New Linear Codes from Matrix-Product Codes with Polynomial Units
本文提出了一种扩展矩阵乘积构造的新线性码构造方法，并给出了几种能改进已知码参数的线性码。
2010-05-12 cs.IT math.IT
Homogeneous Weights of Matrix Product Codes over Finite Principal Ideal Rings
本文研究了有限主理想环上矩阵乘积码的齐次重量，得到了这类矩阵乘积码的最小齐次重量的一个下界。
2013-04-04 cs.IT math.IT
On Decoding of Generalized Concatenated Codes and Matrix-Product Codes
广义级联码是由Zinoviev在20世纪70年代提出的。在文献中有许多类型的代码，它们以其他名称而闻名，可以被视为广义级联码。例子包括矩阵乘积码、多级码和广义级联码。广义级联码的译码算法是在20世纪70年代和80年代发展起来的。然而，它们的使用似乎并不像它应该的那样广泛，特别是对于那些被称为其他名称但可以被视为广义级联码的代码。本文综述了级联码、广义级联码和矩阵乘积码的译码算法，阐明了矩阵乘积码与广义级联码的联系。我们提出了一个小的改进级联码的译码算法。我们还扩展了解码算法，从错误的解码器错误和擦除解码器。此外，我们提高了上界的计算复杂性的解码算法的情况下，矩阵乘积码的生成矩阵的内码是非奇异的列。
2020-04-07 cs.IT math.IT
Quantum Codes from Generalized Reed-Solomon Codes and Matrix-Product Codes
量子纠错的中心任务之一是构造具有良好参数的量子码。本文利用经典的Hermitian自正交广义Reed-Solomon码构造了三类新的量子MDS码。我们还提出了一些类的量子码的矩阵产品的代码。事实证明，我们的许多量子码是新的，因为量子码的参数不能从所有以前的构造中获得。
2015-08-05 cs.IT math.IT
Finding a Generator Matrix of a Multidimensional Cyclic Code
我们推广Sepasdar的方法，找到一个生成矩阵的二维循环码，找到一个独立的子集的一般多循环码，这可能会形成一个基础的代码作为一个向量子空间。然后可以从该基构造生成矩阵。
2019-06-08 cs.IT math.IT
About the generalized Hamming weights of matrix-product codes
本文研究矩阵积码的广义汉明重量，针对嵌套及非嵌套结构建立上下界，并在两个 Reed–Solomon 组成码时给出显式公式。
2025-03-14 cs.IT math.IT
Squares of Matrix-product Codes
两个线性纠错码$C$和$C'$在有限域上的分量积或舒尔积$C*C'$是$C$中的码字与$C'$中的码字的所有分量积所生成的线性码。当$C=C'$时，我们将乘积称为$C$的平方，并将其表示为$C^{*2}$。在密码学领域的线性码的平方的几个应用程序的启发，在本文中，我们研究所谓的矩阵积码，一般的建设，允许获得新的更长的代码从几个“组成”的代码的平方。我们表明，在许多情况下，我们可以将矩阵乘积码的平方与其组成码的平方和乘积联系起来，这使我们能够给出边界，甚至确定其最小距离。我们考虑著名的$(u,u+v)$建设，或Plotkin和（这是一个特殊情况下的矩阵产品代码），并确定哪些参数时，我们可以得到的组成代码是某些循环码。此外，我们使用相同的技术来研究其他矩阵乘积码的平方，例如当定义矩阵是Vandermonde时（其中最小距离相对于矩阵乘积码处于某个最大值）。
2019-10-28 cs.IT math.IT
Equivalence for Rank-metric and Matrix Codes and Automorphism Groups of Gabidulin Codes
对于越来越多的应用，如蜂窝网络、对等网络和传感器网络，通过网络进行有效的无差错数据传输至关重要。为此，Kötter和Kschischang提出使用子空间码在网络编码环境中提供纠错。子空间码的主要构造是秩度量码或矩阵码的提升，这是一个保持底层码的结构和距离属性的过程。因此，为了表征这些子空间码的结构和纠错能力，对底层的秩度量和矩阵码进行这样的表征是有价值的。本文奠定了基础，通过分类秩度量和矩阵码的结构和距离属性的基础上的框架进行分析。为了实现这种分类，我们扩展了Berger关于秩度量码等价性的工作，以定义矩阵码等价性的概念，并描述了保持这种等价性的映射集合的群结构。然后，我们比较了这两种相关类型的代码的等价的概念，并表明矩阵等价是严格更普遍的秩度量等价。最后，我们刻画了一组等价映射，固定的著名类的秩度量码被称为Gabidulin码。特别是，我们给出了一个完整的特征的秩度量自同构群的Gabidulin码，纠正工作Berger，并给出了部分特征的矩阵自同构群的扩展矩阵码，产生于Gabidulin码。
