2-Selmer groups of hyperelliptic curves with two marked points
研究了一类具有固定亏格的$\Q$上的超椭圆曲线族，以及一个标记有理Weierstrass点和一个标记有理非Weierstrass点.当这些曲线按高度排序时，我们证明了它们的雅可比矩阵的平均Mordell-Weil秩在5/2以上有界。我们证明了这一点，表明2-塞尔默群的平均秩是有界以上的6。我们还证明了与这个家族相关的同源家族的$ϕ$-Selmer群的平均大小正好是2。
2016-11-10 math.NT
Counting odd genus $2$ curves with a marked rational $3$-torsion point
University College London（伦敦大学学院）；Mathematical Institute of the Serbian Academy of Sciences and Arts（塞尔维亚科学院数学研究所）
研究有理数域上特定条件的亏格2曲线，通过朴素高度排序计数，核心方法是基于曲线的首一魏尔斯特拉斯模型及雅可比行列式的有理3 - 挠点条件。
2026-07-13 math.NT
On the average number of 2-Selmer elements of elliptic curves over $\mathbb{F}_q(X)$ with two marked points
本文考虑正特征域上的椭圆曲线具有两个不同的标记非平凡有理点。限制到泛曲线的某个子类，我们证明了这些曲线的2-Selmer群的平均大小在自然意义上是存在的，并且等于12。一路上，我们考虑从这些2-Selmer群映射到代数曲线上的$G$ -torsors的模空间，其中$G$与$\mathrm{SL}_2^4$是同源的，并表明2-Selmer元素在这个映射下的图像在极限上变得均匀分布。
2016-07-04 math.NT
Arithmetic mirror symmetry for genus 1 curves with $n$ marked points
我们建立了具有$n$不同标记点的2-环面的相对复形范畴与$n$ -Tate曲线上的完全复形的导出范畴之间的$\mathbb{Z}[[t_1,\ldots, t_n]]$ -线性导出等价性.对$t_1= \ldots =t_n=0$的专门化给出了$n$ -穿孔环面上的完全复形范畴与标准（Néron）$n$ -边形上的完全复形的导出范畴之间的$\mathbb{Z}$ -线性导出等价。我们证明了这种等价扩展到一个$\mathbb{Z}$ -线性导出等价之间的包裹的范畴的$n$ -穿孔环面和标准$n$ -边形的相干层的导出范畴。
2016-10-13 math.AG math.NT math.SG
Average size of the 2-Selmer group of Jacobians of monic even hyperelliptic curves
Manjul Bhargava和Benedict Gross在文献[5]中考虑了$\Q$上的超椭圆曲线族具有固定的亏格和一个标记的有理Weierstrass点.他们表明，当按高度排序时，这些曲线的雅可比行列式的2-Selmer群的平均大小为3。本文考虑了$\Q$上的一类具有固定亏格和一个标记有理非Weierstrass点的超椭圆曲线.我们表明，当这些曲线的高度排序，其雅可比矩阵的2-Selmer群的平均大小是6。这就产生了这些超椭圆曲线的雅可比行列式的Mordell-Weil群的平均秩的上界为5/2。最后，使用等分布结果，我们修改了[16]的技巧，从而得出结论：当$g$趋于无穷大时，具有亏格$g$的这些一元偶次超椭圆曲线中趋于1的部分恰好具有两个有理点-无穷远处的标记无穷远点及其超椭圆共轭。
2014-02-17 math.AG math.NT
Motivic & Arithmetic probability of a semistable elliptic surface with a Weierstrass torsion section
利用判别式$Δ(X)$的有界高度，证明了半稳定椭圆曲线在$\infty$和$0$上具有两个标记Weierstrass点的新的精确渐近性，以及$0$是$\mathbb{F}_q(t)$上的2-挠或3-挠标记Weierstrass点的情形.本文研究了在具有$\text{char}(K) \neq 2,3$的基域$K$上，选取在$\infty$和$0$上具有两个标记Weierstrass截面的$\mathbb{P}^{1}$上的非奇异半稳定椭圆曲面，使得在$0$上的标记Weierstrass截面是2-挠率或3-挠率的运动概率.最后，通过全局域的类比，利用判别式$Δ$的有界高度，给出了在$\mathcal{Z}_{\mathbb{Q}}(\mathcal{B})$上，在$0$上具有显著有理2-挠或3-挠Weierstrass点的半稳定椭圆曲线占在$\mathbb{Q}$上的所有具有显著有理Weierstrass点的半稳定椭圆曲线的比例的一个类似的估计.
