The set of dimensions for which there are no linear perfect 2-error-correcting Lee codes has positive density
Golomb-Welch猜想指出，无论$n\geq 3$和$e\geq 2$，在$\mathbb{Z}^n$中不存在完美的$e$ -纠错Lee码（$PL(n,e)$ -码）。这个猜想的一个特例是当$e=2$。在A. Campello，S. Costa和本文作者的方法，证明了没有线性$PL(n,2)$ -码的维数为$n\geq 3$的集合$\mathcal{N}$是无限的，并且是$\#\{n \in \mathcal{N}: n\leq x\} \geq \frac{x}{3\ln(x)/2} (1+o(1))$ .在本文中，我们提出了一个简单的和基本的参数，它允许改善上述结果$\#\{n \in \mathcal{N}: n\leq x\} \geq \frac{4x}{25} (1+o(1))$。特别地，这意味着集合$\mathcal{N}$在$\mathbb{Z}^+$中具有正（较低）密度。
2018-04-24 cs.IT math.IT
Codes correcting restricted errors
本文研究了$(B-1)$维线性码的最大可能长度$B$，它能纠正来自受限集$\mathcal{A}\subseteq \mathbb{F}_q^*$的最多达$t$的错误.这样的代码可以应用于多级闪存。此外，在$q=p$是一个素数的情况下，错误是有限的一个常数，我们表明，往往是原始的$\ell$ th根的单位，其中$\ell$是一个素因子的$p-1$，定义良好的这样的代码。
2018-11-08 cs.IT math.IT math.NT
On Function-Correcting Lee Metric Codes with Data Protection
Indian Institute of Science（印度科学学院）；Indian Institute of Technology (ISM) Dhanbad（印度技术学院（ISMT）丹巴德分校）
该研究在$\boldsymbol{\text{Z}}_m$上提出带数据保护的函数纠错李度量码，其函数值纠错保护级别高于数据，推导了冗余度界并验证结果在$\boldsymbol{\text{Z}}_2$汉明度量下有效。
2026-10-09 cs.IT math.IT
On the Number of $t$-Lee-Error-Correcting Codes
本文研究剩余环上 $t$-Lee-纠错码的计数问题，通过二分图孤立节点估计与图容器方法，确定码数量的上下界，证实并扩展了线性与非线性 Lee 度量码的密度结果。
2023-05-09 cs.DM cs.DS cs.IT
On Function-Correcting Codes in the Lee Metric
Indian Institute of Science（印度科学学院）；Indian Institute of Technology (ISM) Dhanbad（印度技术学院（ISMD）丹巴德）
本文研究了Lee度量下函数纠正码的最优冗余问题，提出了不规则Lee距离码并推导了新的界限，同时扩展了之前在Z_4上的结果到更一般的Z_m设置。
2026-09-28 cs.DM cs.IR cs.IT
The Tight Upper Bound for the Size of Single Deletion Error Correcting Codes in Dimension 11
针对单删除纠错码大小上界是否等于VT码大小的问题，本文利用带线性约束的整数线性规划求解器进行计算，证明维度11时紧上界为172。
2023-09-26 cs.IT math.IT
Systematic Codes for Rank Modulation
本文的目的是构造系统的纠错码的排列和多排列在肯德尔的$τ$ -度量。这些代码在诸如用于闪存的等级调制的新应用中是重要的。该构造基于用于多排列的纠错码和将排列集合划分为纠错码。对于给定的足够大数目的信息符号$k$，并且对于任何整数$t$，我们提出了一种用于${(k+r,k)}$系统$t$纠错码的构造，用于来自$S_{k+r}$的置换，具有比已知构造的码中的冗余符号的数目更少的冗余符号。特别地，对于给定的$t$和足够大的$k$，我们可以得到$r=t+1$。同样的构造也被应用于获得多排列的相关系统纠错码。
2014-04-20 cs.IT math.IT
Non-asymptotic Upper Bounds for Deletion Correcting Codes
给出了多重删除纠错码长度的显式非渐近上界。特别地，对于$q$ -ary字母表和字符串长度$n$的最大单删除校正码被示出为最多为$\frac{q^n-q}{(q-1)(n-1)}$的大小。作为推论，得到了渐近速率函数的一个改进界。上限也来自一个受约束的源，不一定包括所有字符串的特定长度的代码的大小，并证明了这个想法是由应用程序的运行长度有限的字符串集。将寻找最大删除纠正码的问题建模为超图上的匹配问题。这个问题被公式化为一个整数线性规划。通过构造该整数线性规划的线性规划松弛对偶的可行点，得到了上界。导出的非渐近界隐含已知的Levenshtein和Tenengolts的渐近界和改进已知的非渐近界。数值结果支持了在二进制情况下Varshamov-Tenengolts码是最大的单删除纠错码的猜想。
