Real mutually unbiased bases and representations of groups of odd order by real scaled Hadamard matrices of 2-power size
我们证明了以下两个结果有关真正的相互无偏基地和表示有限群的奇数阶。令$q$为2的幂，$r$为正整数。然后，我们可以找到一个$q^{2r}\times q^{2r}$实正交矩阵$D$，比如说，乘法阶$q^{2r-1}+1$，它的$q^{2r-1}+1$幂$D$，\dots，$D^{q^{2r-1}+1}=I$定义了$\mathbb{R}^{q^{2r}}$中的$q^{2r-1}+1$互无偏基。因此，缩放矩阵$q^rD$、\dots、$q^rD^{q^{2r-1}}$是$q^{2r-1}$不同的Hadamard矩阵。当我们采取$q=2$时，我们使用循环群的元素在维度$2^{2r}$中获得最大数量的实互无偏基。我们还证明了以下几点。设$G$是任意奇数阶$2k+1$的有限群，其中$k\geq 3$。则$G$有一个实表示$R$，比如说，度为$2^{2^{k-1}}$，使得元素$R(σ)$，$σ\in G$，定义了$\mathbb{R}^{d}$中的$|G|$互无偏基，其中$d= 2^{2^{k-1}}$。此外，5阶群定义了$\mathbb{R}^{16}$中的5个实互无偏基，3阶群定义了$\mathbb{R}^{4}$中的3个实互无偏基。因此，任意奇数阶群都可以用2次幂的实比例阿达玛矩阵忠实地表示。
2017-11-29 math.GR quant-ph
Complex Hadamard matrices for prime number
本文通过构造循环矩阵，得到新的Hadamard矩阵，从而证明了Haagerup关于所有五阶复Hadamard矩阵都等价于Fourier矩阵$F_5$的论断.新的互无偏基是量子理论的一个基本概念，在量子层析成像、量子密码、隐形传态、稠密编码方案的构造、经典信号处理等方面起着重要作用。
2014-10-06 quant-ph
Three ways to look at mutually unbiased bases
这是一个审查问题的相互无偏基地在有限维希尔伯特空间，实和复杂。此外，几何措施的“mubness”的介绍，并适用于最近的一些计算在六个方面（部分由比约克和Grassl）。虽然这还不能解决任何问题，但一些有吸引力的结构出现了。
2006-10-25 quant-ph
Characterizing maximal families of mutually unbiased bases
我们表明，最大家庭的相互无偏基地的特点是在所有维度的分区酉误差基地，一个家庭的Hadamards的选择。此外，我们给出了一个新的构造分区酉误差基，从而最大家庭的相互无偏基地，从有限域，这是更简单，更直接的比以前的建议。我们引入了新的张量图形的最大家庭的相互无偏基地，分区酉误差基地，有限域定义在希尔伯特空间的代数结构的特征。
2017-10-19 quant-ph
Reply to Comment on 'Product states and Schmidt rank of mutually unbiased bases in dimension six'
针对McNulty等人的质疑，重新证明实元素数超过22的六阶复Hadamard矩阵不属于四组互无偏基，并给出H2可约矩阵子矩阵数量的排除结果。
2025-04-24 quant-ph
Explicit constructions of mutually unbiased bases via Hadamard matrices
CEA, DAM, DIF（法国原子能与替代能源委员会，达姆部门，迪夫部门）；Université Paris-Saclay, CEA, Laboratoire Matière en Conditions Extrêmes（巴黎萨克雷大学，法国原子能与替代能源委员会，极端条件物质实验室）
本文通过Hadamard矩阵分析有限维希尔伯特空间中的互不偏正交基（MUBs），重点研究2、3、4维及6维情况，提出构造方法并探讨其代数和群论起源，揭示MUBs在量子信息科学中的理论与实际应用。
2026-04-02 math-ph math.MP quant-ph
Practical implementation of mutually unbiased bases using quantum circuits
执行量子比特系统的量子态重构所需的测量的数量随着成分的数量呈指数增长，这对可扩展的断层扫描方案的设计造成了主要障碍。基于互无偏基的循环生成，我们提出了一种简单有效的方法。基本的发生器只需要阿达玛和受控相位门，这是在这些系统的大多数实际实现可用。我们展示了如何实现三个和四个量子比特的完整的相互无偏的基础与不同的纠缠结构。我们还分析了实现各种纠缠类的量子线路。
