Potentials for $\mathcal{A}$-quasiconvexity
我们证明了每个常秩算子$\mathcal{A}$在频率空间中都有一个正合势$\mathbb{B}$.我们使用这个事实表明，$\mathcal{A}$ -quasiconvexity的概念，可以测试对compensable支持的字段。我们还证明了无$\mathcal{A}$的Young测度是由序列$\mathbb{B}u_j$通过重心模移位生成的.
2019-04-02 math.AP
Closed $\mathcal{A}$-$p$ Quasiconvexity and Variational Problems with Extended Real-Valued Integrands
本文将满足常秩一阶微分约束的向量场的补偿紧集上的积分泛函的下半连续性与被积函数的闭$\mathcal{A}$ - $p$拟凸性联系起来.下半连续包络的松弛确定为连续的，但潜在的扩展实值被积。我们讨论的连续性假设，并表明，当它被丢弃时，我们的概念的拟凸性仍然是等价的下半连续的被积函数的附加假设下的特征锥$\mathcal{A}$。
2017-02-13 math.AP
Homogenization of functional with linear growth in the context of $\mathcal{A}$-quasiconvexity
本文研究了$\mathcal{A}$ -拟凸性下线性增长泛函的均匀化问题。证明了一个表示定理，其中新的被积函数是通过解决一个细胞的问题，其中均匀化和$\mathcal{A}$自由条件之间的耦合起着至关重要的作用。这个结果扩展了以前的一些工作的线性情况下，从而允许浓度的影响。
2014-10-02 math.AP
$\mathcal{A}$-quasiconvexity, Gårding inequalities and applications in PDE constrained problems in dynamics and statics
证明了一个与$\mathcal{A}$ -拟凸函数相关的二次型的Gårding型不等式.这种二次型在守恒律理论中以相对熵的形式出现，它与变分法中的维尔斯特拉斯过剩函数有关。前者提供了弱强唯一性结果，而后者已被用来提供充分性定理的局部极小。在$\mathcal{A}$ -拟凸性假设下，利用这个新的Gårding不等式，我们将这些结果推广到动力学和静力学中的PDE约束问题.在静力学中的应用改进了现有的结果，证明了在经典的$\mathcal{A}= {\rm curl}$情况下，$L^p$局部极小的唯一性。
2020-05-27 math.AP
The local Burkholder functional, quasiconvexity and Geometric Function Theory
本文证明局部Burkholder泛函是拟凸的，并在p趋于2时构造出正行列式矩阵集上的非多凸拟凸泛函，同时建立面积公式的精确推广，从而得到退化非多凸泛函极小化元的存在性。
2024-01-15 math.AP math.CV
Existence and upper semicontinuity of time-dependent attractors for the non-autonomous nonlocal diffusion equations
本文在适当的假设下，证明了非自治非局部扩散方程在不定常空间$\mathcal{H}_{t}(Ω)$中的最小时间依赖拉回$\mathcal D_σ^{\mathcal{H}_{t}}$ -吸引子${\mathcal{A}}_{\mathcal D_σ^{\mathcal{H}_{t}}}$的存在性.其次，在相同的相空间中，利用先验估计和能量方法，我们证明了具有$ξ= 0$的方程的不定常拉回吸引子$\left\{A_ξ(t)\right\}_{t \in \mathbb R}$的存在性、$\left\{A_ξ(t)\right\}_{t \in \mathbb R}$的上连续性和整体吸引子$A$，即$$ \lim_{ξ\rightarrow 0^{+}} \operatorname{dist}_{\mathcal H_{t}}\left(A_ξ(t), A \right)=0. $$
2022-10-19 math.AP math.DS
A simple example of the weak discontinuity of $f\mapsto \int \det \nabla f$
本文通过一个已知的共形微分同胚弱收敛序列，说明即使将函数空间限制为性质尽可能好的函数，行列式积分泛函仍会表现出弱不连续性。
2025-01-03 math.AP
Global attractors and their upper semicontinuity for a structural damped wave equation with supercritical nonlinearity on $\mathbb{R}^{N}$
研究了$\mathbb{R}^{N}: u_{tt}-Δu+(-Δ)^αu_{t}+u_{t}+u+g(u)=f(x)$上一类结构阻尼波动方程整体吸引子的存在性及其上连续性，其中$α\in (1/2, 1)$称为耗散指数.提出了一种基于调和分析技术和换位子估计的新方法，利用结构阻尼$(-Δ)^αu_{t}$的耗散效应，克服了“无界域$\mathbb{R}^N$和超临界非线性都导致Sobolev嵌入失去紧性”的本质困难;同时，我们还证明了存在一个依赖于$α$的超临界指数$p_α\equiv\frac{N+4α}{N-4α}$，使得当非线性$g(u)$的增长指数$p$达到超临界范围：$1\leqslant p<p_α$：（i）当$t>0$时，方程的IVP是适定的，且其解具有额外的全局光滑性;（ii）对于每个$α\in (1/2, 1)$，相应的解半群在自然能量空间中具有全局吸引子$\mathcal{A}_α$;（iii）全局吸引子族$\{\mathcal{A}_α\}_{α\in (1/2, 1) }$在每个点$α_0\in (1/2, 1)$上连续.
