Numerical approximations to a singularly perturbed convection-diffusion problem with a discontinuous initial condition
研究了具有间断初始条件的对流扩散型奇摄动抛物问题。一个解析函数确定匹配的初始条件下的不连续性，也满足齐次抛物型微分方程与问题。这个解析函数和抛物问题的解决方案之间的差异近似数值，使用迎风有限差分算子结合适当的层适应网格。数值方法是参数一致的。数值结果说明了本文建立的理论误差界。
2022-02-14 cs.NA math.NA
Convergence analysis of a weak Galerkin finite element method on a Bakhvalov-type mesh for a singularly perturbed convection-diffusion equation in 2D
本文提出二维奇异摄动对流扩散方程在Bakhvalov型网格上的弱Galerkin有限元方法，推导误差估计并证明最优收敛阶，数值实验验证了方法的有效性。
2024-05-24 cs.NA math.NA
Fitted finite element methods for singularly perturbed elliptic problems of convection-diffusion type
该研究结合指数样条基函数与Shishkin网格，为二维奇异摄动对流-扩散问题构造满足离散极大值原理的参数一致拟合有限元方法，并证明经典情形二阶、任意参数下一阶的最大范数收敛。
2023-10-02 cs.NA math.NA
Local discontinuous Galerkin method for a third order singularly perturbed problem of convection-diffusion type
研究了三阶对流扩散型奇摄动问题的局部间断Galerkin（LDG）方法。基于精确解的正则性假设，我们证明了几乎$O(N^{-(k+1/2)})$（直到对数因子）能量范数一致收敛于扰动参数。这里，$k\geq 0$是在离散空间中使用的分段多项式的最大次数，并且$N$是网格元素的数量。结果对三种类型的层适应网格是有效的：Shishkin型，Bakhvalov-Shishkin型和Bakhvalov型。数值实验验证了理论结果。
2022-10-24 cs.NA math.NA
Parameter-uniform approximations for a singularly perturbed convection-diffusion problem with a discontinuous initial condition
研究了具有不连续初始条件的对流扩散型奇摄动抛物问题。一个特定的互补的误差函数被确定为匹配的初始条件中的不连续性。这个解析函数和抛物问题的解决方案之间的差异是近似数值。使用坐标变换，使得层适应网格可以与解决方案中存在的内部层对齐。对相应的数值方法进行了数值分析，证明了该数值方法是一种参数一致的数值方法。数值结果说明了逐点误差界建立的文件。
2022-02-08 cs.NA math.NA
Supercloseness of the LDG method for a two-dimensional singularly perturbed convection-diffusion problem on Bakhvalov-type mesh
本文研究二维奇异摄动对流扩散问题，在Bakhvalov型网格上应用LDG方法，通过构建二维局部Gauss-Radau投影和新颖插值，实现了独立于摄动参数的最优阶k+1超逼近。
2023-05-18 cs.NA math.NA
A singularly perturbed convection-diffusion problem posed on an annulus
University of Limerick（利默里克大学）；Dublin City University（都柏林城市大学）
本文提出一种有限差分方法，用于解决在环形区域上的一致扰动对流-扩散问题，通过极坐标、上游有限差分算子和分段均匀Shishkin网格结合，确保不形成内部层，并建立参数均匀误差界。
2018-04-19 cs.NA math.NA
Supercloseness of the HDG method on Shishkin mesh for a singularly perturbed convection diffusion problem in 2D
本文首次分析了Shishkin网格上HDG方法求解二维奇异扰动对流扩散问题的参数一致收敛性，通过新误差控制技术克服层内对流项估计难点，实现近$k+\ rac{1}{2}$阶超接近性。
2024-06-27 cs.NA math.NA