2013-04-01 cs.IT math.IT
The Hulls of Matrix-Product Codes over Commutative Rings and Applications
给定一个有单位元的交换环$R$，一个矩阵$A\in M_{s\times l}(R)$，和一个等长的$R$ -线性码$\mathcal{C}_1, \dots, \mathcal{C}_s$，本文研究了矩阵积码$[\mathcal{C}_1 \dots \mathcal{C}_s]\,A$的壳.因此，它介绍了各种充分条件下，$[\mathcal{C}_1 \dots \mathcal{C}_s]\,A$是一个线性互补对偶（LCD）码。作为应用，考虑了有限链环上扭码的LCD矩阵乘积码。还提供了突出的例子。
2020-06-07 cs.IT math.IT
Grassmannian Codes as Lifts of Matrix Codes Derived as Images of Linear Block Codes over Finite Fields
设$p$是素数，使得$p \equiv 2$或$3$ mod $5$。在赋Bachoc权的素域$GF(p)$上的$2 \times 2$矩阵的非交换矩阵环上的线性分组码被导出为赋Hamming度量的Galois域$GF(p^2)$上的线性分组码的等距像.当被视为秩度量码时，这类矩阵码满足Singleton界，因此是最大秩距离码，然后将其提升以形成一类特殊的子空间码，格拉斯曼码，满足反码界。这些所谓的反码最优格拉斯曼码以某种方式与完全图相关联。给出了这些最大秩距离码和反码最优格拉斯曼码的新例子。
2015-02-14 cs.IT math.IT
On the Error-correcting Capability of Twisted Centralizer Codes Obtained from a Fixed Rank-1 Matrix
本文推广了由固定秩1矩阵得到的扭曲中心化码的纠错能力，证明此类码维数为1、信息率较低，但为最大距离可分码。
2024-11-06 cs.IT math.IT
GASP Codes for Secure Distributed Matrix Multiplication
我们考虑的问题，安全的分布式矩阵乘法（SDMM），其中用户希望计算两个矩阵的产品与诚实的帮助下，但好奇的服务器。我们通过研究一种特殊类型的加法表（我们称之为度表）上的组合问题来构造SDMM的多项式码。这些码基于算术级数，因此被称为GASP（Gap Additive Secure Polynomial）码。GASP码的性能优于所有以前已知的多项式码的安全分布式矩阵乘法的下载速率。
2020-02-11 cs.IT math.IT
Matrix Codes as Ideals for Grassmannian Codes and their Weight Properties
给出了一种构造素域$GF(p)$上矩阵码提升子空间距离的格拉斯曼码的系统方法。矩阵码是$GF(p)$上的$2 \times 2$矩阵的环$M_2(GF(p))$的$GF(p)$ -子空间，在其上应用秩度量，并且由$M_2(GF(p))$的幂等元生成为单侧真主理想。在此基础上，利用等价齐次条件研究了非交换矩阵环$M_2(GF(p))$上的权函数，即$p$的幂函数$q$. $M_2(GF(q))$的秩权分布完全由一般线性群$GL(2,q)$决定。最后，本文用类似的方法定义了子空间码的权函数，并研究了它的平等性。
2015-02-20 cs.IT math.IT
Construction of Zero Cross Correlation Code using a type of Pascal's Triangle Matrix for Spectral Amplitude Coding Optical Code Division Multiple Access networks
本文提出了一种利用Pascal三角形码型构造零互相关码的新方法--Pascal三角矩阵码（PTMC），用于谱幅度编码光码分多址（SAC-OCDMA）系统。该码的优点是码构造简单，码重和用户数选择灵活。数值比较表明，新构造的码在码长上优于现有的光正交码（OOC）、Hadamard码、修正跳频码（MFH）和修正双权码（MDW）等码，并且比其他光频谱码分多址（OSCDMA）码支持更多的用户。
2016-08-13 cs.IT math.IT
Factored LT and Factored Raptor Codes for Large-Scale Distributed Matrix Multiplication
我们提出了两种编码方案的分散矩阵乘法的存在下的离散。这些编码方案是LT码和Raptor码对分布式矩阵乘法的适应，并且被称为\emph{factored LT (FLT) codes}和\emph{factored Raptor (FR) codes}。从经验上讲，我们表明，FLT码有接近最佳的恢复阈值时，工人节点的数量是非常大的，FR码有很好的恢复阈值，而工人节点的数量是适度的大。与乘积码相比，FLT和FR码具有更好的恢复阈值，并且与多项式码相比，预期它们具有更好的数值稳定性，同时它们也可以用低复杂度的解码算法来解码。
