Badly approximable vectors, $C^{1}$ curves and number fields
Manfred Einsiedler, Anish Ghosh, Beverly Lytle
我们证明了$C^{1}$曲线上的点在W意义下可由数域中的有理数很差地逼近，从而形成一个获胜集。M.施密特因此，我们得到了一个数域版本的施密特猜想。
We show that points on $C^{1}$ curves which are badly approximable by rationals in a number field form a winning set in the sense of W. M. Schmidt. As a consequence, we obtain a number field version of Schmidt's conjecture.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Badly approximable points on self-affine sponges and the lower Assouad dimension
我们强调之间的连接丢番图逼近和较低的Assouad维使用有关后者的信息表明，豪斯多夫维数的一组严重逼近的点，位于某些非共形分形，称为自仿射海绵，是有界的动力学尺寸以下这些分形。特别地，对于具有相等的Hausdorff维数和动力维数的自仿射海绵，在海绵中的不良可逼近点的集合具有完全的豪斯多夫维数。我们的研究结果，这是第一个超越共形设置，包括Sierpienski海绵/地毯（也称为贝德福德-麦克马伦海绵/地毯）和Baraenski地毯的情况下。我们使用的事实，即较低的Assouad维的超平面扩散集构成了一个下界的豪斯多夫维数的一组严重逼近点在该集合。
Intersections of quantitative recurrence and badly approximable sets for expanding Markov maps
针对单位区间上含 sofic β-变换等的扩张马尔可夫映射，研究动态 badly approximable 点的定量回归性质，确定回归集与 badly approximable 集等交集的豪斯多夫维数，得到相关结果。
Badly approximable systems of affine forms, fractals, and Schmidt games
一个仿射形式的差逼近系统由一个矩阵和一个向量决定。我们表明Kleinbock的猜想的仿射形式的严重逼近系统：对于任何固定的向量，一组严重逼近系统的仿射形式是获胜（在施密特游戏的意义上），即使限制到一个分形（从某个大类的分形）。此外，我们考虑固定矩阵而不是向量，其中模拟语句成立。
Diophantine approximation and badly approximable sets
设（X，d）是一个度量空间，（Ω，d）是X的一个紧致子空间，它支持一个非原子有限测度m.我们认为“自然”类的Ω的严重逼近的子集。不严格地说，它们由Ω中的点组成，这些点与X中的某个给定点集“保持清晰”。经典的集合\Bad的“严重逼近”的数字在理论的丢番图逼近属于我们的框架做集合\Bad（i，j）的同时严重逼近的数字。在各种自然条件下，我们证明了Ω的差逼近子集具有满豪斯多夫维数.我们的一般框架的应用包括那些从数论（古典，复杂，p-adic和正式的幂级数）和动力系统（迭代函数计划，合理的映射和Kleinian群）。
Hausdorff dimension of differences of badly approximable sets
针对不可良好逼近集差集的维数问题，通过在幺模网格空间上使用施密特博弈的变体“快速博弈”，证明该集差具有满豪斯多夫维数，补充了相关领域的维数研究结果。
Dimension estimates for sets of uniformly badly approximable systems of linear forms
已知可差逼近的$m \times n $矩阵的集合具有豪斯多夫维数$mn $。每个这样的矩阵都有自己的近似常数$c$，并且可以要求近似常数大于或等于某个固定$c$的不良可近似矩阵的集合的维数。在一维情况下，这个问题的一个非常精确的答案是已知的。本文得到了高维情形下的上界和下界。
Extended-cycle integrals of modular functions for badly approximable numbers
期望模函数的循环积分在奇异模的实二次模拟中发挥作用。本文将模函数的循环积分的定义从实二次数推广到差逼近数。对于某些情形，我们也给出了扩张循环积分值的显式表示。
Badly approximable systems of affine forms
我们证明了W的一个非齐次模拟。M. Schmidt（1969）关于线性型的坏逼近系统的集合的豪斯多夫维数的定理。证明是基于动力系统理论的思想和方法，特别是基于李群的齐性空间上混合流的有界轨道的丰富性。
