Locally testable codes via high-dimensional expanders
局部可测试码（LTC）是具有局部测试器的纠错码，该局部测试器可以通过仅在非常少（次线性，通常恒定）数量的位置处探测给定字来区分有效码字和远离所有码字的字。这些代码形成了PCP的组合骨架。一个主要的开放问题是是否存在LTC的积极率，恒定的相对距离和可测试的一个常数数量的查询。在本文中，我们提出了一种新的方法来构建这样的LTC使用的高维膨胀机的机械。为此，我们考虑的坦纳表示的代码，这是由一个图和一个基本的代码。非正式地说，我们的结果表明，如果这个图是一个高维扩展的一部分，那么代码的局部可测试性来自基本代码的局部可测试性。本文的工作统一和推广了子空间复形上Hadamard码、Reed-Muller码和提升码的可测性的已知结果，所有这些结果都是通过局部自校正得到的。然而，与以前的结果不同的是，恒定轮的自校正不足以作为基础的测试图的直径可以在高维扩展器中是巨大的，而不是恒定的，因为在所有已知的早期结果。我们克服了这一技术障碍，通过执行迭代自校正，具有几何上多轮，并严格控制在每次迭代中使用的高维扩展的属性的错误。鉴于这个结果，构建具有正速率和恒定相对距离的恒定查询LTC所缺少的成分是与恒定度高维扩展器良好交互的基本代码的实例化。
2020-05-03 cs.CC
Dense locally testable codes cannot have constant rate and distance
q查询局部可测试码（LTC）是一种纠错码，可以通过从给定单词中读取最多q个符号的随机算法进行测试。一个重要的问题是是否存在具有ccc属性的LTC：恒定相对速率，恒定相对距离，并且可以用恒定数量的查询进行测试。这样的代码有时被称为“渐近好”。我们表明，密集的LTC不能ccc。一个测试者的密度大致是一个坐标参与的不同局部视图的平均数量。如果LTC具有密度>> 1的测试器，则LTC是密集的。更准确地说，我们证明了一个3-查询的可本地测试的代码与密度>> 1的测试不能是ccc。此外，我们证明了一个q-查询局部可测试的代码（q>3）与密度>> n^{q-2}的测试不能是ccc。当测试者具有以下两个属性时，我们的结果成立：1）“没有权重”：每个查询的q元组以相同的概率出现。2)“last-one-fixed”：在测试仪的每次“测试”中，任何q-1个符号的值决定了最后一个符号的值。（线性代码具有这种类型的约束）。我们还表明，几种自然的方法来定量地改善我们的结果已经解决了一般的CCC问题，即也为非密集的LTC。
2010-12-13 cs.CC math.CO
Robust Locally Testable Codes and Products of Codes
我们继续研究本地可测试代码，即，一种纠错码，对于这种纠错码，通过在非常少的位置检查给定字，可以概率性地测试代码中给定字的成员资格。我们给出了两个关于局部可测性的一般性结果：首先，受最近提出的{ \em robust}概率可检验证明的概念的启发，我们引入了代码的{ \em robust}局部可测性的概念。我们将这一概念的产品介绍了坦纳的代码，并显示了一个非常简单的组成引理这一概念。接下来，我们证明了张量积构建的代码可以通过应用Raz和Safra在测试低次多元多项式（这是张量代码的特殊情况）的背景下引入的测试和证明技术的变体进行鲁棒性和局部性测试。结合这两个结果，我们给出了一个通用的建设代码的逆多项式率，这是可测试的poly-echromically许多查询。我们注意到这些局部可测的张量码可以从具有良好距离的{ \em any}线性纠错码得到。以前的结果本地可测性，虽然更强的定量，在很大程度上依赖于代数性质的基础代码。
2004-08-30 cs.CC cs.IT math.IT
Testing Low Complexity Affine-Invariant Properties
