Consider QBF, the Quantified Boolean Formula problem, as a combinatorial game ruleset. The problem is rephrased as determining the winner of the game where two opposing players take turns assigning values to boolean variables. In this paper, three common variations of games are applied to create seven new games: whether each player is restricted to where they may play, which values they may set variables to, or the condition they are shooting for at the end of the game. The complexity for determining which player can win is analyzed for all games. Of the seven, two are trivially in P and the other five are PSPACE-complete. These varying properties are common for combinatorial games; reductions from these five hard games can simplify the process for showing the PSPACE-hardness of other games.
对于布尔可满足性问题，解空间的结构由解图表征，其中顶点是解，并且两个解连通当且仅当它们在一个变量上不同。对于这个隐式定义的图，我们在这里研究st-连通性和连通性问题。基于Gopalan et al.（“The Connectivity of Boolean Satisfiability：Computational and Structural Dichotomies”，2006/2009），我们首先研究了由CSP给出的可满足性问题，更确切地说是由带常数的CNF（S）-公式给出的可满足性问题（如Schaefer在1978年著名的二分法定理中所考虑的）;我们证明了ST-连通性问题的计算二分法，断言它要么在多项式时间内可解，要么是PSPACE-完全的，并且是对齐的结构二分法，断言，连接组件的最大直径是线性的变量的数量，或者可以是指数;此外，我们显示了一个连通性问题的剖分，断言它是在P，CONP-完全，或PSPACE-完全。接下来，我们调查两个重要的变种：CNF（S）-公式没有常数，部分量化的公式;在这两种情况下，我们证明了类似的二分法的ST-连接和直径;对于连接问题，我们显示了一个二分法的情况下，量化的公式，而在没有常数的公式的情况下，我们确定一个可能的二分法的片段。最后，我们考虑B-公式的连通性问题，这是任意嵌套的公式建立从一些固定的连接词集B，和B-电路，这是布尔电路的门是从一些有限…
构建无风险布尔电路（避免电子故障）的问题可以追溯到20世纪40年代，是电路设计甚至网络安全中的一个重要问题。我们表明，一个DeMorgan电路是无风险的，当且仅当电路产生（纯粹语法）的所有主要蕴涵以及所有主要蕴涵的布尔函数计算。这将Eichelberger [IBM J. Res. Develop.，9（1965）]显示了特殊深度2电路的这种性质。通过一个令人惊讶的简单证明，我们还加强了Ikenmeyer等人最近的一个结果[J. ACM，66：4（2019）]：不仅单调布尔函数的无风险电路和单调电路的复杂性一致，而且单调布尔函数的每个最佳无风险电路都必须是单调的。然后，我们证明了一个非常简单的（非单调）布尔函数的无风险电路复杂性是超多项式大于其无限制的电路复杂性。这个函数接受一个布尔n x n矩阵当且仅当每一行和每一列都只有一个1元素。最后，我们证明了每个n个变量的布尔函数都可以用一个大小为O（2^n/n）的无冒险电路来计算。
