Affine insertion and Pieri rules for the affine Grassmannian
我们研究了与SL（n，C）相关的仿射格拉斯曼Gr的舒伯特演算的组合方面。我们的主要结果是：1）H^*（Gr）和H_*（Gr）的Schubert基的Pieri定则，它用Schubert类表示一个特殊Schubert类和一个任意Schubert类的乘积. 2)给出了表示H_*（Gr）的Schubert基的k-Schur函数的一个新的组合定义. 3)仿射格拉斯曼算子的同调与上同调配对的组合解释。这些结果是通过将Gr的Schubert基组合地解释为我们称之为强和弱tableaux的对象的生成函数而得到的，强和弱tableaux分别使用仿射对称群上的强和弱阶来定义。我们定义了一个双射称为仿射插入，广义的罗宾逊-申斯特克努特对应，发送某些双字对相同形状的tableaux，一个强，一个弱。仿射插入提供了弱序和强序之间的对偶性，这在以前似乎没有被注意到。我们的上同调Pieri规则推广到了仿射旗流形，并给出了一系列相关的组合定理。
2008-11-23 math.AG math.CO
Combinatorial duality for Poincaré series, polytopes and invariants of plumbed 3-manifolds
设复法向曲面奇点的链环是有理同调球面。然后，它的Seiberg-Witten不变量可以计算为拓扑多变量庞加莱级数（zeta函数）的“周期常数”。这涉及到一个复杂的正则化过程（通过准多项式测量系数的渐近行为）。我们表明，（Gorenstein型）对称性的zeta函数结合Ehrhart-Macdonald-Stanley互易性（Ehrhart理论的多面体）提供了一个简单的表达式的周期常数。使用这些对偶，我们还发现了一个多变量多项式推广的塞伯格-威滕不变，我们计算它的格点的某些多面体。所有这些不变量也是通过格点计数确定的，这样我们建立了一个完全通用的拓扑类似的Khovanskii和Morales公式有效的奇异与非退化牛顿主部。
2018-06-26 math.AG
Perverse sheaves on twisted affine flag varieties and Langlands duality
本文用Langlands对偶数据描述温和分歧约化群仿射旗簇上的Iwahori-Whittaker等变反常层，推广了Arkhipov-Bezrukavnikov的工作，并通过扩展Wakimoto层理论及建立倾斜性质解决了非分裂群的中心函子缺失问题。
2024-11-04 math.AG math.RT
Quantum Langlands duality and mirror symmetry
证明了仿射旗簇上的Givental型（量子）D-模通过仿射Miura变换变换为$n$ -约化Sato Grassmannian上的Beilinson-Drinfeld型D-模.
2001-11-26 math-ph math.AG math.MP
On the finite generation of coordinate rings of affine group schemes over discrete valuation rings
本文证明了离散赋值环上某些仿射群格式的坐标环的有限生成结果。这可以用来简化Mirkovic和Vilonen在几何Langlands对偶的工作中使用Prasad和Yu关于拟约化群的结果。
2011-05-04 math.AG
Coherent Tannaka duality and algebraicity of Hom-stacks
我们建立了具有仿射稳定器群的诺特代数栈的Tannaka对偶。我们的主要应用是Hom-stacks的存在性。
2016-06-29 math.AG