关于域的线性或仿射变换的不变性可以说是自然代数性质所表现出的最常见的对称性。在这项工作中，我们表明，任何低复杂度的仿射不变性质的多元函数在有限域是可测试的一个常数数量的查询。例如，这立即反驳了F_p上次数为d < p的里德-穆勒码是可测试的，其论点除了通过与仿射映射的合成来保持低次数之外，没有使用关于多项式的详细代数信息。仿射不变性质P的复杂度是指格林和陶定义的最大复杂度（Ann.Math.2008），用于表征P的线性形式的集合。我们的主要结果的更精确的陈述是，对于任何固定素数p >=2和固定整数R >= 2，函数f的任何仿射不变性质P：F_p^n -> [R]是可测试的，假设该属性的复杂性小于p。我们的证明涉及在代数环境中开发类似的图论技术，使用高阶傅立叶分析的工具。
2012-10-08 cs.CC math.CO
Good Quantum Locally Testable Codes from Product Expansion
University of Washington（华盛顿大学）；UC Berkeley（加州大学伯克利分校）
本文在乘积扩张猜想变体下，利用高维扩张框架和非阿贝尔立方复形，构造了具有常数速率、距离、健全性和局部性的量子局部可测试码。
2026-09-23 cs.CC cs.IT math.IT
Good Locally Testable Codes with Small Alphabet and Small Query Size
University of Haifa（海法大学）
研究良好局部可测试码存在的限制，通过建立降低字母表大小的通用方法，证明对于多种情况存在相应良好的\(q\)查询LTC，解决了特定条件下良好\(q\)查询LTC的存在性问题。
2026-08-19 cs.CC
A Combination of Testability and Decodability by Tensor Products
Ben-Sasson和Sudan（RSA 2006）证明了具有非常大距离的线性码的重复张量积是局部可测试的。由于需要非常大的距离，相关的张量积只能应用于足够大的场。然后Meir（SICOMP 2009）使用这个结果（作为一个黑盒子）来提出一个匹配最佳已知参数的局部可测试代码的组合结构。因此，这种构造是在足够大的场上获得的。本文改进了Ben-Sasson和Sudan的结果，证明了\emph{any}线性码的张量积是局部可测的.因此，Meir的构造可以在任何域上进行，包括二元域。此外，我们的结果与斯皮尔曼（IEEE IT，1996年）的结果相结合，意味着一个结构的线性码（在任何领域），结合了以下属性：有恒定的速率和恒定的相对距离;有块长度$n$和可测试的$n^ε$查询，对于任何常数$ε> 0$ ;线性时间编码和线性时间解码从一个恒定的错误分数。此外，我们的结果与Guruswami等人的结果（STOC 2009）的组合意味着关于列表可解码码的类似推论。
2011-05-29 cs.CC
Expansion of higher-dimensional cubical complexes with application to quantum locally testable codes
本研究提出任意维度t>0的高维立方复形，借助局部码转化为链复形并证明其圈与上圈扩张下界，t=4时得到具有恒定相对码率等特性的近乎良好量子局部可检验码。
2025-09-04 cs.CC cs.IT math.IT
Correlation Testing for Affine Invariant Properties on $\mathbb{F}_p^n$ in the High Error Regime
最近，从理论计算机科学的角度对Gowers一致性规范产生了很大的兴趣。这主要是因为这些范数提供了一种方法，用于测试函数$f:\mathbb{F}_p^n \rightarrow \mathbb{F}_p$与次数至多为$d \le p$的多项式的最大相关性是否不可忽略，同时仅对函数进行恒定数量的查询。这是{ \em相关性测试}的实例。在这个框架中，一个固定的测试被应用到一个功能，和测试的接受概率是依赖于相关的功能从属性。这是{ \em邻近不经意测试}的模拟，这是Goldreich和Ron在高错误状态下创造的概念。在这项工作中，我们研究的一般性质是仿射不变的，这是相关性测试使用一个常数的查询。我们表明，任何这样的属性（只要字段大小不是太小），实际上可以测试的Gowers均匀性测试，因此具有相关性的属性相当于具有相关性的程度$d$多项式的一些固定的$d$。我们强调，我们的结果也适用于仿射不变的非线性性质。这完全分类的仿射不变的相关性测试的性质。证明是基于高阶傅立叶分析。另一个成分是一个非平凡的扩展的图论定理的埃尔德什，Lovász和斯宾塞的背景下添加剂数论。