2019-07-25 cs.IT math.IT
Decoding of Matrix-Product Codes
我们提出了一个解码算法的$(u\mid u+v)$建设，解码的线性码的最小距离的一半。我们将此算法以两种不同的方式推广到一类矩阵乘积码。在某些情况下，解码可能超出代码的纠错能力。
2013-04-12 cs.IT math.IT
Design of MDP Convolutional Codes and Maximally Recoverable Codes Through the Lens of Matrix Completion
Indian Institute of Science, Bengaluru, India（印度科学研究所）；TU Ilmenau, Germany（伊尔梅瑙工业大学）；Virginia Tech, USA（弗吉尼亚理工大学）；George Mason University, USA（乔治梅森大学）
本文通过矩阵补全框架研究具有最大可恢复性和最大距离谱的卷积码，提出通用构造方法，强调生成矩阵的稀疏性和子域元素特性。
2026-04-23 cs.IT math.IT
Matrix product and quasi-twisted codes in one class
本文扩展矩阵乘积码定义，提出包含准扭码的广义矩阵乘积码类，给出生成矩阵公式和最小距离下界，并构造了既非MP也非QT但具有最佳已知参数的GMP码实例。
2023-09-23 cs.IT math.IT
Matrix-Product Codes over Commutative Rings and Constructions Arising from $(σ,δ)$-Codes
证明了矩阵积码（MPC）的汉明距离的一个著名下界（在有限域和某些特殊的有限交换环上）在任何交换环$R$上都是有效的.一个充分条件，以及，这样的界限是尖锐的。当MPC的输入码都是自由码时，它是自由的，在这种情况下，给出了生成矩阵。如果$R$是有限的，一个充分条件提供了一个MPC的对偶是MPC，这种对偶的生成矩阵，并提出了LCD，自对偶，自正交MPC的特征。最后，本文的结果与作者以前的结果一起被用来构造新的MPC所产生的$(σ, δ)$ -代码。研究了这类结构的一些性质。
2019-10-20 cs.IT math.IT
On Self-Orthogonality and Self-Duality of Matrix-Product Codes over Commutative Rings
设$R$是有单位元的交换环.研究了$R$上的自正交和自对偶矩阵乘积码问题。介绍了构造这种MPC的一些方法和特殊矩阵。还给出了这种码的一个特征（在特殊情况下）.一些具体的例子在整个文件。
2019-10-20 cs.IT math.IT
Generalized Multivariate Polynomial Codes for Distributed Matrix-Matrix Multiplication
本文提出两种支持任意矩阵划分的多元多项式编码方案，用于分布式矩阵-矩阵乘法，在计算时延与通信成本之间取得比单变量方案更优的权衡。
2024-11-22 cs.IT math.IT
Variable Coded Batch Matrix Multiplication
大多数编码矩阵-矩阵计算文献广泛地集中在两个方向：用于计算单个计算任务的矩阵划分和多个不同计算任务的批处理。虽然这些工作提供了良好的离散弹性和快速解码的问题空间的代码，这些代码将无法利用跨批作业重用矩阵的自然冗余。在本文中，我们介绍了可变编码的分布式批处理矩阵乘法（VCDBMM）问题，任务的分布式系统执行批处理矩阵乘法矩阵不一定是不同的批处理作业。部分受交叉子空间对齐码的启发，我们开发了灵活的交叉子空间对齐（FCSA）代码，这些代码足够灵活，可以利用这种冗余。我们提供了一个完整的表征FCSA码，允许各种各样的系统复杂性，包括良好的离散弹性和快速解码。我们从理论上证明，在一定的实际条件下，FCSA代码是在一个因素的2的最佳解决方案，当谈到掉队的弹性。此外，我们的模拟表明，我们的代码在实践中可以实现更好的最优性差距，甚至低至1.7。
2022-01-01 cs.IT math.IT
Matrix-product structure of repeated-root constacyclic codes over finite fields
对任意素数$p$和满足${\rm gcd}(p,n)=1$和$λ_0\in \mathbb{F}_{p^m}^\times$的正整数$m, k, n$，证明了有限域$\mathbb{F}_{p^m}$上任意长度为$p^kn$的$λ_0^{p^k}$ -常循环码单门等价于$\mathbb{F}_{p^m}$上长度为$n$-常循环码的嵌套序列的矩阵积码.