Winning property of badly approximable points on curves
本文证明了$\mathbb{R}^n$中任意解析非退化曲线上的差逼近点是绝对优胜集。这证实了Badziahin和Velani（2014）所述领域的一个关键猜想，该猜想代表了20世纪60年代达文波特问题的深远概括。在我们的主要结果的各种后果是一个解决方案Bugeaud的问题的实数严重逼近的任意程度的代数数。证明依赖于分形几何和齐次动力学的新思想。
McMullen's game for equicontinuously-twisted badly approximable points in continued fractions and beta expansions
本文研究了在beta变换或Gauss映射系统中，等连续序列下badly approximable点的McMullen游戏性质及Hausdorff维数。
Badly approximable numbers over imaginary quadratic fields
我们回顾了欧氏虚二次域$K$上最近整数连分式的概念，并通过$z$的连分式展开式中的部分连续项的有界性来刻画“差逼近”数（$z$使得对于所有$p/q\in K$存在具有$|z-p/q|\geq C/|q|^2$的$C(z)>0$）。应用该算法的“标记”不定积分二进制厄米特形式证明了存在的整个圆的$\mathbb{C}$的点是严重的逼近$K$，有效常数。通过其他方法（Dani对应），我们证明了在任何虚二次域上的坏逼近数的圈的存在性，损失的有效性。在这些严重的逼近数是代数数的每一个偶数度以上$\mathbb{Q}$，我们的特点。我们考虑的所有例子都与Bianchi群$SL_2(\mathcal{O})$的余紧Fuchsian子群有关，其中$\mathcal{O}$是虚二次域中的整数环。
Dimension bound for doubly badly approximable affine forms
我们证明，对于所有的$b$，豪斯多夫维数的集合的$m \times n$矩阵$ε$ -严重逼近的目标$b$是不充分的。双度量的情况如下。已知对于几乎每个矩阵$A$，$ε$的集合$Bad_A(ε)$的豪斯多夫维数-可差逼近目标$b$是不满的，并且对于实数$α$，$\dim_H Bad_α(ε)=1$当且仅当$α$平均奇异。我们证明了，如果$\dim_H Bad_A(ε)=m$，那么$A$是奇异的平均。
Dimension estimates for badly approximable affine forms
对于给定的$ε>0$和$b\in\mathbb{R}^m$，我们说一个真正的$m\times n$矩阵$A$是$ε$ -差逼近目标$b$，如果$$\liminf_{q\in\mathbb{Z}^n, \|q\|\to\infty} \|q\|^n \langle Aq-b \rangle^m \geq ε,$$其中$\langle \cdot \rangle$表示距离最近的整数点。本文给出了固定目标$b$的$ε$ -差逼近矩阵集和固定目标$A$的$ε$ -差逼近矩阵集的豪斯多夫维数的上界.此外，我们给出了$A$的一个等价丢番图条件，使得固定$A$的$ε$ -差逼近目标集对某些$ε>0$具有全豪斯多夫维数.上界的建立有效的熵刚性齐次动力学，这是独立的利益。对于$A$ -固定的情况下，我们的方法也适用于加权设置的上确界范数被某些加权拟范数取代。
Badly approximable vectors on rational quadratic varieties
本文用整数格点在单位$d$ -立方体上的投影逼近矢量。我们定义了一个合理的二次品种，并表明这些向量，这是（自然）索引的$m \in \QQ$，是胜利和强大的施密特游戏的意义上的逼近向量集。从获胜的性质，它遵循这些集有完整的豪斯多夫维数，而且，他们的交集。在大多数情况下，这些集合被称为空集。
Limit Points Badly Approximable by Horoballs
对于一个真的测地线Gromov双曲度量空间X，一个等距算子的离散子群Γ，其极限集是一致完美的，以及一个不相交的时球集{H_j}，我们证明了{H_j}的极限点的差逼近集在极限集中绝对是最优的.作为应用，我们证明了对于作用在H^{n+1}上的几何有限Kleinian群，抛物线可差逼近的极限点是绝对成立的，推广了Dani和McMullen以前的结果.作为获胜的结果，我们表明，一组严重逼近的极限点的维数等于临界指数的群体。由于这个集合也可以描述为商H^{n+1}/Γ中表示有界测地线的极限点，我们重新获得了最初由Bishop和Jones得到的结果。
Infinitely badly approximable affine forms
本文针对实矩阵与向量构成的仿射形式，提出新的奇异性概念来刻画无限坏逼近性质，并计算了相应集合的 Hausdorff 维数，同时给出其在网格空间中的动力系统解释。
