Arithmetic of character varieties of free groups
Sergey Mozgovoy, Markus Reineke
通过有限域上的计数，我们得到了自由群的GL（d）-特征标簇和PGL（d）-特征标簇的E-多项式和欧拉示性数标的显式公式.我们证明了这些多项式的正性性质，并将它们与有限指数子群的数目联系起来。
Via counting over finite fields, we derive explicit formulas for the E-polynomials and Euler characteristics of GL(d)- and PGL(d)-character varieties of free groups. We prove a positivity property for these polynomials and relate them to the number of subgroups of finite index.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Arithmetic harmonic analysis on character and quiver varieties II
我们研究了穿孔黎曼曲面基本群的类属特征标簇的拓扑结构、Macdonald多项式、代数表示、曲面上的Hilbert格式、有限一般线性群的不可约特征标的模形式和张量积中的重数之间的联系。
Fine Deligne-Lusztig varieties and Arithmetic Fundamental Lemmas
证明了一类闭优良Deligne-Lusztig簇的特征公式。我们应用它来计算不动点罚款Deligne-Lusztig品种所产生的基本位点的志村品种的Coxeter型。作为应用，我们证明了由算术Gan-Gross-Prasad拓扑所产生的酉和GSpin Rapoport-Zink空间上某些对角环的算术交公式.特别是，我们证明了算术基本引理在极小的情况下，没有假设的残留特征。
Effective Bounds of Linear Series on Algebraic Varieties and Arithmetic Varieties
本文证明了射影簇上的线丛和算术簇上的埃尔米特线丛的有效截面的有效上界。它们是希尔伯特-塞缪尔公式和算术希尔伯特-塞缪尔公式的有效版本。
Arithmetic diagonal cycles on unitary Shimura varieties
我们定义的PEL类型的志村品种的算术甘-格罗斯-普拉萨德猜想的上下文中出现的变种。我们为他们制定了一个版本的AGGP猜想。我们还构建（全球和半全球）这些志村品种的积分模型，并制定他们的算术相交数的代数。我们在低维中证明了其中的一些性质。
On the arithmetic Siegel--Weil formula for GSpin Shimura varieties
给出并证明了GSpinRapoport-Zink空间的局部算术Siegel-Weil公式，它是GSpinRapoport-Zink空间上特殊圈的算术相交数与二次型的局部表示密度的导数之间的精确恒等式.作为第一个应用，我们证明了Kudla提出的一个半全局算术Siegel-Weil公式，它将GSpin Shimura簇上特殊圈在好约化位置的算术相交数与非相干Siegel-Eisenstein级数的非奇异傅里叶系数的中心导数联系起来.
Adelic divisors on arithmetic varieties
本文将算术因子的几个基本结果，如体积函数的连续性、广义Hodge指标定理、算术因子的Fujita逼近定理和算术曲面上算术因子的Zuraki分解，推广到广义算术因子的情形。
Arithmetic of singular character varieties and their $E$-polynomials
我们计算了任意亏格的紧致定向曲面的$SL_3(\mathbb{C})$和$GL_3(\mathbb{C})$特征簇的$E$-多项式以及任意欧拉示性数的紧致不可定向曲面的$SL_2(\mathbb{C})$和$GL_2(\mathbb{C})$特征簇的$E$ -多项式.我们的方法也给出了一个新的和显着更简单的计算的$E$ -多项式的$SL_2(\mathbb{C})$ -字符品种的紧凑定向曲面，这是计算的Logares，Muñoz和Newstead的属$g=1,2$和Martinez和Muñoz的$g \ge 3$。我们的技术是基于有限域上的字符簇的算术。更具体地说，我们将展示如何扩展的方法Hausel和Rodriguez Villegas用于非奇异（扭曲）字符品种的奇异（untwisted）的情况下。
Arithmetic and representation theory of wild character varieties
本文对具有正则半单首项的奇性黎曼曲面的野生特征簇在有限域上进行点计数。计数公式的新特点是出现了Yokonuma-Hecke代数的特征标。我们的结果导致了这样的猜想，即这些特征标簇的混合Hodge多项式与某些扭曲抛物Higgs模空间的先前证明的反常Hodge多项式一致，表明了对一个合适的野生Hitchin系统的P=W猜想的可能性.