2014-12-14 quant-ph
Comment on 'Product states and Schmidt rank of mutually unbiased bases in dimension six'
该评论指出Chen等人关于六维四组相互无偏基复Hadamard矩阵结构的引理证明有误，致使后续三篇论文的三个定理失效，纠正了相关研究中的关键错误。
2025-04-17 quant-ph
On mutually unbiased bases
量子自由度的相互无偏基础是所有理论研究和互补性质的实际开发的核心。关于相互无偏的基础，我们已经知道得很多，但也有相当数量的重要问题尚未得到充分的回答。特别地，可以在素数幂维${N=p^\m}$的希尔伯特空间中找到${N+1}$互无偏基的最大集合，其中$p$素数和$\m$是正整数，并且对于连续的自由度，例如沿着直线的运动，存在互无偏基的连续体。但如果维数是另一个合数（$N=6,10,12,...$），则没有一个极大集的例子是已知的。在这篇综述中，我们提出了一个统一的方法，在该方法中，基态标记的数字${0,1,2,...,N-1}$，这是一个伽罗瓦域的元素和普通的整数。这种双重性质允许一个紧凑的系统建设的最大集的相互无偏基地时，他们是已知的存在，但在其他情况下，没有光的开放存在问题。我们展示了如何使用这样构建的相互无偏基地在量子信息学的应用，包括密集编码，隐形传态，纠缠交换，协变克隆，和状态层析成像，所有这些都依赖于一个明确的一组最大纠缠态（熟悉的两个-q比特贝尔状态的推广），是相互无偏基地。有一个链接到数学的有限仿射平面。我们还利用了一对一的对应关系之间的无偏基地和复杂的阿达玛矩阵，把基地变成对方。最终的希望，尚未实现，是开放的问题，相互无偏基地可以涉及开放的问题，阿达玛矩阵或仿射飞机，特别是. [rest删除]
2010-10-20 quant-ph
Mubs and Hadamards of Order Six
我们报告的搜索相互无偏基地（MUBs）在6个方面。我们发现只有三胞胎的MUBs，因此不接近理论上限7。然而，我们指出，自然栖息地的MUB集是一组所有复杂的Hadamard矩阵的给定顺序，我们引入了一个自然的概念，在希尔伯特空间中的基地之间的距离。这使我们能够绘制一张详细的地图，显示MUB三胞胎在景观中的位置。我们使用可用的工具，如离散傅立叶变换理论，组织我们的结果。最后，我们提出了一些证据的猜想，存在一个四维家庭的复杂阿达玛矩阵的顺序6。如果这个猜想是真的，那么人们可以搜索MUB的景观比以前想象的要大得多。
2007-06-01 quant-ph
Block-Circulant Complex Hadamard Matrices
本文提出基于块循环结构获取维度$N\geqslant 7$孤立复Hadamard矩阵的新方法，通过修改Sinkhorn算法发现多阶新矩阵及多参数族，为CHM分类提供新见解，并应用于量子信息理论。
2023-05-23 quant-ph
New Construction of Mutually Unbiased Bases in Square Dimensions
我们证明了k=w+2互无偏基可以在任意维数d=s^2的正方形中构造，只要有w个相互正交的s阶拉丁方。该构造结合了设计理论对象（k，s）-网（可以从w个相互正交的s阶拉丁方构造，反之亦然）和大小为s的广义Hadamard矩阵。使用已知的相互正交拉丁方数量渐进增长的下界（基于数论筛选技术），我们得到对于所有s（除了有限多个例外），维度d=s^2中相互无偏基的数量大于s^1/14.8。此外，我们的建设提供了更多的相互正交的基础，在许多非素数幂维的建设，减少了问题的素数幂维。
2004-07-12 quant-ph
Mutually Unbiased Measurements, Hadamard Matrices, and Superdense Coding
本文研究互不偏测量（MUMs），证明其表征，构造非MUBs直和的新例子，并利用它们反驳超密编码刚性猜想，展示共享纠缠的新用途。
2023-10-12 cs.IT math.IT quant-ph
About Covariant Quartit Cloning Machines
量子密码学和量子纠缠的研究传统上是基于二能级量子系统（量子比特），最近是基于三能级系统（量子比特）。我们研究了几类四能级系统的态依赖量子克隆。这些结果适用于对称和不对称克隆，因此也可以分析两个克隆的保真度之间的平衡。我们扩展瑟夫的形式主义克隆国家，以获得克隆机保持不变，在某些单一的转换。我们的研究结果表明，一个不同的克隆必须使用两个相互无偏的基地，这是由一个双阿达玛变换，比两个相互无偏的基地，是由傅立叶变换。这种不同的克隆是由于贝尔态的重新定义，尊重阿达玛变换的内在对称性。
2003-04-23 quant-ph