Weighted badly approximable complex vectors and bounded orbits of certain diagonalizable flows
本文将加权坏逼近向量研究推广到全虚数域，证明SL2(C)乘积空间中在单参数Ad-半单子群作用下有界轨道的点构成超平面绝对获胜集，并推广了坏逼近复数集合的相关结果。
Badly approximable numbers for sequences of balls
差可逼近数集的勒贝格测度为零是丢番图逼近的经典结果。在本文中，我们将这一结果推广到更一般的球序列。给定一个可数的闭$d$维欧氏球集$\{B(x_{i},r_{i})\}_{i=1}^{\infty},$，如果存在$κ(α)>0$和$N(α)\in\mathbb{N}$使得对所有$i\geq N(α)$都有$α\notin B(x_{i},κ(α)r_{i})$，则称$α\in \mathbb{R}^{d}$是关于$\{B(x_{i},r_{i})\}_{i=1}^{\infty}$的一个差逼近数.在球集上的自然条件下，我们证明了关于$\{B(x_{i},r_{i})\}_{i=1}^{\infty}$的严重逼近数集的勒贝格测度为零。此外，我们的方法产生了一个新的证明，该集的严重逼近的号码有勒贝格测度为零。
Badly approximable vectors and fractals defined by conformal dynamical systems
证明了如果$J$是不可约共形迭代函数系（有限字母表或可数无限字母表）的极限集，则在$J$中的差逼近向量构成一个满豪斯多夫维数集.如果$J$是一个不可约亚纯函数（有理函数或超越函数）的径向朱利亚集，也是如此。证明的方法是寻找$J$的子集，这些子集支持大维数的绝对友好和Ahlfors正则测度。在本文的附录中，我们回答了Broderick，Kleinbock，Reich，Weiss和第二位作者（'12）的一个问题，证明了每个超平面扩散集都支持绝对衰减测度。
Badly approximable points on non-linear carpets
本文研究了非线性非共形吸引子中难近点的全维相交性质，并给出了这些吸引子的Hausdorff维数公式。
The set of badly approximable vectors is strongly $C^1$ incompressible
证明了某些丢番图集的$C^1$ -纯象的可数交具有满豪斯多夫维数.例如，我们证明了这一点的一组严重逼近的向量在$\mathbb{R}^d$，改善早期的结果施密特和丹尼。为了证明这一点，灵感来自思想的McMullen，我们定义了一个新的变种施密特的$(α, β)$ -游戏，并表明我们的集是超平面绝对获胜（HAW），这特别意味着在原来的游戏中获胜。HAW属性自动传递到在某些分形上玩的游戏，因此我们的集合在一组正维度中与一大类分形相交。这扩展了早期的结果Fishman到一个更一般的设置，更简单的证明。
Badly approximable vectors on a vertical Cantor set
对于$i, j > 0, i + j = 1$，具有权重$(i, j)$的不良可逼近向量的集合由$Bad(i, j) = \{(x, y) \in \R^2 : \exists c > 0 \forall q\in\N, \;\; \max\{q||qx||^{1/i}, q||qy||^{1/j} \} > c\}$定义，其中$||x||$是$x$到最近整数的距离。2010年，Badziahin-Pollington-Velani解决了1982年提出的施密特猜想，证明了$Bad(i, j) \cap Bad(j, i)$非空。使用Badziahin-Pollington-Velani的技术与参考分形集，我们能够改善他们的结果：假设我们给出一个序列$(i_t, j_t)$与$i_t, j_t > 0, i_t + j_t = 1$。那么，$Bad(i_t, j_t)$在所有t上的交集非空。
Dimension bound for badly approximable grids
我们证明了对于几乎任何$\mathbb{R}^n$中的向量$v$，对于任何$ε>0$都存在$δ>0$，使得满足$\liminf_{k\to\infty} k^{1/n}<kv-w> \ge ε$（其中$<\cdot>$表示与最近整数的距离）的向量集$w$的维数由$n-δ$上界.这一结果是作为一个推论的讨论在齐次动力学和证明的主要工具是一个相对版本的唯一性原则的措施与最大熵。
The Fine Structure of Dyadically Badly Approximable Numbers