2012-11-13 cs.IT math.CO math.IT
Quantum Synchronizable Codes From Cyclotomic Classes of Order Two over $\mathbb{Z}_{2q}$
量子同步码是一种既能纠正量子噪声对量子比特的影响又能纠正块同步中的失准的量子纠错码。利用$\mathbb{Z}_{2q}$上的二阶分圆类构造了两类量子同步码，在一定条件下，它们的同步能力达到上界.此外，量子同步码对比特错误和相位错误具有良好的纠错能力。
2021-07-07 cs.CR cs.IT math.IT
Asymmetric Single Magnitude Four Error Correcting Codes
有限幅值非对称误差模型非常适合于闪存。本文研究了$\mathbb{Z}_{2^{k}r}$上基于$B_{1}[4](2^{k}r)$集的非对称单错纠错码的构造。事实上，我们减少了一个最大的$B_{1}[4](2^{k}r)$集的$k\geq3$的最大尺寸$B_{1}[4](2^{k}r)$集的建设，以建设一个最大的尺寸$B_{1}[4](2^{k-3}r)$集。最后给出了最大尺寸$B_{1}[4](4r)$集的一个显式公式和最大尺寸$B_{1}[4](2r)$集的一些下界.通过计算机搜索到$q\leq106$，我们推测这些下界是紧的。
2019-03-04 cs.IT math.IT
QEC and EAQEC Codes from Hermitian Sums and Hulls of Cyclic Codes over $\mathbb{F}_2 \times (\mathbb{F}_2+v\mathbb{F}_2)$
Istanbul Bilgi University（伊斯坦布尔比尔基大学）；Yildiz Technical University（伊斯坦布尔耶尔迪兹理工大学）
本文通过确定环 $\mathbb{F}_2 imes (\mathbb{F}_2+v\mathbb{F}_2)$ 上循环码的 Hermitian 核与 Hermitian 和的生成多项式，利用量子构造 X 的 Hermitian 对偶版本构造量子纠错码，并基于该环上的线性互补对偶码通过矩阵乘积码方法导出纠缠辅助量子纠错码族。
2026-06-01 cs.IT math.IT
Generalized Samorodnitsky noisy function inequalities, with applications to error-correcting codes
本文将 Samorodnitsky 噪声函数不等式推广至任意乘积概率分布下的实值函数，确定了任意实数 $q$、$ρ$ 和分布 $μ$ 下的最优参数 $λ$，并据此证明了任意有限字母表线性码的译码错误概率跨信道传递结论。
2025-08-09 cs.IT math.IT
On the Construction of New Toric Quantum Codes and Quantum Burst-Error Correcting Codes
提出了一种复曲面量子纠错码的构造方法。通过在正方形格点$\mathbb{Z}_{q}\times \mathbb{Z}_{q}$上对所有奇数$q\geq 5$构造一个经典的循环码，给出了一类新的无限复曲面量子码族，从而在这种正方形格点上构造了新的复曲面量子码，而不管$q$是否可以表示为两个平方之和.此外，这项工作为每个$q$提供了细分相应正方形晶格的polyomino形状，从而平铺晶格$\mathbb{Z}^{2}$。由于$\mathbb{Z}^{2}$ -格是自对偶的，所以对于这些构造的复曲面量子码，要考虑的没有记忆的信道是对称的。此外，我们提出了一种量子交织技术，利用所构造的复曲面量子码，这表明交织复曲面量子码的码率和编码增益优于Kitaev的复曲面量子码的码率和编码增益的$q=2n+1$，其中$n\geq 2$，和一个无限类的Bombin和Martin-Delgado的复曲面量子码。除了所提出的量子交织技术改善了这些参数之外，它还可以用于定位错误、存储量子数据和具有存储器的量子信道中的突发错误校正。
2022-05-26 cs.IT math.CO math.IT
Function-Correcting Lee-distance Codes for Symbol-Pair Read Channels
Indian Institute of Science（印度科学学院）
本文针对符号对读取信道，将函数校正码推广至李度量，定义函数校正符号对李距离码，并推导其最优冗余的Plotkin型与Gilbert-Varshamov型界，给出多种函数的构造与界。
2026-10-08 cs.IT math.IT
