Split Packing: Algorithms for Packing Circles with Optimal Worst-Case Density
在经典的圆包装问题中，人们会问一组给定的圆是否可以包装到一个给定的容器中。像这样的打包问题已经被证明是$\mathsf{NP}$ -hard。在本文中，我们提出了将圆装入正方形和三角形容器的新的充分条件，仅使用圆的面积之和：对于正方形容器，可以将任何一组面积之和最多为正方形面积的53.90%的圆装入正方形容器。当容器是直角三角形或钝角三角形时，任何一组面积不超过三角形内圆的圆都可以装箱。这些面积条件是紧的，在某种意义上，对于任何更大的面积，都有不能被包装的圆集。类似的结果早就知道广场，但据我们所知，我们给这种类型的圆形物体的第一个结果。我们的证明是有建设性的：我们描述了一个通用的，分治为基础的算法包装圆到各种容器形状的最佳最坏情况下的密度。它采用了一个优雅的细分方案，递归地将圆分成两组，然后将它们打包到子容器中。我们称这种算法为“拆分包装”。由于它的多项式运行时间，它可以用作寻找最小容器时的常数因子近似算法，其中可以包装一组给定的圆。可以在https://morr.cc/split-packing/上找到Split Packing方法和其他相关材料的基于浏览器的交互式可视化
2018-06-27 cs.CG
Packing Boundary-Anchored Rectangles and Squares
考虑轴对齐正方形$Q$边界上的一组$n$点$P$。研究了$P$上的边界锚定布局问题，目标是在$Q$中找到一组相邻不相交的轴对齐矩形，使得每个矩形都是锚定的（在$P$中的某个点有一个角），$P$中的每个点最多锚定一个矩形，并且矩形的总面积最大化.这里，如果矩形的一个角与$p$重合，则矩形锚定在$P$中的点$p$处。在本文中，我们展示了如何解决这个问题的时间线性的$n$，提供的$P$的点是按排序顺序沿边界的$Q$。当$P$中的点位于$Q$的相对两侧时，我们还考虑了锚定正方形的问题，并给出了一个$O(n^4)$ -时间算法.
2019-06-27 cs.CG
Reducing Moser's Square Packing Problem to a Bounded Number of Squares
广为人知的莫泽正方形填充问题要求最小面积$A$，使得对于总面积为$1$的正方形的任何集合$S$，存在面积为$A$的矩形$R$，其中$S$中的正方形允许内部不相交的轴平行填充。它是由莫泽在1966年提出的，至今仍未解决。$\frac{2+\sqrt{3}}{3}\leq A$最著名的下限是由Novotnatrium提出的，并且Platz已经证明对于高达$11$平方是足够的，而Hougardy和Ilhan已经建立了$A < 1.37$。在本文中，我们减少莫泽的广场包装问题的一个有限的广场上的问题在以下意义上：我们展示了如何计算一个自然数$N$，使得它是足够的，以确定$A$的值为集合包含最多$N$广场的总面积$1$。
2021-03-11 cs.CG cs.DM
Maximum Area Axis-Aligned Square Packings
给定单位正方形$U=[0,1]^2$中的点集$S=\{s_1,\ldots , s_n\}$，锚定正方形填充是$U$中的一组$n$相邻不相交的空正方形，使得$s_i$是第$i$个正方形的角。$S$的到达范围$R(S)$是可以被这种填充覆盖的点的集合，即，锚定在$S$中的点处的所有空正方形的并集。证明了对于每个有限集$S\subset U$，面积$(R(S))\geq \frac12$是最佳的可能界.区域$R(S)$可以在$O(n\log n)$时间内计算。最后，我们证明了寻找一个最大面积锚定正方形填充是NP完全的。这是第一个硬证明的几何包装问题中的几何对象的大小是不受限制的包装。
2018-06-25 cs.CG cs.DM
Anchored Rectangle and Square Packings