Supercloseness of finite element method for a singularly perturbed convection-diffusion problem on Bakhvalov-type mesh in 2D
对于奇摄动对流扩散问题，有限元法在Bakhvalov型网格上的超封闭性分析仍然是一个空白，特别是在二维情况下。困难来自于过渡点附近层中网格的宽度，导致收敛的次优估计。现有的分析技术不能很好地处理这些困难。为了填补这一空白，一个新的插值是第一次精心设计的解决方案的光滑部分，带来了最佳的超接近结果几乎2阶能量范数下的有限元法。我们的理论结果在奇异扰动参数下是一致的，并得到了数值实验的支持。
2023-03-05 cs.NA math.NA
A parameter uniform fitted mesh method for a weakly coupled system of two singularly perturbed convection-diffusion equations
Bishop Heber College（比숍希伯学院）；Trinity College, Dublin（都柏林三一学院）
本文提出了一种参数均匀拟合网格方法，用于求解弱耦合的两个奇异摄动对流-扩散方程系统的边值问题，该方法在最大范数下对扰动参数具有统一的一阶收敛性。
2018-09-24 cs.NA math.NA
Supercloseness of the NIPG method for a singularly perturbed convection diffusion problem on Shishkin mesh in 2D
非对称内罚Galerkin方法作为一种常用的稳定化技术，在计算流体力学中具有重要的应用价值。本文研究了Shishkin网格上二维对流扩散问题的NIPG方法。根据解、网格和数值格式的特点，提出了一种新的复合插值方法。实际上，该插值由层内的垂直-边缘-元素插值和层外的局部$L^{2}$ -投影组成。在此基础上，通过选取不同类型元素间边的罚参数，进一步得到了几乎$k+\frac{1}{2}$阶在能量范数下的超贴近性.这里$k$是分段多项式的次数。数值试验支持了我们的理论结论。
2023-03-07 cs.NA math.NA
A singularly perturbed convection-diffusion parabolic problem with incompatible boundary/initial data
本文研究了具有非协调入流边界和初始条件的对流扩散型奇摄动抛物问题。在常系数的情况下，一组奇异函数被识别，其匹配数据中的某些不相容性，并且还满足相关联的齐次微分方程。当对流系数仅依赖于时间变量且初始/边界数据不连续时，则采用解析/数值混合方法。在可变系数和零水平的兼容性被满足（即连续边界/初始数据）的情况下，构造一个数值方法，其收敛顺序取决于下一个水平的兼容性被满足的数据。数值结果支持的理论误差界建立的两种方法的文件中检查。
2022-12-19 cs.NA math.NA
Multigrid preconditioning of singularly perturbed convection-diffusion equations
本文针对奇异扰动对流扩散方程的有限元离散化线性系统，提出并验证了基于张量积和半结构化网格的高效多重网格迭代求解方法，证明其是标准流动基准的鲁棒预处理子。
2024-06-25 cs.NA math.NA
Analysis of the SDFEM in a modified streamline diffusion norm for singularly perturbed convection diffusion problems
Shandong Normal University（山东师范大学）；Qilu University of Technology（齐鲁工业大学）
本文研究了修正流体扩散范数中SDFEM在奇异摄动对流扩散问题中的应用，通过调整稳定化参数获得统一估计，提升数值方案的稳定性与精度。
2016-08-07 cs.NA math.NA
Parameter uniform numerical method for singularly perturbed two parameter parabolic problem with discontinuous convection coefficient and source term
本文考虑了一类具有间断对流系数和源项的含时双参数抛物型奇摄动问题。该问题包含参数$ε$和$μ$分别乘以扩散和对流系数。由于这些参数，边界层在边界的两侧发展。由于对流项和源项的不连续性，在不连续点附近形成一个内层。内、边界层的宽度取决于扰动参数的比值。我们讨论了比率$\displaystyle\frac{μ^2}ε$的问题。在空间上采用Shishkin-Bakhvalov网格，在时间上采用Crank-Nicolson方法。在不连续点处，使用了三点公式。该方法在时间上具有二阶一致收敛性，在空间上具有一阶一致收敛性。Shishkin-Bakhvalov网格提供一阶收敛;与Shishkin网格不同，对数因子会降低收敛阶数。最后给出了一些算例来验证所给出的结果。