2017-08-29 cs.IT math.IT
Generator polynomials and generator matrix for quasi cyclic codes
准循环码是循环码的一个重要推广。众所周知，有限域$\mathbb{F}$上长度为$s\ell$，索引为$s$的QC码是环$\frac{\mathbb{F}[x,y]}{< x^s-1,y^{\ell}-1 >}$的$\mathbb{F}[y]$ -子模.本文的目的是研究有限域$\mathbb{F}$上长为$s\ell$且指数为$s$的QC码，并求出这类码的生成多项式和生成矩阵.为了实现这一目标，我们采用了一种新的方法来找到生成多项式的$\mathbb{F}[y]$ -子模块的$\frac{\mathbb{F}[x,y]}{< x^s-1,y^{\ell}-1 >}$。这些多项式将被应用于获得相应的QC码的生成矩阵。
2017-04-28 cs.IT math.IT
Three New Infinite Families of Optimal Locally Repairable Codes from Matrix-Product Codes
局部可修码已成为大规模分布式存储系统中的关键技术。本文主要研究了具有$(r,δ)$ -局部性的局部可修码的构造问题，这些局部可修码在Singleton型界内是等价的。我们使用矩阵乘积码提出了两个无限族的$q$元最优$(r,δ)$局部可修码的长度达到$q^2+q$。矩阵乘积码中的成分是线性最大距离可分码或最优局部可修码的小长度。进一步的分析和改进产生的另一个无限族的最佳$(r,δ)$局部可修码的建设。第三类代码的长度是无限的，不能被$(r+δ-1)$整除。本文构造的三类最优$(r,δ)$局部可修码是新的。以前构造的代码在文献中没有涵盖相同的参数集。我们的施工方案非常灵活，因为您可以轻松地改变$r$和$δ$，以获得适合多种场景的特定参数。
2021-09-28 cs.IT math.IT
$ε$-Approximate Coded Matrix Multiplication is Nearly Twice as Efficient as Exact Multiplication
我们从近似恢复的角度研究编码的分布式矩阵乘法。我们考虑一个系统的$P$计算节点，其中每个节点存储$1/m$的每个被乘数通过线性编码。我们的主要结果表明，矩阵积可以恢复与$ε$相对误差从任何$P$节点的$m$为任何$ε> 0$。我们通过仔细专业化的MatDot码-一类矩阵乘法码以前开发的背景下，精确恢复（$ε=0$），得到这个结果。由于先前的结果表明，MatDot代码实现最佳的精确恢复阈值的一类线性编码方案，我们的研究结果表明，允许温和的近似导致系统的效率几乎是精确重建的两倍。作为一个额外的贡献，我们开发了一个优化框架的基础上交替最小化，使新的代码的近似矩阵乘法的发现。
2021-05-05 cs.IT math.IT
Random Khatri-Rao-Product Codes for Numerically-Stable Distributed Matrix Multiplication
我们提出了一类称为随机Khatri-Rao-Product（RKRP）码的分散矩阵乘法存在的掉队。所提出的代码的主要优点是，解码的RKRP码是高度数值稳定的相比，解码的多项式码和解码最近提出的OrthoPoly码。我们证明了RKRP码是概率为1的最大距离可分码。RKRP码的通信开销和编码复杂度与OrthoPoly码和Polynomial码相同，平均译码复杂度低于OrthoPoly码。数值结果表明，RKRP码的重构误差的平均相对$L_2$ -范数明显优于OrthoPoly码.
