Multigraded Betti numbers of simplicial forests
Nursel Erey, Sara Faridi
证明了单纯森林的多重分次贝蒂数总是0或1.此外，一个非零的多度恰好出现在一个同调度的决议。我们的工作推广了Bouchat关于图森林的边理想的工作。
We prove that multigraded Betti numbers of a simplicial forest are always either 0 or 1. Moreover a nonzero multidegree appears exactly at one homological degree in the resolution. Our work generalizes work of Bouchat on edge ideals of graph forests.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Upper Bounds for Betti Numbers of Multigraded Modules
本文给出了多重分次$R$ -模的贝蒂数的一个精确上界，其中$R=\Bbbk [x_{1},...,x_{m}]$是域$\Bbbk$上以$m$为变量的多项式环.给出了模的秩和前两个贝蒂数的界。给出了一个例子，实现这些界限同时在每个同调度。利用Alexander对偶，建立了有限多阶模的多阶Bass数的一个界，该界是由前两个多阶Bass数决定的.
Betti splittings and multigraded Betti numbers of cover ideals of bipartite graphs
该研究探讨二部图覆盖理想的Betti分裂，证明二部图覆盖理想的任意$x_i$-划分为Betti分裂，且任意无平方项单项式理想的多重分次Betti数可出现在某二部图覆盖理想的对应分次Betti数特定部分中。
The linear space of Betti diagrams of multigraded artinian modules
研究余维n的Z^n-分次Artin模的重分次Betti图生成的线性空间，当取全次数时，其分解成为给定类型的纯的.我们证明了由D.Eisenbud，J.Weyman和作者所构造的等变分解的多重Betti图及其所有的扭曲，形成了这个线性空间的基础。
Betti numbers of multigraded modules of generic type
设$R=\Bbbk[x_1,...,x_m]$是域$\Bbbk$上具有标准$\mathbb Z^m$ -分次（多分次）的多项式环，$L$是Noether多分次$R$ -模，$β_{i,α}(L)$是多次$\a$的$L$的（多分次）Betti数.我们介绍的概念，一般（相对于$L$）multidegree，和概念的多阶模的一般类型。当多阶$\a$是通用的（相对于$L$），我们提供了一个Hochster型公式$β_{i,α}(L)$的维数与$L$有关的某个单纯复形的约化同调。这使我们能够证明，有一个同调度$i\ge 1$，其中$β_{i,α}(L)$是非零的，在这个同调度的贝蒂数是$β$ -不变量的某个子矩阵的$L$。特别是，这提供了一个精确的组合描述的所有多级贝蒂数的$L$时，它是一个多级模块的通用类型。
Betti numbers of normal edge rings (\bf{I})
本文提出诱导子图方法，计算双耳图、紧图对应的正规边环的多重分次Betti数，揭示不同类型图的Betti数特性，预期该方法可推广至其他正规边环。
Multigraded Betti numbers of some path ideals
确定了线图和星图的路理想的（多）分次贝蒂数.
Let $R = \mathbb{K}[x_1, \ldots, x_n]$ and $I \subset R$ be a homogeneous ideal. In this article, we first obtain certain sufficient conditions for the subadditivity of $R/I$. As a consequence, we prove that if $I$ is generated by homogeneous complete intersection, then subadditivity holds for $R/I$. We then study a conjecture of Avramov, Conca and Iyengar on subadditivity, when $I$ is a monomial ideal with $R/I$ Koszul. We identify several classes of edge ideals of graphs $G$ such that the subadditivity holds for $R/I(G)$. We then study the strand connectivity of edge ideals and obtain severa…
On lower bounds of the sum of multigraded Betti numbers of simplicial complexes
我们找到了任意一个顶点着色的单纯复形的多重分次贝蒂数族的和的一般下界。
Betti numbers of monomial ideals in four variables
本文利用66个无平方根的四元单项式理想的多重贝蒂数表示了四元单项式理想的多重贝蒂数.我们使用这类66个理想证明了4个变量中的单项分解与基域无关。此外，我们还给出了任意4元单项式理想的贝蒂数的计算公式.