2022-08-08 cs.NA math.NA
Supercloseness of the NIPG method for a singularly perturbed convection diffusion problem on Shishkin mesh
分析了Shishkin网格上非对称内罚Galerkin（NIPG）方法求解一类奇摄动对流扩散问题的超逼近结果。根据解和方案的特点，提出了一种新的分析方法。更具体地说，Gaussian Lobatto插值和Gaussian Radau插值分别引入层内和层外。通过在不同的网格点上选择特殊的罚参数，进一步建立了能量范数下的几乎k + 1阶超贴近度.这里k是分段多项式的阶。然后，构造了一个简单的后处理算子。特别是，提出了一种新的分析，该算子的稳定性分析。在此基础上，证明了相应的后处理可以使数值解达到更高的精度。最后，在离散能量范数下，可以得到超收敛。这些理论结论可以通过数值计算得到验证。
2021-12-12 cs.NA math.NA
Supercloseness of the DDG method for a singularly perturbed convection diffusion problem on Shishkin mesh
本文研究了Shishkin网格上奇异扰动对流扩散问题的DDG方法超接近性，通过设计新的复合插值并选择合适的数值通量参数，在能量范数下获得了几乎$k+1$阶的超接近性结果。
2024-02-14 cs.NA math.NA
Robust numerical schemes for singularly perturbed delay parabolic convection diffusion problems with degenerate coefficient
University of Delhi（德里大学）
本文研究了具有退化系数的奇异 perturbed 时间延迟对流扩散方程的 Dirichlet 边界值问题，通过建立先验的显式界，分析了解及其导数的渐近行为，并提出了一种结合后向欧拉方案和中点迎风与中心差分方案的数值方法，以证明其有效性。
2019-05-08 cs.NA math.NA
Full analysis of the Green's function for a singularly perturbed convection-diffusion problem in three dimensions
Technische Universität Dresden（德累斯顿工业大学）；University of Limerick（利默里克大学）
针对三维具有特征层的线性奇异摄动对流扩散问题，建立了格林函数及其导数的L1范数尖锐界，并显式给出了对小摄动参数的依赖关系，为后续数值分析提供基础。
2011-05-31 cs.NA math.AP math.NA
An Upwind Finite Difference Method to Singularly Perturbed Convection Diffusion Problems on a Shishkin Mesh
针对带小参数ε的奇异摄动对流扩散Dirichlet边值问题，提出结合Shishkin网格的迎风格式有限差分法，求解器直接高效、时间随网格点线性缩放，数值验证表明其精度高且代码公开。
2023-06-12 cs.NA math.NA
A finite difference scheme for two-dimensional singularly perturbed convection-diffusion problem with discontinuous source term
针对带不连续源项的二维奇异扰动对流扩散问题，提出一种在分段均匀网格上适应不连续性的有限差分格式，证明了扰动参数无关的近一阶收敛性，并用数值结果验证了其尖锐性。
2024-01-04 cs.NA math.NA
Deep Learning-based Schemes for Singularly Perturbed Convection-Diffusion Problems
基于深度学习的数值方案，如物理信息神经网络（PINN），最近已经成为解决偏微分方程（PDE）的经典数值方案的替代方案。乍一看，它们非常吸引人，因为基于强残差形式实现PINN的普通版本很容易，并且神经网络提供了非常高的近似能力。然而，当PDE解是低正则的时，需要专家的洞察力来构建不会引起变分犯罪的深度学习公式。优化求解器也面临着巨大的挑战，并且由于收敛到糟糕的局部最小值和糟糕的泛化能力，可能会破坏近似解的最终质量。在本文中，我们提出了一个详尽的数值研究，这些计划的优点和局限性时，解决方案表现出低的规律性，并比较性能与更良性的情况下，解决方案是非常顺利的。作为支持我们的研究，我们考虑奇摄动对流-扩散问题的正则性的解决方案通常会降低某些多尺度参数为零。