2019-05-16 math.AP
Liftings, Young measures, and lower semicontinuity
这项工作引入提升及其相关的杨措施作为新的工具来研究序列的渐近行为对$(u_j,Du_j)j$为$(u_j)_j \in \mathrm{BV}(Ω;\mathbb{R}^m)$弱 * 收敛。这些工具，然后用来证明一个整表示定理的功能\[ \mathcal{F}\colon u\to\int_Ωf(x,u(x),\nabla u(x)) \;\mathrm{dx},\quad u\in\mathrm{W}^{1,1}(Ω;\mathbb{R}^m),\quad Ω\in\mathbb{R}^d\text{ open}, \]放松到空间$\mathrm{BV}(Ω; \mathbb{R}^m)$。这种类型的下半连续性结果首先由Fonseca和Müller [Arch. Ration.机械肛门123（1993），1-49]后来被许多作者改进，但我们的定理在比目前文献中存在的假设更自然、本质上最优的假设下是有效的，主要要求$f$在最终变量中是Carathéodory和拟凸。其关键思想是提升提供了在弱收敛下同时在$x$和$u$变量中定位$\mathcal{F}$的正确方法。因此，我们能够实现一个最佳的测量理论爆破过程。
2020-03-30 math.AP math.FA
Lower Semi-Continuity for $\mathcal A$-Quasiconvex Functionals under Convex Restrictions
我们证明了弱下半连续的泛函假设的一个新的概念“凸约束”$\mathcal A$ -拟凸被积。我们假设$\mathcal A$ -拟凸性仅适用于定义在凸集合$K$上的函数。假设这一点和足够的可积性的序列，我们表明，功能仍然是（顺序）弱下半连续弱收敛的“凸约束”$\mathcal A$ -自由序列。在一个激励性例子中，被积函数是$-\det^{\frac{1}{d-1}}$，凸约束是矩阵域的半正定性。
2021-01-29 math.AP math.FA
Partial regularity for local minimizers of variational integrals with lower order terms
我们考虑形式为$$\mathcal{F}(u):=\int_Ω\!F(x,u,\nabla u)\,\mathrm{d} x,$$的泛函，其中$Ω\subseteq\mathbb{R}^n$是开且有界的。被积函数$F\colonΩ\times\mathbb{R}^N\times\mathbb{R}^{N\times n}\to\mathbb{R}$满足经典的幂$p$ -增长假设和相应的强拟凸性.此外，$F$是Hölder连续的，其前两个变量的指数$2β\in(0,1)$关于第三个变量是一致的，并且下面有一个仅依赖于$z\in\mathbb{R}^{N\times n}$的拟凸函数。我们建立了$\mathcal{F}$的强局部极小是开子集$Ω_0\subseteqΩ$中的$\mathrm{C}^{1,β}$类，且$\mathcal{L}^n(Ω\setminusΩ_0)=0$。这种部分正则性也适用于某类弱局部极小点，其中第二变分是强正的，并满足$\mathrm{BMO}$ -smallness条件。这将Kristensen和Taheri（2003）关于局部极小的部分正则性结果扩展到被积函数也依赖于$u$的情况。此外，我们提供了一个直接的策略，这一结果，在相反的情况下使用的齐次被积的爆破参数。
2021-11-03 math.AP
Regularity of weak solutions for mixed local and nonlocal double phase parabolic equations
本文研究了混合局部与非局部双相抛物型方程，利用 De Giorgi-Nash-Moser 迭代证明了弱解的局部有界性，并基于能量估计和 De Giorgi 型引理讨论了弱上下解的点态行为与半连续性。
2023-06-25 math.AP
A variational theory for integral functionals involving finite-horizon fractional gradients
本文通过构造平移算子建立经典、分数阶与非局部梯度之间的联系，证明拟凸性等价于非局部积分泛函的弱下半连续性，并利用 Gamma 收敛得到松弛、均匀化及分数阶参数趋于经典局部模型的严格局部化结果。
2023-04-14 math.AP math.FA math.OC
On the relaxation of integral functionals depending on the symmetrized gradient
我们证明结果的松弛和弱 * 下连续性的形式\[ \mathcal{F}[u] := \int_Ω f \bigg( \frac{1}{2} \bigl( \nabla u(x) + \nabla u(x)^T \bigr) \bigg)\,\mathrm{d} x, \qquad u : Ω\subset \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d, \]的积分泛函在空间$\mathrm{BD}(Ω)$的有界变形的功能或超过Temam-Strang空间\[ \mathrm{U}(Ω):=\bigl\{u\in \mathrm{BD}(Ω): \ \mathrm{div} \ u\in \mathrm{L}^2(Ω)\bigr\}, \]取决于增长和形状的被积函数$f$。这样的泛函是有趣的，例如在亨基塑性和相关模型的研究。
2020-03-01 math.AP math.FA
Attractors and Singular Limits for a Quintic Wave Equation with Nonlocal Kelvin--Voigt Damping
Nanjing Tech University（南京工业大学）；State University of Maringá（马里加州立大学）；Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul（南马托格罗索州立大学）
本文研究带非局部Kelvin–Voigt阻尼的能量临界五次波动方程，建立其适定性，证明动力系统的耗散性、吸引子的存在性等，还分析吸引子族的一致有界性与上半连续性。
2026-08-20 math.AP math.DS