Arithmetic models for Shimura varieties
我们描述了最近的工作建设表现良好的算术模型的大类志村品种和报告在这些模型的研究进展。
Geometric Satake, categorical traces, and arithmetic of Shimura varieties
本文综述了近年来关于p-adic群的几何Satake及其在Shimura簇算术问题中的应用。我们重新制定了一些结构出现在以前的作品更概念化。
Inequalities for semistable families of arithmetic varieties
本文考虑了Bogomolov不等式和Cornalba-Harris-Bost不等式在算术簇的半稳定性中的推广，即几何半稳定性蕴涵某种算术正性.第一个是第二作者证明的相对Bogomolov不等式的算术模拟。我们还建立了正则算术簇上稳定曲线的算术Riemann-Roch公式和算术簇的一般有限态射。
The theta invariants and the volume function on arithmetic varieties
本文对算术簇上的埃尔米特线丛引入了一个新的算术不变量。我们使用这个不变量来测量体积函数相对于度量的变化。本文的主要结果是算术环面簇上的一个推广的Hodge指标定理。
Arithmetic and dynamical degrees of self-morphisms of semi-abelian varieties
证明了川口-西尔弗曼关于半阿贝尔簇的自态射的算术度和动力度的一个猜想。此外，我们确定了半阿贝尔簇的轨道的算术度和自态射的（第一）动力学度的集合。
Arithmetic purity of strong approximation for complete toric varieties
本文建立了加权射影空间的光滑轨迹的强逼近的算术纯性。利用这个结果和下降法，我们还证明了具有Brauer-Manin阻塞的强逼近的算术纯性对任何光滑完备环面簇都成立.
Arithmetic D-modules over algebraic varieties of characteristic p>0
让$k$是一个领域的特点$p>0$不一定完美。利用Berthelot的算术$\mathcal{D}$-模理论，构造了有限型可实现$k$-格式的Grothendieck六种运算的$p$-adic形式.
Moduli theory and arithmetic of algebraic varieties
本文综述了模理论在代数簇上有理点分布问题中的一些应用。它将出现在法诺会议的记录中。
The arithmetic volume of hypersurfaces in toric varieties and Mahler measures
该研究确定了光滑射影环面簇中超曲面的典范算术体积，并由此证明了这类超曲面上的广义Hodge指标定理，为算术代数几何领域相关问题提供了新结果。
Continuity of volumes on arithmetic varieties
我们引入体积函数的厄米可逆层的算术品种作为一个模拟的几何体积函数。本文的主要结果是算术体积函数的连续性。作为结果，我们有算术希尔伯特-塞缪尔公式的nef厄米可逆层。我们还给出了它的一些应用，如推广的Hodge指标定理，算术Bogomolov-Gieseker不等式等。
On derived categories of arithmetic toric varieties
我们开始系统的调查导出范畴的光滑投射环面品种定义在任意基域。我们表明，在许多情况下，toric品种承认完整的特殊集合。示例包括所有复曲面、所有复曲面Fano 3折叠、一些复曲面Fano 4折叠、Voskresenskii和Klyachko的广义del Pezzo变体，以及与$A$类型的Weyl粉丝相关的复曲面变体。我们的主要技术工具是一个完全通用的伽罗瓦下降结果的特殊集合的对象（可能是非环面）品种在非封闭的领域。
