Improved Local Search Based Approximation Algorithm for Hard Uniform Capacitated k-Median Problem
本文利用局部搜索启发式算法研究了硬一致容量约束$k$ -中值问题。获得\ckm问题的常数因子近似是开放的。所有现有的解决方案给出常数因子近似，违反至少一个基数和容量约束。除Koruplou等人外，所有人都是基于LP松弛。对于基数破坏因子为$8/3 \approx 2.67$的问题，给出了$(3+ε)$因子近似算法.在我们的工作和现有的工作之间的近似因子和基数违反之间有一个权衡。Koruplou等人使用局部搜索范式给出了在基数中损失$(5 + 5/α)$因子的$(1 + α)$近似因子。虽然近似因子可以任意小，但基数损失至少为$5$。另一方面，我们在因子损失方面改进了[capkmGijswijtL 2013]，[capkmshili 2014]，[Lisoda 2016]中的结果，尽管在我们的情况下基数损失更多。此外，这些结果是使用LP四舍五入，其中一些被加强，而本地搜索技术是简单的应用，并已被证明在实践中表现良好，通过实证研究。我们将结果推广到硬均匀容量限制的$k$ -中位数与处罚。据我们所知，我们的是这个问题的第一个结果。
2018-04-24 cs.DS
On the Fixed-Parameter Tractability of Capacitated Clustering
我们研究了由中心数k参数化的经典的有能力约束的k-中值和k-均值问题的复杂性。这些问题是出了名的困难，因为最有名的近似界为高维欧氏空间和一般度量空间是$Θ(\log k)$，它仍然是一个主要的开放问题是否存在一个常数因子。我们证明了在一般度量空间中，运行时间为$f(ε,k) n^{O(1)}$的有能力的k-中值问题存在一个$(3+ε)$-近似算法，有能力的k-均值问题存在一个$(9+ε)$ -近似算法.对于任意维数的欧氏输入，我们给出了一个$(1+ε)$ -近似算法。这是对Adamczyk等人的$(7+ε)$ -近似的显著改进。在一般度量空间中的k-中位数和Xu等人的$(69+ε)$ -近似的欧几里德k-均值。
2022-08-30 cs.DS
Locating Depots for Capacitated Vehicle Routing
本文研究了一种在车辆路径容量限制下的定位-路径问题。输入是度量空间中的一组需求位置和k辆车的车队，每辆车的容量为Q。目标是找到k个站点，每辆车一个，并计算车辆的路线，使所有的需求得到满足，总成本最小化。我们的主要结果是这个问题的常数因子近似算法。为了实现这一结果，我们减少到k-中位数森林问题，它概括了k-中位数和最小生成树，这可能是独立的利益。我们给出了k-中值森林的一个（3+c）-近似算法，从而对任意常数c>0，得到了上述选址-路由问题的一个（12+c）-近似算法. k-median-forest的算法是t-swap局部搜索，并证明了它的局部间隙为3+2/t，推广了k-median的相应结果。最后，我们考虑了“非均匀”k-中值森林问题，它具有不同的成本函数的MST和k-中值部分。我们发现，这个问题的地方差距是无界的，即使在多交换，这与统一的情况下。然而，我们得到一个常数因子的近似算法，使用LP为基础的方法。
2011-03-04 cs.DS
Bi-Factor Approximation Algorithms for Hard Capacitated $k$-Median Problems
$k$ -设施选址问题是经典问题$k$ -中位数和设施选址问题的推广。目标是选择最多$k$设施的子集，以最小化已打开设施以及客户端和已打开设施之间已建立连接的总成本。我们考虑的硬容量版本的问题，其中一个单一的设施可能只服务于有限数量的客户端和创建多个副本的设施是不允许的。我们构造近似算法略有违反的能力的基础上舍入的分数的解决方案的标准LP。众所周知，如果我们只允许以小于$2$的因子违反容量，或者如果我们只允许以小于$2$的因子违反设施数，则标准LP（即使在均匀容量和开放成本的情况下）具有无界完整性间隙。在本文中，我们提出了第一常数因子近似算法的硬容量限制的变种的问题。对于一致容量，我们得到了一个近似比为$O(1/\varepsilon^2)$的$(2+\varepsilon)$ -容量破坏算法，我们的结果没有得到改进.然后，对于非均匀容量，我们考虑的情况下，$k$ -中位数，这是等价的$k$ -设施位置与设施的均匀开放成本。在这里，我们得到了一个具有近似比$O(1/\varepsilon)$的$(3+\varepsilon)$ -容量破坏算法.
