A Complete Classification of Complex Hadamard Matrices of Order Six
Yale University（耶鲁大学）；The Flatiron Institute（Flatiron研究所）
本文解决了悬而未决数十年的六阶复阿达马矩阵分类问题，通过有限关联分类方法，补充了Szöllősi扩张方法的全局步骤，为六阶阿达马矩阵及相关领域研究提供了严谨框架。
2026-08-31 math-ph math.CO math.MP
A new method to construct families of complex Hadamard matrices in even dimensions
本文给出了一种构造偶数维复Hadamard矩阵仿射族的新方法。该方法与Diplomatic构造有交集，它推广了Szöllmussi方法。我们重现了众所周知的结果，扩展了一些族，并提出了偶数维复Hadamard矩阵的新族。特别是，发现超过13 millon不等价仿射家庭的复杂阿达玛矩阵在32维。我们还发现任何一组四个相互无偏的基础存在于第六维的分析限制。
2013-04-18 math.CO quant-ph
Complex Hadamard matrices for prime number
本文通过构造循环矩阵，得到新的Hadamard矩阵，从而证明了Haagerup关于所有五阶复Hadamard矩阵都等价于Fourier矩阵$F_5$的论断.新的互无偏基是量子理论的一个基本概念，在量子层析成像、量子密码、隐形传态、稠密编码方案的构造、经典信号处理等方面起着重要作用。
2014-10-06 quant-ph
Characterizing maximal families of mutually unbiased bases
我们表明，最大家庭的相互无偏基地的特点是在所有维度的分区酉误差基地，一个家庭的Hadamards的选择。此外，我们给出了一个新的构造分区酉误差基，从而最大家庭的相互无偏基地，从有限域，这是更简单，更直接的比以前的建议。我们引入了新的张量图形的最大家庭的相互无偏基地，分区酉误差基地，有限域定义在希尔伯特空间的代数结构的特征。
2017-10-19 quant-ph
Explicit constructions of mutually unbiased bases via Hadamard matrices
CEA, DAM, DIF（法国原子能与替代能源委员会，达姆部门，迪夫部门）；Université Paris-Saclay, CEA, Laboratoire Matière en Conditions Extrêmes（巴黎萨克雷大学，法国原子能与替代能源委员会，极端条件物质实验室）
本文通过Hadamard矩阵分析有限维希尔伯特空间中的互不偏正交基（MUBs），重点研究2、3、4维及6维情况，提出构造方法并探讨其代数和群论起源，揭示MUBs在量子信息科学中的理论与实际应用。
2026-04-02 math-ph math.MP quant-ph
Mutually Unbiased Measurements, Hadamard Matrices, and Superdense Coding
本文研究互不偏测量（MUMs），证明其表征，构造非MUBs直和的新例子，并利用它们反驳超密编码刚性猜想，展示共享纠缠的新用途。
2023-10-12 cs.IT math.IT quant-ph
Reply to Comment on 'Product states and Schmidt rank of mutually unbiased bases in dimension six'
针对McNulty等人的质疑，重新证明实元素数超过22的六阶复Hadamard矩阵不属于四组互无偏基，并给出H2可约矩阵子矩阵数量的排除结果。
2025-04-24 quant-ph
Practical implementation of mutually unbiased bases using quantum circuits
执行量子比特系统的量子态重构所需的测量的数量随着成分的数量呈指数增长，这对可扩展的断层扫描方案的设计造成了主要障碍。基于互无偏基的循环生成，我们提出了一种简单有效的方法。基本的发生器只需要阿达玛和受控相位门，这是在这些系统的大多数实际实现可用。我们展示了如何实现三个和四个量子比特的完整的相互无偏的基础与不同的纠缠结构。我们还分析了实现各种纠缠类的量子线路。
2014-12-14 quant-ph
New Construction of Mutually Unbiased Bases in Square Dimensions
我们证明了k=w+2互无偏基可以在任意维数d=s^2的正方形中构造，只要有w个相互正交的s阶拉丁方。该构造结合了设计理论对象（k，s）-网（可以从w个相互正交的s阶拉丁方构造，反之亦然）和大小为s的广义Hadamard矩阵。使用已知的相互正交拉丁方数量渐进增长的下界（基于数论筛选技术），我们得到对于所有s（除了有限多个例外），维度d=s^2中相互无偏基的数量大于s^1/14.8。此外，我们的建设提供了更多的相互正交的基础，在许多非素数幂维的建设，减少了问题的素数幂维。