2019-07-12 cs.IT math.IT
Computing efficiently a parity-check matrix for Zps-additive codes
本文针对 Zps-加性码，提出两种从标准生成矩阵高效计算校验矩阵的方法，并在 Magma 中进行性能比较与时间复杂度分析。
2024-01-10 cs.IT math.IT
The Exponent of a Polarizing Matrix Constructed from the Kronecker Product
极化码在逐次抵消译码下的渐近性能由极化矩阵的指数决定。我们首先证明了由Kronecker积构造的极化矩阵的部分距离可以简单地表示为它的分量矩阵的部分距离的乘积。然后，我们证明了极化矩阵的指数是其分量矩阵的指数的加权和。这些结果可用于设计高指数的大型偏振矩阵。
2011-08-17 cs.IT math.IT
Systematic encoders for generalized Gabidulin codes and the $q$-analogue of Cauchy matrices
我们刻画了广义Gabidulin码的标准形式的生成矩阵。这个矩阵的非系统部分的参数化与广义柯西矩阵的$q$ -类似物一致，从而得到$q$ -柯西矩阵的定义。这些矩阵可以非常方便地表示，它们的表示允许定义新的有趣的广义Gabidulin码的子族，其生成矩阵是一个结构矩阵。特别地，作为应用，我们构造了Gabidulin码，其生成矩阵是单位块和Toeplitz/Hankel矩阵的级联。此外，我们的结果允许给一个新的有效的标准来验证是否一个秩度量码的尺寸$k$和长度$n$是广义Gabidulin码。该准则仅基于一个矩阵的秩的计算和两组元素的线性无关性的验证，并且它需要$\mathcal O(m\cdot F(k,n))$字段操作，其中$F(k,n)$是计算$k \times n$矩阵的缩减行阶梯形式的成本。此外，我们还提供了一般MRD码的标准形式的生成矩阵的特征。
2020-01-28 cs.IT math.IT
A Matrix Completion Approach for the Construction of MDP Convolutional Codes
本文提出一种矩阵补全框架，通过将小域上的结构化超正则矩阵扩展为稀疏滑动生成矩阵，构造部分单位记忆 MDP 卷积码，有效降低了编码复杂度。
2025-07-14 cs.IT math.IT
Successive Cancellation List Decoding of Product Codes with Reed-Muller Component Codes
本文提出了用Reed-Muller（RM）分量码对乘积码进行逐次消去表（SCL）译码. SCL解码依赖于基于$2\times 2$ Hadamard内核的乘积代码描述，这使得能够将代码解释为RM子码。重点是在无线通信系统中考虑的一类产品代码，基于单奇偶校验和扩展汉明码。对于短的产品代码，它表明，SCL解码与一个中等的列表大小执行以及（有时，优于）置信传播（BP）解码。此外，通过将短乘积码与高速率外码级联，SCL解码优于BP解码达$1.4$ dB。
2019-08-27 cs.IT math.IT
New Self-Dual Codes of length 68 from a 2 by 2 block matrix Construction and Group Rings
许多用于构造不同长度的极值二元自对偶码的生成矩阵具有G=（I|其中I是n乘n单位矩阵，A是完全由第一行确定的n乘n矩阵。在这项工作中，我们定义了一个生成矩阵，其中A是一个分块矩阵，其中的块来自群环，并且A不完全由第一行中出现的元素决定。利用我们在F_2+uF_2上的构造和码的扩张方法，我们构造了新的长度为68的极值二元自对偶码。此外，通过对所得码采用广义近邻法，我们构造出了W_{68,2}中具有稀有参数γ = 7，8和9的许多新的二元自对偶[68，34，12]-码.特别地，我们发现了92个新的二元自对偶[68，34，12]-码。
2020-03-09 cs.IT math.IT
Matrix-product structure of constacyclic codes over finite chain rings $\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle$
设$m,e$为正整数，$p$为素数，$\mathbb{F}_{p^m}$为$p^m$元素的有限域，$R=\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^e\rangle$为有限链环.对任意$ω\in R^\times$和满足${\rm gcd}(p,n)=1$的正整数$k, n$，我们证明了任意长度为$p^kn$的$(1+ωu)$ -常循环码在$R$上单等价于长度为$n$的$p^k$循环码嵌套序列和$\mathbb{F}_p$上的$p^k\times p^k$矩阵$A_{p^k}$的矩阵积码.利用矩阵积结构，给出了由$R$上的较短长度的$(1+ωu)$-常循环码迭代构造每个$(1+ωu)$ -常循环码的方法.
2018-03-03 cs.IT math.IT
Linear MSRD codes with Various Matrix Sizes and Unrestricted Lengths
达到Singleton界的秩和度量码称为最大秩和距离（MSRD）。MSRD码已被构造为一些参数的情况下。本文构造了任意域${\bf F}_q$上的线性MSRD码，其中$n_1>n_2>\cdots>n_t$具有不同的矩阵大小，对于任意给定的最小秩和距离，满足$n_i \geq n_{i+1}^2+\cdots+n_t^2$ for $i=1, 2, \ldots, t-1$.
