A note on the dimension of the singular set in free interface problems
Guido De Philippis, Alessio Figalli
本文的目的是研究一般自由界面问题的奇异集的大小。我们显示的奇异集的孔隙度，作为推论，它的Hausdorff和Minkowski尺寸严格小于$n-1$。
The aim of this note is to investigate the size of the singular set of a general class of free interface problems. We show porosity of the singular set, obtaining as a corollary that both its Hausdorff and Minkowski dimensions are strictly smaller than $n-1$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A note on the singular set of the no-sign obstacle problem
本文证明了无符号障碍问题$Δu=χ_{_{B_1\backslash \{u=|Du|=0\}}}\ \text{in}\ B_1,$在奇点处爆破的唯一性，从而肯定地回答了\cite [第7章注释]{PSU 12}中提出的一个问题.
Notes on Overdetermined Singular Problems
本文研究有界区域中奇异解的超定边值问题，并获得了若干刚性结果。
A note on local asymptotics of solutions to singular elliptic equations via monotonicity methods
本文利用Almgren型单调性公式，完善和部分改进了文献[arXiv：0809.5002]中关于带奇异系数的线性和非线性椭圆型方程解的渐近性的一些结果
Uniform Lipschitz regularity of flat segregated interfaces in a singularly perturbed problem
对于奇异摄动系统\[Δu_{i,β}=βu_{i,β}\sum_{j\neq i}u_{j,β}^2, \quad 1\leq i\leq N,\]，我们证明了平坦界面是一致Lipschitz的。作为证明的副产品，我们还获得了平坦界面附近的最佳下界，\[\sum_iu_{i,β}\geq cβ^{-1/4}.\]
A note on compactness properties of the singular Toda system
本文考虑SU（3）Toda系统解在紧致曲面上的爆破问题。特别地，我们给出了Jost，Lin和Wang所述的紧性结果的完整证明，并将其推广到奇点的情况。这是通过变分方法求解的必要工具。
A note on fractional $p$-Laplacian problems with singular weights
研究了一类权在区域边界上可能奇异的分数阶$p$ -Laplacian问题.我们提供存在性和多重性的结果，以及临界群的特征和相关应用。
Edge State Propagation Near Multiple and Singular Interfaces
研究二维狄拉克算子边缘态半经典传播，针对质量零集构成的不相交界面和奇异界面，分别证明波包局限情况、量化距离影响，确定波包近似有效区域及估计失去一致性的尺度。
A note on continuity of strongly singular Calderón-Zygmund operators in Hardy-Morrey spaces
本文讨论了Hardy-Morrey空间$\mathcal{HM}_{q}^λ(\mathbb{R}^n)$上强奇异Calderón-Zygmund算子的连续性，并在相应的核上给出了较弱的积分条件.属于这个范围的重要例子是Hörmander类$OpS^{m}_{σ,μ}(\mathbb{R}^n)$上的伪微分算子，其中包括$0<σ\leq 1$、$0 \leq μ<1$、$μ\leq σ$和$m\leq -n(1-σ)/2$。
A note on the existence of a unique positive entropy solution to a fractional Laplacian with singular nonlinearities
本文证明了带非线性奇异项及非负有界 Radon 测度源项的分数阶 Laplacian 问题存在唯一的正熵解。
On the singular set of free interface in an optimal partition problem