Multigraded Betti numbers of Veronese embeddings
本文研究非常面嵌入的多格Betti数，利用Hochster公式和离散Morse理论推导其消失与非消失结果。
Free modules of a multigraded resolution from simplicial complexes
设$R=\Bbbk [x_1,..., x_m]$是$\Bbbk$上具有标准$\mathbb{Z}^m$分次的$m$变量的多项式环，$L$是多重分次的Noether $R$ -模.当$\Bbbk$是域时，Tchernev有一个多阶自由归结的显式构造，称为$R$上$L$的T-归结。尽管有明确的规范描述，这种方法使用线性代数方法，这使得结构难以理解。本文给出了自由模的组合描述，使T-分解更加清晰。在这样做时，我们必须引入元素的排序。这种排序标识了自由模的规范生成集。这种组合构造还允许我们在$\mathbb{Z}$上定义自由模，而不是在字段上。此外，这种构造给出了差分的一个分量的组合描述。在第一节中计算了一个例子来说明这种新的方法。
On the multigraded Hilbert and Poincaré-Betti series and the Golod property of monomial rings
研究了$A=S/\aaf$的多重Poincaré-Betti级数，其中$S$是$n$不定元多项式环除以单项式理想$\aaf$ . Charalambous和Reeves在Taylor分解最小的情况下证明了关于多重分次Poincaré-Betti级数的一个猜想。引入了关于剩余域的最小无$A$分解的猜想，并证明了该猜想蕴涵了Charalambous和Reeves的猜想.我们证明了我们的猜想几类代数。这个猜想意味着$A$是Golod当且仅当Koszul同调上的乘积（即第一个Massey运算）是平凡的。在猜想的假设下，我们证明了$\aaf$的极小单项式生成系统的一个非常简单的纯组合条件蕴涵了$A$的Goldness.
This paper concerns the study of a class of clutters called simplicial subclutters. Given a clutter $\mathcal{C}$ and its simplicial subclutter $\mathcal{D}$, we compare some algebraic properties and invariants of the ideals $I, J$ associated to these two clutters, respectively. We give a formula for computing the (multi)graded Betti numbers of $J$ in terms of those of $I$ and some combinatorial data about $\mathcal{D}$. As a result, we see that if $\mathcal{C}$ admits a simplicial subclutter, then there exists a monomial $u \notin I$ such that the (multi)graded Betti numbers of $I+(u)$ can be…
Nonvanishing Betti Numbers of Weakly Chordal Graphs
我们证明了Kimura的弦图的多重贝蒂数不为零的充要条件可以推广到更广泛的弱弦图类。
Structural decomposition of monomial resolutions
本文利用两类基本理想的重分次贝蒂数来表示任意单项理想的重分次贝蒂数。这种分解具有多种应用。在某些具体情况下，我们用它来构造单项理想类的极小分解;在其他情况下，我们用它来计算投射维数。为了说明结构分解的有效性，我们给出了Charalambous的一个经典定理的新证明。
The Betti numbers of Stanley-Reisner ideals of simplicial trees
本文给出了单纯树的Stanley-Reisner理想及其Alexander对偶的贝蒂数的一个简单计算方法。
Betti Numbers of Edge Ideals of Weighted Oriented Crown Graphs
本文通过诱导子图方法计算加权有向冠图边理想的多分次Betti数，并证明其总Betti数与权函数无关。
On the Betti Numbers of Shifted Complexes of Stable Simplicial Complexes
设$Δ$是$n$顶点上的稳定单纯复形.在任意基域$K$上，定义了$Δ$的对称代数移位复形$Δ^s$.证明了$Δ$的对称代数移位复形、外代数移位复形和组合移位复形的多项式环$K[x_1,x_2,...,x_n]$中Stanley-Reisner理想的贝蒂数相等.
