类型的三角和U_{n,p} ^<$在（λ，β）-可微（Stepanets意义下）周期函数类C^<$β，\infty }上的逼近性质.在充分一般的情形下，由于近似和的参数与近似类的参数之间的一致性，得到了Kolmogorov-Nikol'skii问题的解。证明了在某些重要的情形下，所考虑的和在C^n_{β，\infty }类上比Fourier和，Zygmund和de la Valle Poussin和在一致度量下提供更高阶的逼近.指出了在U_{n,p} ^n的和满足类C^n_{β，\infty }的最佳一致逼近阶的范围内的参数范围.
New trigonometric identities and reciprocity laws of generalized Dedekind sums
得到了新的三角恒等式，即余切函数和余割函数的高阶导数的积和式公式。此外，从我们的公式的特殊化，我们不仅得到了各种已知的广义Dedekind和的互易律，而且还得到了新的广义Dedekind和的互易律。
Trigonometric series with noninteger harmonics
设$\{c_k\}$是一个非增的正数序列（也考虑更一般的序列类），并且$α>0$不是整数。我们找到了级数$\sum_k c_k\sin k^αx$和$\sum_k c_k\cos k^αx$在实直线及其有界子集上一致收敛性的充要条件。
Inequalities for trigonometric sums
本文提出若干新的三角和不等式，证明了一个带最佳常数2/9的精细正弦和不等式，改进了经典Szegö-Schweitzer不等式，并由此构造出一类双参数绝对单调函数。
New trigonometric identities and reciprocity laws of generalized Dedekind sums II
我们得到了新的三角恒等式，它们是余割函数和余切函数的导数的积和型公式。此外，从我们的公式的特殊化，我们得到新的互惠法律的广义Dedekind和。
Identities for combinatorial sums involving trigonometric functions
设$$ A_{m,n}(a)=\sum_{j=0}^m (-4)^j {m+j\choose 2j}\sum_{k=0}^{n-1} \sin(a+2kπ/n) \cos^{2j}(a+2kπ/n) $$和$$ B_{m,n}(a)=\sum_{j=0}^m (-4)^j {m+j+1\choose 2j+1}\sum_{k=0}^{n-1} \sin(a+2kπ/n) \cos^{2j+1}(a+2kπ/n), $$，其中$m\geq 0$和$n\geq 1$是整数，$a$是实数。我们给出了以下结果的两个证明：（i）如果$2m+1 \equiv 0 \, (\mbox{mod} \, n)$，则$$ A_{m,n}(a)=(-1)^m n \sin((2m+1)a). $$;（ii）如果$2m+1 \not\equiv 0 \, (\mbox{mod} \, n)$，则$A_{m,n}(a)=0$ . (iii)如果是$2(m+1) \equiv 0 \, (\mbox{mod} \, n)$，则为$$ B_{m,n}(a)=(-1)^m \frac{n}{2} \sin(2(m+1)a). $$（iv）如果是$2(m+1) \not\equiv 0 \, (\mbox{mod} \, n)$，则为$B_{m,n}(a)=0$。
Ramanujan's trigonometric sums and para-orthogonal polynomials on the unit circle
拉马努金的三角和$c_q(n)$可以解释为一组三角矩的有限措施集中在原$q$次单位根具有相同的质量。这产生了在单位圆上正交的相应多项式的集合。我们提出了明确的表达式，这些多项式的$q$的特殊值，例如，当$q=p$或$q=2p$或$q=p^k$，其中$p$是一个素数。我们推广了这个过程，而不是分圆的克罗内克多项式。在这种情况下，力矩表示为具有不同$q$的$c_q(n)$的有限和。
Estimates of best $m$-term trigonometric approximation of classes of analytic functions
在度量空间$L_{s}, \ 1\leq s\leq\infty$中，我们得到了周期函数卷积类的最佳$m$ -项三角逼近的精确阶估计，这些卷积类属于空间$L_{p}, \ 1\leq p\leq\infty$的单位全体，生成核为$Ψ_β(t)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}ψ(k)\cos(kt-\frac{βπ}{2})$，$β\in \mathbb{R}$，其系数$ψ(k)$趋于零的速度不慢于几何级数.所得到的估计值与给定函数类在$L_{s}$ -度量中的傅立叶和的近似一致。这一事实允许写下最佳正交三角逼近和给定类的三角宽度的精确阶估计。
Moment inequalities for trigonometric polynomials with spectrum in curved hypersurfaces
利用振荡积分算子的多线性理论，建立了频率位于曲面上的离散指数和的矩不等式的一个平方函数不等式.特别是建立了一种新的摄动特征函数的分布估计。