Function-Correcting Codes with Homogeneous Distance
本文提出具有齐次距离的函数纠错码 FCCHDs，通过 D-齐次距离码建立最优冗余与码长的联系，得到若干冗余界，并构造出达到最优冗余界的码。
2025-07-04 cs.IT math.IT
Optimal Exponent of the Single-Error Correction Threshold with Fixed Redundancy for Analog Error-Correcting Codes
Tsinghua University（清华大学）；Shenzhen University of Advanced Technology（深圳先进技术研究院）
针对固定冗余度的实线性码模拟纠错码单错误纠错阈值的下界问题，本文证明了匹配已有上界的最优指数下界，完成了该阈值的渐近刻画。
2026-08-11 cs.IT math.IT
Order-Optimal Systematic Permutation Codes for Correcting t Deletions
Beijing University of Posts and Telecommunications（北京邮电大学）；VinUniversity（文林大学）；Key Laboratory of Universal Wireless Communications, Ministry of Education, Beijing University of Posts and Telecommunications（北京邮电大学通用无线通信教育部重点实验室）；National University of Singapore（新加坡国立大学）
本文提出两种系统置换码构造，分别以7t-1和4t个冗余标记纠正PID和SID模型下的t次删除，冗余为O(t log n)，可在n^{O(t)}时间内编解码，并扩展到多重置换情形。
2026-09-30 cs.IT math.IT
Capacity-Achieving Gray Codes
本文提出一种“编码格雷码”实现，通过模拟软件备份机制为格雷码添加纠错功能，以正误差指数达到二进制对称信道容量，用于差分隐私中的整数模糊揭示。
2024-06-25 cs.DS cs.IT math.IT
A Triple-Error-Correcting Cyclic Code from the Gold and Kasami-Welch APN Power Functions
基于Hollmann和Xiang提出的构造三重纠错码的一个充分条件，研究了长度为$2^m-1$的二进制循环码$\mathcal{C}_{1,3,13}$的最小距离及其对偶码的重量可除性，其中$m\geq 5$是奇数，$α$是有限域$\mathbb{F}_{2^m}$的本原元.证明了该码$\mathcal{C}_{1,3,13}$与相同长度的二进制三重纠错基元BCH码$\mathcal{C}_{1,3,5}$具有相同的权值分布。
2010-03-31 cs.DM cs.IT math.IT
Lattices over Eisenstein Integers for Compute-and-Forward
在本文中，我们考虑使用格码在爱森斯坦整数实现一个计算和转发协议在无线网络中的信道状态信息是不可用的发射机。我们扩展的计算和转发范式的Nazer和Gastpar解码爱森斯坦整数组合的传输消息在中继站通过证明存在一个序列对嵌套格在爱森斯坦整数，其中粗格是良好的覆盖和细格可以实现Poltyrev限制。使用这个结果，我们表明，在没有额外的计算复杂性的情况下，Eisenstein整数上的嵌套格型码本的中断性能和纠错性能都超过了Nazer和Gastpar所考虑的整数上的格型码本。
2014-10-21 cs.IT math.IT
Quantum codes constructed from cyclic codes over the ring $\mathbb{F}_q+v\mathbb{F}_q+v^2\mathbb{F}_q+v^3\mathbb{F}_q+v^4\mathbb{F}_q$
本文研究了有限非链环$\mathbb{F}_q+v\mathbb{F}_q+v^2\mathbb{F}_q+v^3\mathbb{F}_q+v^4\mathbb{F}_q,$上循环码的性质，其中$q=p^r,$ $r$是正整数，$p$是奇素数，$4 \mid (p-1),$和$v^5=v.$是有限域$\mathbb{F}_q.$上的量子纠错码
2021-12-28 cs.IT math.IT
New Construction of $q$-ary Codes Correcting a Burst of at most $t$ Deletions
本文提出一种新的q元码构造，能以log n+8log log n+o(log log n)+γ_{q,t}比特冗余纠正至多t个删除突发错误，且第二项与q和t无关，优于已有构造。
2024-05-01 cs.IT math.IT