2013-08-12 cs.CC
Lower bounds for constant query affine-invariant LCCs and LTCs
仿射不变码是其坐标在有限域上形成向量空间并且在坐标空间的仿射变换下不变的码。它们形成了一个自然的、被充分研究的代码类;它们包括流行的代码，如Reed-Muller和Reed-Solomon。仿射不变码的一个特别吸引人的特性是，它们似乎非常适合接纳本地校正器和测试器。在这项工作中，我们给出了下界的长度局部可纠正和局部可测试的仿射不变的代码与恒定的查询复杂度。我们证明了如果一个代码$\mathcal{C} \subset Σ^{\mathbb{K}^n}$是一个$r$ -查询局部可纠正码（LCC），其中$\mathbb{K}$是一个有限域和$Σ$是一个有限的字母表，那么在$\mathcal{C}$的码字的数量是最多$\exp(O_{\mathbb{K}, r, |Σ|}(n^{r-1}))$。此外，我们表明，如果$\mathcal{C} \subset Σ^{\mathbb{K}^n}$是一个$r$查询本地可测试代码（LTC），那么在$\mathcal{C}$的码字的数量是最多$\exp(O_{\mathbb{K}, r, |Σ|}(n^{r-2}))$。在这些界限中对$n$的依赖对于恒定查询LCC/LTC是紧密的，因为Guo，Kopparty和Sudan（ITCS '13）通过具有相同渐近权衡的提升构造仿射不变码。注意，我们的结果适用于非线性码，而以前，Ben-Sasson和Suda…
2015-11-24 cs.CC
Locally Testable Codes with constant rate, distance, and locality
局部可测试码（LTC）是一种具有属性测试器的纠错码。测试仪读取随机选择的$q$位，并以与字距代码的距离成比例的概率拒绝字。参数$q$称为测试仪的位置。LTCs最初是作为PCP的重要组成部分进行研究的，从那时起，该主题就自行发展。高速率LTC在实践中可能是有用的：在尝试解码接收到的字之前，可以通过首先快速测试它是否接近代码来节省时间。一个悬而未决的问题是是否存在“$c^3$ -LTC”，即具有恒定速率、恒定距离和恒定位置的LTC。在这项工作中，我们构建这样的代码的基础上，我们称之为一个左，右凯莱复杂的一个新的二维复杂。这基本上是一个图，除了顶点和边，还有正方形。我们的代码可以被看作是（一维）扩展码的二维版本，其中码字是平方上的函数，而不是边缘上的函数。
2021-12-15 cs.CC cs.IT math.GR
Cosystolic Expansion of Sheaves on Posets with Applications to Good 2-Query Locally Testable Codes and Lifted Codes
本研究提出偏序集上层的共收缩扩张局部判据，将其应用于局部可测码领域，证明优质2查询LTCs的存在性并给出提升码局部可测性的纯局部判据，改进了此前需混合局部全局条件的结果。
2024-05-13 cs.CC cs.IT math.CO
Relaxed Local Correctability from Local Testing
本文通过利用高速率局部可测试码递归扩增较小松弛局部可纠正码，首次构造出具有多对数查询复杂度的渐近良好松弛局部可纠正码，并进一步得到速率和距离接近 Gilbert-Varshamov 界的非显式构造。
2024-04-01 cs.CC cs.IT math.IT
Good Quantum Locally Testable Codes from Lossless Cubical Complexes
Tel Aviv University（特拉维夫大学）；Hebrew University of Jerusalem（耶路撒冷希伯来大学）；Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