2017-04-24 cs.DS
Approximation Algorithms for Hard Capacitated $k$-facility Location Problems
研究了有容量限制的$k$ -设施选址问题，其中给定一组有需求的客户，一组有容量的设施，以及一个常数$k$ .打开设施$i$需要$f_i$，打开设施$i$需要$c_{ij}$，服务于客户端$j$的一个需求单位。目标是在最大限度地开放$k$设施以满足所有需求并满足容量限制的同时，使服务和开放成本之和最小化。在本文中，我们给出了第一个完全多项式时间近似计划（FPTAS）的单汇（单客户端）容量限制的$k$设施选址问题。然后，我们证明了容量限制的$k$设施选址问题的统一能力是可解的多项式时间，如果客户端的数量是固定的，通过减少它的运输问题的集合。第三，我们分析了结构的极值点解决方案，并检查这种结构的效率在设计近似算法的容量限制$k$设施选址问题。最后，我们推广了已有的结果，得到了一个改进的近似算法。
2014-09-12 cs.DS math.OC
Robust capacitated trees and networks with uniform demands
我们感兴趣的鲁棒（或弹性）容量限制根Steiner网络的终端的情况下，统一的需求的设计。形式上，我们给出了一个图，容量和费用函数的边缘，根，一个子集的节点称为终端，和边界k的边缘故障的数量。我们首先研究的问题，其中k = 1和网络，我们要设计的必须是一棵树，覆盖的根和终端：我们给出了复杂性的结果，并提出模型，以优化树的成本和终端的数量从根断开的最坏情况下的边缘故障，同时尊重边缘的容量约束。其次，我们考虑计算最小成本可生存网络的问题，即，即使在去除任何k个边缘之后，也覆盖根和终端的网络，同时仍然遵守边缘上的容量约束。我们还考虑了保护给定数量的边缘的可能性。我们提出了三种不同的配方：一个割集为基础的配方，一个流为基础的，和一个双层（与攻击者和防御者）。我们提出了算法来解决每个配方，并比较它们的效率。
2018-01-15 cs.DS math.OC
Ordered Median Hub Location Problems with Capacity Constraints
单一分配有序中位数枢纽定位问题是Puerto et al.（2011）中引入的一个最新枢纽模型，该模型提供了对广泛类别的枢纽定位模型的统一分析。在本文中，我们处理这个问题的容量限制版本，提出了两个配方，以及一些预处理阶段固定变量。此外，还研究了通过使用有效不等式族来加强其中一个公式。电池的测试问题，从AP库中的数据得到解决，它表明，运行时间已显着减少与本文中提出的改进。
2015-03-15 cs.DS math.OC
Constant Approximation Algorithm for Non-Uniform Capacitated Multi-Item Lot-Sizing via Strong Covering Inequalities
研究了非均匀容量约束下的多产品批量计划（\lotsizing）问题。在这个问题中，在$T$时间段的规划范围内有一组需求，并且所有需求都必须按时满足。我们可以在每个周期$s$开始时下订单，产生订购成本$K_s$。在时间$s$订购的所有产品的总数量不能超过给定的容量$C_s$。另一方面，不时持有存货会产生存货持有成本。该问题的目标是找到一个可行的解决方案，使订购和持有成本之和最小化。Levi等人(Levi，Lodi和Sviridenko，Mathmatics of Operations Research 33（2），2008）给出了当容量$C_s$相同时该问题的2-近似。在本文中，我们将他们的结果推广到非一致容量的情况。即对具有一般能力的多品种批量问题给出了一个常数近似算法。常数逼近是通过增加一个指数大的新的覆盖不等式的自然设施位置型线性规划松弛的问题。沿着我们的算法的方式，我们减少了\lotsizing问题的经典背包覆盖问题的两个概括。我们给LP为基础的常数近似算法的推广，通过迭代舍入技术。
2016-10-06 cs.DS
Capacitated Vehicle Routing with Non-Uniform Speeds
容量限制车辆路径问题（CVRP）涉及使用单个容量限制车辆将（相同）物品从一个仓库分配到一组需求位置。我们研究了这个问题的推广设置的多个车辆具有非均匀的速度（我们称之为异质CVRP），并提出了一个常数因子的近似算法。我们结果的技术核心在于实现对以下TSP变体（称为异质TSP）的恒定近似。给定表示顶点之间的距离的度量，一个包含k辆可能具有不同速度的车辆的停车场r，目标是为每辆车找到一个行程（在r开始和结束），使得每个顶点都被某个行程覆盖，并且最大完成时间被最小化。当车辆没有能力时，这个问题正是异质CVRP。非均匀速度的存在给采用标准巡回分割技术带来了困难。为了更好地理解这种技术在我们的上下文中，我们呼吁的想法从2-近似调度在并行机的Lenstra等人。这促使引入一种新的近似MST构造，称为Level-Prim，它与Light Approximate Shortest-path Trees相关。我们的算法的最后一个组成部分涉及分区的水平Prim树和匹配的车辆产生的零件。这种分解比通常更微妙，因为现在我们需要加强零件大小与它们到仓库的距离之间的相关性。
2010-12-08 cs.DS
Uniform Capacitated Facility Location Problems with Penalties/Outliers
在本文中，我们提出了一个框架，设计近似算法的容量限制设施选址问题的罚款/离群使用LP舍入。原始对偶技术在处理异常值和惩罚方面特别成功，但在处理容量方面并不十分成功。另一方面，没有原始-对偶解决方案已经能够打破能力限制的设施选址问题（CFLP）的硬度。直到Grover等人最近的一项工作之前，LP舍入技术在处理容量方面也不是很成功。\cite{GroverGKP18}。他们的常数因子近似法（$1 + ε$）在处理容量时很有希望。虽然LP舍入在处理处罚和离群值时不是很有希望，但我们成功地应用它来处理它们以及容量。也就是说，我们的结果是通过四舍五入的解决方案的自然LP再次展示LP舍入技术的力量。在本文中，我们应用我们的框架获得的第一常数因子近似的能力约束设施定位问题与离群（CFLPO）和能力约束$k$ -设施定位问题与惩罚（C $k$ FLPP）硬均匀容量的LP-舍入的解决方案，很容易与其他LP为基础的算法集成。我们的解决方案在容量上有轻微的违反，（$1 + ε$）对于没有基数约束的问题（$k$）和（$2 + ε$）对于基数约束的问题。对于离群值变体，我们也会在离群值中产生少量损失（$1 + ε$）。由于根本问题的艰巨性，侵犯是不可避免的。因此，我们实现了最好的可能，通过四舍五入的解决方案，自然LP为这些问题。据我们所知，CFLPO和C $k$ FLPP尚无已知结果。
2021-08-18 cs.DS
Locating Charging Stations: Connected, Capacitated and Prize- Collecting