Order estimates of the best orthogonal trigonometric approximations of classes of convolutions of periodic functions of not high smoothness
我们得到的最佳均匀正交三角逼近的$2π$ -周期函数，其$(ψ,β)$ -衍生物属于单位球的空间$L_{p}, \ 1\leq p<\infty$，在后果$ψ(k)$的情况下，产品$ψ(n)n^{\frac{1}{p}}$可以趋于零慢于任何功率函数和$\sum\limits_{k=1}^{\infty}ψ^{p'}(k)k^{p'-2}<\infty$时$1<p<\infty$，$\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1$和$\sum\limits_{k=1}^{\infty}ψ(k)<\infty$时$p=1$的顺序估计。对于可和$(ψ,β)$ -可微函数类，建立了$L_{s}$ -度量的类比估计$1< s\leq \infty$，使得$\parallel f_β^ψ\parallel_{1}\leq1$ .
Approximation of entire functions of exponential type by trigonometric sums
让$σ>0$。对于$1\le p\le \infty$，伯恩斯坦空间$B^p_σ$是所有$f\in L^p(R)$的巴拿赫空间，使得$f$被带限为$σ$ ;也就是说，$f$的分布傅立叶变换在$[-σ, σ]$中得到支持。研究了\ $f\in B^p_σ by finite trigonometric sums \[ P_τ(x)=χ_τ(x) \sum_{|k|\le στ/π}c_{k,τ} e^{i\fracπτk x } \] in $ L^p $ norm on $ R $ as\ $ τ \to \infty $,\ where\ $ χ_τ $ denotes the indicator function of $ [-τ，τ]$的逼近.
Representation of non periodic functions by trigonometric series with almost integer frequencies
受Menshov表示定理的启发，我们证明了存在一个频率序列，使得R上的任何可测（复值）函数都可以表示为具有这些频率的几乎处处收敛的三角级数之和.
Functional inequalities for generalized inverse trigonometric and hyperbolic functions
对于所谓的广义逆三角函数和广义双曲函数，导出了各种各样的函数不等式。例如，给出了广义逆三角函数和双曲函数的和、差、商的函数不等式，以及借助经典的Bernoulli不等式得到的Grünbaum不等式.此外，借助于某些已导出的界，得到了广义超几何${}_3F_2$ Clausen函数的双边有界不等式.
Vietoris type theorem related to positivity of trigonometric polynomials
本文给出了一个关于特定实数序列的正余弦和的Vietoris型定理。在此基础上，给出了一类新的含参数比的正弦和的正性。从Vietoris型定理得出的各种新结果包括一类三角多项式零点位置的改进估计和正交多项式的新正和。还给出了广义多重对数的部分和的一个公开问题。
On Weyl multipliers of the rearranged trigonometric system
证明了条件\begin{equation} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{nw(n)}<\infty \end{equation}是递增数列$w(n)$成为三角系统的几乎处处无条件收敛Weyl乘子的必要条件. Haar、Walsh、Franklin和其他一些经典的正交系的这一性质早已为人们所知。这个结果的证明是基于一个新的尖锐的对数下界的$L^2$的优算子有关的重排三角系统。
Closed-form formulae for the derivatives of trigonometric functions at rational multiples of $π$
在本文中，我们利用某些特殊函数，如Hurwitz zeta函数、Lerch zeta函数和Legendre chi函数的一些基本性质，统一地证明了四个三角函数在$π$的有理数倍数处的所有导数值都可以用包含Bernoulli多项式和欧拉多项式的简单有限和的封闭形式表示。此外，还考虑了一些特殊情况。
On some Féjer-type trigonometric sums
我们研究了四个形式为\[S_n(x)=\sum_{k=1}^n \frac{f(g(kx))}{k}\qquad (0<x<π)\]的Féjer型三角和，其中$f(x)$，$g(x)$被选择为$\sin x$或$\cos x$。$f(x)=g(x)=\cos x$、$f(x)=\cos x$、$g(x)=\sin x$和$f(x)=\sin x$、$g(x)=\cos x$的总和分析相当简单。结果表明，这些款项表现出无限增长的$n\to\infty$，也提出了“尖峰”在他们的图形在某些$x$值，我们给出了一个解释。主要的努力是专门的情况下$f(x)=g(x)=\sin x$，我们提出的论点，有力地支持了H。阿尔策认为$S_n(x)>0$在$0<x<π$。在这种情况下，和的图形在$x=2π/3$的邻域中呈现跳跃。当$n\to\infty$ .