2022-05-10 cs.NA math.NA
Remarks on boundary layers in singularly perturbed Caputo fractional boundary value problems
关于奇摄动Caputo分数阶边值问题解的层结构几乎一无所知。我们讨论简单的对流扩散和反应扩散问题。
2022-09-07 cs.NA math.NA
A Mixed Finite Element Method for Singularly Perturbed Fourth Oder Convection-Reaction-Diffusion Problems on Shishkin Mesh
针对带小正参数的奇异摄动四阶常微分方程Lidstone边值问题，提出将其分解为二阶系统、结合Shishkin网格的混合有限元直接求解法，精度高且计算时间随网格点线性增长，数值结果验证了理论与方法准确性。
2023-06-10 cs.NA math.NA
Uniform convergence of finite element method on Bakhvalov-type mesh for a 2-D singularly perturbed convection-diffusion problem with exponential layers
针对二维含指数层奇异扰动对流-扩散问题，提出新型边界插值分析技术与简单插值，证明 Bakhvalov 型网格上任意阶有限元在能量范数下 k+1 阶一致收敛。
2023-04-22 cs.NA math.NA
The local discontinuous Galerkin method on layer-adapted meshes for time-dependent singularly perturbed convection-diffusion problems
在本文中，我们分析的误差以及半离散和全离散的不定常对流-扩散问题。对于空间离散，我们使用了一类层适应网格（包括Shishkin型和Bakhvalov型网格）上的局部间断Galerkin（LDG）方法以及时间上的隐式$θ$格式。对于$k$次的分段张量积多项式，我们得到了关于$k+1/2$阶空间在一定能量范数下的一致或几乎一致误差估计和关于时间的最优误差估计.我们的分析是基于仔细的近似误差估计的Ritz投影有关的各向异性网格上的固定问题。我们还讨论了改进的估计在一维的情况下，并使用一个不连续的Galekin离散时间。数值实验支持我们的理论结果。
2020-12-07 cs.NA math.NA
Quasi-Monte Carlo finite element approximation for singularly perturbed convection-diffusion problems with random velocity
Inha University（仁川大学）；The University of Hong Kong（香港大学）；Guangxi University（广西大学）
针对随机速度场驱动的奇异摄动对流扩散问题，提出结合有限元离散、截断Karhunen–Loève展开和格点拟蒙特卡罗方法的数值框架，证明均方误差界和与维数无关的近线性最优收敛率，且收敛率不依赖于奇异摄动参数。
2026-06-18 cs.NA math.NA
The local discontinuous Galerkin method for a singularly perturbed convection-diffusion problem with characteristic and exponential layers
研究了$\mathbb{R}^2$中单位正方形上的奇摄动对流-扩散问题，其解具有指数边界层和特征边界层.在Shishkin网格上采用局部间断Galerkin（LDG）方法数值求解了该问题。使用张量积分段多项式的次数最多$k>0$在每个变量中，LDG的解决方案和真正的解决方案之间的误差被证明是收敛的，一致的奇异摄动参数，在一个相关的能量范数，其中$N$是在每个坐标方向上的网格间隔的数量在$O((N^{-1}\ln N)^{k+1/2})$率。(This是LDG方法应用于特征边界层问题时证明的第一个一致收敛结果。此外，我们还证明了当我们度量LDG解和真实解在有限元空间中的局部Gauss-Radau投影之间的能量范数差时，这个收敛阶增加到$O((N^{-1}\ln N)^{k+1})$，这种一致超逼近性质意味着我们的LDG方法的最优$L^2$误差估计为$(N^{-1}\ln N)^{k+1}$阶.数值实验表明我们的理论结果的清晰度。
2022-09-21 cs.NA math.NA