对于单位正方形$[0,1]^2$中的点$p_1,\ldots , p_n$，\emph{anchored rectangle packing}由相邻不相交的轴对齐的空矩形$r_1,\ldots , r_n\subseteq [0,1]^2$组成，使得点$p_i$是$i=1,\ldots, n$的矩形$r_i$的角（即，$r_i$是$p_i$处的\emph{anchored}）。我们证明了对于$[0,1]^2$中的每一个$n$点集，都存在一个面积至少为$7/12-O(1/n)$的锚定矩形填充;对于每一个$n\in \mathbf{N}$，都存在一个面积至多为$2/3$的锚定矩形填充的点集.锚定\emph{square}填料的最大面积总是至少为$5/32$，有时至多为$7/27$。上述构造性下界立即产生常数因子近似，矩形的$7/12 -\varepsilon$和正方形的$5/32$，用于在$O(n\log n)$时间内计算最大面积的锚定填充。我们证明了一个简单的贪婪策略实现了$9/47$ -近似锚定正方形包装，和$1/3$左下角锚定正方形包装。约简到最大权独立集（MWIS）分别在$n^{O(1/\varepsilon)}$和$\exp({\rm poly}(\log (n/\varepsilon)))$时间中产生锚定矩形和方形填充的QPTAS和PTAS。
2016-02-29 cs.CG math.CO
Online Geometric Packing through Online TSP Scheduling
研究凸多边形在线平移包装问题，当前最佳算法竞争比为\(O(n^{0.59})\)。引入在线旅行商问题调度，给出\(O(\log^2 n)\)竞争算法，由此得到凸多边形在线平移条带包装等问题的同竞争比算法，揭示包装与在线排序联系在算法设计上的应用。
2026-07-27 cs.CG cs.DS
A Reallocation Algorithm for Online Split Packing of Circles
拆分打包算法\cite{splitpacking_ws, splitpackingsoda, splitpacking}是一种离线算法，它将一组圆打包成三角形和正方形，直到达到临界密度。在本文中，我们开发了一个在线的替代拆分包装来处理在线序列的插入和删除，该算法被允许重新分配圆到新的位置，成本成比例的面积。该算法可用于将圆包装成正方形和直角三角形。如果只考虑插入，我们的算法也能够包装到临界密度，与摊销的重新分配成本$O(c\log \frac{1}{c})$的正方形，和$O(c(1+s^2)\log_{1+s^2}\frac{1}{c})$的直角三角形，其中$s$是第二短边的长度比的三角形的最短边，当插入一个圆的面积$c$。当考虑插入和缺失时，我们实现了$(1-ε)$的临界密度的堆积密度，其中$ε>0$可以任意小，摊销的重新分配成本为$O(c(1+s^2)\log_{1+s^2}\frac{1}{c} + c\frac{1}ε)$。
2018-11-21 cs.CG cs.DS
Online Square Packing
我们在线分析了填充正方形的问题：给定一个宽度为1的半无限长带和一个未知的边长为[0，1]的正方形序列，它们从上面到达，一次一个。目标是在这些物品到达时将其打包，最大限度地减少由此产生的高度。就像经典的俄罗斯方块游戏一样，每个方块必须沿着一条无碰撞的路径移动到最终目的地。此外，我们在运动（方块永远不会向上移动）和位置（任何最终目的地必须从下面得到支持）中考虑了重力。类似的问题之前已经考虑过;之前最好的结果是Azar和Epstein，他们在没有重力的情况下给出了一个4-竞争算法（即，有可能让正方形“悬在空中”）基于货架包装的想法：正方形被分配到不同的水平高度，允许分析，这让人想起一些装箱的论点。我们应用几何分析来建立左下启发式的竞争因子3.5，并提出34/13=2.615......竞争算法
2010-10-21 cs.CG cs.DS
A 2.37332-Competitive Algorithm for Online Square Packing with Gravity
Alpha Energy ApS（Alpha Energy 有限公司）
提出AsymmetricSlots递归算法，通过槽位划分和局部收费论证，将在线正方形装箱（含重力约束）的渐近竞争比从2.6154改进至2.37332，并推广到矩形情形，证明对宽高比的依赖最优。
2026-09-10 cs.CG
Online Square-into-Square Packing