Some spherical uniqueness theorems for multiple trigonometric series
证明了：如果一个重三角级数对一个处处有界的有限函数$f(x)$处处球Abel可和，且该有限函数$f(x)$下有一个可积函数，则当重三角级数的系数满足一个弱增长条件时，该级数是$f(x)$的傅里叶级数.因此，我们证明了如果一个多重三角级数处处球收敛于一个处处有限可积函数$f(x)$，则该级数是$f(x)$的傅里叶级数.我们还表明，一个单例是一个唯一性集。这些结果推广了J.Bourgain最近的一个定理和V.Shapiro的一些结果。
Estimate of the Rate of Convergence of Fourier Sums for Functions from Lebesgue Classes on a Set of Full Measure
本文估计了Lebesgue类函数三角傅里叶级数部分和在满测集上的收敛速度，并通过反例证明该估计阶的精确性，进而导出Lebesgue类函数二维三角傅里叶级数几乎处处Prinsheim收敛的连续性模条件。
Moment generating functions and moderate deviation principles for lacunary trigonometric sums
本文研究缺项三角和的矩生成函数，确定算术效应起作用的精确阈值，证明其中偏差原理，证实尾概率在中心极限定理与大偏差原理区间内符合高斯行为。
Large sum-free subsets of sets of integers via $L^1$-estimates for trigonometric series
针对Erdős提出的加法组合学长期问题，通过三角级数的$L^1$估计证明：任意$n$元整数集含大小至少为$n/3+c\boldsymbol{\text{log log}}n$的无和子集，解决了该领域经典难题。
Properties of generalized univariate hypergeometric functions
基于Spiridonov对Gauss超几何函数的椭圆推广的分析，我们建立了一个7参数广义椭圆、双曲和三角一元超几何函数族的通用框架.在每一种情况下，我们使用适当的Nassrallah-Rahman β积分形式导出E_7型（椭圆、双曲）和E_6型（三角）外尔群下广义超几何函数的对称性，并使用θ函数和正弦函数的基本加法公式导出邻接关系。分别用Ruijsenaars的相对论性超几何函数和Askey-Wilson函数证明了双曲和三角超几何函数的顶层退化.我们表明，退化过程产生各种新的和已知的身份双曲和三角特殊函数。我们还描述了一个密切的双曲和三角理论之间的联系，这产生了一个双曲超几何函数的表达作为一个明确的双线性和三角超几何函数。
Moderate deviation principles and Mod-Gaussian convergence for lacunary trigonometric sums
本文研究缺项三角和的中偏差原理与Mod-Gaussian收敛，引入相关图并采用累积量方法，证明√n与n/log(n)尺度间无算术效应，还借助不同工具得到mod-Gaussian收敛结果，为明确大偏差特殊现象的显现尺度提供研究基础。
Special values of trigonometric Dirichlet series and Eichler integrals
本文给出了一个计算$\sum_{n \geq 1} \frac{f (πn τ)}{n^s}$形式的三角狄利克雷级数的一般定理，其中$f$是初等三角函数的任意乘积，$τ$是实二次无理性，$s$是适当奇偶性的整数.这统一了许多作者，包括Lerch，Ramanujan和Berndt考虑的一些评价。我们的方法是基于有关系列的组合衍生物的Eichler积分和多面体。
Un théorème de Helson pour des séries de Walsh
对Helson和Katznelson关于三角级数的定理的Walsh级数的推广，即部分和为正的三角级数的系数趋于零，但不一定是Fourier-Lebesgue级数
Roots of trigonometric polynomials and the Erdős-Turán theorem