Combinatorial duality and intersection product
在Barthel，Quarelet，Fieseler和Kaup，以及Bressler和Lunts的两篇文章中，一个关于相交上同调和反常层的组合理论已经在粉丝上得到了发展。在第一种方法中，人们试图在一个基本的层次上呈现一切，只使用一些交换代数，而不使用导出范畴。仍然存在两大差距：首先，硬莱夫谢茨定理仅仅是证明，其次，交积似乎取决于一些非典型的选择。同时Karu证明了硬Lefschetz定理。证明在很大程度上依赖于交集积，因为最终必须证明的是Hodge-Riemann关系。事实上，这里再次选择进入：交积是通过直接嵌入相应的交上同调层，从某些单纯重分上的交积导出的，这是一个事实，这使得论证相当复杂。在Bressler和Lunts最近的一篇论文中，通过详细的分析表明，最终所有可能的选择都不会影响配对的定义。我们在这里的目标是相同的，但我们将尝试遵循第一篇引用论文的精神，避免导出范畴的形式主义。对于反常层，我们定义了它们的对偶层，并以一种自然的方式检验了相交上同调层是自对偶的。
2003-07-04 math.AG
Affine Algebras, Langlands Duality and Bethe Ansatz
我们回顾了仿射代数在临界水平上的表示论、几何朗兰兹对应和高丁模型中的贝特对应的各个方面。几何朗兰兹对应将复曲线X上的G-丛与X上的平坦G^L-丛的模空间上的D-模联系起来。Beilinson和Drinfeld通过将局部化函子应用于临界水平仿射代数的表示来构造它。我们证明了亏格为零的D-模与Gaudin模型的对角化问题密切相关。这使我们能够给出一个新的解释的贝特anquiry和Sklyanin的分离变量的Gaudin模型的朗兰兹对应。
1999-09-23 alg-geom hep-th math.AG
Combinatorial aspects of mirror symmetry
本文的目的是回顾一些组合思想背后的镜像对称的Calabi-Yau超曲面和Gorenstein环面Fano簇的完全相交。我们建议作为一个基本的组合对象的概念Gorenstein多面体的指数r。一个自然的组合对偶的d维Gorenstein多面体的指数r扩展了著名的极对偶的自反多面体（情况r=1）。我们认为两个nef-划分之间的Borisov对偶是两个指标为r的Gorenstein多面体P和P^* 与P中的特定（r-1）维单形S和P^* 中的S'之间的对偶。这些单形的不同选择暗示了同调镜像对称的有趣关系。
2007-04-26 hep-th math.AG math.CO
A combinatorial study of affine Schubert varieties in affine Grassmannian
设$\overline{\mathtt{X}}_λ$是伴随型单代数群$G$的仿射格拉斯曼群$\mathtt{Gr}$中$\mathtt{I}$ -轨道$\mathtt{X}_λ$的闭包，其中$\mathtt{I}$是Iwahori群，$λ$是$G$的余权.我们找到一个简单的算法，它描述了集$Ψ(λ)$的所有$\mathtt{I}$ -轨道在$\overline{\mathtt{X}}_λ$的余权。在$G$的余权格上引入了$R$ -算子（与正根相关），它精确地刻画了$\mathtt{I}$ -轨道的闭合关系.这些算子一般在余权格上满足Braid关系。我们还建立了集合$Ψ(λ)$与$^L\tilde{\mathfrak{g}}$的一级仿射Demazure模块$\hat{\mathscr{D}}_λ$的权系统之间的对偶关系，其中$^L\tilde{\mathfrak{g}}$是与$G$的李代数$\mathfrak{g}$相关联的仿射Kac-Moody李代数$\tilde{\mathfrak{g}}$的仿射Kac-Moody代数对偶.