1967年，Moon和Moser证明了正方形中正方形的临界密度的紧界：任何总面积至多为1/2的正方形集合都可以被压缩成一个单位正方形，这是紧的。证明需要对集合的全部知识，因为算法解决方案包括通过减小大小对对象进行排序，并将它们重新打包到架子上。从那时起，这个问题的在线版本一直是开放的;最好的上限仍然是1/2，而目前最好的下限是1/3，这是由于Han et al.（2008）。在本文中，我们提出了一个新的下限为11/32，基于一个动态的货架分配方案，这可能是有趣的本身。我们也给出了密切相关的问题，其中的正方形容器的大小是不固定的，但必须动态增加，以适应在线序列的对象的结果。对于这种变体，我们建立了临界密度的上限为3/7，下限为1/8。当目标是容纳一个在线的正方形序列时，这对应于2.82... -最小化所需容器大小的竞争性方法，以及1.33的下限。. .可实现的因素。
2016-12-31 cs.CG cs.DM
Online Packing to Minimize Area or Perimeter
我们考虑在线包装问题，我们得到一个轴平行的矩形流。矩形必须放置在平面上而不重叠，并且每个矩形必须在不知道后续矩形的情况下放置。目标是最小化矩形的轴平行限界框的周长或面积。我们要么允许旋转90度，要么只允许平移。对于周边版本，我们给出了算法的绝对竞争比略小于4时，只允许平移，旋转时也允许。然后，我们把我们的注意力最小化的区域，并表明，任何算法的渐近竞争比至少是$Ω(\sqrt{n})$，其中$n$是流中的矩形的数量，这与旋转和不旋转。然后，我们提出的算法，在这两种情况下，这一界限相匹配。我们还表明，竞争比不能作为一个功能的OPT.Then，我们考虑两种特殊情况下有界。第一种情况是所有给定的矩形的长宽比都受某个常数的限制。所有矩形都是正方形并且我们希望最小化边界正方形的面积的特定变体之前已经研究过，并且已经给出了竞争比为8的算法[Fekete和Hoffmann，Monumica，2017]。我们改进了算法的分析，并表明该比率最多为6，这是紧的。第二种特殊情况是所有边的长度至少为1。在这里，$Ω(\sqrt n)$下限仍然成立，我们把我们的注意力的下限取决于OPT.We表明，任何算法具有渐近竞争力的比例至少$Ω(\sqrt{OPT})$的平移的情况下，$Ω(\sqrt[4]{OPT})$时，旋转是允许的。对于这两个版本，我们给出的算法，匹配各自的下限。
2021-01-26 cs.CG
Tiling with Squares and Packing Dominos in Polynomial Time
一个多角形是一个多边形区域的轴平行的边缘和角的整数坐标，其中可能有洞。本文研究了带有多角件和多角容器$P$的平面平铺和填充问题。我们给出了两个多项式时间算法，一个用于决定是否$P$可以平铺与$k\times k$广场的任何固定的$k$可以是输入的一部分（即，决定如果$P$是一组非重叠的$k\times k$广场的联合）和一个用于包装$P$与最大数量的非重叠和轴平行$2\times 1$多米诺骨牌，允许旋转$90^\circ$。由于打包比平铺更通用，所以后一种算法也可以用于决定$P$是否可以由$2\times 1$多米诺骨牌平铺。这些都是在VLSI设计中具有重要应用的经典问题，并且已知找到$2\times 2$平方的最大填充的相关问题是NP困难的[J.Algorithms 1990]。对于我们的三个问题，存在已知的伪多项式时间算法，即运行时间在$P$区域内为多项式的算法。然而，表示多边形的标准、紧凑的方法是以二进制形式列出角点的坐标。我们使用这种表示，从而提出了第一个多项式时间算法的问题。具体地说，我们给出了一个简单的$O(n\log n)$算法的方块平铺，和一个更复杂的$O(n^3\,\text{polylog}\, n)$算法的包装和平铺的多米诺骨牌，其中$n$是$P$的角的数量。
2021-08-09 cs.CG cs.DS
On Packing Almost Half of a Square with Anchored Rectangles: A Constructive Approach