On arithmetic general theorems for polarized varieties
本文应用Schmidt子空间定理建立了数域和函数域上射影簇的算术一般定理。我们的第一个结果推广了M. Ru和P. Vojta。其证明的一个方面是利用了奥蒂西耶作品中出现的过滤结构。进一步，我们考虑了M.鲁和J. T.- Y. Wang，它属于K. F.在D. McKinnon和M.罗斯受这些工作的启发，我们建立了我们的第二个算术一般定理，即Roth定理的一种形式。最后，我们观察到，我们的结果给，在范诺品种的背景下，一个充分条件的有效性的主要不等式预测Vojta。
Arithmetic geometry of character varieties with regular monodromy
本研究针对可定向曲面群到约化群$G$的表示模空间特征簇，证明其光滑等维性，对含正则单值性的特征簇实现多项式计数并推导$E$-多项式，进而确定拓扑不变量，还给出上同调与物理刚性差异的实例。
Arithmetic positivity on toric varieties
我们继续我们的研究的算术几何环面品种。本文研究了复曲面上度量化R-因子的正性。对于复曲面度量化R-因子，给出了它的算术体积和卡算术体积的计算公式，并利用组合数据刻画了它的算术充分性、nef性、大有效性和伪有效性.作为应用，我们证明了复曲面簇上的Dirichlet单位定理，给出了复曲面度量化R-因子的Zerkiki分解存在性的一个刻划，并证明了复曲面算术Fujita逼近定理.
A local version of the arithmetic Hodge index theorem over quasiprojective varieties
本文提出拟射影簇上度量线丛的局部相交数，证明局部算术Hodge指标定理，并由此得到Monge-Ampère方程在阿基米德与非阿基米德情形下的唯一性。
Diophantine Approximation of non-algebraic points on varieties II: Explicit estimates for arithmetic Hilbert Functions
由于其无效性，通常的算术Hilbert-Samuel公式不适用于丢番图逼近。为了克服这一困难，本文给出了射影空间中闭子簇的算术Hilbert函数的显式估计。
Modularity of generating series of divisors on unitary Shimura varieties II: arithmetic applications
我们证明了两个公式的风格的Gross-Zagier定理，相关的衍生物的L-函数的算术交配对的一个酉志村品种。我们还证明了一个特殊的情况下Colmez猜想的Faltings高度的交换品种与复乘。这些结果是由作者早先关于酉Shimura簇上因子生成列的模性的结果导出的。
Algebraic dynamical systems and Dirichlet's unit theorem on arithmetic varieties
本文从两个方面研究了Dirichlet性质的障碍：非正点的稠密性和广义R-因子上的泛函。应用于代数动力系统，这些结果提供了不具有Dirichlet性质的Nef代数算术R-Cartier因子的例子.我们希望文中所得到的障碍能为狄利克雷性质的判定提供一条道路。
Godeaux-Serre Varieties with Prescribed Arithmetic Fundamental Group
证明了对任意给定的域$k$和自然数$r\geq2$，绝对伽罗瓦群$\mathrm{Gal}_k$被有限群的每个连续扩张是$k$上维数为$r$的几何连通光滑投射簇的算术基本群.