On Two Ways to Look for Mutually Unbiased Bases
本文讨论了寻找互无偏基的两种等价方法。阐明了从在C（d）中寻找d+1个互无偏基到在C（d*d）中寻找满足约束关系的d（d+1）个向量的过程。对称信息完全正算子值的措施简要讨论了类似的静脉。
2014-01-19 math-ph math.MP quant-ph
Four-parameter families of complex Hadamard matrices of order six
本文给出了构造六阶复Hadamard矩阵的四参数族的一般方法。我们的方法是将6维矩阵写成由四个块组成的矩阵，每个块都是循环矩阵的形式。利用逆正交矩阵的Sylvester方法，对6个参数提出了两个约束条件，当自由参数取单位圆上的值时，满足这两个约束条件将生成复Hadamard矩阵。我们希望利用我们的结果可以解决六能级系统的互无偏基问题。
2012-07-11 math-ph math.MP quant-ph
Limit Theorems For Quantum Walks Associated with Hadamard Matrices
我们研究了一个单参数族的离散时间量子行走模型的线上和xy-平面与Hadamard行走。证明了walker伪速度在直线上和xy平面上的所有矩在长时间极限内的弱收敛性。从理论上研究了直线上和xy平面上的对称化，在直线上无偏Hadamard游动对称化的特殊情况下解决了Konno-Namiki-Soshi猜想.给出了局部化现象存在的一个必要条件。
2011-07-22 math-ph math.MP quant-ph
Construction of mutually unbiased bases with cyclic symmetry for qubit systems
对于任意未知量子态的完全估计，相互无偏基的使用在过去的20年里在理论和实验上已经得到了很好的建立。然而，这些基的大多数构造都大量使用了抽象代数和有限环和域的数学理论，并且没有简单和普遍可访问的构造。在由多个量子比特组成的系统中尤其如此，这可以说是量子信息科学和量子计算中最重要的情况。在本文中，我们通过提供一种简单而直接的方法来构建量子比特寄存器情况下的相互无偏基来缩小这一差距。我们表明，我们的结构也可以进行实验，因为只需要Hadamard和受控相位门，这在量子计算机的大多数实际实现中都是可用的。此外，我们的方案具有可能的最佳缩放，即，门的数量仅与量子位的数量成线性比例。
2011-10-28 quant-ph
Quantum Walk on the Line
受随机游走和马尔可夫链方法在经典算法设计中的巨大成功的启发，我们考虑图上的量子游走。我们详细分析了无偏量子行走的行为，一个典型的行走，“阿达玛行走”的例子。我们证明了在t个时间步后，Hadamard行走诱导的直线上的概率分布在区间[-t/sqrt（2），t/sqrt（2）]上几乎是均匀分布的.这意味着在圆上定义的相同行走在_linear_ time中混合。这与相应的经典行走的二次混合时间直接相反。最后，我们指出我们的技术可以应用到更一般的图形。
2000-10-31 quant-ph
Classifying all mutually unbiased bases in Rel
在不同的维度上寻找所有的互无偏基是量子信息理论和纯数学中的一个基本问题。有限维希尔伯特空间中的一般问题是开放的。在量子力学的范畴方法中，人们可以找到一些范畴的例子，它们在不同的方面表现得“像”有限维希尔伯特空间的范畴，但又有微妙的不同。一个这样的范畴是集合和关系的范畴，$\mathbf{Rel}$。我们也可以在这里用公式表示互无偏基的概念。在本说明中，我们通过将其与组合学中的标准问题联系起来，对该类别中的所有互无偏基进行分类。
2009-09-25 quant-ph
All Mutually Unbiased Bases in Dimensions Two to Five
所有二维到五维的复阿达玛矩阵都是已知的。我们利用这一事实，以获得所有不等价集的相互无偏（MU）基地在低维。我们发现一个三参数家庭的三元组的MU基地在第四和两个不等价类的MU三元组在第五维。我们确认，完整的（d+1）MU基地是唯一的（等价）在低于6维，仅使用基本参数d小于5。
2010-08-06 math-ph math.MP quant-ph
Equivalence of mutually unbiased bases via orbits: general theory and a $d=4$ case study
Faculty of Engineering and Institute of Nanotechnology and Advanced Materials, Bar Ilan University（巴伊兰大学工程与纳米技术先进材料研究所）
