Coloured and directed designs
我们给出了我们最近关于标号复形分解的结果的一些说明性应用，包括关于带色边或有向边的超图分解的一些新结果。例如，我们给出了相当一般的条件分解成彩虹三角形的边着色图，并分解成紧q-圈的r-有向图。
2020-04-21 math.CO
Cycle Decompositions and Constructive Characterizations
将一个欧拉图分解为最小和最大数目的边不相交圈是一个NP完全问题。我们证明了一个欧拉图分解成一个唯一的圈数当且仅当它不包含两个边不相交的圈共享三个或更多的顶点。为此，我们讨论了三个二元图算子的相互作用，导致新的建设性特征的两个子类的欧拉图。这使我们能够提出一个多项式时间算法，它决定是否在一个给定的欧拉图的圈分解的圈数是唯一的。
2019-01-07 math.CO
Decomposition of complete tripartite graphs into 5-cycles using the graph adjacency matrix
将一个完全三部图分解为5-圈的问题最早是由Mahmoodian和Mirzakhani在1995年提出的，从那时起，人们进行了许多尝试来将这样的图分解为5-圈。这些尝试取得了部分成功，但部分问题仍然没有解决。本文对这一问题进行了深入的研究，将更多的三部图分解为5-圈，并介绍了一般的圈分解的图邻接矩阵（GAM）方法。GAM方法将圈分解问题转化为多边形覆盖正方形问题。这个新的公式更容易解决，使我们能够找到显式分解的许多情况下，以前没有分解。
2021-05-30 math.CO
Decomposing cubic graphs into isomorphic linear forests
针对Wormald 1987年提出的“4n顶点立方图边可划分为两个同构线性森林”的猜想，本文利用概率工具、结构分析及局部重着色技术，证明其对大型连通立方图成立。
2025-07-08 math.CO
$m$-Cycle Packings of $(λ+μ)K_{v+u}-λK_v$: $m$ even
一个$λK_v$是一个完全图上的$v$顶点与$λ$边之间的每对$v$顶点。$(λ+μ)K_{v+u}-λK_v$是删除了$λK_v$的边集的$(λ+μ)K_{v+u}$。将一个$(λ+μ)K_{v+u}-λK_v$分解成边不相交的$m$ -圈已经被很多人研究过。到目前为止，有一个完整的解决方案，为$m=4$和部分结果时，$m=3$或$m=5$。在本文中，我们能够解决这个问题的所有偶数周期长度只要$u,v\geq m+2$。
2016-02-04 math.CO
On decomposing graphs of large minimum degree into locally irregular subgraphs
一个\emph{locally irregular graph}是一个图，其邻顶点具有不同的度。我们说一个图$G$可以分解成$k$局部不规则子图，如果它的边集可以划分成$k$子集，每个子集诱导$G$中的一个局部不规则子图。已经证明，除了不允许这种分解的例外族之外，即，奇路、奇圈和一类特殊的最大度图$3$，每个连通图都可以分解为$3$局部不正则子图.结合概率的方法和一些已知的定理的程度限制的子图的一个给定的图，我们证明了这是持有足够大的最小程度的图，$δ(G)\geq 10^{10}$。这个问题是强烈相关的边缘着色区分其入射颜色的调色板和1-2-3猜想的邻居。特别是，本文的贡献构成了Addario-Berry，Aldred，Dalal和Reed [J. Combin.理论系列B 94（2005）237-244]。
2015-08-05 math.CO
On decomposing multigraphs into locally irregular submultigraphs
局部不规则重图是指其邻顶点具有不同度的重图。局部不规则边染色是多重图$G$的边染色，使得每种颜色都导出$G$的一个局部不规则子多重图.我们称一个重图$G$是局部不规则可着色的，如果它允许局部不规则边着色，我们用${\rm lir}(G)$表示$G$的局部不规则色指数，它是局部不规则可着色重图$G$的局部不规则边着色所需的最小颜色数.我们猜想，对于任何与$K_2$不同构的连通图$G$，由$G$通过每条边加倍得到的重图$^2G$都允许${\rm lir}(^2G)\leq 2$ .这一概念与著名的1-2-3猜想、局部无规则猜想、（2，2）猜想以及其他与边着色有关的类似问题密切相关。我们证明了这个猜想适用于图类，如路径，循环，车轮，完全图，完全$k$ -部图和二部图。利用我们对二部图的结果，我们还证明了所有2-重图的局部非正则色指数的一般界。
2022-08-18 math.CO
New Ore-type Conditions for Hamilton Cycles and Spanning Trees with few leaves
给出了Hamilton圈和少叶生成树的新Ore型条件。
2021-05-20 math.CO