Optimal $q$-Ary Error Correcting/All Unidirectional Error Detecting Codes
本文研究了能够纠正$t$对称错误并检测所有单向错误的码，称为$t$ -EC-AUED码。给定正整数$q$、$a$和$t$，令$n_q(a,t+1)$表示最短$q$ -元$t$ -大小为$a$的EC-AUED码的长度。本文利用完全图的单因子分解和MDS码与可分解集系统的码的级联构造了$q$ -ary $t$ -EC-AUED码。因此，我们确定了$q,a$和$t$的几个新的无限族的$n_q(a,t+1)$的精确值。
2019-06-14 cs.IT math.CO math.IT
Plotkin-type Bound on Function-Correcting Codes for Monomial Mappings
Indian Institute of Science, Bengaluru（印度科学学院）
本文针对有限域上任意函数推导了Hamming度量下函数纠错码的广义Plotkin型冗余度界，并给出线性函数、Hamming权重函数及单项式映射的显式界。
2026-10-06 cs.IT math.IT
Locality for Codes over the Integers
Fondazione Bruno Kessler（布鲁诺·克尔塞尔基金会）；University of Montpellier, LIRMM, CNRS UMR 5506（蒙彼利埃大学）；University Paris 8, LAGA, CNRS UMR 7539（巴黎第八大学）
研究整数上的局部性约束编码，提出局部可恢复码的Singleton型界及整数版本的Tamo-Barg码构造。
2026-04-29 cs.IT math.IT
Error-correcting codes and absolutely maximally entangled states for mixed dimensional Hilbert spaces
本文提出了一种适用于混合维度希尔伯特空间的稳定子码形式化方法，并定义了绝对最大纠缠态，扩展了量子纠错码的理论框架。
2025-12-16 cs.IT math.IT quant-ph
On $(α+uβ)$-constacyclic codes of length $p^sn$ over $\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$
设$\mathbb{F}_{p^m}$是基数为$p^m$和$R=\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^2\rangle=\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$ $(u^2=0)$的有限域，其中$p$是奇素数，$m$是正整数.对任意$α,β\in \mathbb{F}_{p^m}^{\times}$，本文的目的是表示长度为$p^sn$的$R$上所有不同的$(α+uβ)$ -常循环码及其对偶码，其中$s$是非负整数，$n$是满足${\rm gcd}(p,n)=1$的正整数.特别地，列出了$\mathbb{F}_{3}+u\mathbb{F}_3$上长度为$6\cdot 5^t$的所有不同的$(2+u)$ -常循环码及其对偶码，其中$t$为正整数.
2015-11-10 cs.IT math.IT
Tight Lower Bounds on The Single-Error Detection Threshold for Analog Error-Correcting Codes
Theory Lab, Central Research Institute, 2012 Labs, Huawei Tech. Co. Ltd.（华为技术有限公司中央研究院2012实验室理论实验室）；Department of Mathematics Sciences, Tsinghua University（清华大学数学科学系）；Shenzhen University of Advanced Technology（深圳先进技术研究院）
本文研究了类比纠错码单错误检测阈值的紧下界，通过凸优化理论证明了问题2的肯定性答案，并扩展方法证明问题1的下界在特定条件下紧致。
2026-05-09 cs.IT math.IT
Correcting Codes for Asymmetric Single Magnitude Four Error
考虑了具有非对称单四级误差的误差模型。本文研究了$\mathbb{Z}_{2^{a}3^{b}r}$上的纠单错码的构造。首先，我们减少了一个最大尺寸$B_{1}[4](2^{a}3^{b}r)$集的$a\geq4$和$\gcd(r,6)=1$的建设的最大尺寸$B_{1}[4](2^{a-3}3^{b}r)$集的建设。此外，我们将表明，最大尺寸$B_{1}[4](8\cdot3^{b}r)$集可以减少到最大尺寸$B_{1}[4](3^{b}r)$集。最后给出了最大尺寸$B_{1}[4](2r)$和$B_{1}[4](2\cdot3^{b}r)$集的下界.