本研究通过构造正交归一基空间的几何结构与群作用轨道分解，推广了复Hadamard矩阵与相互无偏基的等价关系，并发现新对称性将4维MUB三元组参数空间缩小4倍。
2025-08-21 math-ph math.MP quant-ph
$H_2$-reducible matrices in six-dimensional mutually unbiased bases
在量子信息中，寻找包含单位矩阵的四个六维互无偏基是一个长期存在的问题。我们表明，如果它们存在，那么$H_2$ -可约矩阵在四个MUB正好有九个$2\times2$阿达玛子矩阵。我们应用我们的结果从四个MUB中排除一些已知的CHM，如对称$H_2$ -可约矩阵，厄米矩阵，Dita家族，Bjorck的循环矩阵，和Szollosi家族。我们的结果代表了六维MUBs存在的最新进展。
2021-10-28 math-ph math.MP quant-ph
More mutually unbiased bases
Yale University（耶鲁大学）；The Flatiron Institute（平顿研究所）
本文提出一种新的ansatz构造方法，在多种维度下构造出比已知更多的互不偏基，并利用Paley实Hadamard矩阵在特定维度达到$\sqrt d$数量级，超越张量积界限。
2026-10-01 math-ph math.MP math.OA
Mutually unbiased bases: common states, completion, and extension obstructions
The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）；Austin Community College（奥斯汀社区学院）；SpaceXAI
该研究探讨相互无偏基的公共态、完备性与扩展障碍，在特定维度下给出完备化方法、不可扩展性证明及相关代数性质，未确定相互无偏基的全局最大数量。
2026-10-09 math-ph math.CO math.MP
Uncertainty relations for quantum coherence with respect to mutually unbiased bases
量子相干性的概念，包括相对于规定的基础量化相干程度的各种方式，是当前积极研究的主题。研究了不同基上量子相干性的互补性，给出了相应测度之和的上界。为了获得双侧估计，相干量词的下界也很重要。这样的界限自然被称为量子相干性的不确定关系。我们得到新的不确定性关系的一致性量词平均相对于一组相互无偏基地（MUBs）。为了量化相干程度，使用相干的相对熵和几何相干。此外，我们还得到了新的状态独立的不确定性关系的一组MUB的最小熵。
2017-09-07 quant-ph
SU(2) and SU(1,1) Approaches to Phase Operators and Temporally Stable Phase States: Applications to Mutually Unbiased Bases and Discrete Fourier Transforms
我们提出了一个群理论的方法来广义振荡器代数Ak最近在J。物理。A：数学理论。43（2010）115303。k >或0的情况对应于非紧群SU（1，1）（对于谐振子和Poeschl-Teller系统），而k < 0的情况由紧群SU（2）描述（对于Morse系统）。我们构造的相位算子和相应的时间稳定的相位本征态Ak在这个群论的背景下。利用SU（2）情形导出了量子信息中的互无偏基族。沿着这条脉络，我们研究了二次离散傅立叶变换与广义二次高斯和和广义阿达玛矩阵的一些特性。
2010-08-17 math-ph math.MP quant-ph
A Complete Classification of Complex Hadamard Matrices of Order Six
Yale University（耶鲁大学）；The Flatiron Institute（Flatiron研究所）
本文解决了悬而未决数十年的六阶复阿达马矩阵分类问题，通过有限关联分类方法，补充了Szöllősi扩张方法的全局步骤，为六阶阿达马矩阵及相关领域研究提供了严谨框架。
2026-08-31 math-ph math.CO math.MP
A secret sharing scheme on p^2 -dimensional quantum system
本文给出了p为奇素数的p^2维量子系统的互无偏基，并根据这些互无偏基的性质构造了相应的幺正变换.然后，利用这些相互无偏基之间的酉变换构造了一个（N，N）门限秘密共享方案，并从拦截重发攻击、纠缠测量攻击、特洛伊木马攻击等方面分析了该方案的安全性，利用该方法构造了一个只涉及一个量子点的单粒子量子协议，该方案比其他方案具有更好的可扩展性.