本文将充电站选址问题转化为设施选址问题及其变形（$k$ -Median，$k$ -Facility location和$k$ -center）进行研究。我们研究了这些问题中的连通性和容量约束。容量和连通性约束已分别在文献中研究了所有这些问题。我们给第一个常数因子近似时，这两个约束。扩展/修改用于问题的连接变体以包括容量或用于问题的容量限制变体以包括连接性的技术是乏味且具有挑战性的任务。在本文中，我们结合了这两个约束条件，减少了问题的基本研究问题，解决他们的黑盒，并结合所获得的解决方案。我们还将这两个约束条件结合起来，建立了一个奖品收集模型。在奖品收集设置中，当存在其中一个约束时，甚至不研究问题。我们也提出了它们的常数因子近似。
2022-02-13 cs.DS
Constant factor Approximation Algorithms for Uniform Hard Capacitated Facility Location Problems: Natural LP is not too bad
在本文中，我们给出了第一常数因子近似的能力约束背包中值问题（CKM）硬一致的能力，违反预算只有一个添加剂因子$f_{max}$其中$f_{max}$是最大成本的设施开放的最佳和违反能力$(2+ε)$因子。当两个约束中的任何一个被一个小于$2$的因子违反时，该问题的自然LP已知具有无界的完整性间隙。因此，我们提出了一个结果，这是非常接近的最佳实现从自然LP。据我们所知，这个问题以前没有被研究过。针对具有等容量约束的设施选址问题，提出了一种稍微违反容量的常数因子近似算法（$1 + ε$）。虽然常数因子的结果是已知的问题，而不违反的能力，结果是有趣的，因为它是通过四舍五入的解决方案的自然LP，这是已知的有一个无界的完整性差距，而不违反的能力。因此，我们从问题的自然LP中获得了最佳可能。结果表明，自然LP并不太差。最后，我们提出了一些问题与证明的结果在\cite{capkmByrkaFRS2013}的能力限制$k$ -设施选址问题（C $k$ FLP）。\cite{capkmByrkaFRS2013}提出了$O(1/ε^2)$近似违反了$(2 + ε)$使用相关舍入的一个因素的能力。我们首先使用我们的技术解决这些问题。此外，可以认为（确定性）管道舍入不能用于打开设施，而不是依赖舍入。我们的CKM技术提供了一个常数因子近似违反容量的CkFLP由$(2 + ε)$。
2022-03-23 cs.DS
Approximation algorithms for Capacitated Facility Location Problem with Penalties
在本文中，我们解决的问题的能力限制设施选址问题的罚款（CapFLPP）支付每单位的未得到服务的需求。如果是无行为能力的FLP，客户的要求要么完全满足，要么完全拒绝，并支付罚款。在无能力的情况下，没有理由为客户提供部分服务。然而，在CapFLPP的情况下，为客户提供部分服务而不是完全不提供服务，并为未满足的需求支付罚款可能是有益的。Charikar et. \cite{charikar2001algorithms}，Jain et. \cite{jain2003greedy}和Xu-Xu \cite{xu2009improved}分别给出了无能力情况下的$3$、$2$和$1.8526$近似。我们提出了$(5.83 + ε)$因子的情况下，均匀容量和$(8.532 + ε)$因子的非均匀容量。
2014-09-12 cs.DS
Capacitated Center Problems with Two-Sided Bounds and Outliers
近年来，容量限制中心问题引起了人们的广泛研究兴趣。给定一组顶点$V$，我们希望找到顶点的子集$S$，称为中心，使得最大聚类半径最小化。此外，$S$中的每个中心应该满足某种容量约束，该容量约束可以是其可以服务的顶点数量的上限或下限。具有单侧界（上界或下界）的容量约束$k$ -中心问题在以前的工作中得到了很好的研究，并得到了一个常数因子近似.我们是第一个研究容量限制中心问题的能力下限和上限（有或没有离群值）。我们假设每个顶点有一个一致的下界和一个非一致的上界。对于开放的情况下，正是$k$中心，我们注意到，最近的LP方法的推广可以实现常数因子近似算法为我们的问题。我们的主要贡献是一个简单的组合算法的情况下，没有基数约束的开放中心的数量。我们的组合算法是简单的，实现更好的常数逼近因子相比，LP方法。
2017-02-24 cs.DS
A node-charge graph-based online carshare rebalancing policy with capacitated electric charging
电动汽车共享业务的可行性取决于再平衡算法。文献中的早期方法提出了一种使用非近视算法的趋势。我们提出了一个新的再平衡策略，使用成本函数近似。成本函数被建模为一个p-中位数搬迁问题的最小成本流守恒和基于路径的充电站容量的静态节点充电图结构。成本函数是NP完全的，因此提出了一种启发式算法，以确保在线系统中可以求解的可行解。该算法在纽约布鲁克林的电动汽车共享案例研究中得到了验证，其中包括2017年9月宝马ReachNow运营共享的需求数据（262辆车队，每天231辆皮卡，303个交通分析区（TAZ））和充电站位置数据（18个充电站，4个端口容量）。与近视再平衡相比，所提出的非近视再平衡启发式算法将成本增加降低了38%。其他管理见解将进一步讨论。
2021-03-15 cs.CY cs.DS math.OC
To Close Is Easier Than To Open: Dual Parameterization To k-Median
$k$ -Median问题是一个著名的优化问题，它形式化了数据聚类的任务。在这里，我们给出了设施$F$和客户端$C$的集合，并且目标是从集合$F$中打开$k$设施，其提供了到集群的最佳划分，即，从每个客户端到最近的打开设施的距离之和被最小化。在有容量限制的$k$ -中位数中，设施还被分配容量，指定每个设施可以服务多少客户端。这两个问题已经从近似算法的角度进行了广泛的研究。最近，一些令人惊讶的结果来自参数化复杂性领域，它通过运行时间为$f(k)\cdot poly(n)$形式的算法提供了更好的近似因子。在这项工作中，我们通过研究不同的参数化选择来扩展这条研究路线。我们考虑参数$\ell = |F| - k$，即保持关闭的设施数量。事实证明，这样的参数化揭示了$k$ -Median的另一种行为。我们观察到该问题是W[1]-困难的，但它允许一个参数化的逼近方案。也就是说，我们提出了一个算法，运行时间$2^{O(\ell\log(\ell/ε))}\cdot poly(n)$，实现了$(1+ε)$ -近似。另一方面，我们表明，在间隙指数时间假设的假设下，不能将这一结果扩展到容量限制的版本的问题。
2020-11-16 cs.DS
Streaming Balanced Clustering