2020-02-06 math.AG math.CO math.GR
Combinatorial description of the cohomology of the affine flag variety
我们构造了Fomin-Kirillov代数的仿射形式，称为仿射FK代数，以研究$A$型仿射Schubert演算的组合数学。在仿射FK代数中引入了Murnaghan-Nakayama元和Dunkl元。我们证明了它们作为Bruhat算子是交换的，并且由这些算子生成的交换代数同构于仿射旗簇的上同调。证明了仿射旗簇的上同调是由MN元和Dunkl元生成的仿射Grassmannian簇和旗簇的上同调的乘积。本文给出了仿射格拉斯曼上同调的Schubert类（分别为标志品种）可以用仿射舒尔函数（分别为Schubert多项式）在多项式环的一个商中。仿射舒伯特多项式是舒伯特类在仿射旗簇的上同调中的多项式代表，可以使用Bernstein-Gelfand-Gelfand算子定义在两个商环的乘积中，该算子被解释为作用在仿射Fomin-Kirillov代数上的均差算子。对于其它的应用，我们得到了仿射Schubert多项式和仿射Stanley对称函数的Murnaghan-Nakayama规则。我们还从Murnaghan-Nakayama元素定义了$k$ -强带状表，给出了一个新的$k$ -Schur函数公式.这个公式给出了以$k$ -Schur函数为Frobenius特征像的对称群的表示的特征标表。
2018-06-27 math.AG math.CO
Smooth locus of twisted affine Schubert varieties and twisted affine Demazure modules
本文对一般扭曲型特殊仿射群概形证明 level one 扭曲仿射 Demazure 模与环面不动点子概形函数环之间的对偶定理，并由此确定任意仿射 Schubert 簇的光滑轨迹，证实 Haines-Richarz 猜想。
2025-05-23 math.AG math.RT
Matsuki duality for loop groups
研究环群的Matsuki对偶性，建立对称环群轨道与实多项式环群轨道之间的双射关系，并探讨与向量包及Kottwitz集的联系。
2026-04-22 math.AG math.NT math.RT
Perverse Sheaves on affine Grassmannians and Langlands Duality
这是一个扩大版本的文本"反常层套循环格拉斯曼和朗兰兹对偶“，AG/9703010。主要的新结果是一个拓扑实现的代数表示的约化群在任意环。我们概述了证明的几何版本的佐竹同构。给定一个连通的复代数约化群G，我们证明了Langlands对偶群的张量表示范畴自然等价于G的循环Grassmannian上的某个反常层范畴.上述结果已宣布金斯伯格和一些论点是借用他的做法。然而，由于Drinfeld，我们对卷积乘积使用了更“自然”的交换性约束。其次，给出了整体上同调函子是正合的直接证明，并将其分解为权的直和。几何基础我们的论点导致一个建设的典型基础的Weyl模块给出的代数圈和明确的建设的群代数的对偶群的仿射格拉斯曼。我们完全避免使用的分解定理，使我们的技术适用于任意交换环的系数反常层。利用定义在有限域上的仿射格拉斯曼算子，我们导出了经典的Satake同构。本说明包含一些结果的证明的迹象。细节将出现在其他地方。
1999-11-09 math.AG math.RT
Spectra of quantum KdV Hamiltonians, Langlands duality, and affine opers
本文证明了[HJ]中引入的无扭量子仿射代数U_q（g^）的Borel子代数的表示范畴O的Grothendieck环中的一个关系系。这个系统是在[MRV 1，MRV 2]中发现的，其中证明了这个系统的解可以附加到[FF 5]中引入的g^的Langlands对偶仿射Kac-Moody代数的某些仿射算子上。这与[BLZ 3，BHK]的结果一起为[FF 5]的猜想提供了强有力的证据，该猜想将量子g ^-KdV哈密尔顿算子的谱与朗兰兹对偶仿射代数的仿射算子联系起来。[BLZ 3，BHK]的结果使人们能够将量子g^-KdV哈密尔顿算子与范畴O的表示联系起来。作为奖励，我们得到了一个直接和统一的证明的Bethe Anastrophic方程的一个大类的量子可积模型相关联的任意无扭量子仿射代数，在温和的一般性条件。我们还猜想了扭量子仿射代数的类似结果，并阐明了扭仿射代数的opers概念，与[FG]中引入的扭opers建立了联系。