Big Line Bundles over Arithmetic Varieties
证明了Arakelov几何中算术大线丛的一个Hilbert-Samuel型结果，它是Siu的一个经典定理的类似结果.这一结果的应用给出了代数动力系统上的小点的等距分布，继Szpiro-Ullmo-Zhang的工作之后。我们还推广了Chambert-Loir的非阿基米德等分布。
Motivic Weight Complexes for Arithmetic Varieties
我们将（同调）动机的权复形，以及Grothendieck动机群中的欧拉示性数，与算术簇和Deligne-Mumford栈相关联;这扩展了Crelle在第478卷的论文“下降，动机和K-理论”中的结果，其中证明了特征为零的域上的簇的类似结果。我们使用K_0-动机与合理的系数，而不是周动机，因为我们不能呼吁奇点的分解，而是必须使用德容的结果。此外，对于一个领域的品种，我们证明了一个一般结果的重量复合物的逆变，特别是显示，任何有限的tor-dimension品种之间的态射诱导的重量复合物的态射。
Toward Dirichlet's unit theorem on arithmetic varieties
在本文中，我们想提出一个基本问题，高维类似的狄利克雷单位定理。作为算术Hodge指数定理的一个应用，我们也给出了这个问题的部分答案。
Non-arithmetic hyperbolic orbifolds attached to unitary Shimura varieties
本文提出利用复算术球商上的反全纯对合并沿测地子空间粘合的方法，为所有 n>1 在 PO(n,1) 中构造非算术格，并得到可显式计算体积的完备实双曲 orbifold。
Arithmetic group symmetry and finiteness properties of Torelli groups
我们研究群体的共振品种，特征品种和西格玛不变量有一个自然的算术群对称性，我们探讨各种有限性的子群的影响。计算了Torelli群的共振簇、特征簇和Alexander多项式，证明了当亏格至少为4时，所有包含Johnson核的子群都有有限的第一贝蒂数.我们还证明了，在这个范围内，$I$-进完成的亚历山大不变量是有限维的，和Kahler财产的Torelli群意味着有限代的约翰逊内核。
Some results on affine Deligne-Lusztig varieties
仿射Deligne-Lusztig簇的研究最初起源于算术几何，但仿射Deligne-Lusztig簇的许多问题本质上是纯粹的李理论问题。本文综述了仿射Deligne-Lusztig簇几个重要问题的最新进展。重点是李理论方面，而一些连接和应用算术几何也将被提及。
Dynamical Degree and Arithmetic Degree of Endomorphisms on Product Varieties
对于定义在数域上的光滑射影簇上的支配有理自映射，Shu Kawaguchi和Joseph H. Silverman证明了在一个前向轨道定义明确且Zebriki稠密的有理点上的动力学度等于算术度。本文给出了积簇上的自映射及其上的有理点的一些例子，并证明了川口-西尔弗曼猜想的成立。
Modularity of arithmetic special divisors for unitary Shimura varieties (with an appendix by Yujie Xu)
本文构造了任意分裂水平下酉 Shimura 簇整模型上 Kudla 特殊除子算术扩张的显式生成级数，利用容许算术除子理论与算术混合 Siegel-Weil 公式证明其模性，部分解决了 Kudla 模问题。
Arithmetic jet spaces and the unramified Zilber--Pink conjecture for subvarieties of abelian varieties
该研究运用δ几何方法，针对定义在数域上的阿贝尔簇子簇，结合固定素数处有界分歧的点，界定其Zilber–Pink轨迹中点的次数，推进了非分歧Zilber–Pink猜想的相关研究。
Supersingular locus of Hilbert modular varieties, arithmetic level raising and Selmer groups
本文有三个目标。首先，我们将Deuring和Serre关于模曲线超奇异轨迹的刻画的结果推广到全实数域上的全不定四元数代数的所有Shimura簇.其次，我们推广Ribet的算术水平提升的结果，在惰性的情况下，这样的Shimura品种。第三，作为数论的应用，我们利用前面的结果研究了在Bloch-Kato猜想的背景下，椭圆曲线的某些三重积动机的Selmer群。