Characterizing Multigraded Regularity and Virtual Resolutions on Products of Projective Spaces
通过截断的极小分次自由分解与Betti数，给出了乘积射影空间上模的多分次Castelnuovo-Mumford正则区域的新刻画与上界，并应用于完全交。
Multigraded strong Lefschetz property for balanced simplicial complexes
本文引入多重分次强 Lefschetz 性质，证明特征2域上平衡同调球面的Stanley-Reisner环的Artin化满足该性质，从而得到旗h-数不等式，统一了单峰性与平衡广义下界不等式。
Multigraded Hilbert function and toric complete intersection codes
设$X$是具有齐次坐标环$S$的完备$n$维单复曲面簇.研究了$X$中约化$0$维子格式$Y$的多阶Hilbert函数$H_Y$.当$Y$是$X$中的$0$ -维完全交时，我们给出了显式公式并证明了$H_Y$的非减性和稳定性.我们将所得结果应用于计算单复曲面簇上$0$ -维完全交的一些求值码的维数。
Resolutions of letterplace ideals of posets
研究偏序集的字母位理想的分解。我们发展了拓扑结果来计算它们的多重贝蒂数，并给出了这些贝蒂数的结构结果.如果偏序集是不超过$c$链的并集，我们证明了贝蒂数可以由不超过$c$顶点的单纯复形计算.当$P$的Hasse图具有树结构时，给出了计算Betti图的递归方法.
The ideal of maximal flags of a poset
研究偏序集序复形的刻面理想的代数和同调性质，我们称之为偏序集的极大旗理想或简称旗理想。刻画了分次偏序集的纯理想和Cohen-Macaulay旗理想。我们也给出了这类偏序集的旗理想的多重分次贝蒂数的结构结果。利用旗理想的多重分次贝蒂数的结构性结果刻画了具有线性分解的旗理想类.
Non-simplicial decompositions of Betti diagrams of complete intersections
本文在Boij-Soederberg理论的框架下研究了多项式环上Betti图的分解.也就是说，给定一个贝蒂图，我们把它分解成纯图。放松的要求，在这样的纯图的程度序列是完全有序的，我们能够定义一个乘法定律的贝蒂图，尊重的分解，并允许我们写一个简单的表达式分解的贝蒂图的任何完整的交叉方面的程度，其最小的发电机。在更传统的意义上，余维最多为3的完全交集的分解也是由从（Eisenbud-Schreyer，2009）获得的全序分解算法给出的。在更高的余维中，障碍物的出现激发了我们对另一种算法的研究。
Extremal Betti Numbers and Applications to Monomial Ideals
在这篇短文中，我们引入了极小自由分解的贝蒂数的极值性概念，它可以看作是Mumford-Castelnuovo正则性概念的一个改进。我们证明了当取一般初始模时，自由S-模的任意子模的极值贝蒂数是保持的。本文将无平方的单项理想的最小分解的极值重分次贝蒂数与对应于Alexander对偶单纯复形的单项理想的极值重分次Betti数联系起来，推广了Reiner-Terai的定理.作为一个应用程序，我们给容易（替代）的证明，由于Hochster，Reisner和斯坦利的经典标准。
Betti numbers of monomial ideals via facet covers
本文给出了单项理想在每个多重度上有非零贝蒂数的一个充分条件。在单纯森林的小面理想的情况下，这个条件成为一个必要条件，它使我们能够组合地刻画这种理想的贝蒂数，投射维数和正则性。我们的条件是表示在单纯复形的最小面覆盖。
A good leaf order on simplicial trees
利用每棵单纯树中存在好叶的条件，对单纯树的刻面进行排序，以寻找关于其刻面理想的贝蒂数的组合信息.应用包括Eliahou-Kervaire分裂的理想，以及一个改进的递归公式的Hà和Van Tuyl计算分级贝蒂数的单纯树。
Lattice Complements and the Subadditivity of Syzygies of Simplicial Forests
证明了小面理想单纯森林的合合点的最大次数的次可加性。对于这样一个理想的$I$，如果$i$ -th Betti数是非零的和$i=a+b$，我们表明，有单项式的lcm格的$I$是补充的部分格，每个支持一个非零的$a$ -th和$b$ -th贝蒂数。次可加性公式由这一观察得出。
Betti numbers of chordal graphs and $f$-vectors of simplicial complexes
设$G$是一个弦图，$I(G)$是它的边理想.令$β(I(G)) = (β_0, β_1, ..., β_p)$表示$I(G)$的Betti序列，其中$β_i$表示$I(G)$的$i$个总Betti数，并且其中$p$是$I(G)$的投影维数。证明了存在维数为$p$的单纯复$Δ$，其$f$ -向量$f (Δ) = (f_0, f_1, ..., f_p)$与$β(I(G))$重合.