研究了Dirichlet特征值最优分割问题中自由界面的奇异集。我们证明了它的上$(n-2)$维Minkowski容度，进而证明了它的$(n-2)$维Hausdorff测度是局部有限的.我们还证明了奇异集是可数$(n-2)$-可求正的，即它可以被可数多个$(n-2)$维的$C^1$-流形覆盖，直到一个$(n-2)$维Hausdorff测度为零的集合.我们的结果也适用于黎曼流形上的最优剖分和到齐次树上的调和映射。
A singular perturbation limit of diffused interface energy with a fixed contact angle condition
研究了定义在区域$Ω\subset \mathbb{R}^n$上的具有固定接触角条件的扩散界面能临界点的一般渐近行为。我们证明了在一组假设下，由扩散能导出的极限变分在边界上满足广义接触角条件。
Notes on the nonlinear dependence of a multiscale coupled system with respect to the interface
本文研究了多尺度耦合达西流系统直接变分方程解对界面几何扰动的依赖性。给出了一组容许扰动函数和一种收敛性，以及关于强迫项的充分条件，以得出强收敛性结论。对于解决方案的收敛速率，我们开始完全解决一维的情况下使用正交分解适当的子空间。最后，在一个简单的多维情形下，研究了几何扰动引入的非线性算子，分析了收敛速度收敛速率问题。
A note on the semiclassical measure at singular points of the boundary of the Bunimovich stadium
本文澄清了Hassell利用非滑行点概念证明Bunimovich体育场存在赋予弹球轨迹正质量的半经典测量的论证，指出该概念仅适用于$C^2$-边界并予以说明。
A note on local $W^{1,p}$-regularity estimates for weak solutions of parabolic equations with singular divergence-free drifts
研究了具有奇异无散度漂移的非齐次抛物型方程弱解的加权Sobolev正则性。在漂移满足一定的正则性条件下，建立了弱解梯度的局部加权$L^p$ -估计。我们的结果改进了经典的边界情况下取代$L^\infty$ -假设的解决方案的解决方案在John-Nirenberg \textup{BMO}空间。所得结果也推广到具有小振荡椭圆对称系数的散度型抛物型方程，从而改进了许多已知结果。
Piecewise-analytic interfaces with weakly singular points of arbitrary order always scatter
证明了边界含有任意阶弱奇点的非均匀介质对入射波的散射。类似地，在边界上具有弱奇点的紧支源项总是辐射声波。这些结果意味着，在一个域，这不是$C^\infty$ -光滑的非散射能量和非辐射源的情况下。对于源和介质的逆散射问题，得到了具有单一远场方向图的局部唯一性结果。我们的论点提供了一个充分条件的表面下，解决方案的亥姆霍兹方程承认没有分析的延续。
Note on elliptic equations on closed manifolds with singular nonlinearities
本文研究了闭黎曼流形上具奇异非线性项的一般椭圆方程，利用变分方法证明了在一般假设下非平凡解的存在性。
The singular limit of a haptotaxis model with bistable growth
考虑一类具有双稳态增长的趋触性模型，研究了它的奇异极限。这就产生了一个界面运动，界面的法向速度取决于中曲率和一些非局部趋触性项。在建立了界面在短时间内产生的一个结果后，我们对一般的初始数据证明了这一结果。
On the splash singularity for the free-surface of a Navier-Stokes fluid
在流体动力学中，当一个局部光滑的界面在有限时间内自相交时，会出现界面飞溅奇点。我们证明了对于$d$维流动，$d=2$或$3$，粘性水波的自由表面，由不可压缩的Navier-Stokes方程斯托克斯方程与移动的自由边界，有一个有限时间飞溅奇异性。特别地，我们证明了，给定一个足够光滑的初始边界和无发散的速度场，界面将在有限时间内自相交。
A Note on Sharpened Singular Adams-Type Inequalities
建立带奇异权重的尖锐Adams型不等式，证明改进的奇异集中紧致原理，并应用于含奇异指数增长的非齐次拟线性椭圆方程非平凡解的存在性。
A note on the hausdorff dimension of the singular set for minimizers of the mumford-shah energy