On the arithmetic of abelian varieties
本文证明了一类新的关于群生成（无限）域上的一元函数域上的阿贝尔簇算术的结果。除其他事项外，我们引入了某些新的自然对象“离散Selmer群”和“离散Shafarevich-Tate群”，并证明了它们是离散生成的$\Bbb Z$ -模。进一步证明了在等平凡情形下，离散的Shafarevich-Tate群为零，离散的Selmer群与Mordell-Weil群重合.其中一个关键成分，以证明这些结果是一个新的专业化定理à拉Néron的第一伽罗瓦上同调群，（$l$ -进）泰特模块的阿贝尔簇概括Néron的专业化定理有理点的阿贝尔簇。
Arithmetic-geometric means for hyperelliptic curves and Calabi-Yau varieties
本文定义了由θ常数的$2τ$ -公式激发的$2^g$项之间的广义算术-几何平均数$μ_g$.本文利用Reynae公式，给出了初始项满足一定条件时$μ_g$的两种表达式。一个是关于亏格为$g$的超椭圆曲线$C$的周期积分。另一种方法是利用$g$ -维射影空间$\mathbf{P}^g$的双覆盖给出的某个Calabi-Yau $g$ -重的周期积分。
Heights on toric varieties for singular metrics: Global theory
本文提出了一种极核种的极值理论，通过凹函数积分计算极核算术品种的极值。
Arithmetic compactifications of the Hilbert modular varieties and Hilbert modular forms for $Γ_1(c,n)$
我们构造了水平$Γ_1(\mathfrak{c},\mathfrak{n})$的Hilbert模簇的分歧尖点的局部图。这使得我们能够密切关注M。Rapoport和C.- L. Chai，构造这些模簇的算术环和极小紧化。给出了模形式的一些应用。请参阅我们与J. Tilouine的联合工作以了解其他应用。
On the Bertini regularity theorem for arithmetic varieties
设$\mathcal{X}$是一个正则射影算术簇，它具有一个充分的厄米线丛$\overline{\mathcal{L}}$ .我们证明了$\overline{\mathcal{L}}^{\otimes d}$的整体瓣$σ$与$\left\lVert σ\right\rVert_{\infty}<1$的比例趋于$ζ_{\mathcal{X}}(1+\dim \mathcal{X})^{-1}$作为$d\rightarrow \infty$，其中$\overline{\mathcal{L}}^{\otimes d}$的除数在纤维$\mathcal{X}_p$上没有奇点.
Arithmetic harmonic analysis on character and quiver varieties
我们提出一个猜想，推广了Macdonald多项式的Cauchy公式。该猜想对亏格为g-GL_n（C）的黎曼曲面的基本群的表示的特征簇的混合Hodge多项式进行了编码，并在k个穿孔处具有固定的一般半单共轭类.利用GL_n（F_q）的特征标表，计算了这些特征标簇的E-多项式，证实了我们的猜想。然后，利用gl_n（F_q）的特征标表，计算了某些相伴的彗星形簇的E-多项式，即我们的特征标簇的加性类似物，并发现它是我们所构造的混合Hodge多项式的纯部分。最后，我们观察到，我们所构造的混合Hodge多项式的纯部分也等于GL_n（F_q）的不可约表示的张量积中的某些重数。这意味着GL_n（F_q）的表示论和与彗星形状的、典型的狂野的颤动相关的Kac-Moody代数之间有着奇怪的联系。
Class Field Theory and Arithmetic of Abelian Varieties over Local Fields
我们使用局部域的知识来适应Jonathan Lubin和Michael Rosen对Mazur命题4.39的证明。这就把关于阿贝尔簇的结果从只研究具有有限剩余域的局部域变成了研究具有正特征的任意完全剩余域的局部域。然后，我们简要地讨论了这些信息的局部类域论含义
Arithmetic Hilbert modular varieties and forms for $Γ_1(c,n)$
我们首先回顾一下$Γ_1(\mathfrak{c},\mathfrak{n})$级的希尔伯特模簇及其紧化的解析理论。在第一作者构造的Hilbert模簇的紧化上，构造了泛Hilbert-Blumenthal阿贝尔簇（及其纤维积）的算术环紧化.给出了Hodge理论、Hilbert-Jacobi模形式和半整数权的Hilbert模形式的几个应用.