我们证明，非正式地说，这不是一个巧合，$\cos{(n θ)} + 1 \geq 0$和根的$z^n + 1 =0$是均匀分布的角度-一个版本的声明适用于所有三角多项式与“几个”真正的根源。Erdens-Turán定理指出，如果$p(z) =\sum_{k=0}^{n}{a_k z^k}$被适当地归一化，并且对于$|z|=1$来说不是太大，那么它的根围绕$|z| = 1$聚集，并且在尺度$\sim n^{-1/2}$上在角度上均匀分布。我们建立了一个连接之间的速度均匀分布的根的角度和相应的三角多项式$q(θ) = \Re \sum_{k=0}^{n}{a_k e^{i k θ}}$的符号变化的数量。如果$q(θ)$对于某些$0 < δ< 1/2$具有$\lesssim n^δ$根，则$p(z)$的根在尺度$\sim n^{-(1-δ)} \ll n^{-1/2}$上不经常在角度上聚集。
Expansion of real valued meromorphic functions into Fourier trigonometric series
在本文的主体部分，在奇点位于积分围线上的复亚纯函数的围线积分的基础上，第一步引入了亚纯函数的广义积分的绝对存在性概念，作为相对于反常积分收敛（存在性）概念的更一般的概念。第二步，在复参数模趋于无穷大的情形下，定义了含参亚纯函数反常积分收敛的区间。据此，证明了实值亚纯函数类的许多孤立奇点位于实轴段上，可分别展开为Fourier三角级数.在亚纯函数为连续函数的线段上的所有点上，Fourier三角级数都是可和的，且其和等于这些点上的函数值。最后，通过两个有代表性的例子来说明这一点。
Estimates of approximations by interpolation trigonometric polynomials on the classes of convolutions of high smoothness
该研究在高光滑周期卷积函数类上建立插值Lebesgue型不等式，用卷积核函数的最佳逼近估计插值三角多项式偏差，证明核序列快速衰减时不等式渐近精确并得到逐点逼近精确上界的渐近等式。
Lower bounds on the measure of the support of positive and negative parts of trigonometric polynomials
本文证明三角多项式正负部分支撑测度的最小值有下界，该下界由频率集合的组合特征决定，并可推广至多类函数。
Asymptotic expansions for the generalised trigonometric integral and its zeros
本文研究广义三角积分 ti(a,z,α) 及其模、相位函数的大参数渐近行为，给出带可计算误差界的展开式、a<1 时正实大零点的渐近估计，并证明实变量情形下展开式具有包络性质。
Lebesgue-type inequalities for de la Vallee Poussin sums and their interpolation analogues on the sets $(ψ,\barβ)$-differentiable functions
我们从属于空间$C_{\barβ}^ψL_s, \ 1\leq s\leq\infty$的函数得到de Vallée Poussin和的稳定偏差率的估计以及Vallée Poussin和的插值类似物，并且通过度量$L_s$中的三角多项式对这类$(ψ,\barβ)$ -可微函数的最佳逼近来表示
From a cotangent sum to a generalized totient function
本文研究了一类余切和，特别是余切和$$\sum_{m=1}^{b-1}\cot\left(\frac{πm}{b}\right)\sin^{3}\left(2πm\frac{a}{b}\right)\:$$，并将其值的分布与广义函数$ϕ(n,A,B)$联系起来，其中$$ϕ(n,A,B):=\sum_{\substack{A\leq k \leq B \\ (n,k)=1}}1\:.$$的方法之一是利用三角和与实数的分数部分之间的关系。
Is PLA large?