度量空间中数据点的聚类是计算机科学中最基本的问题之一，在数据挖掘、信息检索和机器学习等领域有着广泛的应用。由于大型数据集的聚类的必要性，已经开发了几个流算法的聚类问题，如$k$ -中位数和$k$ -均值问题的不同变体。然而，尽管上下文的重要性，目前的理解平衡集群（或更一般的能力集群）在流设置是非常有限的。先前已知的用于容量限制聚类的唯一流近似算法需要三次通过并且仅处理插入。在这项工作中，我们开发了\emph{the first single pass streaming algorithm}的一般类的聚类问题，其中包括capacitated $k$ -中位数和capacitated $k$ -在欧几里得空间的手段，只使用多$( k d \log Δ)$空间，其中$k$是集群的数量，$d$是尺寸和$Δ$是坐标的最大相对范围。(Note $d\log Δ$是表示一个点所需的空间。）该算法仅通过$1+ε$因子违反容量约束。有趣的是，与以前的算法不同，我们的算法处理点的插入和删除。为了提供这个结果，我们定义了通过一些弯曲的半空间的空间的分解。我们使用这种分解来设计一个强大的核心集的大小多$( k d \log Δ)$平衡聚类。然后，我们表明，这种coreset是可实现的流和分布式设置。
2019-10-02 cs.DC cs.DS
The Heterogeneous Capacitated $k$-Center Problem
在本文中，我们开始研究异构容量限制$k$ -中心问题：给定一个度量空间$X = (F \cup C, d)$，和一个收集的容量。目标是在$F$中的唯一设施位置打开每个容量，并将客户端分配给设施，以便分配给任何设施的客户端数量最多为安装的容量;目标是最小化客户端与其分配的设施之间的最大距离。如果所有的能力$c_i$的是相同的，该问题成为研究充分的一致capacitated $k$ -中心问题的常数因子近似是已知的。额外的选择，确定哪些能力应该安装在哪个位置，使我们的问题大大不同于这个问题，以及非均匀的推广研究，迄今为止在文献中。事实上，我们的贡献之一是在有关的异质性问题的特殊情况下，经典的圣诞老人问题。利用这种联系，并通过设计新的算法，我们得到了以下结果：（a）一个准多项式时间的$O(\log n/ε)$ -近似，其中每个容量都被$1+\varepsilon$破坏，（b）一个多项式时间的$O(1)$ -近似，其中每个容量都被一个$O(\log n)$因子破坏.我们得到了{ \em soft-capacities}版本的改进结果，其中我们可以在同一位置放置多个设施。
2016-11-22 cs.DS
FPT Approximations for Capacitated/Fair Clustering with Outliers
该研究率先提出带异常点的容量约束k中位数（CkMO）问题，设计出首个常数因子FPT近似算法，在一般度量和常数维欧氏空间分别取得(3+ε)和(1+ε)近似比，并可扩展到多类相关聚类问题，近似比匹配对应无异常点问题的最优已知结果。
2023-05-02 cs.DS
Capacitated Fair-Range Clustering: Hardness and Approximation Algorithms
针对容量公平范围k-聚类，证明即使在约束平凡可满足时仍不可近似，并在常数个组时设计出匹配最优的近似算法，解决开放问题。
2025-05-21 cs.CC cs.DS
Centrality of Trees for Capacitated k-Center
我们对网络选址问题的无容量限制和容量限制版本的理解存在很大的差异。这也许是最好的说明了经典的k-中心问题：有一个简单的紧2-近似算法的无容量的版本，而第一个常数因子近似算法的一般版本的能力，只是最近才获得通过使用一个复杂的舍入算法，实现了近似保证在数百。我们的论文旨在弥合这一差异。对于容量限制的k-中心问题，我们给出了一个简单的算法，一个干净的分析，使我们能够证明近似保证9。它使用标准的LP松弛，并接近解决完整性差距（在必要的预处理后），缩小到7，8或9。该算法首先减少到特殊的树的情况下，然后解决这些情况下最佳。我们的概念树的实例是非常通用的，并适用于自然变种的能力限制的k-中心问题，我们也得到了改进的算法。最后，我们给出的证据表明，更强大的预处理可能会导致更好的算法，通过给出一个近似算法，击败的完整性差距的情况下，所有的非零容量是均匀的。
2013-04-10 cs.DS
FPT approximations for Capacitated Sum of Radii and Diameters
针对带容量的半径和聚类问题，证明其APX难且无FPT-AS，提出FPT时间下近似比约5.83的算法，改进了已有结果，并拓展至相关问题与均匀容量场景。
2025-09-06 cs.DS
Constant Factor Approximation for Capacitated k-Center with Outliers
$k$ -中心问题是一个经典的设施选址问题，在给定一个边加权图$G = (V,E)$的情况下，需要找到$k$顶点$S$的一个子集，使得$V$中的每个顶点都“接近”$S$中的某个顶点.这个基本问题的近似状态是很好理解的，因为已知简单的2-近似算法是紧的。因此，研究了不同的扩展。在容量限制版本的问题，每个顶点被分配一个能力，这是一个严格的上限的客户端的数量设施可以服务，当位于这个顶点。去年Cygan、Hajiaghayi和Khuller [FOCS'12]获得了容量限制的$k$ -中心的常数因子近似，最近An、Bhaskara和Svensson [arXiv'13]将其改进为9-近似。在问题的不同概括中，可以忽略一些客户端（表示为离群值）。在这里，我们另外给出了一个整数$p$，目标是准确地服务于$p$客户端，算法可以自由选择。2001年，Charikar等人[SODA'01]提出了一种3-近似法，用于解决具有离群值的$k$ -中心问题。在本文中，我们考虑一个共同的推广的两个扩展以前分别研究，即我们的工作与能力限制的$k$中心与离群值。我们提出了第一常数因子近似算法，即使在非均匀硬容量的情况下，近似比也为25。
2014-01-13 cs.DS
FPT Approximation for Capacitated Sum of Radii
本文研究带容量约束的k个簇半径和最小化问题，提出基于候选点剪枝的FPT近似框架，将均匀容量情形改进为3-近似并推广到任意L_p范数，将一般容量情形改进为(4+√13)-近似，同时在ETH假设下证明了非均匀容量版本的近似下界。
2024-01-12 cs.DS
Probabilistic Analysis of Euclidean Capacitated Vehicle Routing
我们给出了随机环境下的单位需求Euclidean容量限制车辆路径问题的概率分析，其中输入分布由$n$单位需求客户建模为二维平面上独立的，同分布的均匀随机点。目标是使用一组最小总长度的路线访问每个客户，使得每条路线访问最多$k$客户，其中$k$是车辆的容量。以下所有结果都是在随机环境下的，并且几乎必然渐近成立。这个问题最著名的多项式时间近似是迭代巡回分割（ITP）算法，由Haimovich和Rinnooy Kan在1985年提出。他们表明，当$k$是$o(\sqrt{n})$或$ω(\sqrt{n})$时，ITP算法接近最优，他们询问ITP算法在中间范围内是否也有效。在这项工作中，我们表明，当$k=\sqrt{n}$，ITP算法是在最好的$(1+c_0)$ -近似一些正常数$c_0$。另一方面，由于Bompadre、Dror和Orlin的研究，已知ITP算法的逼近比最多为$0.995+α$，其中$α$是旅行推销员问题算法的逼近比。在这项工作中，我们提高了ITP算法的逼近比的上界$0.915+α$。我们的分析是基于一个新的下限的最优成本的度量容量限制的车辆路径问题，这可能是独立的利益。