The canonicity of the integral models of RSZ Shimura varieties
我们表明，积分模型的志村品种的Rapoport，Smithling和张的变种的算术甘-格罗斯-普拉萨德猜想，算术基本引理猜想和算术转移猜想是规范的Pappas规定的意义。特别是，我们证明了它们同构于Kisin和Pappas构造的模型。
Arithmetic monodromy of hyper-Kähler varieties over $p$-adic fields
本文研究p-进域上超凯勒簇的p-进与ℓ-进单值算子，提出并验证了Nagai猜想在算术情形的类比，并引入基于Sen理论的新方法分析p-进上同调。
Smooth hypersurfaces in abelian varieties over arithmetic rings
设$A$是特征为零的$\mathbb{Z}$ -正则生成整环$R$上的一个至少四维的阿贝尔格式，$L$是$A$上的一个样本线丛.证明了在$A$中表示$L$的光滑超曲面$D$的集合是有限的，并证明了这种超曲面的模栈只有1000个$R$ -点.我们通过使用水平结构来实现这一点，插值有限的结果之间的模量堆叠和堆叠的正则极化品种。
Arithmetic finiteness of Mukai varieties of genus 7
该研究针对亏格7的素Fano三维簇及高维Mukai簇的算术有限性展开，得到Torelli定理的算术精细化、Shafarevich型有限性的维数差异结果，并明确了定义在整数环上的这类簇的存在维数范围。
Arithmetic toric varieties
我们研究环面品种在一个域k分裂的伽罗瓦扩展K/k使用伽罗瓦上同调系数的环面自同构群。这伽罗瓦上同调的一部分适合到一个确切的序列诱导的介绍类群的环面品种。这种观点有助于计算伽罗瓦上同调，特别是循环伽罗瓦群。利用Galois上同调对K/k为循环时的射影空间的k-形式进行了分类，并研究了曲面的k-形式.
A Geometric characterization of Arithmetic Varieties
Belyi的结果可以陈述如下。定义在数域上的任何曲线都可以表示为分支轨迹包含在刚性因子中的射影直线的覆盖。定义了曲面中的几何刚性因子的概念，证明了数域上的曲面都可以表示为射影平面的覆盖，其分支轨迹包含在平面中的几何刚性因子中.主要结果是表征的算术定义的因子在平面上的几何刚性因子在平面上。
The linear positive torsor presentation and arithmetic purity of strong approximation
本文定义线性正挠子表示概念，对数域上具该表示的代数簇建立带Brauer--Manin障碍的强逼近算术纯性，恢复光滑环面簇的对应性质并分类其有理点链连通类。
Arithmetic of rational points and zero-cycles on products of Kummer varieties and K3 surfaces
设$k$为数字字段。在梁永琪的一个结果的基础上，我们将$k$的有限扩张上的有理点的算法与$k$上的Kummer簇上的$k$上的零圈的算法联系起来.例如，对于任何Kummer品种$X$在$k$，我们表明，如果Brauer-Manin障碍是唯一的障碍，哈塞原则的有理点上的$X$在所有有限扩张的$k$，那么（$2$ -小学）Brauer-Manin障碍是唯一的障碍，哈塞原则的零圈上的任何给定的奇数度的$X$在$k$。对Kummer簇、K3曲面和有理连通簇的乘积也得到了类似的结果。
Arithmetic properties of projective varieties of almost minimal degree
