Convergence analysis of a weak Galerkin finite element method on a Bakhvalov-type mesh for a singularly perturbed convection-diffusion equation in 2D
本文提出二维奇异摄动对流扩散方程在Bakhvalov型网格上的弱Galerkin有限元方法，推导误差估计并证明最优收敛阶，数值实验验证了方法的有效性。
2024-05-24 cs.NA math.NA
Supercloseness of the NIPG method for a singularly perturbed convection diffusion problem on Shishkin mesh
分析了Shishkin网格上非对称内罚Galerkin（NIPG）方法求解一类奇摄动对流扩散问题的超逼近结果。根据解和方案的特点，提出了一种新的分析方法。更具体地说，Gaussian Lobatto插值和Gaussian Radau插值分别引入层内和层外。通过在不同的网格点上选择特殊的罚参数，进一步建立了能量范数下的几乎k + 1阶超贴近度.这里k是分段多项式的阶。然后，构造了一个简单的后处理算子。特别是，提出了一种新的分析，该算子的稳定性分析。在此基础上，证明了相应的后处理可以使数值解达到更高的精度。最后，在离散能量范数下，可以得到超收敛。这些理论结论可以通过数值计算得到验证。
2021-12-12 cs.NA math.NA
Supercloseness of the NIPG method for a singularly perturbed convection diffusion problem on Shishkin mesh in 2D
非对称内罚Galerkin方法作为一种常用的稳定化技术，在计算流体力学中具有重要的应用价值。本文研究了Shishkin网格上二维对流扩散问题的NIPG方法。根据解、网格和数值格式的特点，提出了一种新的复合插值方法。实际上，该插值由层内的垂直-边缘-元素插值和层外的局部$L^{2}$ -投影组成。在此基础上，通过选取不同类型元素间边的罚参数，进一步得到了几乎$k+\frac{1}{2}$阶在能量范数下的超贴近性.这里$k$是分段多项式的次数。数值试验支持了我们的理论结论。
2023-03-07 cs.NA math.NA
Supercloseness of the HDG method on Shishkin mesh for a singularly perturbed convection diffusion problem in 2D
本文首次分析了Shishkin网格上HDG方法求解二维奇异扰动对流扩散问题的参数一致收敛性，通过新误差控制技术克服层内对流项估计难点，实现近$k+\ rac{1}{2}$阶超接近性。
2024-06-27 cs.NA math.NA
Supercloseness of the DDG method for a singularly perturbed convection diffusion problem on Shishkin mesh
本文研究了Shishkin网格上奇异扰动对流扩散问题的DDG方法超接近性，通过设计新的复合插值并选择合适的数值通量参数，在能量范数下获得了几乎$k+1$阶的超接近性结果。
2024-02-14 cs.NA math.NA
Supercloseness of the local discontinuous Galerkin method for a singularly perturbed convection-diffusion problem
在$\mathbb{R}^2$中的单位正方形上提出的奇摄动对流-扩散问题，其解具有指数边界层，使用局部间断Galerkin（LDG）方法在三种层适应网格上数值求解，其中分段多项式的次数至多为$k>0$：希什金式的，巴赫瓦洛夫-希什金型与巴赫瓦洛夫型型网格已知该方法在由弱公式的双线性形式引起的能量范数中不大于$O(N^{-(k+1/2)})$精确，其中在每个坐标方向上使用$N$网格间隔。(Note：本摘要中的所有边界在奇异扰动参数中是一致的，并忽略了我们详细分析中会出现的对数因子。）一个微妙的论点是在本文中建立$O(N^{-(k+1)})$能量范数超收敛的所有三种类型的网格之间的差异LDG解决方案和一个本地Gauss-Radau投影的精确解到有限元空间。这种supercloseness属性意味着一个新的$N^{-(k+1)}$约束的$L^2$之间的LDG解决方案的每种类型的网格和问题的精确解的错误，这个界是最佳的（对数因子）。数值实验证实了我们的理论结果。
2022-06-17 cs.NA math.NA
Uniform convergence of finite element method on Bakhvalov-type mesh for a 2-D singularly perturbed convection-diffusion problem with exponential layers
针对二维含指数层奇异扰动对流-扩散问题，提出新型边界插值分析技术与简单插值，证明 Bakhvalov 型网格上任意阶有限元在能量范数下 k+1 阶一致收敛。
2023-04-22 cs.NA math.NA
Uniform convergence on a Bakhvalov-type mesh using the preconditioning approach: Technical report
National University of Ireland, Galway（爱尔兰国立高威大学）；Kent State University at Stark（肯特州立大学斯塔克分校）
本文研究了一维线性奇异摄动对流扩散问题，在Bakhvalov型网格上的离散化分析，并利用预条件技术实现扰动参数下的点wise均匀收敛。
2015-04-16 cs.NA math.NA
Local discontinuous Galerkin method for a third order singularly perturbed problem of convection-diffusion type