我们研究一类函数表示的解析和（我们的意思是一个三角和只涉及正频率）收敛几乎处处。我们证明了它是稠密的，但它是第一范畴，且Wiener测度为零。
On convergence and growth of sums $\sum c_k f(kx)$
对于周期函数$f$，我们证明了对于任意递增整数序列$(n_k)$，$\sum_{k=1}^\infty c_k^2 (\log\log k)^γ<\infty$，$γ>4$蕴含$\sum_{k=1}^\infty c_k f(n_kx)$的几乎处处收敛性.我们还构造了一个例子，表明前面的条件是不充分的$γ<2$。最后，我们给出了一个A. E。的增长限制的总和$\sum_{k=1}^N f(n_kx)$不同的三角和相应的最佳结果的重对数因子。
New bounds for Hahn and Krawichouk polynomials
对于在集合$\{0, \ldots,N\}$上正交的Hahn多项式和Krawtchouk多项式，导出了平方和的新恒等式，推广了第一类和第二类切比雪夫多项式的三角恒等式.应用这些结果是为了获得条件（关于多项式的次数），使得多项式由它们在点$0$和$N$处的值（在间隔$[0,N]$上）有界。作为特殊情况下，我们得到了离散模拟的三角恒等式和边界的离散切比雪夫多项式的第一和第二种。
Wiener algebras and trigonometric series in a coordinated fashion
设$W_0(\mathbb R)$是由Lebesgue可积函数的Fourier积分表示的函数的Wiener Banach代数。证明了一个三角级数$\sum\limits_{k=-\infty}^\infty c_k e^{ikt}$是可积函数的Fourier级数当且仅当存在一个$ϕ\in W_0(\mathbb R)$使得$ϕ(k)=c_k$，$k\in\mathbb Z$ .如果$f\in W_0(\mathbb R)$，则由$\ell_f(k)=f(k)$定义的分段线性连续函数$\ell_f$，$k\in\mathbb Z$，也属于$W_0(\mathbb R)$。此外，$\|\ell_f\|_{W_0}\le \|f\|_{W_0}$。类似的关系建立更先进的维纳代数。这些结果得到了许多应用的补充。特别地，证明了三角级数为Fourier级数的新的充分必要条件，并建立了PDMATHAMV的新性质。
Trigonometric identities and quadratic residues
本文得到了一些新的涉及三角函数的恒等式。设$n$为任意正奇数。证明了用$x+1/2,x+(-1)^{(n-1)/2}/4\not\in\mathbb Z$对任何复数都有$$\sum_{r=0}^{n-1}\frac1{1+\sin2π\frac{x+r}n+\cos2π\frac{x+r}n} =\frac{(-1)^{(n-1)/2}n}{1+(-1)^{(n-1)/2}\sin 2πx+\cos 2πx}$$，用$x+y,x-y-1/2\not\in\mathbb Z$对所有复数都有$$\sum_{j,k=0}^{n-1}\frac1{\sin 2π\frac{x+j}n+\sin2π\frac{y+k}n}=\frac{(-1)^{(n-1)/2}n^2}{\sin 2πx+\sin2πy}$$.我们还确定了任何奇素数$p$的$\prod_{k=1}^{(p-1)/2}(1+\tanπ\frac{k^2}p)$和$\prod_{k=1}^{(p-1)/2}(1+\cotπ\frac{k^2}p)$的值。此外，我们还对$G_p(x)=\prod_{k=1}^{(p-1)/2}(x-e^{2πik^2/p})$的值作了几点说明，其中$p$是奇素数，$x$是单位根.
The Quantum Dynamics of the Compactified Trigonometric Ruijsenaars-Schneider Model
我们构造了一个紧化的三角Ruijse-naars-Schneider粒子模型，它的相空间与复射影空间CP^N辛同构.量子哈密顿算子被实现为作用在有限维希尔伯特空间中的离散差分算子，该空间具有凸多面体上的有限均匀晶格中的支持（即，具有厚度与耦合参数成比例的壁的受限外尔凹室）。我们解决了相应的有限维（双谱）特征值问题的离散麦克唐纳多项式与q（和t）的单位圆。波函数的归一化是使用最近的求和公式由于Aomoto，伊藤和麦克唐纳的终止版本。由此产生的本征函数变换确定了格函数的希尔伯特空间中的离散傅立叶型对合。这与Ruijsenaars的观察一致，即在经典水平上，作用角变换定义了CP^N的（反）辛对合。从代数组合学的角度，我们的结果产生了一个新的系统的双线性求和恒等式的Macdonald对称函数。
Series over Bessel functions as series in terms of Riemann's zeta function
本文利用Hurwitz公式和三角级数求和公式，将Bessel函数级数转化为Riemann zeta函数级数，并求得有限和。
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