我们考虑在并元丢番图逼近的情况下，可差逼近的数。对于单位圆$\mathbb{S}$和到整数$\|\cdot\|$的最小距离，我们给出了集合$F(c) = \{x \in \mathbb{S}: \|2^nx\| \geq c, n\geq 0\}$是豪斯多夫维数连续依赖于$c$的分形集，在构成Lebesgue测度集1的区间上是常数，并且是自相似的初等证明.因此它有一个分形图。此外，$F(c)$的维数为零当且仅当$c\geq 1-2τ$，其中$τ$是Thue-Morse常数。在维数保持不变的区间上，我们将其完全展开。因此，我们可以完整地描述$ c\mapsto \dim_H \{x\in[0,1]: \|x-\frac{m}{2^n}\|< \frac{c}{2^n} \textnormal{finitely often}\}$的图形。
Rectangular shrinking targets for $\mathbb{Z}^m$ actions on tori: well and badly approximable systems
本文研究了无理旋转的收缩目标性质，采用新方法证明了其加权有效类比，推广了Kim和Shapira的结果，并在更广泛的$S$-arithmetic设定下成立。
Badly approximable grids and k-divergent lattices
本文研究矩阵 A 的难逼近目标集测度与其 Diophantine 性质的关系，分别利用转移定理、参数数的几何及齐次动力学与混合收敛，给出满测度例子和零测集条件。
Badly Approximable Numbers and the Growth Rate of the Inclusion Length of an Almost Periodic Function
研究了殆周期函数包含长度的增长率。对于给定的a。函数，这样的增长率取决于傅立叶指数的代数结构，即。e.它们能被有理数近似到什么程度。此外，从定义中可以看出，包含长度携带了一些关于平移数（几乎是周期）的信息。我们的结果是拟周期函数包含区间增长率的一个下界（定理3）。在这里，我们使用的方法从维数论。我们不假设任何关于指数的东西，而是理性的独立性。这提出了一个想法，这个下界可以达到（在渐近意义上）的一些“坏”的指数。内藤光一郎在他的论文中估计的分形维数的几乎周期吸引证明了一个上界的列入长度为某些类的ap功能，同时使用丢番图逼近。对于指数的特殊情况，我们可以看到，这两个估计（如果我们认为它们是渐近估计）是一致的（见定理4）。我们希望本文的思想和结果不仅有助于理解差逼近数和概周期的性质，而且有助于更详细地理解概周期吸引子的结构。
$δ$-Badly approximable numbers and ubiquitously losing sets
本文研究了$δ$- badly approximable数的过滤性质，引入了ubiquitously losing sets的概念，并给出了其Hausdorff维度的上界。
A note on badly approximabe sets in projective space
最近，Ghosh \& Haynes \cite{HG}证明了一类射影空间中丢番图逼近问题的一个Khintchine型结果.在本文中，我们补充他们的结果，观察到一个Jarn\'ık型结果也适用于实射影空间中的“坏逼近”点。特别地，我们证明了经典的差逼近数集在射影空间中的自然模拟，当与实射影空间的某些紧子集相乘时，具有完全的豪斯多夫维数.此外，我们还建立了一个类似的Khintchine的收敛定理有关的“内在”逼近点在这些紧集。
Well and badly approximable sets, and rapid winning
该研究引入Ψ-快速博弈确定τ-逼近数集与非齐次恶劣逼近数集交集的豪斯多夫维数，得到了τ≥1时该交集的精确Jarník–Besicovitch维数。
The Prime times of twisted Diophantine approximation
本文研究了在特定乘法结构的数集上，坏逼近数的不等式解集性质，改进了Khintchine型结果，并通过构造非平凡集证明了坏逼近假设的必要性。
Invariant measures for solvable groups and diophantine approximation
我们表明，如果$\mathcal{L}$是一条线在平面上包含一个糟糕的逼近向量，那么几乎每一个点在$\mathcal{L}$不承认狄利克雷定理的改进。我们的证明依赖于一个措施的分类结果，一定的措施不变下的非阿贝尔二维群的齐性空间$\mathrm{SL}_3(\mathbb{R})/\mathrm{SL}_3(\mathbb{Z})$。利用测度分类定理，我们重新证明了Shah关于平面非退化曲线（不一定是解析的）的一个结果，并证明了带权的丢番图逼近框架下的类似结果.我们还表明，有线段在$\mathbb{R}^3$，其中包含严重的逼近点，并承认所有的点在狄利克雷定理的改进。
Bad is null
该研究构建了度量空间中坏逼近点的通用框架，证明温和假设下坏逼近点集测度为零，可应用于丢番图逼近、动力系统等多个相关领域。
Winning and nullity of inhomogeneous bad