Wavelet-based Edge Multiscale Finite Element Methods for Singularly Perturbed Convection-Diffusion Equations
提出一种基于小波的边缘多尺度有限元方法（WEMsFEM），通过局部泡函数与调和延拓分裂及单位分解，在网格限制小的条件下高效求解奇异摄动对流扩散方程，并给出经二维和三维数值试验验证的收敛率分析。
2024-11-09 cs.NA math.NA
A Boundary-Layer Preconditioner for Singularly Perturbed Convection Diffusion
受到其解具有边界层和内层的广泛的现实问题的启发，奇摄动微分方程离散化的数值分析是微分方程解的数值逼近研究中的一个已建立的子学科。因此，许多人知道如何准确和稳定地离散这样的方程\textit{a priori}适应网格，以正确解决其连续解中存在的层结构。然而，尽管是数值模拟过程中的一个关键步骤，但对与这些离散化相对应的线性系方程的有效和精确解知之甚少。在本文中，我们讨论了与这些离散化的直接求解器的应用相关的问题，我们提出了一个预处理策略，调整到对流-扩散方程的层适应网格诱导的矩阵结构，证明了一个强的条件数的预处理系统在一个空间维度上的界限，和一个较弱的界限在两个空间维度上。数值结果证实了效率的预处理在一个和两个维度，解决时间小于一秒的代表性问题的$1024\times 1024$网格和$40\times$加速标准稀疏直接求解器。
2021-12-07 cs.NA math.NA
Supercloseness of the local discontinuous Galerkin method for a singularly perturbed convection-diffusion problem
在$\mathbb{R}^2$中的单位正方形上提出的奇摄动对流-扩散问题，其解具有指数边界层，使用局部间断Galerkin（LDG）方法在三种层适应网格上数值求解，其中分段多项式的次数至多为$k>0$：希什金式的，巴赫瓦洛夫-希什金型与巴赫瓦洛夫型型网格已知该方法在由弱公式的双线性形式引起的能量范数中不大于$O(N^{-(k+1/2)})$精确，其中在每个坐标方向上使用$N$网格间隔。(Note：本摘要中的所有边界在奇异扰动参数中是一致的，并忽略了我们详细分析中会出现的对数因子。）一个微妙的论点是在本文中建立$O(N^{-(k+1)})$能量范数超收敛的所有三种类型的网格之间的差异LDG解决方案和一个本地Gauss-Radau投影的精确解到有限元空间。这种supercloseness属性意味着一个新的$N^{-(k+1)}$约束的$L^2$之间的LDG解决方案的每种类型的网格和问题的精确解的错误，这个界是最佳的（对数因子）。数值实验证实了我们的理论结果。
2022-06-17 cs.NA math.NA
Green's function estimates for a 2d singularly perturbed convection-diffusion problem: extended analysis
本文提出了一个扩展版本的文章[弗朗茨，S.，Kopteva，N.：J.微分方程，252（2012）]。与后者相比，主要的改进在于，在这里我们还估计了格林函数的混合二阶导数。沿特征边界的Neumann条件的情况下也得到解决。在单位正方形内提出了一个对流方向为水平的对流-扩散问题的奇摄动问题.它的解决方案显示抛物线和指数边界层。格林函数及其一阶和二阶导数的尖锐估计来自$L_1$规范。这些估计的小扩散参数的依赖性显式示出。所获得的估计将用于即将到来的数值分析所考虑的问题。
2022-12-22 cs.NA math.AP math.NA
A convection-diffusion problem with a small variable diffusion coefficient
考虑具有小的可变扩散的奇摄动对流-扩散问题。基于某些先验估计的解决方案，我们证明了鲁棒性的有限元法的Duran-Shishkin网格。
2020-01-13 cs.NA math.NA
A parameter uniform method for two-parameter singularly perturbed boundary value problems with discontinuous data
研究了一维具有间断源和对流系数的两参数奇摄动问题。对流系数和源项在区域中的某一点处都是不连续的。扰动参数的存在导致在边界处的边界层。此外，由于数据在内点处的不连续性而出现内层。一个适当定义的Shishkin-Bakhvalov网格上的迎风格式被用来解决边界层和内部层。在不连续点处使用三点公式。该方法具有一阶参数一致收敛性。用数值方法对一些试验问题进行了验证。数值结果验证了索赔。Shiskin-Bakhvalov网格的使用有助于实现一阶收敛，不像Shishkin网格，由于对数项，收敛的阶数恶化。