本文给出了Ambrosio，Fusco和Hutchinson关于Mumford-Shah能量的奇异极小集的豪斯多夫维数估计的一个结果（见[2，定理5.6]）的一个更初等的证明.一方面，我们遵循上述论文的策略;但另一方面，我们的分析大大简化了论证，因为它依赖于前两位作者在[4，定理13]中证明的关于梯度能量为零的局部极小序列的紧性结果，以及最小Caccioppoli划分的正则性理论，而不是Almgren面积极小集的相应结果。
A note on the Hausdorff dimension of the singular set of solutions to elasticity type systems
证明了在$n\geq 3$维{具有$p$ -增长，$p>1$，}的非线性框架中极小元对弹性型能量的部分正则性.这是一个开放的问题，在这样的设置，无论是建立充分的规律性或提供反例。特别地，我们证明了潜在奇异集的豪斯多夫维数严格小于{ $n-(p^*\wedge 2)$，在自治情况下实际上是$n-2$}（全正则性在维数$2$中是众所周知的）.后者的结果是有助于建立存在的格里菲斯型模型在脆性断裂与非线性本构关系，占空间维度的损伤和塑性$2$和$3$的强制定。
Structure of the free interfaces near triple junction singularities in harmonic maps and optimal partition problems
研究谐映射到树的能量最小化问题，证明三交点附近自由界面的正则性，展示其由三个C^{1,α}光滑的(d-1)维流形组成，以120度角交汇。
Note on stability of an abstract coupled hyperbolic-parabolic system: singular case
在本文中，我们试图完成一个抽象的耦合双曲和抛物型方程组$$ \left\{ \begin{array}{lll} \ds u_{tt} + Au - A^αw = 0, \\ w_t + A^αu_t + A^βw = 0,\\ u(0) = u_0, u_t(0) = u_1, w(0) = w_0, \end{array} \right. $$的稳定性分析，其中$A$是一个自伴，正定算子在复希尔伯特空间$H$，和$(α, β) \in [0,1] \times [0,1]$，这是考虑在\cite{Amk}，以及之后，在\cite{liu1}。我们的贡献是确定一个精细尺度的多项式稳定的解决方案在区域$ S_3: = \left\{(α,β) \in [0,1] \times [0,1]; \, β< 2α-1 \right\}$考虑到存在一个奇点在零。
A note on optimal regularity and regularizing effects of point mass coupling for a heat-wave system
我们考虑一个耦合的$1D$热波系统，作为一个简化的流体-结构相互作用问题。系统以两种不同的方式耦合：第一种，当界面没有质量时，第二种，当界面有质量时。我们证明了这两种情况下索伯列夫空间中的最优正则性结果。证明的主要思想是通过使用Neummann-Diriclet算子将耦合问题转化为界面上的单个非局部方程。此外，我们表明，点质量耦合正则化的问题，并量化这种正则化的意义上的索伯列夫空间。
Singular Limits of Porous Media Equations with Bistable Reactions
本文研究具有平衡双稳态反应和一般非线性边界条件的多孔介质方程，在反应远强于扩散时用匹配渐近展开推导出界面按平均曲率流演化，并揭示接触边界处边界条件退化为 Robin 型。
Finite time singularity formation for moving interface Euler equations
本文提出了一种新的一般方法，用于求解平面内不可压Euler方程的运动界面问题的有限时间奇异性。第一个问题考虑的是两相欧拉涡面问题的表面张力，证明了有限时间奇异性的问题的自然范数适当的初始数据。这与[4]中介绍的单相欧拉方程的有限时间飞溅和飞溅奇点形成的情况形成鲜明对比，并在[8]中在更一般的背景下进行了研究，其中自然范数（在单相流体中）一直保持有限直到接触。考虑的第二个问题涉及存在一个较重的刚体在理想流体中运动。我们首先确定刚体将在有限时间内撞击流体域的底部（在更一般的背景下，并且与[19]中首次解决该问题的方法非常不同）。接下来，我们建立了表面能爆炸，并根据接触区的性质来描述接触时刚体的加速度：加速度与接触时的运动相反，如果接触区包含曲线，则加速度是正有限的，否则是无限的。
A note on quasilinear Schrödinger equations with singular or vanishing radial potentials