研究了三阶对流扩散型奇摄动问题的局部间断Galerkin（LDG）方法。基于精确解的正则性假设，我们证明了几乎$O(N^{-(k+1/2)})$（直到对数因子）能量范数一致收敛于扰动参数。这里，$k\geq 0$是在离散空间中使用的分段多项式的最大次数，并且$N$是网格元素的数量。结果对三种类型的层适应网格是有效的：Shishkin型，Bakhvalov-Shishkin型和Bakhvalov型。数值实验验证了理论结果。
2022-10-24 cs.NA math.NA
Optimal order of uniform convergence for finite element method on Bakhvalov-type meshes
提出了一种新的$k$阶（$k\ge 1$）有限元法的收敛性分析方法，并将其应用于Bakhvalov型网格上求解奇摄动两点边值问题.提出了一种结构简单、易于推广的新型插值函数。利用这一插值函数，我们证明了关于扰动参数的一致收敛性的一个最优阶。数值实验验证了这些理论结果。
2020-02-28 cs.NA math.NA
A parameter uniform method for two-parameter singularly perturbed boundary value problems with discontinuous data
研究了一维具有间断源和对流系数的两参数奇摄动问题。对流系数和源项在区域中的某一点处都是不连续的。扰动参数的存在导致在边界处的边界层。此外，由于数据在内点处的不连续性而出现内层。一个适当定义的Shishkin-Bakhvalov网格上的迎风格式被用来解决边界层和内部层。在不连续点处使用三点公式。该方法具有一阶参数一致收敛性。用数值方法对一些试验问题进行了验证。数值结果验证了索赔。Shiskin-Bakhvalov网格的使用有助于实现一阶收敛，不像Shishkin网格，由于对数项，收敛的阶数恶化。
2022-08-08 cs.NA math.NA
An efficient spline-based scheme on Shishkin-type meshes for solving singularly perturbed coupled systems with Robin boundary conditions
针对带Robin边界条件、解具重叠相互作用边界层的弱耦合奇摄动线性反应扩散方程组，提出基于Shishkin型网格的三次样条结合中心差分的高效格式，实现近二阶及精确二阶收敛，并用数值结果验证。
2025-09-01 cs.NA math.NA
Parameter uniform numerical method for singularly perturbed two parameter parabolic problem with discontinuous convection coefficient and source term
本文考虑了一类具有间断对流系数和源项的含时双参数抛物型奇摄动问题。该问题包含参数$ε$和$μ$分别乘以扩散和对流系数。由于这些参数，边界层在边界的两侧发展。由于对流项和源项的不连续性，在不连续点附近形成一个内层。内、边界层的宽度取决于扰动参数的比值。我们讨论了比率$\displaystyle\frac{μ^2}ε$的问题。在空间上采用Shishkin-Bakhvalov网格，在时间上采用Crank-Nicolson方法。在不连续点处，使用了三点公式。该方法在时间上具有二阶一致收敛性，在空间上具有一阶一致收敛性。Shishkin-Bakhvalov网格提供一阶收敛;与Shishkin网格不同，对数因子会降低收敛阶数。最后给出了一些算例来验证所给出的结果。
2022-08-08 cs.NA math.NA
A class of difference schemes uniformly convergent on a modified Bakhvalov mesh
本文研究了一种奇异扰动一维半线性反应扩散问题的数值解法，构造了一类差分方案，并证明了其解的唯一性，主要贡献是证明了在修改后的Bakhvalov网格上，该方案具有二阶$\mathcal{O}(1/N^2)$的$\varepsilon$-均匀收敛性。
2018-05-11 cs.NA math.NA
A SDFEM for system of two singularly perturbed problems of convection-diffusion type with discontinuous source term
本文研究了两个对流扩散型奇摄动边值问题（BVP）的方程组，该方程组具有间断源项和一个小的正参数与最高导数相乘。然后，他们的解决方案显示边界层以及弱内层。提出了一种基于有限元法（Shishkin和Bakhvalov-Shishkin网格）的数值方法。我们得到了一个误差估计的顺序$O(N^{-1}\ln^{3/2}{N})$的能量范数的扰动参数。数值实验也支持我们的理论结果。
2021-04-08 cs.NA math.NA
Superconvergence of a Galerkin FEM for Higher-Order Elements in Convection-Diffusion Problems
Technische Universität Dresden（德累斯顿工业大学）
本文研究高阶Galerkin有限元法在奇异摄动对流-扩散问题中的超收敛性，通过解分解和特殊有限元空间表示，证明了能量范数下p+1/4阶的超收敛性质。
2013-07-29 cs.NA math.NA
Numerical analysis of a singularly perturbed 4th order problem with a shift term
本文研究带位移项的奇异摄动四阶问题，利用层适应网格构造数值方法，在能量范数下获得超接近性与最优收敛阶，并通过数值算例验证理论。
2023-09-21 cs.NA math.NA