2022-08-08 cs.NA math.NA
An $hp$ Weak Galerkin FEM for singularly perturbed problems
本文研究了一维反应对流扩散问题扩散问题奇摄动$hp$弱Galerkin有限元法。根据数据的解析性假设，我们建立了鲁棒指数收敛，当误差在能量范数中测量时，随着逼近多项式的次数$p$的增加。使用光谱边界层网格，这是最小的（层适应）网格这样的问题。数值例子说明了理论。
2022-11-08 cs.NA math.NA
Isogeometric Analysis for singularly perturbed problems in 1-D: a numerical study
本文使用基于B样条的等几何分析对一维反应-对流-扩散型奇异摄动问题进行数值研究，探讨了节点选择策略，以在最大范数下实现一致的指数收敛，并为三种不同问题提供了具体指导方针。
2019-01-07 cs.NA math.NA
A hybrid approach for singularly perturbed parabolic problem with discontinuous data
本文针对源项和对流系数不连续的二维奇异摄动抛物问题，提出结合中心差分与中点迎风的混合单调差分格式，并证明其空间近二阶、时间二阶的一致收敛性。
2024-10-18 cs.NA math.NA
A higher order numerical scheme for singularly perturbed parabolic turning point problems exhibiting twin boundary layers
University of Delhi（德里大学）
本文提出了一种参数均匀的数值方法，用于求解一维具有双指数边界层的奇异摄动抛物型对流扩散转折点问题。通过分析解及其偏导数的渐近行为，采用隐式欧拉法在均匀网格上进行时间离散，结合混合方案在广义Shishkin网格上进行空间离散，证明了该方案在时间方向上具有ε-均匀收敛性一级，在空间方向上具有二级收敛性（至多一个对数因子）。数值实验验证了理论结果，并与均匀网格和标准Shishkin网格上的迎风方案进行比较，以展示在广义Shishkin网格上所提方案的高阶准确性。
2019-05-08 cs.NA math.NA
Singular Layer Physics-Informed Neural Network Method for Convection-Dominated Boundary Layer Problems in Two Dimensions
针对二维对流占优奇异摄动边界层问题传统神经网络方法精度不足的缺陷，提出结合奇异层校正函数的半解析PINNs方法，显著提升了求解的准确性与稳定性。
2024-07-09 cs.NA math.NA
A parameter uniform hybrid approach for singularly perturbed two-parameter parabolic problem with discontinuous data
本文针对二维奇异摄动双参数抛物问题中的不连续数据与内部层、边界层，提出空间方向基于Shishkin网格的混合单调差分格式，并结合时间方向Crank-Nicolson方法，实现空间近二阶、时间二阶的一致收敛，数值实验验证了其优越性。
2024-08-31 cs.NA math.NA
Less Emphasis on Difficult Layer Regions: Curriculum Learning for Singularly Perturbed Convection-Diffusion-Reaction Problems
Yantai University（烟台大学）；East China Normal University（华东师范大学）；Shandong Normal University（山东师范大学）
虽然物理信息神经网络（PINN）已经成功地应用于各种科学和工程领域，但是在稍微具有挑战性的对流扩散反应问题中，它们不能准确地预测潜在的解决方案。在本文中，我们从域分布的角度研究了这种失败的原因，并发现同时学习多尺度域会使网络无法推进其训练，并且容易陷入局部极小值。我们发现，在高损耗层区域采样更多配置点的广泛经验几乎无助于优化，甚至可能恶化的结果。这些发现激发了一种新的课程学习方法的开发，该方法鼓励神经网络优先考虑在较容易的非层区域上学习，而淡化在较难的层区域上的学习。该方法有助于PINN自动调整学习重点，从而促进优化过程。典型基准方程的数值结果表明，所提出的课程学习方法减轻了PINN的故障模式，并可以产生非常尖锐的边界层和内部层的准确结果。我们的工作表明，对于解具有较大尺度差异的方程，较少关注高损失区域可能是准确学习它们的有效策略。
2023-03-24 cs.LG cs.NA math.NA