2004-07-12 quant-ph
Four-parameter families of complex Hadamard matrices of order six
本文给出了构造六阶复Hadamard矩阵的四参数族的一般方法。我们的方法是将6维矩阵写成由四个块组成的矩阵，每个块都是循环矩阵的形式。利用逆正交矩阵的Sylvester方法，对6个参数提出了两个约束条件，当自由参数取单位圆上的值时，满足这两个约束条件将生成复Hadamard矩阵。我们希望利用我们的结果可以解决六能级系统的互无偏基问题。
2012-07-11 math-ph math.MP quant-ph
Comment on 'Product states and Schmidt rank of mutually unbiased bases in dimension six'
该评论指出Chen等人关于六维四组相互无偏基复Hadamard矩阵结构的引理证明有误，致使后续三篇论文的三个定理失效，纠正了相关研究中的关键错误。
2025-04-17 quant-ph
On mutually unbiased bases
量子自由度的相互无偏基础是所有理论研究和互补性质的实际开发的核心。关于相互无偏的基础，我们已经知道得很多，但也有相当数量的重要问题尚未得到充分的回答。特别地，可以在素数幂维${N=p^\m}$的希尔伯特空间中找到${N+1}$互无偏基的最大集合，其中$p$素数和$\m$是正整数，并且对于连续的自由度，例如沿着直线的运动，存在互无偏基的连续体。但如果维数是另一个合数（$N=6,10,12,...$），则没有一个极大集的例子是已知的。在这篇综述中，我们提出了一个统一的方法，在该方法中，基态标记的数字${0,1,2,...,N-1}$，这是一个伽罗瓦域的元素和普通的整数。这种双重性质允许一个紧凑的系统建设的最大集的相互无偏基地时，他们是已知的存在，但在其他情况下，没有光的开放存在问题。我们展示了如何使用这样构建的相互无偏基地在量子信息学的应用，包括密集编码，隐形传态，纠缠交换，协变克隆，和状态层析成像，所有这些都依赖于一个明确的一组最大纠缠态（熟悉的两个-q比特贝尔状态的推广），是相互无偏基地。有一个链接到数学的有限仿射平面。我们还利用了一对一的对应关系之间的无偏基地和复杂的阿达玛矩阵，把基地变成对方。最终的希望，尚未实现，是开放的问题，相互无偏基地可以涉及开放的问题，阿达玛矩阵或仿射飞机，特别是. [rest删除]
2010-10-20 quant-ph
Unbiased bases (Hadamards) for 6-level systems: Four ways from Fourier
在量子力学中，有些性质是最大程度不相容的，例如粒子的位置和动量，或2能级自旋的垂直和水平投影。给定一个属性的任何确定状态，另一个属性是完全随机的，或者是无偏的。对于N级系统，6级的是最小的一个层析成像有效的一组N+1相互无偏基地（MUBs）还没有发现。为了便于搜索，我们在数值上扩展分类的无偏基地，或Hadamards，通过增量调整相对相位在一个标准的基础上。我们考虑的非幺正性所造成的小调整与二阶泰勒展开，并选择增量步骤内的4维零空间的曲率。这样，我们规定了一个数值积分的一个4参数集的阿达玛6阶。
2008-10-09 quant-ph
Mubs and Hadamards of Order Six
我们报告的搜索相互无偏基地（MUBs）在6个方面。我们发现只有三胞胎的MUBs，因此不接近理论上限7。然而，我们指出，自然栖息地的MUB集是一组所有复杂的Hadamard矩阵的给定顺序，我们引入了一个自然的概念，在希尔伯特空间中的基地之间的距离。这使我们能够绘制一张详细的地图，显示MUB三胞胎在景观中的位置。我们使用可用的工具，如离散傅立叶变换理论，组织我们的结果。最后，我们提出了一些证据的猜想，存在一个四维家庭的复杂阿达玛矩阵的顺序6。如果这个猜想是真的，那么人们可以搜索MUB的景观比以前想象的要大得多。
2007-06-01 quant-ph
All Mutually Unbiased Bases in Dimensions Two to Five
所有二维到五维的复阿达玛矩阵都是已知的。我们利用这一事实，以获得所有不等价集的相互无偏（MU）基地在低维。我们发现一个三参数家庭的三元组的MU基地在第四和两个不等价类的MU三元组在第五维。我们确认，完整的（d+1）MU基地是唯一的（等价）在低于6维，仅使用基本参数d小于5。
2010-08-06 math-ph math.MP quant-ph
Block-Circulant Complex Hadamard Matrices
本文提出基于块循环结构获取维度$N\geqslant 7$孤立复Hadamard矩阵的新方法，通过修改Sinkhorn算法发现多阶新矩阵及多参数族，为CHM分类提供新见解，并应用于量子信息理论。
2023-05-23 quant-ph