Few Non-derogatory Directed Graphs from Directed Cycles
通过在有向圈上加弧的方法构造了几个非贬损有向图，并计算了它们的特征多项式和特征指数。
2017-07-07 math.CO
Decomposing Berge graphs and detecting balanced skew partitions
图中的洞是至少在四个顶点上的诱导圈。一个图是Berge，如果它没有奇洞，如果它的补图没有奇洞。2002年，Chudnovsky，Robertson，Seymour和Thomas证明了Berge图的分解定理，称每个Berge图要么在一个很好理解的基本类中，要么有某种分解。然后，Chudnovsky证明了更强的定理。其中之一限制了允许的分解2-连接和平衡斜分割。证明了判定一个图是否有平衡斜剖分的问题是NP-困难的。我们给出了一个$O(n^9)$ -时间算法限制在Berge图相同的问题。我们的算法不是建设性的：它只证明一个图是否有平衡斜划分或没有。它依赖于一个新的分解定理的Berge图，是更精确的比以前已知的定理。我们的定理还意味着每个Berge图可以在第一步中仅使用平衡斜划分进行分解，并且在第二步中仅使用2-joins进行分解。我们证明这一新定理的一个重要步骤使用的定理之一Chudnovsky。
2013-09-03 math.CO
Packing Hamilton Cycles in Random and Pseudo-Random Hypergraphs
我们说$k$ -一致超图$C$是$\ell$型的Hamilton圈，对于某些$1\le \ell \le k$，如果存在$C$的顶点的循环序使得$k$中的每一条边都由$k$的连续顶点组成，并且对于$C$中的每一对连续边$E_{i-1},E_i$（按边的自然序），我们有$|E_{i-1}-E_i|=\ell$ .证明了对于$\ell \le k\le 2\ell$，具有$p(n)\gg \log^2 n/n$的随机$k$ -一致超图$H(n,p,k)$的几乎所有边都有可能分解为边不交型$\ell$ Hamilton圈.对于$\ell \le k\le 2\ell$，我们还给出了将伪随机$k$ -一致超图的几乎所有边分解为$\ell$型Hamilton圈的充分条件.对于$\ell=k$，这些结果表明，相应的随机和伪随机超图的几乎所有的边都可以包装成不相交的完美匹配。
2010-03-09 math.CO
A remark on Hamilton cycles with few colors
Akbari、Etesami、Mahini和Mahmoody证明了$K_n$的每一个具有$n$颜色的真边着色都包含一个具有$\leq O(\log n)$颜色的Hamilton圈。他们证明了总有一个带有$\leq 8\sqrt n$颜色的Hamilton圈。在本文中，我们将这个界限改进为$O(\log^3 n)$。
2017-06-15 math.CO
Long path and cycle decompositions of even hypercubes
考虑$n$维超立方体$Q_n$的边分解为给定图$H$的同构副本.虽然一些结果是已知的分解$Q_n$到图从不同的类，最简单的情况下，路径和循环的一个给定的长度是远远没有被理解。Erde的一个猜想断言，如果$n$是偶数，$\ell < 2^n$和$\ell$整除$Q_n$的边数，则长度为$\ell$的路径分解为$Q_n$。Tapadia等人证明了任何长度为$2^mn$的路径，其中满足这些条件的$2^m<n$分解为$Q_n$。在这里，我们取得了进展，解决Erde的猜想表明，周期的某些长度高达$2^{n+1}/n$分解$Q_n$。因此，我们表明，$Q_n$可以分解成任何路径的长度最多$2^{n}/n$划分的边缘数的$Q_n$，从而解决Erde的猜想的线性因子。
2021-01-24 math.CO
The regularity method for graphs with few 4-cycles
我们开发了一个稀疏图的正则性方法，适用于很少的4-圈的图，包括新的计数和删除引理，在这样的图5-圈。一些应用包括：* 通过删除$o(n^{3/2})$边，可以使每个不含5-圈的$n$ -顶点图成为无三角形图。* 对于$r \geq 3$，每个围长大于$5$的$n$ -顶点$r$ -图都有$o(n^{3/2})$边. * 方程$x_1 + x_2 + 2x_3 = x_4 + 3x_5$没有非平凡解的$[n]$的每个子集都有大小$o(\sqrt{n})$。
2021-09-25 math.CO
Highly-connected planar cubic graphs with few or many Hamilton cycles