Low rank tensor approximation of singularly perturbed partial differential equations in one dimension
得到了一维奇异摄动反应扩散偏微分方程的量子化张量训练（QTT）压缩近似的秩界。具体而言，我们表明，独立的奇异扰动参数的规模，精确度$0<ε<1$的数值解可以表示在QTT格式与一些参数，只依赖于polymerically上$ε$。换句话说，QTT压缩解相对于参数数目的根指数地收敛到精确解。我们还验证了秩界估计数值，并克服已知的稳定性问题的QTT为基础的解决方案的偏微分方程，通过调整预处理策略，以获得稳定的计划在所有尺度。因此，我们发现，QTT为基础的战略是一个快速收敛的算法奇异摄动偏微分方程的解决方案，它不需要先验知识的奇异扰动的规模和边界层的形状。
2020-10-14 cs.NA math.NA
Robust recovery-type a posteriori error estimators for streamline upwind/Petrov Galerkin discretizations for singularly perturbed problems
Chongqing Jiaotong University（重庆交通大学）；Texas A&M International University（德州农工国际大学）；Beijing Computational Science Research Center（北京计算科学研究中心）；Wayne State University（韦恩州立大学）
本文研究了新的双范数下适应性流线向上/皮尔逊-加尔金方法，通过局部平均或加权全局L²投影恢复通量，并引入恢复稳定化过程，开发出对奇异摄动参数ε完全鲁棒的后验误差估计器。
2016-09-14 cs.NA math.NA
Transformed Physics-Informed Neural Networks for The Convection-Diffusion Equation
University of Maryland（马里兰大学）
针对奇异摄动的对流扩散方程边界层难求解的问题，提出两种PINNs应用方式以修正FDM振荡解和无摄动约化解，还引入输入变换提升精度并通过神经切线核解析其机制。
2024-09-12 cs.LG cs.NA math.NA
An asymptotic preserving hybrid-dG method for convection-diffusion equations on pipe networks
研究一维管网上对流-扩散问题奇摄动的数值逼近。在扩散消失极限条件下，网络连接处的边界条件和耦合条件的数量和类型发生变化，从而在管道的流出边界处产生奇异层。提出了一种混合间断Galerkin方法，为对流占优的情况提供了一种自然的迎风机制。此外，该方法自动处理的变量耦合和边界条件的消失扩散限制，导致一个渐进保持计划。详细分析了解的奇异性和离散化误差，并提出了一种自适应策略，使得阶最优误差估计在奇异扰动极限内一致成立.数值试验证实了理论结果。
2022-09-09 cs.NA math.NA
Error analysis of a variational multiscale stabilization for convection-dominated diffusion equations in 2d
Universität Bonn（波恩大学）
本文提出一种稳定化的拟最优Petrov-Galerkin方法，用于求解奇异扰动对流扩散问题，通过变分多尺度方法进行稳定化，证明了细尺度校正器的指数衰减和局部化特性，保证了任意Péclet数下的稳定性与近优收敛性。
2016-06-15 cs.NA math.NA
A Unified Weighted-Loss Physics-Informed Neural Network for Boundary Layer Problems in Singularly Perturbed PDEs
National Central University（中央大学）；National Center for Theoretical Sciences, National Taiwan University（台湾大学理论科学中心）；National Chung Hsing University（中兴大学）；National Yang Ming Chiao Tung University（阳明交通大学）
本文提出一种基于加权损失的统一学习框架，用于解决奇异摄动PDEs中的边界层问题，通过自动识别边界层位置，简化了实现复杂度并提高了计算精度。
2026-03-31 cs.NA math.NA
Layer-adapted meshes for singularly perturbed problems via mesh partial differential equations and a posteriori information