本文发展高维无损方法，通过局部到整体定理证明足够不平衡的双侧无损四维立方复形可构造渐近好的量子局部可测试码。
2026-10-07 cs.CC cs.IT math.IT
Quantum Locally Testable Codes
我们开始了量子局部可测试码（qLTC）的研究。我们提供了一个定义连同简化，表示sLTC，稳定器代码的特殊情况下，连同使用这些定义的一些基本结果。这种代码的最关键的参数是它们的可靠性，$R(δ)$，即违反随机选择的约束的概率，它是单词与代码的距离的函数（$δ$，与代码的相对距离，称为接近度）。然后，我们继续研究qLTC的局限性。在我们的第一个主要结果中，我们证明了sLTC的一个令人惊讶的内在量子性质：对于小的邻近值，约束的相互作用图的小集合扩展越好，qLTC就越不健全。这一现象与经典的一夫一妻制的纠缠态形成了鲜明的对比。互补的，更直观的结果也成立：当代码定义在差的小集合扩展器上时，可靠性的上界（在量子情况下，这个界限更难证明）。我们一起到达一个量子上界的稳定qLTC设置在任何图上的合理性，这在经典的情况下不成立。关于qLTC可实现的可能参数，提出了许多开放性问题。在附录中，我们还定义了一个量子模拟的邻近的PCP（PCPPs），并指出，本-萨森等的结果。al.，其中PCPP暗示具有相关参数的LTC，传递到sLTC。这在qLTC和量子PCP之间创建了第一个链接。
2013-10-21 cs.CC math-ph math.MP
On Good $2$-Query Locally Testable Codes from Sheaves on High Dimensional Expanders
本文提出在高维扩张器上定义扩张层，并利用覆盖塔构造具有常数码率和线性距离的良好2-查询LTC无限族，同时给出候选构造及实验、启发式分析。
2024-05-13 cs.CC math.AT math.CO
Quantum soundness of testing tensor codes
局部可测试码是一种纠错码，它允许非常有效的成员资格概率测试。张量码提供了局部可测试码的简单组合构造族，其推广了Reed-Muller码族。张量码的自然测试，轴平行线与点测试，在概率可检验证明的构造中起着至关重要的作用。我们分析了轴平行线与点的测试作为一个两个证明者的游戏，并表明该测试是健全的量子证明者共享纠缠。我们的结果暗示了低个体度检验的量子可靠性，这是MIP* = RE定理的重要组成部分。我们的证明也推广到无限维量子证明算子模型。
2022-12-06 cs.CC math.OA quant-ph
Testing linear-invariant properties
固定一个素数$p$和一个正整数$R$。研究了函数$\mathbb F_p^n\to[R]$的性质测试问题。我们说一个属性是可测试的，如果存在一个不经意的测试者，这个测试者具有单侧错误和恒定的查询复杂度。此外，如果测试也独立于邻近参数$ε$，则属性是邻近遗忘可测试的（PO-可测试的）。众所周知，许多自然属性，如线性和作为低次多项式是PO可测试的。这些性质是线性不变性质的例子，这意味着它们在域的线性自同构下保持不变。继Kaufman和Sudan的工作之后，线性不变性质的研究已经成为算术性质测试中的一个重要问题。在这个领域的一个中心猜想，由Bhattacharyya，Grigorescu和Shapira提出，是线性不变性质是可测试的当且仅当它是半子空间遗传的。我们证明了两个结果，第一个解决了这个猜想，第二分类PO-可测试的性质。(1)线性不变性质是可检验的当且仅当它是半子空间遗传的。(2)一个线性不变的性质是PO可检验的，当且仅当它是局部特征的。我们的创新是双重的。我们给出了一个更强大的版本的紧凑性参数首先介绍了阿隆和Shapira。这依赖于一个新的强算术正则性引理，其中一个混合不同级别的高尔斯均匀性。这使我们能够扩展Bhattacharyya，Fischer，Hatami，Hatami和Lovett的工作，消除他们工作中的有限复杂性限制。我们的第二个创新是一种称为修补的新颖的封装技术。…
2020-07-03 cs.CC math.CO