本文研究了具有高圈边连通度的平面三次图中Hamilton圈的个数，回答了Chia和Jassen提出的两个问题（“On the number of longest and almost longest cycles in cubic graphs”，Ars Combin. 104，307- 320，2012）关于这些族中的极值图。特别地，我们发现了一类循环$5$ -边连通平面三次图，它们比广义Petersen图$P(2n,2)$具有更多的Hamilton圈.图本身是富勒烯图，对应于某些被称为纳米管的碳分子-更准确地说，该家族由（固定）宽度$5$和增加长度的锯齿形纳米管组成。为了计算纳米管中的Hamilton圈，我们开发了受统计物理学的转移矩阵启发的方法。我们概述了这些方法如何可以适应计数更大（但仍然固定）的宽度的纳米管中的汉密尔顿周期，与警告，所得到的表达式涉及矩阵的权力。我们还考虑了具有少量Hamilton圈的循环$4$ -边连通的三次可平面图，并给出了一个这样的图的无限族，每个图都恰好具有$4$ Hamilton圈.最后我们考虑了这两类图的“另一个极端”，从而研究了具有多个Hamilton圈的循环$4$ -边连通三次平面图和具有少个Hamilton圈的循环$5$ -边连通三次可平面图.在每一种情况下，我们提出了部分结果，例子和插图关于图的几个或多个Hamilton圈。
2019-02-14 math.CO
4-regular 4-connected Hamiltonian graphs with few Hamiltonian cycles
该研究证明了存在哈密顿环数量有界的无穷多族4-正则4-连通哈密顿图，并提出5-正则5-连通情形下是否存在同类图族的开放问题。
2021-04-13 math.CO
Hamiltonian cycles in 4-connected planar and projective planar triangulations with few 4-separators
惠特尼在1931年证明了每一个4连通平面三角剖分是哈密尔顿的。后来在1979年，Hakimi，Schmeichel和Schlassen证明了$n$顶点上的每个三角剖分至少有$2(n - 2)(n - 4)$哈密顿圈。沿着这个方向，Brinkmann，Souffriau和Van Cleemput建立了4连通平面三角剖分中哈密顿圈个数的线性下界。与此形成鲜明对比的是，Alahmadi、Aldred和Aldassen证明了平面或射影平面的每个5-连通三角剖分都有指数数量的哈密顿圈。这给出了研究具有少量4-分隔符的4-连通三角剖分的哈密顿圈的个数的动机。最近，Liu和Yu证明了每一个具有$O(n / \log n)$ 4-分隔符的4-连通平面三角剖分都有二次方个哈密顿圈.通过调整Alahmadi等人的框架，我们加强了前面提到的最后两个结果。证明了每个具有$O(n)$ 4-分隔符的4-连通平面或射影平面三角网都有指数多个哈密顿圈。
2021-04-26 math.CO
Decomposing graphs into interval colorable subgraphs and no-wait multi-stage schedules
一个图$G$称为区间可着色的，如果它有一个用颜色$1,2,3,\dots$的适当边染色，使得关联到$G$的每个顶点的边的颜色形成一个整数区间.不是所有的图都是区间可着色的;事实上，很少有图族被证明是区间可着色的。本文引入并研究了图$G$的区间着色厚度的概念，记为${θ_{\mathrm{int}}}(G)$，它是$G$的并为$G$的区间可着色边不交子图的最小数目.我们的调查是出于紧凑性要求的调度问题，特别是问题的解决方案可能包括几个时间表，但每个时间表必须不包含任何等待期或空闲时间的所有参与方。首先证明了每一个连通的$3$ -边可着色图都是区间可着色的，并且利用这个结果，我们给出了一般图$G$的${θ_{\mathrm{int}}}(G)$的一个上界.我们证明了当$G$是二部的，平面的或完全多部的情况下，这个上界可以得到改进，并考虑了一些应用。
2021-06-07 math.CO
Partitioning edge-coloured hypergraphs into few monochromatic tight cycles
利用Gyárfás的一个猜想，证明了对所有自然数$k$和$r$，每个$r$ -边色完全$k$ -一致超图的顶点都可划分为有界数目的单色紧圈（与超图的大小无关）.进一步证明了对所有自然数$p$和$r$，每个$r$ -边着色完全图的顶点都可划分为有界个数的$p$ -次幂圈，从而解决了Elekes，Soukup，Soukup和Szentmiklóssy的问题.事实上，我们证明了这两个定理的一个共同的概括，进一步扩展这些结果的所有主机超图的有界独立数。
2020-07-09 math.CO
Hamiltonian cycles in Cayley graphs whose order has few prime factors
证明了如果Cay（G; S）是n阶连通Cayley图，且n的素因子分解很小，则Cay（G;S）有一个哈密顿圈.更精确地说，如果p、q和r是不同的素数，那么n可以是kp的形式，其中k < 32且k不等于24;或者是kpq的形式，其中k < 6;或者是pqr的形式;或者是kp^2的形式，其中k < 5;或者是kp^3的形式，其中k < 3。
2011-04-04 math.CO