本文提出一种基于 MPDE 并利用后验解估计构造 SPDE 层适应网格的新方法，给出高效实现算法、一/二维双参数问题数值结果及 FEniCS 代码。
2023-11-02 cs.NA math.NA
On the sharpness of Green's function estimates for a convection-diffusion problem
Technische Universität Dresden（德累斯顿工业大学）；University of Limerick（利默里克大学）
针对三维具有特征层的线性奇异摄动对流-扩散问题，通过建立格林函数及其导数的L1范数下界，证明了先前所得上界的尖锐性。
2011-05-31 cs.NA math.AP math.NA
Uniform convergence on a Bakhvalov-type mesh using the preconditioning approach: Technical report
National University of Ireland, Galway（爱尔兰国立高威大学）；Kent State University at Stark（肯特州立大学斯塔克分校）
本文研究了一维线性奇异摄动对流扩散问题，在Bakhvalov型网格上的离散化分析，并利用预条件技术实现扰动参数下的点wise均匀收敛。
2015-04-16 cs.NA math.NA
Two-scale neural networks for optimal control of linear convection-dominated equations
Worcester Polytechnic Institute（伍斯特理工学院）；The University of North Carolina at Greensboro（北卡罗来纳大学格林斯伯勒分校）
本文提出了一种双尺度神经网络方法，用于求解由对流主导的对流-扩散-反应方程所支配的最优控制问题。该方法基于针对奇异摄动前向问题开发的双尺度架构，通过引入适当缩放的特征来增强空间输入，当扩散系数变小时这些特征变得越来越重要。该方法分别使用神经网络处理最优系统的状态和伴随状态变量，反映了由于相反的对流场，这些量在域的不同部分发展出尖锐层的事实。通过为两个网络选择不同的中心点，架构自然地与每个变量的层位置对齐。本文提出了两种方法形式，一种基于一阶最优性条件，另一种使用惩罚PDE约束，并将其与逐步训练策略结合，逐步将扩散系数降至目标值。数值实验在基准问题上展示了所提出方法的有效性和行为。
2026-05-18 cs.NA math.NA math.OC
Sparse Random-Feature Neural Networks with Krylov-Based SVD for Singularly Perturbed ODE
Institute of Applied Mathematics University of British Columbia（应用数学研究所 首都大学温哥华分校）
本文提出一种稀疏随机特征神经网络框架，利用结构稀疏性提升隐层激活秩，并通过稀疏SVD高效求解线性最小二乘问题，提升求解精度与训练效率。
2026-05-08 cs.LG cs.NA math.NA
High-Moment Stability and Error Analysis of a Fully Discrete LDG-IMEX Method for High Dimensional Nonlinear Stochastic Convection-Diffusion Equations
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）；Fudan University（复旦大学）
本文针对乘性噪声驱动的高维非线性随机对流扩散方程，提出并分析了一种全离散LDG-IMEX方法，通过嵌套子集技术实现了高阶矩稳定性与误差估计，数值实验验证了理论结果。
2026-09-21 cs.NA math.NA math.PR
Deep Multigrid: learning prolongation and restriction matrices
Skolkovo Institute of Science and Technology（斯科尔科沃科学技术研究所）；Moscow Institute of Physics and Technology（莫斯科物理技术学院）；Lomonosov Moscow State University（莫斯科国立罗蒙诺索夫大学）；Institute of Numerical Mathematics, Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院计算数学研究所）
本文提出了一种优化多重网格方法中限制和细化算子的方法，通过深度神经网络架构实现，提升了求解偏微分方程的收敛速度。
2017-11-10 cs.NA math.NA