在本文中，我们考虑下面的几何难题，其起源可以追溯到Allan Freedman \cite{croft91,tutte69}在20世纪60年代由Dumitrescu和T {ó} th \cite{adriancasaba2011}.这个谜题最近由Peter Winkler \cite{Winkler2007}推广开来。令$P_{n}$是单位正方形$U = [0,1]^2$中的一组$n$点，包括原点。问题是在$U$中构造$n$轴平行且互不相交的矩形，使得每个矩形的左下角与$P_{n}$中的一个点重合，并且矩形覆盖的总面积最大化。我们将上述矩形称为\emph{anchored rectangles}。长期以来的猜想是，当锚定矩形正确放置时，至少可以覆盖$U$的一半。Dumitrescu和T {0} th \cite{Dumitrescu2012}已经示出了可以覆盖至少$0.09121$的构造方法，即，大约是该地区的$9\%$。
2014-04-28 cs.CG
Hardness and Approximation Schemes for Discrete Packing and Domination
针对任意半径圆盘和任意边长轴平行正方形的几何离散独立集与支配集问题，提出基于局部搜索的多项式时间近似方案，同时证明其在特定形状下的APX-难与NP-难特性。
2025-04-16 cs.CG
Hardness of Packing, Covering and Partitioning Simple Polygons with Unit Squares
本文证明将单位正方形填充、覆盖和划分简单多边形（即使无孔且坐标半整数）均为NP困难，通过非平面几何实现Planar-3SAT归约，首次证明无孔多边形划分问题的NP困难性。
2024-04-18 cs.CG
Packing Unequal Circles into a Square Container by Partitioning Narrow Action Spaces and Circle Items
我们解决了NP-难问题，找到一个非重叠的密集包装模式的n个不等圆项目在一个二维正方形容器（PUC-SC），使容器的大小最小化。基于我们以前的工作基于动作空间的全局优化（ASGO），近似每个圆形项目作为一个正方形项目，以有效地找到大的未占用空间，我们提出了一个优化算法的基础上分区的动作空间和分区的圆形项目（PAS-PCI）。PAS是将狭窄的行动空间在长边进行分割，找到两个相等的行动空间，充分利用未占用的空间。PCI是基于大小将圆项目划分为四组，用于盆跳跃策略。在两组基准实例上的实验表明了该方法的有效性。在ASGO发布的68个测试实例上，与ASGO算法相比，PAS-PCI算法不仅在64个实例中获得了较小的容器，与其他4个实例相匹配，而且在大多数实例中运行速度更快。与Packomania网站在总共98个实例上的最佳记录相比，PAS-PCI在82个实例上找到了较小的容器，并与其他16个匹配。请注意，我们更新了自2013年以来一直保持不变的19条记录（47-48，51-54，57，61-72）。
2017-02-27 cs.CG cs.DS
Packing, Hitting, and Colouring Squares
本文研究了非轴平行正方形的packing与hitting问题，首次给出了τ/ν比率的非平凡上界（单位正方形为6，变体为10），并利用该方法界定了χ/ω比率，填补了正方形几何对象常数界限研究的空白。
2024-06-03 cs.CG cs.DM math.CO
Circle Packing for Origami Design Is Hard
我们表明，决定一组给定的圆是否可以包装成一个矩形，等边三角形，或单位正方形是NP-困难的问题，解决这些自然包装问题的复杂性。在积极的一面，我们表明，任何一组圆圈的总面积为1可以包装成一个正方形的大小为4/ \sqrt{pi} =2.2567.这些结果的动机折纸设计的背景下出现的问题。
2010-09-20 cs.CC cs.CG cs.DM
Packing anchored rectangles
设$S$是单位正方形$[0,1]^2$中的一组$n$点，其中一个点是原点。我们构造$n$成对相邻不相交的轴对齐的空矩形，使得每个矩形的左下角是$S$中的一个点，并且矩形共同覆盖至少一个正的常数区域（约0.09）。这是解决一个长期存在的猜想的第一步，这个猜想是这样一个包装中的矩形可以共同覆盖至少1/2的面积。
2012-07-30 cs.CG math.CO