2022-07-11 math.AG math.NT
Computing the Stable Reduction of Hyperelliptic Curves in Residue Characteristic 2
本文研究了特征零域上超椭圆曲线在剩余特征 2 下的稳定约化问题，证明了标定曲线稳定约化的一般性质，改进了现有计算算法，并给出了直至亏格 g=30 的具体算例。
2025-06-24 math.AG math.NT
Reduction of Hyperelliptic Curves in Residue Characteristic 2
本文研究特征零域上超椭圆曲线在剩余特征 2 赋值下的稳定约化，提出处理带 2g+2 个 Weierstrass 点标记曲线的显式算法，并在亏格 g≤2 时给出判别约化结构的简便条件。
2024-10-24 math.AG math.NT
On the rationality problem for forms of moduli spaces of stable marked curves of positive genus
设$M_{g, n}$（分别为$\overline{M_{g, n}}$）是亏格$g$的光滑（分别为稳定）曲线的模空间，其上有$n$标记点.在复数领域，确定$M_{g, n}$（或等价地，$\overline{M_{g, n}}$）是否是有理簇是代数几何中的经典问题。Harris，D.芒福德湾Eisenbud和G. Farkas断言，如果$g \geqslant 22$，则$M_{g, n}$对任何$n \geqslant 0$都不是单有理的。Belorousski和A. Logan证明了$M_{g, n}$对于只有1000对$(g, n)$和$g \geqslant 1$是单有理的.寻找$(g, n)$对的精确范围，其中$M_{g, n}$是理性的，稳定理性的或单理性的，是一个持续感兴趣的问题。在本文中，我们解决的合理性问题的扭曲形式的$\overline{M_{g, n}}$定义在任意域$F$的特征$\neq 2$。我们证明了$\overline{M_{g, n}}$的所有$F$ -形式对于$g = 1$和$3 \leqslant n \leqslant 4$、$g = 2$和$2 \leqslant n \leqslant 3$、$g = 3$和$1 \leqslant n \leqslant 14$、$g = 4$和$1 \leqslant n \leqslant 9$、$…
2020-04-11 math.AG math.GR math.NT
The average size of the 2-Selmer group of a family of non-hyperelliptic curves of genus 3
我们表明，平均大小的$2$ -塞尔默组的家庭的雅可比非超椭圆属- $3$曲线有一个显着的合理hyperflex点，当有序的自然高度，是有界以上的$3$。我们实现这一点，通过解释$2$ -塞尔默元素的积分轨道的代表与一个稳定的$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ -分级的李代数类型$E_6$和使用Bhargava的轨道计数技术。我们使用这个结果表明，标记点是唯一的有理点的一个积极的比例曲线在这个家庭。主要的新颖之处是建设的积分代表使用某些性质的紧致雅可比的简单曲线奇异的类型$E_6$，和一个代表性理论解释的芒福德θ组自然与我们的家庭的曲线。
2021-09-07 math.AG math.NT
Moduli spaces of curves with polynomial point counts
研究曲线模空间的点数多项式性质，证明当亏格g≤8时，有限域上的曲线数为域大小的多项式函数，且确定每个正亏格g的最小n值，使模空间不再具有多项式点数。
2026-04-20 math.AG math.NT
On pro-p fundamental groups of marked arithmetic curves
设k是一个整体域，p是一个不同于char（k）的奇素数，S，T是k的不相交的有限素数集.设G_S^T（k）（p）=Gal（k_S^T（p））|k）是k的极大p-扩张在S外非分歧且在T处完全分裂的伽罗瓦群。本文证明了存在一个有限素数集S_0，它可以从任意给定的Dirichlet密度为零的集合M中选取，使得G_{S\cup S_0} ^T（k）（p）的上同调与相应的标记算术曲线的标准上同调重合。特别地，cd G_{S\cup S_0} ^T（k）（p）=2。此外，我们可以这样选择S_0，使得k_{S\cup S_0} ^T（p）实现局部域k_PDMATHABMO的最大p-扩张k_ \p（p），对于所有\p \in S \cup S_0，杯积H ^1（G_{S\cup S_0} ^T（k）（p），\F_p）\otimes H ^1（G_{S\cup S_0} ^T（k）（p），\F_p）--> H^2（G_{S\cup S_0} ^T（k）（p），\F_p）是满射的，S中素数的分解群在G_{S\cup S_0} ^T（k）（p）中建立一个自由积。这推广了作者以前的工作，在T= \emptyset的情况下，在p \nmid Cl（k）和p \notin k的限制性假设下，得到了类似的结果.