Homological invariants of the Stanley-Reisner ring of a $k$-decomposable simplicial complex
本文研究了$k$ -可分解单纯复形的Stanley-Reisner环的正则性和投射维数，并用一个递归公式解释了这些不变量.为此目的，研究了$k$ -可分解单纯复形的对偶概念--$k$ -可分解单项式理想的分次Betti数，并给出了贝蒂数的一个归纳公式.作为推论，对于弦杂波$\mathcal{H}$，给出了$reg(I(\mathcal{H}))$的一个上界，该上界是由作为$\mathcal{H}$的子式的弦杂波的边理想的乘积给出的.
Relevant maps and the algebraic skeleton of simplicial toric prevarieties
本文通过引入相关子集的概念，建立了多分量格Proj方案之间有理映射的框架，并证明了三元组类别与单纯仿射预概型类别的反等价关系。
Graded Betti numbers of balanced simplicial complexes
证明了平衡单纯复形的Stanley-Reisner环的分次贝蒂数的上界.一路上，我们显示的Cohen-Macaulay分次环$S/I$，其中$S$是一个多项式环和$I\subseteq S$是一个齐次理想包含一定数量的发电机在2度，包括平方的变量的界限。使用类似的技术，我们提供了上界的平衡正常的伪流形的斯坦利-Reisner的线性合冲数。此外，我们明确地计算了交叉多面体堆叠球的分次贝蒂数，并表明它们只依赖于维数和顶点数，而不是组合类型。
On vertex decomposable simplicial complexes and their Alexander duals
本文研究了顶点可分解单纯复形的Alexander对偶。我们定义了顶点可裂理想的概念，并证明了单纯复形$Δ$是顶点可分解的当且仅当$I_{Δ^{\vee}}$是顶点可裂理想。此外，研究了点可裂理想的性质。作为主要结果，证明了任何顶点可裂理想都有Betti分裂，并给出了这类理想的分次贝蒂数的递推公式。作为推论，当$Δ$是点可分解的单纯复形时，给出了$R/I_Δ$的正则性和投射维数的递推公式.此外，对于点可分解图$G$，给出了其点覆盖理想的分次贝蒂数的一个递归公式.在特殊情况下，当$G$是弦图或序列Cohen-Macaulay二部图时，给出了该公式的解释.最后，除其他事项外，它表明，一个图的边理想是顶点可裂的当且仅当它有线性分辨率。
In this paper, we give the necessary and sufficient conditions for the Cohen-Macaulayness of the associated graded ring of a simplicial affine semigroups using Gröbner basis. We generalize the concept of homogeneous numerical semigroup for the simplicial affine semigroup and show that the Betti numbers of the corresponding semigroup ring matches with the Betti numbers of the associated graded ring. We also define the nice extension for simplicial affine semigroups, motivated by the notion of a nice extension of the numerical semigroups.