2021-09-14 cs.DS
On Tight FPT Time Approximation Algorithms for k-Clustering Problems
本文提出了一种针对k-聚类问题的紧FPT时间近似算法，改进了有容量限制和无容量限制下的近似比，并扩展了双标准近似算法。
2025-12-04 cs.DS
A Constant Factor Approximation for Capacitated Min-Max Tree Cover
给定一个图$G=(V,E)$，它具有非负的实边长度和一个整数参数$k$，Min-Max k-树覆盖问题试图找到$G$的一组至多$k$的子树，使得这些树的并集是顶点集$V$。目标是最小化所有树的最大长度。我们给出了这个问题的硬统一的capacitated版本，其中，输入参数$λ$上限的顶点数，可以覆盖的任何树的第一个常数因子近似。我们的结果扩展到有根版本的问题，在这里我们给出了一组$k$根顶点，$R$和每个覆盖树需要包括一个不同的顶点在$R$作为根。在我们的工作之前，已知的唯一结果是当图中的顶点总数为$kλ$时的特殊情况的$(2k-1)$ -近似算法[Guttmann-Beck和Hassin，J. of Algorithms，1997]。我们的技术规避了使用图的最小生成树作为下限的困难，这对于问题的无容量限制版本是标准的[Even et al.，OR Letters 2004] [Khani等人，2010年]。相反，我们使用覆盖$λ$顶点的Steiner树以及迭代细化过程，以确保输出树具有低成本并且顶点在树之间分布良好。
2019-12-12 cs.DS
Clustering What Matters in Constrained Settings
本文提出一个通用框架，将约束k-中位数和k-均值问题的离群点版本归约到无离群点版本，仅损失(1+ε)近似比，并首次给出容量约束和Ulam度量下的FPT近似算法。
2025-04-21 cs.DS
The Power of Uniform Sampling for $k$-Median
本文研究了$k$ -Median在不同度量空间中的均匀采样的幂。我们将近似$k$ -中位数的查询复杂度与数据集的一个关键参数（称为平衡度$β\in (0, 1]$（其中$1$是完全平衡的））相关联。我们表明，任何算法必须使$Ω(1 / β)$查询的点集，以实现$O(1)$ -近似$k$ -中位数。这特别意味着现有的coreset结构，一个流行的数据减少技术，不能查询效率。另一方面，我们证明了一个简单的均匀样本的$\mathrm{poly}(k ε^{-1} β^{-1})$点足够的$(1 + ε)$ -近似$k$ -中位数的各种度量空间，几乎匹配的下限。我们进行了实验，以验证在许多真实的数据集，平衡性参数通常是有界的，均匀采样表现一贯良好，即使在中等大的平衡性的情况下，这证明均匀采样确实是一个可行的方法来解决$k$ -中位数。
2023-02-22 cs.DS
Constant approximation for fault-tolerant median problems via iterative rounding
本文研究了容错拟阵中值和容错背包中值问题。这两个问题推广了许多基本的聚类和设施定位问题，如一致容错$k$ -中位数，一致容错设施定位，拟阵中位数，背包中位数等，我们提出了一个通用的迭代舍入框架，并得到一个统一的常数因子近似算法。
2022-05-10 cs.DS
Coresets for Constrained Clustering: General Assignment Constraints and Improved Size Bounds
该研究针对通用约束聚类问题，提出含容量、分配结构的通用分配约束类，构建对应核心集，显著改进现有规模界，还首次得到多种场景下的小规模ε-核心集。
2024-10-10 cs.CG cs.DS
Parameterized Complexity of Categorical Clustering with Size Constraints
在分类聚类问题中，我们给出一组向量（矩阵）A={a_1，\ldots，a_n}，其中A是有限字母表，整数k和B。任务是将A划分为k个聚类，使得在汉明范数中聚类的中值目标至多为B。也就是说，我们寻找{1，\ldots，n}和向量c_1，\ldots，c_k \in的划分{I_1，\ldots，I_k}，使得\sum_{i=1}^k \sum_{j\in I_i} d_h（c_i，a_j）\leq B，其中d_H（a，b）是向量a和b之间的汉明距离。Fomin，Golovach和Panolan [ICALP 2018]通过给出一个在时间2^{O（B \log B）}（mn）^{O（1）}内解决问题的算法，证明了该问题是固定参数易处理的（对于二进制情况<$={0，1}）。我们将此算法的结果扩展到一个流行的有能力的聚类模型，其中除了集群的大小应该满足一定的约束。更确切地说，在容量限制聚类中，另外，我们给出两个非负整数p和q，并寻求对所有i \in{1,\ldots,k}具有p \leq |I_i| \leq q的聚类。我们的主要定理是容量限制聚类在时间上是可解的2^{O（B \log B）}| Σ| ^B（mn）^{O（1）}.该定理不仅将以前的算法结果扩展到一个更一般的模型，它还意味着算法的其他几个变种的分类聚类的集群大小的约束。
2021-04-16 cs.DM cs.DS
A LP-rounding based algorithm for soft capacitated facility location problem with submodular penalties
针对带次模惩罚且需求整数可分的软容量设施选址问题，提出基于 LP-rounding 的 $(λR+4)$-近似算法，并在统一开放成本下达到近似比 6。
2025-02-17 cs.DS math.CO
Cluster Before You Hallucinate: Approximating Node-Capacitated Network Design and Energy Efficient Routing
本文研究节点容量受限的单/多商品网络设计问题，提出结合聚类等技术的多对数近似算法，并将其应用于节点速率可调的节能虚拟电路路由，给出首个多对数近似解。
2024-03-10 cs.DS
Approximation Algorithms for Capacitated Vehicle Routing Problems: A Comprehensive Survey