2018-03-07 hep-th math.AG math.QA
Mellin transformation, propagation, and abelian duality spaces
对于任意场系数$\mathbb{K}$，我们证明了复仿射环面上的$\mathbb{K}$ -反常层满足所谓的传播包，即，通有消失性质和符号欧拉示性数性质成立，相应的上同调跳跃轨迹满足传播性质和余维下界.证明中使用的主要成分是复仿射环面上$\mathbb{K}$ -可构造复形的Gabber-Loeser梅林变换函子，以及它对反常层表现良好的事实。作为具体的拓扑应用，我们研究了复代数簇的同调对偶性质，通过交换对偶空间。我们提供了新的障碍阿贝尔对偶空间，表明他们的上同调跳轨迹满足一个传播包。然后，这是用来证明复阿贝尔簇是唯一的复射影流形是阿贝尔对偶空间。我们还构造了阿贝尔对偶空间的新例子。例如，我们证明了，如果一个光滑拟射影簇$X$满足一定的Hodge理论条件，并且它允许一个适当的半小映射（例如，闭嵌入或有限映射）到复仿射环面，则$X$是阿贝尔对偶空间。
2017-10-25 math.AG math.AT
Quantization of soliton systems and Langlands duality
我们考虑经典孤子可积系统的量子化问题，如KdV族，在一个一般形式主义的Gaudin模型与仿射Kac-Moody代数的框架。我们对有限维简单李代数的Gaudin模型的经验表明，在与仿射代数相关联的模型中，相互交换的量子哈密顿算子的公共本征值应该由与Langlands对偶仿射代数相关联的仿射算子编码。这使我们对孤子系统的量子哈密顿量的谱有了一些具体的预言。特别地，对于KdV系统，相应的仿射算子可以表示为具有谱参数的Schroedinger算子，并且在这种情况下，我们的预测与Bazhanov，Lukyanov和Zamolodchikov最近所做的预测相匹配。这表明，这个例子和其他最近发现的量子运动积分和微分算子之间的对应关系可以被看作是朗兰兹对偶的特殊情况。
2009-10-12 hep-th math.AG math.QA
Integral affine structures on spheres and torus fibrations of Calabi-Yau toric hypersurfaces I
我们用纯组合的术语描述了球面上的积分仿射结构的对偶对，它们来自于Calabi-Yau复曲面的镜像族的几何度量坍缩。同样的结构出现在一个特殊的拉格朗日环面纤维化的Strominger-Yau-Zaslow猜想的基础上。我们研究了大复结构极限下的拓扑环面纤维化，并证明了它与我们的组合模型是一致的。
2002-05-30 math.AG math.CO
The formal theory of Tannaka duality
Tannakian范畴是一个阿贝尔张量范畴，它配备了一个纤维函子和额外的结构，这些结构确保它等价于作用在域扩张的谱上的某个仿射广群概型的表示范畴。如果我们研究的是任意的交换环而不是域，则表示范畴不再是阿贝尔的。我们提供了一个充分条件的列表，以确保添加剂张量范畴是等价的仿射广群计划的表示的范畴上的仿射计划，或更一般地说，在一个对称的幺半范畴范畴的Hopf代数体的表示范畴。为了做到这一点，我们开发了一个“Tannaka二元性的形式理论”的启发罗斯街的“单子的形式理论。”“我们将我们的结果应用于某些类别的过滤模块，用于研究p-adic伽罗瓦表示。
2011-12-22 math.AG math.CT
Tannakian duality over Dedekind rings and applications
我们建立了一个对偶平坦的仿射群计划和刚性张量范畴配备了一个中性纤维函子（称为Tannakian格），都定义在一个Dedekind环。我们使用这种对偶和已知的Tannakian对偶由于Saavedra研究平面仿射群计划之间的态射。其次，我们将新的对偶性应用于Dedekind环R上光滑方案的层层范畴，定义了该光滑方案的相对微分基本群方案，并将该方案的纤维与纤维的基本群方案进行了比较.当R是一个完全的DVR的平等的特点，我们表明，这个范畴是Tannakian的意义上的Saavedra。
2017-05-31 math.AG math.CT math.RT
Geometric and combinatorial realizations of crystal graphs