Well ordered covers of square-free monomial ideals are subsets of the minimal generating set ordered in a certain way that give rise to a Lyubeznik resolution for the ideal, and have guaranteed nonvanishing Betti numbers in certain degrees. This paper is about square-free monomial ideals which have a well ordered cover. We consider the question of subadditivity of syzygies of square-free monomial ideals via complements in the lcm lattice of the ideal, and examine how lattice complementation breaks well ordered covers of the ideal into (well ordered) covers of subideals. We also introduce a fam…
Reduced arithmetically Gorenstein schemes and simplicial polytopes with maximal Betti numbers
SI-序列是对称的、单峰的、满足一定增长条件的有限个正整数序列。已知这些函数精确地对应于具有弱Lefschetz性质的Artinian Gorenstein代数的可能的希尔伯特函数，该性质是大多数Artinian Gorenstein代数所共有的。从任意的SI序列出发，构造了任意维线性簇的约化算术Gorenstein配置$G$，其Artin约化以给定的SI序列为Hilbert函数，并具有弱Lefschetz性质.进一步证明了在具有弱Lefschetz性质的Artin约化和给定Hilbert函数的射影空间的所有算术Gorenstein子概型中，$G$具有最大分次贝蒂数.作为应用，我们证明了在特征为零的域上，每一组具有固定$h$ -向量的单纯多面体都包含一个具有最大分次贝蒂数的多面体。
On Stanley-Reisner Rings with Minimal Betti Numbers
研究具有给定顶点数的简单复形，其斯坦利-雷伊斯纳环具有最小可能的贝蒂数，发现其具有特殊的组合和拓扑结构，如贝蒂数由二项式系数给出，其全子复形同调等价于点或球面。
The Graded Betti Numbers of the Skeletons of Simplicial Complexes
本文研究了一类平方自由单项理想，探讨其同调性质，并引入度数解析概念，推导出单纯复形与其骨架的分层Betti数关系。
Computation of Poincare-Betti series for monomial rings
多重Poincare-Betti级数P_R^k（x_1，. x_n; t）的单项式环k[x_1，.，x_n]/<M>具有（1+tx_1）（1 +tx_2）..（1+tx_n）/b_（R，k）（x_1，...，x_n; t），其中b_（R，k）（x_1，.，x_n;t）是一个只依赖于单项式集M和域k的特征的多项式。本文给出了一个计算给定场特征和单项式生成元集合的多项式b_（R，k）的计算机程序。
Simplicial orders and chordality
在[14]和[3]的意义上的弦杂波是通过单纯阶定义的。他们的电路理想具有线性分辨率，与基场的特性无关。我们表明，任何贝蒂序列的理想与线性分辨率出现的贝蒂序列的电路理想，这样的弦杂波。与任何单纯阶相关联的是一个整数序列，我们称之为弦杂波的$λ$序列。表征了所有可能的$λ$ -序列。它们密切相关的希尔伯特函数的一个适当的标准分级$K$代数连接到弦杂波。利用弦杂波的$λ$序列，我们确定了电路理想的其它数值不变量，如$\textbf{h}$矢量和贝蒂数.
Explicit Betti Numbers for Skeletons of Chordal Clique Complexes and Their Alexander Duals
研究Chordal Clique Complexes的同调性质，通过计算f向量和Hilbert级数，得到所有k-骨架的显式分层Betti数，并揭示其正则度和射影维数的性质，同时推导出对偶体的f向量、有理h多项式和分层Betti数。