On construction of a global numerical solution for a semilinear singularly--perturbed reaction diffusion boundary value problem
构造了一类数值求解半线性奇摄动反应扩散边值问题的差分格式。证明了差分格式的稳定性，并证明了数值解的存在唯一性。在此基础上，证明了该方法在二阶修正Shishkin网格上关于摄动参数$\varepsilon$的一致收敛性.对于这样的离散解，构造了一个基于线性样条函数的全局解，该解的误差在期望的范围内。最后通过数值实验验证了理论分析的正确性。数值实验中还包括基于自然三次样条的整体解，以及采用Liseikin、Shishkin和修正Bakhvalov网格的实验。
2020-09-14 cs.NA math.NA
Local discontinuous Galerkin method on layer-adapted meshes for singularly perturbed reaction-diffusion problems in two dimensions
研究了二维奇摄动反应-扩散问题的局部间断Galerkin（LDG）方法。一类层适应网格，包括Shishkin和Bakhvalov型网格，讨论了一个一般的框架内。各向异性网格上的局部投影及其逼近性质被用来推导能量和“平衡”范数的误差估计。在这里，能量范数自然地从LDG公式的双线性型导出，并且人为地引入“平衡”范数来捕获边界层贡献。我们利用局部加权$L^2$投影建立了LDG方法的$k$阶一致收敛性，以及利用局部Gauss-Radau投影建立了能量范数的$k+1$阶最优收敛性.数值实验。
2021-03-01 cs.NA math.NA
The local discontinuous Galerkin method on layer-adapted meshes for time-dependent singularly perturbed convection-diffusion problems
在本文中，我们分析的误差以及半离散和全离散的不定常对流-扩散问题。对于空间离散，我们使用了一类层适应网格（包括Shishkin型和Bakhvalov型网格）上的局部间断Galerkin（LDG）方法以及时间上的隐式$θ$格式。对于$k$次的分段张量积多项式，我们得到了关于$k+1/2$阶空间在一定能量范数下的一致或几乎一致误差估计和关于时间的最优误差估计.我们的分析是基于仔细的近似误差估计的Ritz投影有关的各向异性网格上的固定问题。我们还讨论了改进的估计在一维的情况下，并使用一个不连续的Galekin离散时间。数值实验支持我们的理论结果。
2020-12-07 cs.NA math.NA
Two-grid algorithms for singularly perturbed reaction-diffusion problems on layer adapted meshes
University of Ruse（鲁塞大学）
本文提出基于Bellman-Kalaba准线性化和Axelsson-Xu有限元双网格方法的新双网格算法，用于求解退化反应扩散方程，通过粗网格求解廉价问题，细网格求解准线性化后的线性问题，所有方案对小参数均匀收敛。
2016-04-18 cs.CE cs.NA math.NA
The local discontinuous Galerkin method for a singularly perturbed convection-diffusion problem with characteristic and exponential layers
研究了$\mathbb{R}^2$中单位正方形上的奇摄动对流-扩散问题，其解具有指数边界层和特征边界层.在Shishkin网格上采用局部间断Galerkin（LDG）方法数值求解了该问题。使用张量积分段多项式的次数最多$k>0$在每个变量中，LDG的解决方案和真正的解决方案之间的误差被证明是收敛的，一致的奇异摄动参数，在一个相关的能量范数，其中$N$是在每个坐标方向上的网格间隔的数量在$O((N^{-1}\ln N)^{k+1/2})$率。(This是LDG方法应用于特征边界层问题时证明的第一个一致收敛结果。此外，我们还证明了当我们度量LDG解和真实解在有限元空间中的局部Gauss-Radau投影之间的能量范数差时，这个收敛阶增加到$O((N^{-1}\ln N)^{k+1})$，这种一致超逼近性质意味着我们的LDG方法的最优$L^2$误差估计为$(N^{-1}\ln N)^{k+1}$阶.数值实验表明我们的理论结果的清晰度。
2022-09-21 cs.NA math.NA
Layer-adapted meshes for singularly perturbed problems via mesh partial differential equations and a posteriori information
本文提出一种基于 MPDE 并利用后验解估计构造 SPDE 层适应网格的新方法，给出高效实现算法、一/二维双参数问题数值结果及 FEniCS 代码。
2023-11-02 cs.NA math.NA
Error estimates in balanced norms of finite element methods on Shishkin meshes for reaction-diffusion problems
本文研究了反应扩散问题在Shishkin网格上的有限元方法，提出平衡范数以正确反映层行为，并讨论了各向异性问题、半线性方程、超接近性和组合技术。
2016-04-18 cs.NA math.NA
Analysis of SDFEM on Shishkin triangular meshes and hybrid meshes for problems with characteristic layers
Shandong Normal University（山东师范大学）；Qilu University of Technology（齐鲁工业大学）
本文分析了SDFEM在具有特征层的对流扩散方程上的性能，证明了超接近性质，并通过数值实验验证了理论结果。
2016-01-12 cs.NA math.NA