对于A型和D型有限和仿射李代数的不可约可积最高权模，我们定义了Nakajima李代数簇的不可约分量的晶体图的几何实现与Young tableaux和Young walls的组合实现之间的同构.对于仿射型A，我们扩展的杨壁建设到任意水平，描述了一个组合实现的晶体方面的新的对象，我们称之为杨金字塔。
2005-01-22 math.AG math.QA math.RT
A Langlands duality of elliptic Hecke algebras
University of Melbourne（墨尔本大学）；State University of New York at Albany（纽约州立大学奥尔巴尼分校）
本文通过椭圆Hecke代数与动力学参数建立联络，建立椭圆affine Hecke代数表示范畴与Langlands对偶根datum对应范畴之间的傅里叶-穆卡伊 functor。
2023-10-20 math.AG math.QA math.RT
Combinatorial expansions for families of non-commutative k-Schur functions
在仿射nilCoxeter代数中应用向下算子，得到了某些非交换k-Schur函数族的显式组合展开式。这产生了一个新的家庭的k-Littlewood-Richardson系数的组合解释。
2012-08-23 math.AG math.CO
Toric Degenerations and Batyrev-Borisov Duality
这是通过对数格式和仿射流形上的离散勒让德变换研究镜像对称性的一个扩展例子，由我和Bernd Siebert在“通过对数退化数据的镜像对称性I”（数学AG/0309070）中介绍。在本文中，我认为建设，因为它适用于Batyrev-Borisov建设完整的交叉复曲面品种。给定一对自反多面体与nef分解对偶对方，并给出相应的环面品种的极化，我们构建的例子环面退化和他们的对偶相交复合体，这是仿射流形的奇点。我们表明，这些仿射流形的离散勒让德变换相关，从而表明，Batyrev-Borisov建设是一个特殊的情况下，我们更一般的建设。对偶相交复合体的组合学的设置方面的描述概括了工作的Haase和Zharkov在环面超曲面的情况下，和类似的工作阮。特别是，这给出了一个拓扑描述的Strominger-Yau-Zaslow纤维化的完整的交叉复曲面品种。
2005-07-22 math.AG math.DG
Relation between two twisted inverse image pseudofunctors in duality theory
Grothendieck对偶理论赋予Noether格式的本质有限型映射f一个右伴随的伪函子f^ \times和一个伪函子f^！当f是真的时，与f^ \times一致，但当f是真的时，等于通常的逆像f^*。定义并研究了从第一个伪函子到第二个伪函子的正则映射。这个映射在平基变化方面表现良好，并且被标准导出函子的“紧支持”版本带到同构。具体实现描述，例如仿射方案的地图。应用包括证明减少定理的霍赫希尔德同调和上同调，和一个显着的公式基本类的平面映射的仿射计划。
2014-10-17 math.AC math.AG
Nets in $\mathbb P^2$ and Alexander Duality
$\mathbb{P}^2$中的网是满足某些关联性质的线$\mathcal A$和点$X$的配置。网出现在各种各样的设置，从拟群到组合设计，到卡茨-穆迪代数的分类，再到超平面安排的上同调跳跃轨迹。对于拟阵$M$和秩$r$，我们将一个单项理想（Orlik-Solomon理想的单项变体）与秩为$\le r$的$M$的平坦集相关联。在$\mathbb{P}^2$中的线排列的上下文中，将亚历山大对偶应用于由此产生的理想产生对网的组合结构的洞察。
2022-09-19 math.AC math.AG math.CO
Combinatorial covers and vanishing of cohomology
我们使用一个迈耶-Vietoris样的谱序列建立消失的结果，线性和椭圆超平面安排的补的上同调，作为一个更一般的框架，涉及对偶和阿贝尔对偶性质的空间和群体的一部分。在这个过程中，我们考虑局部系统的上同调一般，Cohen-Macaulay型条件。其结果是，我们恢复已知的消灭定理秩1局部系统以及群环系数，并获得新的推广。
2015-08-23 math.AG math.AT math.CO