Ural Federal University（乌拉尔联邦大学）
本文综述了车辆路径问题近似算法的研究进展，分析了核心算法框架及技术流派，总结了当前最佳近似比及未解决的开放问题。
2026-04-04 cs.DM cs.DS
FPT Constant-Approximations for Capacitated Clustering to Minimize the Sum of Cluster Radii
针对一般度量空间下满足非均匀硬容量约束的最小化簇半径和聚类问题，提出了首个FPT常数因子近似算法，并在均匀容量下显著改进了近似界限。
2024-02-20 cs.CG cs.DS
The Power of Uniform Sampling for Coresets
出于实际推广的经典$k$ -中位数和$k$ -手段的目标，如集群的大小限制，公平聚类，和Wasserstein重心，我们引入了一个元定理设计约束聚类问题的核心集。元定理减少了coreset建设的任务，一个有界数量的环的实例与一个非常宽松的添加剂错误。这种减少使我们能够使用均匀采样来构造核心集，而不是广泛使用的重要性采样，因此我们可以很容易地处理约束目标。值得注意的是，也许令人惊讶的是，这种更简单的采样方案可以产生其大小与$n$（输入点的数量）无关的核心集。我们的技术产生较小的核心集，有时是第一个核心集，大量的约束聚类问题，包括容量限制聚类，公平聚类，欧几里德Wasserstein重心，在未成年人排除图聚类，和多边形聚类下Fréchet和Hausdorff距离。最后，我们的技术也产生较小的coreset的$1$ -中位数在低维欧氏空间，特别是大小$\tilde{O}(\varepsilon^{-1.5})$在$\mathbb{R}^2$和$\tilde{O}(\varepsilon^{-1.6})$在$\mathbb{R}^3$。
2022-09-18 cs.DS
A Polynomial-Time Approximation for Pairwise Fair $k$-Median Clustering
Portland State University（波特兰州立大学）；Ben Gurion University（本古里安大学）；University of Alberta（阿尔伯塔大学）；Toyota Technological Institute at Chicago (TTIC)（芝加哥丰田理工学院）
本文针对多群体成对公平k-中位数聚类问题，提出了首个不违反公平约束的多项式时间O(k²·ℓ·t)近似算法，并证明了即使ℓ=2时该问题也几乎与均匀容量约束k-中位数同样困难。
2025-02-27 cs.AI cs.DS cs.LG
Multiple Knapsack-Constrained Monotone DR-Submodular Maximization on Distributive Lattice --- Continuous Greedy Algorithm on Median Complex ---
考虑分配格上多阶一致背包约束下单调DR-次模函数的极大化问题。由于分配格是用来表示依赖约束，该问题可以表示一个依赖约束版本的子模最大化问题的集合。我们提出了一个$1 - 1/e$近似算法。为了实现这个结果，我们将连续贪心算法推广到分配格：本文选择一个中值复形作为分配格的连续松弛，定义了它的多重线性扩张，证明了中值复形存在一条特殊的曲线，称为一致线性运动，使得DR-次模函数的多重线性扩张沿正的一致线性运动是凹的，这是连续贪心算法的关键属性。
2019-07-09 cs.DS
Optimal Stable Coresets for Geometric Median via Uniform Sampling
Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
本文提出通过均匀采样构造几何中位数问题的稳定核心集，样本大小为 O(ε^{-2} log(1/ε))，并证明该界紧于对数因子，消除了对维度 d 的依赖。
2026-06-29 cs.DS
Minimax Regret 1-Median Problem in Dynamic Path Networks
本文研究了动态路径网络中的极小极大后悔1-中值问题。在我们的模型中，我们给出了一个动态的路径网络组成的无向路径的正边长度，均匀的正边容量，和非负的顶点供应。这里，每个顶点供应是未知的，但只有供应的间隔是已知的。给每个顶点的一个特定的供给分配称为一个场景。给定一个场景s和一个动态路径网络中的汇点位置x，让我们考虑由s在一个顶点上给定的单位供应的疏散时间x。s下的x的成本定义为s给定的所有供应到x的疏散时间之和，s下的中位数定义为使该成本最小化的汇位置。s下的后悔定义为x在s下的成本减去中位数在s下的成本。然后，问题是找到一个水槽的位置，使所有可能的情况下最大的遗憾是最小化。本文提出了一个求解具有均匀容量的动态路径网络中的极小极大后悔1-中值问题的O（n^3）时间算法，其中n是网络中的顶点数.
2015-09-25 cs.DS
New Approximability Results for the Robust k-Median Problem
我们认为一个强大的变种的经典$k$中位数问题，介绍了安东尼等人。\cite{AnthonyGGN10}。在\emph{Robust $k$-Median problem}中，我们给出了一个$n$ -顶点度量空间$(V,d)$和$m$客户集$\set{S_i \subseteq V}_{i=1}^m$ .目标是打开$k$设施的集合$F \subseteq V$，使得所有客户端集合上的最坏情况连接成本最小化;换句话说，最小化$\max_{i} \sum_{v \in S_i} d(F,v)$。安东尼等人给出了一个适用于任何度量和APX-硬度的$O(\log m)$近似算法，即使在均匀度量的情况下也是如此。在本文中，我们证明了他们的算法是近紧的，通过提供$Ω(\log m/ \log \log m)$逼近硬度，除非${\sf NP} \subseteq \bigcap_{δ>0} {\sf DTIME}(2^{n^δ})$。即使对于均匀和线性指标，这种硬度结果也成立。据我们所知，这是一个罕见的情况下，一个问题的线度量是很难近似的对数因子。我们补充的硬度结果不同的apricistics的实验评估表明，非常简单的apricistics实现良好的近似现实类的实例。
2013-09-18 cs.DS
Non-uniform Geometric Set Cover and Scheduling on Multiple Machines