2018-01-18 quant-ph
Complementarity in atomic (finite-level quantum) systems: an information-theoretic approach
我们发展了原子系统中的数相互补的信息论解释，其中相位被视为一个连续的正算子值测度（POVM）。相关的不确定原理获得的上界的知识的总和，这两个可观的情况下，两个级别的系统。一个更紧密的界限表征的不确定性关系的数值方面，涉及这些变量的加权知识和。我们指出，在这些系统中的互补性偏离相互unbiasededness在两个signalificant的方式：第一，POVM变量的最大知识是小于日志（尺寸）位;第二，令人惊讶的是，对于高维系统，unbiasedness可能不是相互的，但单向的，在该阶段仍然是无偏的，相对于数量状态，但反之亦然。最后，我们研究了非耗散和耗散噪声对单量子比特系统中这些互补变量的影响。
2009-06-07 quant-ph
Compounds of symmetric informationally complete measurements and their application in quantum key distribution
对称信息完备测量是Hilbert空间中一种优雅、著名和广泛应用的离散结构。我们介绍了一个更复杂的离散结构复合的几个SIC。SIC复合被定义为$d$维希尔伯特空间中的$d^3$向量的集合，其可以以两种不同的方式被划分为$d$ SIC和$d^2$正交基。虽然先验的存在可能出现不太可能时，$d>2$，我们惊讶地回答它的积极通过明确的建设$d=4$。值得注意的是，这种SIC化合物承认与相互无偏基的密切关系，正如通过量子态鉴别所揭示的那样。超越基本的考虑，我们利用这些奇异的性质，构建了一个量子密钥分发协议，并分析其安全性下一般窃听攻击。我们表明，SIC化合物，使安全的密钥生成中存在的错误，是足够大的，以防止成功的推广的六态协议。
2020-07-02 quant-ph
Oracle Separations in the Fourier Hierarchy
Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）
该论文证明对于每个常数k≥2，存在预言机使傅里叶层级第k层严格弱于第k+1层，基于Forrelation问题构造分离，并利用层数限制查询自适应性的结构性质建立下界。
2026-09-11 cs.CC quant-ph
Optimal quantum tomography with constrained elementary measurements arising from unitary bases
本文的目的是介绍获得确定d能级量子态或区分这种态的最佳方法的技术。它需要设计从有限维d > 3的希尔伯特空间H的算子代数B（H）的酉基U的极大交换子集中提取的约束初等测量，或者在为H选择正交基之后，为d > 3阶复矩阵的 *-代数Md设计约束初等测量。并对这些技术进行了举例说明。结果表明，对于素数p和a的乘积d，幺正算符的施温格基U可以给出具有少量量子力学重叠（或者相应的单位向量之间只有少量角度）的秩为1的投影器的理想数目d^2。我们还给出了张量积和约束初等测量技术相结合的方法来处理所有的d。比较了不同形式的酉基的希尔伯特空间，也为不同的希尔伯特空间因子的张量积。在此过程中，我们还研究了R定义的酉基的等价关系。F.维尔纳[J. Phys. A：Math.Gen.34（2001）7081]，将其连接到最大纠缠向量基上的局部运算，找到关于某些交换系统的等价类的不变量，称为扇形表示，并将其与相互无偏基和Hadamard矩阵相关联。在拉丁广场和投影表示的背景下，以及插图。
2021-04-27 math-ph math.MP quant-ph