Mutually unbiased bases: common states, completion, and extension obstructions
The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）；Austin Community College（奥斯汀社区学院）；SpaceXAI
该研究探讨相互无偏基的公共态、完备性与扩展障碍，在特定维度下给出完备化方法、不可扩展性证明及相关代数性质，未确定相互无偏基的全局最大数量。
2026-10-09 math-ph math.CO math.MP
$H_2$-reducible matrices in six-dimensional mutually unbiased bases
在量子信息中，寻找包含单位矩阵的四个六维互无偏基是一个长期存在的问题。我们表明，如果它们存在，那么$H_2$ -可约矩阵在四个MUB正好有九个$2\times2$阿达玛子矩阵。我们应用我们的结果从四个MUB中排除一些已知的CHM，如对称$H_2$ -可约矩阵，厄米矩阵，Dita家族，Bjorck的循环矩阵，和Szollosi家族。我们的结果代表了六维MUBs存在的最新进展。
2021-10-28 math-ph math.MP quant-ph
More mutually unbiased bases
Yale University（耶鲁大学）；The Flatiron Institute（平顿研究所）
本文提出一种新的ansatz构造方法，在多种维度下构造出比已知更多的互不偏基，并利用Paley实Hadamard矩阵在特定维度达到$\sqrt d$数量级，超越张量积界限。
2026-10-01 math-ph math.MP math.OA
Equivalence of mutually unbiased bases via orbits: general theory and a $d=4$ case study
Faculty of Engineering and Institute of Nanotechnology and Advanced Materials, Bar Ilan University（巴伊兰大学工程与纳米技术先进材料研究所）
本研究通过构造正交归一基空间的几何结构与群作用轨道分解，推广了复Hadamard矩阵与相互无偏基的等价关系，并发现新对称性将4维MUB三元组参数空间缩小4倍。
2025-08-21 math-ph math.MP quant-ph
Construction of mutually unbiased bases with cyclic symmetry for qubit systems
对于任意未知量子态的完全估计，相互无偏基的使用在过去的20年里在理论和实验上已经得到了很好的建立。然而，这些基的大多数构造都大量使用了抽象代数和有限环和域的数学理论，并且没有简单和普遍可访问的构造。在由多个量子比特组成的系统中尤其如此，这可以说是量子信息科学和量子计算中最重要的情况。在本文中，我们通过提供一种简单而直接的方法来构建量子比特寄存器情况下的相互无偏基来缩小这一差距。我们表明，我们的结构也可以进行实验，因为只需要Hadamard和受控相位门，这在量子计算机的大多数实际实现中都是可用的。此外，我们的方案具有可能的最佳缩放，即，门的数量仅与量子位的数量成线性比例。
2011-10-28 quant-ph
SU(2) and SU(1,1) Approaches to Phase Operators and Temporally Stable Phase States: Applications to Mutually Unbiased Bases and Discrete Fourier Transforms
我们提出了一个群理论的方法来广义振荡器代数Ak最近在J。物理。A：数学理论。43（2010）115303。k >或0的情况对应于非紧群SU（1，1）（对于谐振子和Poeschl-Teller系统），而k < 0的情况由紧群SU（2）描述（对于Morse系统）。我们构造的相位算子和相应的时间稳定的相位本征态Ak在这个群论的背景下。利用SU（2）情形导出了量子信息中的互无偏基族。沿着这条脉络，我们研究了二次离散傅立叶变换与广义二次高斯和和广义阿达玛矩阵的一些特性。
2010-08-17 math-ph math.MP quant-ph
A generalized Pauli problem and an infinite family of MUB-triplets in dimension 6
我们展示了一个无限的家庭{ \it三联体}的相互无偏基地（MUBs）在6维。这些三元组涉及Hadamard矩阵的傅立叶族，$F(a,b)$。然而，在本文的主要结果中，我们还证明了对于参数$(a,b)$的任何值，标准基和$F(a,b)$ { \it不能扩展到MUB-四元组}。主要的新颖性在于{ \it方法}的证明，它可以成功地应用在未来证明，在6维的MUB的最大数量是三个。
2009-02-26 quant-ph