我们考虑下面的一般调度问题最近研究Moseley。存在$n$作业，全部在时间$0$释放，其中作业$j$具有大小$p_j$和其完成时间的相关联的任意非减成本函数$f_j$。目标是找到一个总成本最小的$m$机器的时间表。我们给出了一个$O(1)$近似的问题，改进了以前的$O(\log \log nP)$界（$P$是最大最小尺寸比），并解决了莫斯利的公开问题。首先，我们注意到，调度问题可以减少到一个干净的几何集合覆盖问题，在任意需求的线上的点，必须覆盖的最小成本收集给定的时间间隔与非均匀的容量配置文件。不幸的是，目前的技术，这样的问题的基础上背包覆盖不等式和低联盟的复杂性，完全失去了几何结构中的非均匀容量分布，并招致至少一个$Ω(\log\log P)$损失。为此，我们考虑一般覆盖问题的非均匀容量，并给出了一个新的方法来处理能力的方式，完全保持其几何结构。这允许我们以黑盒的方式使用复杂的几何思想，以避免先前方法中的$Ω(\log \log P)$损失。除了上面的调度问题，我们使用这种方法来获得$O(1)$或逆阿克曼型界的几个基本的容量限制覆盖问题。
2020-07-17 cs.DS
Local search yields approximation schemes for k-means and k-median in Euclidean and minor-free metrics
本文对以下问题给出了第一多项式时间近似方案（PTAS）：（1）边权平面图中的一致设施定位问题;（2）边权平面图中的$k$ -中值和$k$ -均值问题;（3）有界维数欧氏空间中的$k$ -均值问题.我们的第一个和第二个结果扩展到小闭图族。我们所有的结果扩展到成本函数是最短路径距离的$p$次幂。该算法是局部搜索，其中解$S$的局部邻域由通过去除和添加$1/ε^{O(1)}$中心从$S$获得的所有解组成。
2016-04-07 cs.CG cs.DS
LP Rounding for k-Centers with Non-uniform Hard Capacities
在本文中，我们考虑一个推广的经典k-中心问题的能力。我们的目标是在图中选择k个中心，并将每个节点分配给附近的中心，以便我们尊重中心的容量约束。目标是最小化节点到达指定中心所需的最大距离。这个问题是NP难的，即使中心没有容量限制和最佳因子2近似算法是已知的。对于容量，当所有中心具有相同的容量时，已知6近似没有比无限容量版本更好的下限。虽然这个问题的许多概括和变化已被广泛研究，没有取得任何进展的能力版本的一般能力功能。我们发展了第一常数因子近似算法。我们的算法使用LP舍入的方法来解决这个问题，并适用于非均匀的硬容量的情况下，当一个节点的多个副本可能不会被选择，并可以扩展到的情况下，当有一个硬约束的副本的数量可以选择的节点。此外，我们为非均匀（均匀）硬容量建立了完整性差距的下限7（5）。此外，我们证明了，如果有一个（3-eps）-因子逼近这个问题，那么P=NP。最后，对于非均匀的软容量，我们提出了一个简单得多的11-近似算法，我们发现作为一个证据，硬容量更难处理。
2012-08-15 cs.DS
Improved Approximation Algorithms for Matroid and Knapsack Median Problems and Applications
我们考虑{ \em拟阵中位数}问题\cite{KrishnaswamyKNSS11}，其中我们给出了一组设施的开放成本和拟阵上的设施集，和客户端的需求和连接成本，我们试图打开一个独立集的设施和客户端分配到开放设施，以尽量减少设施开放和客户端连接成本的总和。我们给出了一个简单的基于LP-舍入的8-近似算法，它改进了\cite{KrishnaswamyKNSS11}中的16-近似。我们的技术表明，在\cite{KrishnaswamyKNSS11}的舍入算法中所涉及的大部分工作可以通过首先将LP解转换为半积分解来避免，然后可以使用简单的无容量设施位置（UFL）风格的聚类步骤将其舍入为整数解。我们说明了这些想法的力量，得出：（a）一个24-近似算法的拟阵中位数与处罚，这是一个巨大的改进，在\cite{KrishnaswamyKNSS11}中获得的360-近似;和（b）一个8-近似{ \em两个拟阵中位数}的问题，一个推广的拟阵中位数，我们介绍涉及两个拟阵。我们表明，各种看似不同的设施位置的问题，在文献中考虑-数据放置问题，移动设施的位置，$k$ -中值森林，度量统一的最小延迟UFL-实际上减少到拟阵中位数或两个拟阵中位数的问题，从而获得改进的近似保证所有这些问题。我们的技术也产生了改进的背包中位数问题。
2016-09-29 cs.DS
First Approximation for Uniform Lower and Upper Bounded Facility Location Problem avoiding violation in Lower Bounds
随着人们越来越重视电子商务市场平台，我们在卖家和买家之间建立了一个中央平台，因此检查中央商店的可用性和盈利能力变得非常重要。一个商店服务太少的客户可能是无利可图的，一个商店得到太多的订单可能会导致不良服务的客户，这可能是不利的业务。在本文中，我们研究的设施选址问题（FL）的上，下界的客户数量的开放设施服务。常数因子近似是已知的限制变量的问题，只有上限或只有下限。唯一处理两边边界的工作违反了两个边界[8]。在本文中，我们提出了第一（常数因子）近似的问题违反上限的一个因素（5/2），而不违反下限时，下，上界是一致的。我们首先给出了一个三准则（常数因子）近似违反的上限和下限，然后摆脱违反下限通过转换的问题实例的容量限制的设施选址问题的一个实例。
2021-06-25 cs.CC cs.DS
Achieving anonymity via weak lower bound constraints for k-median and k-means
研究了具有下界的$k$ -聚类问题，包括具有下界的$k$ -中值和$k$ -均值聚类问题.除了点集$P$和中心数$k$之外，具有（均匀）下界的$k$聚类问题还得到一个数$B$。解空间被限制为每个簇至少具有$B$点的聚类。我们演示了如何近似$k$ -中位数通过减少到设施的位置与下限，其中$O(1)$ -近似算法是已知的。然后，我们提出了一个新的约束聚类问题的下限，我们允许点被分配多次（不同的中心）。这意味着对于每个点，聚类指定了一组中心，将其分配给这些中心。我们称之为弱下界聚类。我们给出了具有弱下界的$k$ -中值聚类的$(6.5+ε)$ -近似和具有弱下界的$k$ -均值聚类的$O(1)$ -近似.我们的结论是，在近似因子不断增加时，我们可以限制每个点到$2$的赋值次数（或者，如果我们允许分数赋值，到$1+ε$）。这也导致了第一个双判据近似算法的$k$ -意味着（标准）的下限，其中双判据被解释的意义上说，下限被违反了一个常数因子。本文中的所有算法在$n$和$k$（以及考虑的欧几里得变体的$d$）中的多项式时间内运行。
2021-08-17 cs.DS
Efficient approximation schemes for uniform-cost clustering problems in planar graphs