We introduce the concept of isolated factorizations of an element of a commutative monoid and study its properties. We give several bounds for the number of isolated factorizations of simplicial affine semigroups and numerical semigroups. We also generalize $α$-rectangular numerical semigroups to the context of simplicial affine semigroups and study their isolated factorizations. As a consequence of our results, we characterize those complete intersection simplicial affine semigroups with only one Betti minimal element in several ways. Moreover, we define Betti sorted and Betti divisible simpl…
Face numbers of sequentially Cohen-Macaulay complexes and Betti numbers of componentwise linear ideals
给出了序列Cohen-Macaulay单纯复形的所谓h-三角形的一个数值刻画。这个结果刻画了在这样的复形中各种维数和余维的面的数目，将经典的Macaulay-Stanley定理推广到非纯的情况。此外，我们刻画了可能的Betti表的分量线性理想。在我们的研究中的一个关键工具是移位的度至多为d的多复形和移位的（d-1）维单纯复形之间的双射。
Recursive Betti numbers for Cohen-Macaulay $d$-partite clutters arising from posets
二部图的自然扩张是$d$ -部杂波，其中$d \geq 2$是整数.对于偏序集$P$，Ene，Herzog和Mohammadi在$P$中引入了长度为$d$的多链的$d$ -partite杂波$\mathcal{C}_{P,d}$，证明它是Cohen-Macaulay。证明了$\mathcal{C}_{P,d}$的覆盖理想允许$x_i$ -分裂，给出了其贝蒂数的递推公式，推广了Francisco，Hà和Van Tuyl关于Cohen-Macaulay二部图的覆盖理想的一个结果.此外，我们证明了Cohen-Macaulay单纯复形的Alexander对偶的Betti分裂结果。
Algebraic shifting and graded Betti numbers
令$S = K[x_1, ..., x_n]$表示域$K$上的$n$变量中的多项式环，其中每个$°x_i = 1$。设$Δ$是$[n] = \{1, ..., n \}$上的单纯复形，且$I_Δ\subset S$是其Stanley-Reisner理想.我们写$Δ^e$为$Δ$和$Δ^c$为$Δ$的组合移位复形的外部代数移位复形。令$β_{ii+j}(I_Δ) = \dim_K \Tor_i(K, I_Δ)_{i+j}$表示$I_Δ$的分次贝蒂数。本文证明了：（i）对于所有的$i$和$j$，当基域为无限时，有$β_{ii+j}(I_{Δ^e}) \leq β_{ii+j}(I_{Δ^c})$;（ii）对于所有的$i$和$j$，当基域为任意时，有$β_{ii+j}(I_Δ) \leq β_{ii+j}(I_{Δ^c})$.因此，特别地，对于所有的$i$和$j$都有$β_{ii+j}(I_Δ) \leq β_{ii+j}(I_{Δ^{lex}})$，其中$Δ^{lex}$是唯一的lexsegment单纯复形，具有与$Δ$相同的$f$ -向量，并且其中基域是任意的。
Betti numbers of Stanley--Reisner rings with pure resolutions
设$Δ$是单纯复形，$k[Δ]$表示与$Δ$对应的Stanley-Reisner环.假设$k[Δ]$具有纯自由分解。然后我们用$Δ$的$h$ -向量来描述$k[Δ]$的贝蒂数和Hilbert-Samuel重数.作为应用，我们导出了任意弦图的团复形的$h$ --向量的分量的线性方程组和一些不等式。作为另一个应用，我们得到了关于Cohen-Macaulay单纯复形的$h$ -向量分量的线性方程组和一些不等式.
Symmetric iterated Betti numbers
定义了多项式环中齐次理想$I$的一组不变量，称为$I$的对称迭代贝蒂数.对于$I_Γ$，单纯复形$Γ$的Stanley-Reisner理想，这些数是Duval和Rose引入的$Γ$的外迭代贝蒂数的对称对应。我们发现，对称迭代贝蒂数的理想$I$符合一个特定的反向字典通用初始理想$\Gin(I)$的$I$，并解释这些不变量的相关素数和标准对的$\Gin(I)$。证明了对于理想的$I=I_Γ$，$I_Γ$的极值贝蒂数恰好是$Γ$的极值（对称或外）迭代贝蒂数.最后给出了关于单纯复形的对称数与外迭代贝蒂数之间关系的一些结果和图解。
Betti numbers of skeletons of thick trees
研究厚树骨架的Betti数及其环的性质，确定其项目维度、深度和正则性，并探讨Cohen-Macaulay条件。
Graded Betti numbers of cycle graphs and standard Young tableaux
本文给出了一个双射证明，证明了圈图（视为一维单纯复形）的Stanley-Reisner环的最小自由分解的贝蒂数是由给定形状的标准Young tableaux数给出的.