本文证明了加权非齐次坏可逼近向量的超平面绝对胜出性，并利用对偶性与齐次动力学定量非发散估计证明非退化曲线和解析流形上几乎处处不具有该性质。
Rational Approximation on Spheres
我们量化的单位球$S^n$中的有理点的密度，证明类似的经典定理嵌入$\q^n$到$\r^n$。具体来说，我们证明了狄利克雷定理，说明每一个点$α\in S^n$是足够的逼近，通过存在严重的逼近点，这种逼近的最优性和欣钦定理表明，可逼近点的勒贝格测度是零或满取决于一定的总和的收敛或发散。这些结果补充和改进以前的结果，特别是最近的定理Ghosh，Gorodnik和Nevo。
Bad($\mathbf{w}$) is hyperplane absolute winning
在1998年Kleinbock证明了任何一组加权的不好逼近的$d\times n$实矩阵是施密特博弈意义上的一个获胜子集。在本文中，我们证明了这一猜想在充分的向量在$\mathbf{R}^d$在任意维的加权严重逼近向量的相应的一组是超平面绝对获胜。证明使用的康托潜在的游戏上的Ahlfors定期绝对衰减措施和定量的非发散估计的一类分形措施由于Kleinbock，Lindenstrauss和Weiss的支持。为了建立一个相关的康托潜在的游戏中的获胜策略的存在，我们引入了一个新的方法，使用两个独立的对角行动的空间格。
Jarnik-type Inequalities
这是众所周知的，由于Jarnik的一套坏的严重逼近的数字是豪斯多夫维一。如果坏（c）表示的子集x在坏的近似常数c > c（x），然后Jarnik实际上是更精确的，并给出了非平凡的下限和上界的Hausdorff维数的坏（c）的参数c > 0。我们的目的是确定一个框架上的简单条件，允许扩展“Jarnik不等式”，以进一步的例子，在应用程序中，我们讨论了一组严重逼近向量的权重和一组测地线的双曲空间，避免了一个合适的凸集的集合。
Ergodicity of cocyles over 2-dimensional rotations
本文研究二维旋转上余循环的回复性与遍历性，考虑坏逼近无理数旋转及满足丢番图条件的不连续函数，主要关注ρ=2，d=1和2的情形。
Generalization of a density theorem of Khinchin and diophantine approximation
辛钦的一个基本结果的连续版本说，单位正方形$[0,1]^2$中的半无限环面线表现出超密度，这是时间定量密度的最佳形式，当且仅当测地线的斜率是一个糟糕的近似数。本文将Khinchin的结果推广到单位环面$[0,1]^2$被有限多边形曲面或正方形拼接曲面所取代的情形。该论点是基于丢番图逼近和连分数，传统的工具，在数论。特别是，我们使用著名的$3$距离定理在丢番图逼近结合迭代过程。简而言之，这是对一个非常数论的问题的非常数论的研究。本文改进了作者和Yang的一个较早的结果，证明了对连分数的位数满足相当严格的技术限制的不良可逼近数导致超密测地线.在这里，我们克服了这个技术障碍。这篇论文是独立的，读者不需要任何动力系统的知识。
Modified Schmidt games and Diophantine approximation with weights
我们证明了$(α,β)$中的加权差逼近向量集是某些博弈的获胜集，这些博弈是W.施密特在1966年。后一个获胜属性对于可计数的交集是稳定的，并且被证明意味着完整的豪斯多夫维数。
Transfer operators and dimension of bad sets for non-uniform Fuchsian lattices
研究非均匀福克西安晶格中通过抛物固定点的迪奥菲安逼近，利用鲁厄和博文的热力学方法计算不良点集的维度，提出几何良好逼近与有界部分商数的联系。
Bounded Lüroth expansions: applying Schmidt games where infinite distortion exists
我们证明了具有有界Lüroth展开（或有界Lüroth级数）的数的集合是获胜的和强获胜的。从任何一个获胜的性质，它立即遵循的集合是密集的，有完整的豪斯多夫维数，并满足可数交集性质。我们的结果匹配著名的类似结果有界连分数扩展，或等价地，严重逼近的数字。我们注意到Lüroth展开有一个可数无限的马尔可夫分割，这导致了无限失真的概念（在马尔可夫分割的意义上）。
Bounded orbits of Diagonalizable Flows on finite volume quotients of products of $SL_2(\mathbb{R})$
我们证明了W的一个数域模拟。M. Schmidt关于加权差可逼近向量的交的猜想，并利用它证明了An，Guan和Kleinbock的一个猜想的一个例子。即，设$G := SL_2(\mathbb{R}) \times \dots \times SL_2(\mathbb{R}) $和$Γ$是$G$中的晶格。证明了在$G$的单参数Ad-半单子半群下，正向轨道有界的$G/Γ$上的点集构成超平面绝对获胜集.