2009-01-16 math.NT
Linear series on metrized complexes of algebraic curves
代数曲线的度量化复形是一个有限度规图以及一组标记的完全非奇异代数曲线，每个顶点一条，标记点与关联边双射。我们建立了度量复形曲线的Riemann-Roch定理，它推广了经典的Riemann-Roch定理及其由Baker-Norine，Gathmann-Kerber和Mikhalkin-Zharkov提出的图论和热带类似定理。我们还建立了第二作者的专业化引理和它的加权图模拟由于Caporaso和第一作者的概括，表明一个除数的秩不能下降专业化下从曲线到度量化的复杂。作为这些考虑的应用，我们制定了一个推广的艾森巴德-哈里斯理论的极限线性级数的半稳定曲线，不一定是紧凑型。
2013-10-10 math.AG math.CO math.NT
$E_8$ and the average size of the 3-Selmer group of the Jacobian of a pointed genus-2 curve
证明了亏格为2的曲线的3-Selmer群的平均尺寸为4。
2020-09-16 math.NT
Arithmetic invariant theory and 2-descent for plane quartic curves
给定特征为0的域k上的光滑平面四次曲线C，其雅可比簇J和C（k）的标记有理点P，我们构造了约化群G和G-簇X，以及注入J（k）/2 J（k）-> G（k）\X（k）.我们这样做使用芒福德θ群的J，和建设卢里从海森堡群传递到李代数。
2016-07-29 math.NT
Spectral decomposition and Siegel-Veech transforms for strata: The case of marked tori
本文研究带两个标记点的环面层，给出其谱分解，并利用复合 Laplace 算子弥补叶状 Laplace 算子连续谱过大的问题。
2024-04-09 math.GT math.NT math.SP
The Geometric Dynamical Northcott Property For Regular Polynomial Automorphisms of the Affine Plane
建立了特征为零的函数域$\mathbf{K}$上仿射平面的正则多项式自同构的周期点的有限性，即几何动力Northcott性质，改进了Ingram的结果.为此，我们表明，当$\mathbf{K}$是一个光滑的复杂的射影曲线的有理函数的字段，一个子品种的规范高度是适当的分岔电流的质量和一个标记点是稳定的当且仅当其规范高度为零。然后，我们建立了几何动力学Northcott属性使用相似性参数。
2020-10-30 math.CV math.DS math.NT
Irreducibility of eventually $2$-periodic curves in the moduli space of cubic polynomials
本文证明了三次多项式模空间中最终2周期曲线 $\mathscr{S}_{k,2}$（$k\geq 0$）的不可约性，部分证实了 Milnor 猜想，并发现了此前未观察到的分裂-合并现象，同时利用该不可约性给出了偶数 $k$ 时单临界点 Galois 共轭性的新简短证明。
2023-12-18 math.DS math.NT