Positivity and nonstandard graded Betti numbers
本文研究几何正性条件对Betti数消失的原理在非标准分次情形下的推广，引入新正则性概念并结合外代数技术，发现合取度数同时受正则性与深度控制，并应用于Toric簇上模的多重分次Betti数。
Empty simplices of polytopes and graded Betti numbers
Kalai，Kleinschlaud和Lee关于单纯多胞形的空单形个数的猜想是通过将它与多胞形的第一分次贝蒂数联系起来而建立的。证明使我们能够获得明确的最佳界限的数量空单形的任何给定的尺寸。作为一个关键结果，我们证明了标准分次K-代数的分次贝蒂数关于其Hilbert函数的最优界。
Betti numbers of graded modules and the Multiplicity Conjecture in the non-Cohen-Macaulay case
利用Eisenbud和Schreyer的结果证明了标准分次多项式环上的分次模的任何Betti图都是具有纯分解的模的正线性组合Betti图.这意味着赫尔佐格、Huneke和Srinivasan的多重性猜想对于不一定是Cohen-Macaulay的模。给出了纯图所张成的单纯扇的凸性的组合证明。
Betti numbers of hypergraphs
本文研究超图的一些代数性质，特别是超图的贝蒂数.我们定义了一些不同类型的完全超图，据我们所知，以前没有考虑在文献中。同时，我们以一种自然的方式在超图上定义了一个积，它在某种意义上与单纯复形上的并运算是对偶的。对于这类乘积，我们给出了贝蒂数的一般公式，它在线性分解的情况下有很好的特殊性。
Characteristic Independence of Betti Numbers of Monomial Ideals in Five Variables
研究五个变量的单项式理想贝蒂数与基域特征的关系，通过将其简化为无平方因子孪生理想并应用霍赫斯特公式，证明其贝蒂数与特征无关，给出相关计算结果，且表明佩娃六变量例子的界限是精确的。
Buchstaber numbers and classical invariants of simplicial complexes
Buchstaber不变量是一个单纯复形的数值特征，由矩角复形上的环面作用引起。本文研究了Buchstaber不变量与单纯复形的经典不变量如双分次贝蒂数和色不变量之间的关系。以下两个陈述得到证明。(1)存在一个具有不同的实和普通Buchstaber不变量的单纯复形U。(2)存在两个具有相等双阶Betti数和色数，但不同Buchstaber不变量的单纯复形.为了证明第一个定理，我们定义Buchstaber数作为广义色不变量。这种方法允许猜测所需的示例。然后，任务减少到有限的枚举的可能性，这是使用GAP计算系统完成。为了证明第二个陈述，我们使用面环的泰勒分解的性质。
Socles of Buchsbaum modules, complexes and posets
研究了分次Buchsbaum模的底基，并讨论了它的局部上同调模.这个代数结果然后被应用到Buchsbaum单纯复形和偏序集的面计数。特别地，建立了这类复形和偏序集的面数和贝蒂数的新的必要条件.这些条件被用来解决肯定的Kühnel猜想的最大值的欧拉示性数的$2k$维单纯流形上的$n$顶点以及卡莱猜想提供了下界的边缘数量的单纯流形在其维度，顶点数，和第一个贝蒂数。
Dependence of Betti Numbers on Characteristic
研究了单项理想的分次贝蒂数对基域特征的依赖性.我们描述的例子包括二分理想，斯坦利-Reisner理想的顶点可分解的复合体和理想与组件的线性决议。我们给出了一个描述的二部图，并使用离散莫尔斯理论，提供了一种方式来看待通过二分理想的任意单纯复形的同源性。我们还证明了有理数域上的单项理想的Betti表可以由任意域上的Betti表通过一系列的连续消去得到。
Betti numbers of Stanley--Reisner rings with pure resolutions
设$Δ$是单纯复形，$k[Δ]$表示与$Δ$对应的Stanley-Reisner环.假设$k[Δ]$具有纯自由分解。然后我们用$Δ$的$h$ -向量来描述$k[Δ]$的贝蒂数和Hilbert-Samuel重数.作为应用，我们导出了任意弦图的团复形的$h$ --向量的分量的线性方程组。
Bounds for the Betti numbers of successive stellar subdivisions of a simplex
利用非投影理论给出了Gorenstein* 单纯复形的恒星细分的Stanley-Reisner环的贝蒂数的一个界.由此，我们得出一个单一的边界复杂的迭代恒星细分的贝蒂数的界限。的界限只取决于细分的数量，我们构造的例子证明，它是尖锐的。
A combinatorial proof of a formula for Betti numbers of a stacked polytope
对于单纯复形$Δ$，域$k$上的Stanley-Reisner环$k[Δ]$的分次Betti数$β_{i,j}(k[Δ])$由于Hochster而具有组合解释. Terai和Hibi证明了，如果$Δ$是$d$维堆叠多面体的边界复形，而$n$是$d\geq3$的顶点，则$β_{k-1,k}(k[Δ])=(k-1)\binom{n-d}{k}$ .我们证明这一组合。
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