Random walks on homogeneous spaces and diophantine approximation on fractals
推广了Y. Benoist和J. - F. Quint关于单李群的齐性空间上的随机游动推广到定义随机游动的测度生成一个半群的情形，该半群不一定是Zebriki稠密的，但满足伴随作用的某些展开性质。利用这些动力学结果，我们研究了R^d中某些自相似分形上典型点的丢番图性质。作为例子，我们证明了对于R^d中满足开集条件的任意自相似分形K（例如康托中三分之一集或科赫雪花的任意平移或扩张），关于K上的自然测度的几乎每一点都不是差逼近的.此外，分形上的几乎每个点都是一般类型的，这意味着（在一维情况下）它的连分数展开包含所有有限字，其频率由高斯测度预测。我们证明了类似的结果矩阵乘法，并为莫比乌斯变换定义的分形的情况下。
Some constructions for the higher-dimensional three-distance theorem
对于给定的实数$α$，让我们将点$0, α, 2 α,$ $ \cdots, (N-1) α$的小数部分放在单位圆上。这些点将单位圆划分为至多具有三个长度的区间，其中一个是另外两个的和。这就是三距离定理。我们考虑一个二维版本的三个距离定理通过放置在单位圆上的点$ nα+ mβ$，为$0 \leq n,m < N$。我们提供了实数对$(α,β)$的例子，其中$1,α, β$是理性独立的，连续点之间的长度是无穷多的（实际上是七个长度），$(α,β)$不是很好的近似，以及有无穷多个长度的例子。
Intrinsic Diophantine approximation on the unit circle and its Lagrange spectrum
设$\mathscr{L}(S^1)$是由单位圆$S^1$上的内禀丢番图逼近通过其有理点而产生的Lagrange谱。我们给出了一个完整的描述$\mathscr{L}(S^1)$的结构低于其最小的聚点。为此，我们使用$S^1$上的点的数字展开，这最初是由Romik在2008年引入的，作为实数的简单连分数的模拟。证明了$\mathscr{L}(S^1)$的最小聚点为2。利用Romik数展开式刻画了$S^1$上Lagrange数小于小于2的点.我们的定理是著名的马尔可夫定理的类似物的不良逼近实数。
Number Theory meets Wireless Communications: an introduction for dummies like us
在这一章中，我们通过一系列与无线通信相关的信息论的基本例子来介绍丢番图逼近的理论。特别地，我们讨论了Dirichlet定理，差逼近点，Dirichlet可改进点和奇点，丢番图逼近的度量（概率）理论，包括Khintchine-Groshev定理和流形上的丢番图逼近理论。我们探讨了各种数论方法用于分析通信特性，如自由度（DoF）。特别是，我们改进了Motahari等人关于两个用户X通道的DoF的结果。从本质上讲，我们表明，总自由度可以实现所有（而不是几乎所有）的信道系数的选择，除了一个子集的严格较小的尺寸比周围的空间。改进利用了我们引入的联合非奇点的概念和Kadyrov等人关于格空间中质量的$δ$逃逸的一般结果。我们还讨论了后续开放的问题，将突破张和更普遍的达斯等人的尺寸的一组奇点。
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