2019-08-10 cs.IT math.CO math.IT
New bounds for codes over Gaussian integers based on the Mannheim distance
Anhui University（安徽大学）；Sogang University（西江大学）
研究高斯整数上的线性码及其曼海姆距离，推导出若干经典界的有效公式，并展示某些参数下存在满足这些界的码族，证明这些界是紧的。
2026-03-26 cs.IT math.IT
Function-Correcting Codes with Optimal Data Protection for Hamming Code Membership
IIT Hyderabad（印度理工学院海德拉巴分校）；NIT Patna（巴特那国家技术学院）；IISc Bengaluru（班加罗尔印度科学学院）
本文提出了一种基于二分图构造的SEFCC，通过最大化距离和实现最优数据保护和BER性能。
2026-02-25 cs.IT math.IT
Weight Enumerators and Cardinalities for Number-Theoretic Codes
数论码是一类由单同余或多同余定义的码。这些代码主要用于纠正插入和删除错误，以及纠正不对称错误。本文给出了数论码完全重量计数器的一个推广公式。这个公式允许我们推导出数论码的重量计数器和基数。作为特殊情况，本文给出了非二元Tenengolts码的汉明重量数和基数，纠正了单插入或单删除的错误。此外，我们证明了该公式推导出整数环上模$r$的线性码的MacWilliams恒等式。
2022-10-24 cs.IT math.CO math.IT
Runlength-Limited Sequences and Shift-Correcting Codes: Asymptotic Analysis
这项工作是由具有所谓的$ (d,k) $输入约束（其中连续的$ 1 $需要被至少$ d $和至多$ k $零，$ 0 \leq d < k \leq \infty $）的移位信道中的纠错问题所激发的。最佳的$ (d,k) $约束码纠正固定数量的位移的大小上的界限推导出来，重点是在大的块长度限制的渐近行为。上界是由一个包装参数，而下界如下从一个家庭的整数格的基础上的建设。几个属性的$ (d, k) $约束的序列，可能是独立的利益建立，以及特别是，指数增长率的数量$ (d, k) $约束的恒定重量序列的特征。结果是相关的磁和光信息存储系统，读取器到标签RFID通道，和其他通信模型，其中位移位错误是占主导地位的，其中$ (d, k) $约束序列用于调制。
2019-03-14 cs.DM cs.IT math.IT
Construction of EAQECCs with imperfect ebits
Air Force Engineering University（空军工程大学）
本文将含噪声ebits的纠缠辅助量子纠错码的稳定子形式从二元推广到一般q元情形，建立了基于广义Pauli群和辛几何的统一框架，并构造了多类q元EAQECCs，证明其在特定噪声条件下优于标准稳定子码。
2026-05-22 cs.IT math.IT quant-ph
Stabilizer codes from modified symplectic form
稳定子码是一类重要的量子纠错码，它具有良好的理论、高效的检错和许多已知的例子。构造长度为$n$的稳定子码等价于构造在$\left\langle (\mathbf{a},\mathbf{b}),(\mathbf{c},\mathbf{d}) \right\rangle = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{d} - \mathbf{b}^{\mathrm{T}} \mathbf{c}$定义的辛双线性形式下“各向同性”的$\mathbb{F}_p^n \times \mathbb{F}_p^n$的子空间。因此，许多，但不是全部，从经典纠错理论的想法可以转化为量子纠错。本文的主要理论贡献之一是从不同的辛形式开始研究稳定子码。本文主要研究循环码。修改辛形式，使我们能够推广以前已知的线性循环稳定子码的建设，并在这个过程中，规避一些伽罗瓦理论的不去的结果证明。更重要的是，这种辛形式的调整允许我们利用众所周知的循环码纠错算法来给出有效的量子纠错算法。纠错码的循环性是一种“基相关”性质。当我们使用标准辛形式导出代码时，它们不再是“循环的”（如果我们忽略距离等纠错性质，则所有这些辛形式都可以通过基变换相互转换）。因此，从为这些代码族设计有效的解码算法的角度来看，这种观点的改变是至关重要的。在这种情况下，回想一下，对于一般的代码，如果一些广泛认为的复杂性理论假设是真的，则…
2018-06-10 cs.IT math.IT quant-ph
On Semigroups Generated by Two Consecutive Integers and Improved Hermitian Codes
通过对一点码的Berlekamp-Massey-Sakata译码算法的分析，提出了两种提高码速率的方法。Feng和Rao提出的一种方法是删除奇偶检验，而这些校验可以通过他们的多数表决算法恢复。第二种方法是将代码设计为仅校正给定权重的几何通用的那些误差向量。在这项工作中，公式给出的厄米特码的冗余优化这些标准以及公式的顺序上的最小距离的限制。结果从分析两个连续整数生成的数值半群。最优厄米特码的冗余度公式纠正了给定数量的错误，回答了Pellikaan和Torres在1999年提出的一个开放性问题。
2006-11-15 cs.DM cs.IT math.IT
Shannon meets Gray: Noise-robust, Low-sensitivity Codes with Applications in Differential Privacy
针对整数数据的差分隐私，提出一种结合 Gray 码低灵敏度与纠错码噪声鲁棒性的恒定速率编码，并应用于构建更快的空间最优差分隐私直方图数据结构。
2023-11-16 cs.DS cs.IT math.IT