2022-06-14 cs.IT math.IT
Quantum error-correcting codes from matrix-product codes related to quasi-orthogonal and quasi-unitary matrices
有限域上的矩阵积码是由有限域上的一个定义矩阵和若干个公度的较短线性码组合而成的一类重要的长线性码。构造有限域上具有一定自正交性的矩阵乘积码是获得良好的大码长$q$元量子码的有效途径。本文有两个目的：第一是总结了作者及其合作者在[10-12]中关于这一课题的一些结果;第二是补充了关于拟正交矩阵的一些新结果（分别是.准酉矩阵）、欧几里得对偶包含（分别厄米对偶）矩阵乘积码和由这些矩阵乘积码导出的$q$元量子码。
2022-10-30 cs.IT math.IT quant-ph
Constructions of MDS convolutional codes using superregular matrices
最大距离可分卷积码是在一定码率和一定度的卷积码中纠错性能最好的码。本文证明了将多项式矩阵的常系数矩阵作为超正则矩阵的子矩阵，得到了具有一定速率和一定次数的MDS卷积码的列约简生成矩阵。然后，我们提出了两种新的结构，满足这些条件，考虑两种类型的超正则矩阵。
2019-05-29 cs.IT math.IT
Update-Efficient Error-Correcting Product-Matrix Codes
代码再生技术为分布式存储系统中故障节点的数据恢复提供了一种有效的方法。已经表明，再生代码可以被设计为最小化每个节点的存储（称为MSR）或最小化再生的通信开销（称为MBR）。在这项工作中，我们提出了新的编码方案的$[n,d]$纠错MSR和MBR码，推广我们以前的工作纠错再生码。我们表明，通过选择一个合适的对角矩阵，任何生成矩阵的$[n,α]$里德所罗门（RS）码可以集成到编码矩阵。利用$[n,k]$码和$[n,d]$ RS码的生成多项式的系数，提出了一种更新复杂度最小的MBR码编码方案。提出了一种利用$[n,α]$ RS码对MSR码进行数据重构的译码方案。所提出的解码方案具有更好的纠错能力，并招致最少的节点访问时，错误的存在。本文还针对MBR码提出了一种新的译码方案，该方案可以纠正更多的错误模式。
2014-06-25 cs.IT math.IT
Characteristic Matrices and Trellis Reduction for Tail-Biting Convolutional Codes
研究了咬尾卷积码的特征矩阵的基本性质。咬尾卷积码可以被视为线性分组码。由于对应的标量生成矩阵Gt具有一种循环结构，因此相关联的特征矩阵也具有循环结构，由此获得特征矩阵的基本性质。接下来，使用导出的结果，我们讨论了一个给定的咬尾卷积码的网格减少的可能性。在某些情况下，我们可以基于特征矩阵找到与Gt等价的标量生成矩阵Gs。在这种情况下，如果对应于Gs的多项式生成矩阵已经被减少，或者可以通过使用适当的变换来减少，则实现原始咬尾卷积码的网格减少。在许多情况下，对应于Gs的多项式生成矩阵在某列中具有单项式因子，并且通过将列除以因子来减少。注意，该变换对应于向左循环移位相关联的代码子序列（咬尾路径被认为是代码序列）。因此，如果我们允许咬尾路径的部分循环移位，则完成网格缩减。
2017-05-23 cs.IT math.IT
Several new classes of MDS symbol-pair codes derived from matrix-product codes
本文针对高密度数据存储中的对错误，利用阶数为3和4的矩阵乘积码的置换等价码扩展最小符号对距离，导出了四类新的MDS符号对码和一类新的AMDS符号对码。
2025-09-16 cs.IT math.IT
Generalized and Extended Product Codes
广义乘积码是乘积码和综合交织（II）码的统一。应用程序的方法，需要本地和全球奇偶校验。研究了更一般的乘积码的全局奇偶扩充问题，得到了这类码的最小距离的一个上界。给出了具有一个、两个和三个全局奇偶校验且最小距离满足上界的码。最优性和字段大小之间的权衡进行了讨论。
2016-10-24 cs.IT math.IT
Cross Subspace Alignment Codes for Coded Distributed Batch Computation