本文研究了几乎最小度的射影簇的算术性质，即度超过余维正好2的非退化不可约射影簇。我们特别表明，这样的品种$X \subset {\mathbb P}^r$是算术正常（和算术Gorenstein）或投影的各种最小程度$\tilde {X} \subset {\mathbb P}^{r + 1}$从一个适当的点$p \in {\mathbb P}^{r + 1} \setminus \tilde {X}$。我们针对后者的情况，通过投影$\tilde {X} \to X$来研究$X$。如果$X$不是算术Cohen-Macaulay，则投影簇$\tilde {X}$的齐次坐标环$B$是$X.$的齐次坐标环$A$的标准模$K(A)$的自同态环。如果$X$是非正规的，并且最大是Del Pezzo，即算术Cohen-Macaulay但不是算术正规的，则$B$是$A.$的分次积分闭包。投影$\tilde {X} \to X$的几何形状在任何情况下都由$X$的算术深度决定。我们特别研究的情况下，其中投影品种$\tilde {X} \subset {\mathbb P}^{r + 1}$是一个锥（在）合理的正常滚动。在这种情况下，$X$包含在各种最小程度的$Y \subset {\mathbb P}^r$中，使得$\codim_Y(X) = 1$。我们用它来近似$X$的Betti数。此外，我们提出了几…
Arithmetic Intersection Theory on Flag Varieties
设F是Spec（Z）上的完全标志簇，重言式过滤为0 \subset E_1 \subset E_2 \subset. \subset E_n=E. E（\C）上的平凡厄米度量导出商线丛L_i（\C）上的度量.设\hat{c}_1（L_i）是算术Chow环\hat{CH}（F）中L_i的第一Chern类，x_i = - \hat{c}_1（L_i）.令h（X_1，...，X_n）是在理想<e_1，.中具有整系数的多项式，e_n>由初等对称多项式e_i生成。本文给出了计算算术交h（x_1，.，.，x_n）作为F（\hat{CH}）上的SU（n）-不变微分形式的类。特别是，我们表明，所有的算术陈数得到的是有理数。结果是真实的部分旗品种和推广的Maillot的草尔曼。针对“不变算术Chow环”建立了“算术Schubert演算”，该环专门针对格拉斯曼情形下的Arakelov Chow环。
Arithmetic volumes of unitary Shimura varieties
本文研究酉 Shimura 簇上度量线丛的算术体积，将其表示为 Dirichlet L-函数对数导数，并确定 Kudla-Rapoport 除子的算术体积及其与 Eisenstein 级数系数的关系。
Derived Stratifications and Arithmetic Intersection Theory for Varieties with Isolated Singularities
本文针对带孤立奇点的簇，用导出几何等工具建立分层德拉姆理论，统一拓展相关理论框架，并填补Ohsawa证明的缺口，验证Cheeger-Goresky-MacPherson猜想的相关结论。
Arithmetic and Dynamical Degrees on Abelian Varieties
设$ϕ:X\dashrightarrow X$是光滑簇的支配有理映射，且$x\in X$定义在$\bar{\mathbb Q}$上.动力学度$δ(ϕ)$度量$ϕ$迭代的几何复杂度，算术度$α(ϕ,x)$度量$x$的前向$ϕ$-轨道的算术复杂度.已知$α(ϕ,x)\leδ(ϕ)$，并且证明如果$x$的$ϕ$-轨道在$X$中是Zeromki稠密的，则$α(ϕ,x)=δ(ϕ)$，即，算术复杂度等于几何复杂度。在这份说明中，我们证明了这一猜想的情况下，$X$是一个阿贝尔品种，扩展早期的工作中，该猜想被证明为isogenies。
Arithmetic Motivic Poincaré series of toric varieties
定义在特征为零的域上的簇$V$的算术运动的庞加莱级数是由Denef和Loeser通过类比算术几何中的Serre-Oesterlé级数而引入的奇点不变量。他们证明了当$V$被定义在整数上时，这个动机级数有一个专门化为Serre-Oesterlé级数的有理形式。这个不变量，这是已知明确的几类奇点，仍然是相当神秘的。本文研究了当$V$是仿射复曲面簇时的这一模序列。我们得到一个公式的合理形式的这一系列的牛顿多面体的理想的总和相关联的组合的最小系统的生成器的半群的环面品种。特别是，我们推导出明确的有限集的候选极点这个不变。
Arithmetic finiteness of very irregular varieties
本文通过 Lawrence-Venkatesh 方法和大 monodromy 判据，证明了非常不规则簇在特定条件下满足 Shafarevich 猜想。
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