我们考虑$k$ -中位数问题的平面图：给定一个边加权平面图$G$，一组客户端$C \subseteq V(G)$，一组设施$F \subseteq V(G)$，和一个整数参数$k$，任务是找到一组至多$k$设施的开放最小化客户端的总连接成本，其中每个客户端有助于成本与距离最近的开放设施。我们给出了两个新的近似方案：FPT近似方案：对于任何$ε>0$，在时间$2^{O(kε^{-3}\log (kε^{-1}))}\cdot n^{O(1)}$，我们可以计算出一个解决方案，（1）有连接成本最多$(1+ε)$倍的最佳，以高概率。--有效双准则近似方案：对于任何$ε>0$，在时间$2^{O(ε^{-5}\log (ε^{-1}))}\cdot n^{O(1)}$上，我们可以计算一组至多$(1+ε)k$设施（2），其打开产生的连接成本至多是$(1+ε)$乘以打开大多数$k$设施的最佳连接成本，具有高概率。作为第二个结果的直接推论，我们得到了一个EPTAS的均匀设施位置的平面图，具有相同的运行时间。我们的主要技术工具是一个新的建设的“coreset设施”$k$ -中位数在平面图：我们表明，在多项式时间可以计算一个子集的设施$F_0\subseteq F$的大小$k\cdot (\log n/ε)^{O(ε^{-3})}$的保证，有一个$(1+ε)$ -近似的解决方案包含在$F_0$。
2019-05-02 cs.DS
The Robotaxi Placement Problem: Minimizing Expected ETA for Stochastic Demand
Aarhus University（奥胡斯大学）；Google Research（谷歌研究院）
研究提出机器人出租车部署问题，通过理论分析和算法设计，探讨如何在随机需求下优化出租车位置以最小化等待时间，提出近似算法和动态规划方法。
2026-10-03 cs.CC cs.DS
Constant factor approximations for Lower and Upper bounded Clusterings
聚类是机器学习中最基本的问题之一。该领域的研究人员通常需要集群大小的下限以保持匿名性，并且为了便于分析，需要上限。最优簇大小是科学家经常面临的问题。在本文中，我们提出了一个框架，以获得一些突出的聚类目标的常数因子近似，与集群大小的下限和上限。这使得科学家能够通过指定上、下限来给出一个近似的簇大小，我们的结果保持了下界，但可能会稍微违反上界。%{GroverGD21_LBUBFL_Cocoon}到$2$。%，即$k$中心（LUkC）和$k$中位数（LUkM）问题。我们研究了当任一界是一致界时的问题。我们应用我们的框架给LUkM和它的推广，$k$ -设施选址问题（LUkFL），$β+1$因子违反上界$β$是违反上界的解决方案的上限$k$ -中位数和$k$ -设施选址问题的第一个常数因子近似。我们还提出了一个结果LUkC一致上界，其推广，下和（一致）上界$k$供应商问题（LUkS）。该方法还给出了上下界设施选址问题（LUFL）的一个结果，改进了Gupta等人提出的$5/2$的上界违反问题，并在上下界差距不太小的特殊情况下减少了上界违反问题.
2022-03-26 cs.DS
Theory meets Practice at the Median: a worst case comparison of relative error quantile algorithms
估计数据的分布和分位数是数据采掘和数据科学中的一项基本任务。我们研究的算法，提供准确的结果，极端分位数查询使用少量的空间，从而有助于了解输入分布的尾部。也就是说，我们专注于两个最新的国家的最先进的解决方案：$t$ -digest和ReqSketch。虽然$t$ -digest是一种流行的紧凑摘要，在各种设置中都能很好地工作，但ReqSketch具有形式上的准确性保证，其代价是随着新观察的插入而增加。在这项工作中，我们提供了洞察哪些条件使一个比另一个更可取。也就是说，我们将展示如何构建输入$t$摘要，引起几乎任意大的错误，并证明它无法提供准确的结果，即使在i.i.d.。来自高度非均匀分布的样本。我们对ReqSketch提出了实际的改进，使其比$t$ -digest更快，而其错误在任何实例上都保持有界。尽管如此，我们的研究结果证实，$t$ -digest在实践中遇到的“非对抗性”数据上仍然更准确。
2021-06-10 cs.DS stat.CO
Approximation Schemes for Clustering with Outliers
聚类问题在数据科学、运筹学和计算机科学等领域都得到了很好的研究。这些问题包括中心位置问题的变体，$k$ -中位数和$k$ -均值，仅举几例。在某些情况下，并非所有数据点都需要聚类;有些数据点可能会因各种原因而被丢弃。我们研究离群点的聚类问题。更具体地说，我们查看无容量限制设施点位置（UFL）、$k$ -中位数和$k$ -均值。在具有离群值的UFL中，我们必须开放一些中心，丢弃$\cal X$的$z$点，并将每隔一个点分配给最近的开放中心，使总分配成本加上中心开放成本最小化。在$k$ -中位数和$k$ -平均值中，我们必须向$k$中心开放，但没有开放成本。在$k$ -Means中，将$j$分配给$i$的开销为$δ^2(j,i)$。我们提出了几个结果。我们的主要重点是$δ$是一个加倍度量或最短路径度量的图从一个小的封闭的图形家庭的情况下。对于均匀成本UFL与离群值等指标，我们表明，一个简单的多窗口本地搜索启发式产生PTAS。随着更多的工作，我们扩展到双准则近似的$k$ -中位数和$k$ -意味着问题在相同的指标，对于任何恒定的$ε> 0$，我们可以找到一个解决方案，使用$(1+ε)k$中心的成本是最多的$(1+ε)$ -因素的最佳和使用最多$z$离群值。我们还表明，自然的本地搜索算法，不违反$k$ -中位数（或$k$ -手段）的集群和离群值的数量将有无界的差距，即使在欧几里德度量。此外…
2017-07-13 cs.DS
Unconstrained and Constrained Fault-Tolerant Resource Allocation
首先，我们研究了无约束容错资源分配（UFTRA）问题（又名：\cite{shihongftfa}中的FTFA问题）。在该问题中，我们被赋予一组网站配备了一个不受限制的设施作为资源，和一组客户端设置$\mathcal{R}$作为相应的连接要求，其中属于同一网站的每个设施有一个相同的开放（运营）成本和每个客户端设施对有一个连接成本。目标是从各场地分配设施，以最低的总成本满足$\mathcal{R}$的要求。接下来，我们介绍约束容错资源分配（CFTRA）问题。它与UFTRA的不同之处在于，在每个站点$i$处可用的资源的数量受到$R_{i}$的限制。这两个问题是经典的容错设施定位（FTFL）问题\cite{Jain00FTFL}的实际扩展。例如，他们的解决方案提供了最佳的资源分配（w.r.t.企业）和租赁（w.r.t.客户）战略的现代云平台。在本文中，我们考虑度量版本的问题。对于具有均匀$\mathcal{R}$的UFTRA，我们提出了星型贪心算法。该算法结合了与\cite{Charikar051.7281.853,Mahdian021.52}类似的代价缩放和贪婪增强技术，使近似比达到1.5186，显著改善了使用相位-贪心算法的\cite{shihongftfa}的结果。我们还研究了UFTRA的容量限制扩展，并给出了一个因子为2.89。对于具有均匀$\mathcal{R}$的CFTRA，我…
2011-06-12 cs.DS