编码的分布式批处理计算通过编码方案在$S$服务器之间分布计算任务，例如矩阵乘法、$N$ -线性计算或多元多项式求值，使得来自任何$R$服务器的响应（$R$被称为恢复阈值）足以使用户恢复期望的计算值。当前的方法是基于专门的矩阵划分（用于矩阵乘法的纠缠多项式（EP）码）或专门的批处理（拉格朗日编码计算（LCC））。我们提出了三个相关类的代码，基于跨子空间对齐（CSA）的想法，这是最初在私人信息检索的上下文中介绍。CSA码的特征在于Cauchy-Vandermonde矩阵结构，其促进沿着Vandermonde项的干扰对准，而期望的计算沿着Cauchy项保持可解析。这些代码是对现有分布式计算代码的统一、推广和改进。首先，我们介绍CSA码矩阵乘法，产生LCC码作为一个特殊的情况下，并在严格的下载限制设置一般优于LCC码。接下来，我们介绍了广义CSA（GCSA）代码矩阵乘法，矩阵划分和批处理方法的极端桥梁。最后，我们介绍了$N$ -CSA代码的$N$ -线性分布式批处理计算和多元批处理多项式的评价。$N$ -CSA码包括作为特殊情况的LCC码，并且由于交叉子空间对准，CSA码通常能够实现比LCC码显著更低的下载。还获得了$N$ -CSA码的推广，以包括$X$ -安全数据和$B$ -拜占庭服务器。
2019-11-15 cs.IT math.IT
Relative generalized matrix weights of matrix codes for universal security on wire-tap networks
基于线性网络编码的网络安全性已经得到了广泛的研究。然而，用于此目的的先前线性码和码对在比网络上使用的域更大的域上是线性的，这限制了最佳通用安全码的可能分组长度，不允许应用已知的列表可解码的秩度量码，并且需要在大的域上执行操作。在这项工作中，我们引入了新的参数（相对广义矩阵权重和相对维数/秩支持配置文件）的代码对，在网络中使用的字段是线性的，并表明他们衡量这些代码对的通用安全性能。对于单码和非方阵，广义矩阵权与已有的Delsarte广义权一致，从而证明了后者与安全网络编码之间的联系。作为主要应用，建议的新参数使我们能够：1）对于所有可能的分组长度，特别是对于之前未考虑的分组长度，在无噪声网络上获得最佳通用安全线性码，2）基于Guruswami等人的最近构造，获得具有多项式大小的列表的第一通用安全列表可解码的秩度量码对，3）得到了线性码安全等价的新刻画。最后，我们表明，我们的参数扩展相对广义汉明重量和相对尺寸/长度配置文件，分别和相对广义秩重量和相对尺寸/交叉配置文件，分别。
2017-08-25 cs.IT math.IT
Practical Product Code Construction of Polar Codes
本文研究了极化码和乘积码之间的联系。我们的分析表明，两个极化码的乘积再次是极化码，并且我们提供了基于分量极化码的冻结集来计算其冻结集的指导方针。此外，我们还展示了如何将极化码描述为不规则乘积码。我们提出了一种用于长极化码的两步解码器，利用这种双重性质来大大减少解码延迟。最后，我们表明，所提出的解码技术优于标准的极化码和国家的最先进的代码的光通信下的延迟约束。
2019-10-14 cs.IT math.IT
Construction and Decoding of Product Codes with Non-Systematic Polar Codes
乘积码由于其高吞吐量和良好的纠错性能而广泛应用于光通信中。系统极性码最近被认为是产品代码的组件代码。本文在非系统极化码的基础上，提出了一种新的乘积极化码的构造方法。我们证明了所得乘积码实际上是极化码，具有依赖于分量极化码的冻结集的冻结集。我们提出了一个低复杂度的解码算法，利用构造的代码的双重性质。性能分析和仿真表明，高解码速度，允许构造长码，同时保持低解码延迟。所得到的高吞吐量和良好的纠错性能对于光通信系统和需要高吞吐量和低延迟的其他系统是有吸引力的。
2019-01-21 cs.IT math.IT
Matrix-Product Constructions for Hermitian Self-Orthogonal Codes
自正交码由于其丰富的代数结构和广泛的应用而受到人们的关注。欧几里德自正交码在文献中已经得到了很好的研究。在这里，我们专注于Hermitian自正交码。基于线性码的矩阵积构造，已经给出了这种码的构造。已经确定了此类构造中所需的底层矩阵和输入代码的标准。在许多情况下，输入码的厄米特自正交性和基础矩阵是酉的假设可以放松。给出了一些特殊的矩阵，并给出了一些好的厄米特自正交码的构造实例。
2017-10-13 cs.IT math.IT math.RA
Convolutional codes from units in matrix and group rings