本文完成了以前的研究，得到了具有奇异或零连续径向势$V(r)$，$K(r)$的拟线性椭圆方程\begin{equation*} -Δw+ V\left( \left| x\right| \right) w - w \left( Δw^2 \right)= K(|x|) g(w) \quad \text{in }\mathbb{R}^{N}, \end{equation*}解的存在性结果.在我们以前的研究中，由于技术原因，我们假设$K(r)$作为$r \rightarrow 0$消失，而在本文中，我们消除了这一障碍。面对这个问题，我们应用一个适当的变化的变量$w=f(u)$，我们发现非负解的存在性，通过应用变分方法。我们的解满足上述方程的弱公式，但它们实际上是$\mathbb{R}^{N} \setminus \{0\}$中的经典解。非线性$g$具有双幂行为，其标准示例是$g(t) = \min \{ t^{q_1 -1}, t^{q_2 -1} \}$（$t>0$），恢复了当$q_1 = q_2$时的单幂行为的通常情况。
Weakly singular corners always scatter
假设一个有界散射体被嵌入到一个无限大的二维均匀各向同性背景介质中。假设折射率函数是分段常数。当散射界面存在弱或强奇点时，我们证明了散射场不可能恒为零。这特别导致了具有弱奇点的分段解析界面的非散射能量的缺失。本文给出了单个远场方向图逆散射形状识别问题的局部唯一性。
A note on well-posedness of semilinear reaction-diffusion problem with singular initial data
讨论了具有Dirichlet边界条件的标量反应扩散方程$u_{t}=Δu+f(u)$的适定性条件，其中初值是无界的.标准生长条件与保证相关ODE $\dot u=f(u)$的全局解的无爆破条件$\int_{1}^{\infty}1/f(s) \d s=\infty$并列。我们研究了玩具PDE $u_{t}=f(u)$在$L^{p}$中的适定性。给出了一个源项$f$和初始条件$ψ\in L^{2}(0,1)$的例子，使得当反应扩散方程在$L^{2}(0,1)$中整体适定时，$\int_{1}^{\infty}1/f(s)\d s=\infty$和玩具PDE瞬间爆破.
A note on doubly nonlinear SPDEs with singular drift in divergence form
我们证明了一类二阶SPDE的适定性与乘性维纳噪声和双非线性漂移的散度型涉及极大单调图定义无处不在，既没有增长也没有连续性的假设。
Sharp interface limit of stochastic Cahn-Hilliard equation with singular noise
本文研究了在时空白噪声和保守噪声驱动下二维随机Cahn-Hilliard方程与$\varepsilon$相关的锐界面极限为$\varepsilon\to 0$ .在噪声足够小的情况下，通过比较方程（1.1）的解与文献[ABC 94]中构造的近似解，我们证明了解的极限也是确定性Hele-Shaw问题的解。
A note on weak existence for singular SDEs
本文利用部分 Zvonkin 变换推广 Krylov 关于奇异 SDE 弱存在性的结果，使其适用于无穷远增长或一致局部 Lebesgue 空间中的漂移项。
Balance Laws and Transport Theorems for Flows with Singular Interfaces
本文严格描述了被奇异曲面分割的物质控制体积，统一总结了几何背景，并给出了用于一般平衡定律的输运定理及证明，详细阐述了从积分平衡到微分方程的推导步骤。
Interface fluctuations for $1$D stochastic Allen-Cahn equation -- singular regime
本文研究受半阶时空白噪声扰动的一维随机 Allen-Cahn 方程，证明在噪声足够小时界面位置仍按近似扩散过程演化，并发现噪声奇异项与重整化项产生的两个无穷大量相互抵消，使界面 SDE 在极限下成立。
Notes on a slice distance for singular Lp-bundles
在与Tristan Rivière合作的前一篇文章中，引入了3维弱交换Lp-丛类的切片距离，其中它被用来证明这类丛的弱Lp-收敛闭包。我们在这里进一步研究这个距离，并证明它的更多性质，例如我们证明它在切片上是Hölder连续的。使用相同的距离，我们在这里给出了一个边界迹的概念，给出了一个合适的设置弱丛上的极小化问题。然后，我们陈述一些假设和一些开放性问题。
Lecture notes on the flow equation approach to singular stochastic PDEs
本文介绍流方程方法，一种适用于整个亚临界区域中包括分数阶拉普拉斯算子在内的广泛奇异随机偏微分方程的鲁棒框架，通过粗粒化过程和流方程边界条件归纳解决重整化问题。
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