Minimum Rainbow $H$-Decompositions of Graphs
给定图$G$和$H$，我们考虑将一个适当边有色图$G$分解成由$H$的彩虹拷贝和单边组成的几个部分的问题.我们建立一个密切的关系，以前研究的问题，最小的$H$ -分解，边着色并不重要，一个只感兴趣的是分解成副本的$H$和单边图。
2017-04-04 cs.DM math.CO
The Coloring Game on Planar Graphs with Large Girth, by a result on Sparse Cactuses
我们用$χ$ g（G）表示图G的游戏色数，它是Alice在G上赢得着色游戏所需的最小颜色数.我们从Montassier et al. [M. Montassier，P. Ossona de Mendez，A. Raspaud和X. Zhu，Decomposing a graph into forests，J. Graph Theory Ser. B，102（1）：38-52，2012]，并且独立地，从Wang和Zhang，[Y. Wang和Q.张某Decomposing a planar graph with girth at least 8 into a forest and a matching，Discrete Maths，311：844-849，2011] that planar graphs with girth at least 8 have game chromatic number at most 5.人们可能会问，对于足够大的围长，这个5的界是否可以改进。在本文中，我们证明它不能。不仅如此，我们还证明了存在仙人掌CT（即每条边最多只属于一个圈的图）的$χ$ g（CT）= 5，尽管其圈长任意大，甚至圈间距离任意大.
2015-07-12 cs.DM math.CO
Random graphs with few disjoint cycles
经典的Erdens-Pósa定理指出，对于每个正整数k，存在一个f（k），使得在每个不具有k+1个不相交圈的图G中，存在一个大小至多为f（k）的阻塞器;也就是说，一个至多为f（k）个顶点的集合B，使得G-B没有圈。我们证明，在顶点集{1，.上的所有此类图中，n}，除了指数小的比例之外，所有的都具有大小为k的阻塞器。我们还给出了从这类图中均匀抽样的随机图的进一步性质，包括阻塞唯一性、连通性、色数和团数。证明主定理的一个关键步骤是证明必须有一个blocker，就像在Erdens-Pósa定理中一样，具有额外的“冗余”性质，即B-v对于B中的所有顶点v仍然是blocker，但至多k个顶点v。
2010-10-29 math.CO
Decomposing a Graph into Unigraphs
唯一图是由它们自己的度序列唯一确定直到同构的图。单图有许多子类，如阈值图、分裂母矩阵图、拟阵图和母矩阵图。单图和这些子类在文献中得到了很好的研究。然而，关于单全图的超类的结果却很少。本文引入了两类单图的推广：$k$ -单图和$k$ -强单图。如果图$G$可划分为$k$ -unigraph，则称图$G$是$k$ -unigraph. $G$是一个$k$ -强唯一图，如果它的每个子图都是一个唯一图，而且整个图在同构的情况下都可以用它的度序列唯一地确定.本文描述了$k$ -强唯一图与子图同构问题之间的关系。本文给出了$k$ -（强）单图的一些性质和计算最小$k$使得图$G$是$k$ -（强）单图的算法结果。这篇论文将开启许多其他的研究课题。
2019-04-20 cs.DM cs.DS math.CO
Finding Hamilton cycles in random graphs with few queries
我们引入了一个新的设置在随机图的算法问题，研究的最小数量的查询需要询问的${\mathcal G}(n,p)$的顶点对之间的邻接，以通常找到一个子图拥有一个给定的目标属性。我们表明，如果$p\geq \frac{\ln n+\ln\ln n+ω(1)}{n}$，那么可以找到一个汉密尔顿循环后，暴露$(1+o(1))n$边缘的概率很高。我们的结果在$p$和暴露边的数目方面都是紧的。
2016-08-04 math.CO math.PR
Few hamiltonian cycles in graphs with one or two vertex degrees
本文完全否定了Haythorpe关于正则哈密顿图中最小哈密顿圈数的一个猜想，从而推广了Zamfirescu的一个结果，并修正和补充了Haythorpe在[Experim. 27（2018）426-430]。然后，我们利用Lovász局部引理推广了Lassen的独立控制集方法。关于这种方法的局限性，我们回答了一个问题的Haxell，Eklone，和Verstraete，并解决了第一个开放的情况下的问题的Eklassen。受Aldred和Aldassen的一个观察的启发，我们证明了：对于每个$κ\in \{ 2, 3 \}$和任何正整数$k$，存在无穷多个连通$κ$的非正则图，其中每个顶点的度都是$3$或$2k$ .
2022-11-15 cs.DM math.CO