本文给出了一种由矩阵环上Laurent级数的单位构造卷积码的一般方法。使用群环作为矩阵环，这形成了从群环编码深入探索卷积码的基础，其中群环中的环本身是群环。该方法被用来代数地构造卷积码系列。代数方法用于计算自由距离和构造规定距离的卷积码。
2007-11-22 cs.IT math.IT math.RA
Sparse Random Khatri-Rao Product Codes for Distributed Matrix Multiplication
我们介绍了两个推广的范例，使用随机Khatri-Rao产品（RKRP）代码的分布式矩阵乘法。本文首先介绍了一类具有稀疏生成矩阵的稀疏随机Khatri-Rao乘积码。当输入矩阵稀疏时，SRKRP码比RKRP码具有更低的编码、计算和通信成本，同时它们表现出与其他现有技术方案相似的数值稳定性。我们实证研究的概率之间的关系的生成矩阵（仅限于一组非离散）的随机选择的SRKRP码是秩亏和各种参数的编码方案，包括稀疏度的生成矩阵和非离散的数量。其次，我们表明，如果主节点可以执行一个非常小的数量的矩阵产品的计算，除了由工人进行的计算，故障概率可以大大提高。
2022-05-12 cs.DC cs.IT math.IT
A survey on product codes and 2-D codes
组合代码以形成新代码的最简单方法之一是取它们的直积。循环码的直积及其各种推广已经研究了很多年。本文综述了循环积码、各种循环码推广的直积及其性质。
2021-12-31 cs.IT math.AG math.IT
On the Optimal Recovery Threshold of Coded Matrix Multiplication
我们为分布式矩阵-矩阵乘积提供了新的编码计算策略，其在恢复阈值方面优于最近的“多项式码”构造，即，成功工人的数量。当每个矩阵的第$m$个部分可以存储在每个工作节点中时，多项式代码需要$m^2$成功的工作者，而我们的MatDot代码只需要$2m-1$成功的工作者，尽管从每个工作者到融合节点的通信成本更高。我们还提供了一个系统的MatDot码的建设。此外，我们提出了“PolyDot”编码，插值多项式代码和MatDot代码之间的权衡通信成本和恢复阈值。最后，我们展示了一个编码技术乘以$n$矩阵（$n \geq 3$）应用MatDot和PolyDot编码的想法。
2018-05-16 cs.DC cs.IT math.IT
On the weight distribution of convolutional codes
关于卷积码的权重分布的详细信息由与码的控制器标准形式相关联的状态图的邻接矩阵给出。我们将证明这个矩阵是代码的不变量。此外，它将被证明，具有相同的邻接矩阵的代码具有相同的尺寸和相同的Forney指数，最后，对于一维二进制卷积码的邻接矩阵确定的代码唯一的单项式等价。
2005-01-10 cs.IT math.IT math.OC
A Matrix Ring Description for Cyclic Convolutional Codes
本文研究了具有特定循环结构的卷积码。根据定义，这些码是某个斜多项式环中的左理想。利用斜多项式环与矩阵环同构的性质，我们可以更方便地描述码的代数参数。我们表明，存在这样的代码与给定的代数参数可以减少到一个修改的车问题的可解性。我们坚信车问题总是可以解决的，并且我们在特定情况下提出解决方案。
2007-08-09 cs.IT math.IT math.RA
Typical Performance of Irregular Low-Density Generator-Matrix Codes for Lossy Compression
我们评估的典型性能的不规则低密度生成矩阵（LDGM）码，这是由稀疏矩阵定义的任意不规则比特度分布和任意检查度分布，用于有损压缩。我们应用一步复本对称性破缺（1 RSB）下的副本方法来解决这个问题。
2009-02-16 cond-mat.dis-nn cs.IT math.IT
Low-Rank Matrix Recovery using Gabidulin Codes in Characteristic Zero
University of Ulm（乌尔姆大学）
提出了一种基于Gabidulin码的低秩矩阵恢复新方法。由于LRMR的大多数应用处理无限域上的矩阵，我们使用最近推出的推广Gabidulin码的特征零的字段。我们表明，LRMR可以减少到Gabidulin码的解码，并讨论哪些字段扩展可以用于代码的建设。
2016-09-15 cs.CV cs.IT math.IT
