Efficient Construction of Directed Hopsets and Parallel Approximate Shortest Paths
近似的单源最短路径问题如下：给定一个具有非负边权重的图和指定的源顶点$s$，返回从~ $s$到每个其他顶点的距离的估计值，使得估计值落在真实距离和$(1+ε)$乘以距离之间。针对\emph{directed}图上的近似最短路问题，提出了第一个具有次线性跨度（也称为深度）的近似工作有效并行算法。具体来说，对于常数$ε$和多项式有界的边权重，我们的算法有工作$\tilde{O}(m)$和跨度$n^{1/2+o(1)}$。先前已知几种算法用于\emph{undirected}图的情况，但似乎没有一种技术转化为有向设置。主要的技术贡献是第一个近线性工作算法构造有向图上的跳集。$(β,ε)$ -跳集是一组加权边（有时称为捷径），当添加到图中时，允许$β$ -跳路径的权重不超过真正最短路径距离的$(1+ε)$倍。有一个简单的顺序算法，它以有向图作为输入，并使用$β=O(\sqrt{n})$生成线性基数跳集，但它的运行时间相当长-特别是$\tilde{O}(m\sqrt{n})$。我们的算法是第一个更有效的算法，产生一个有向跳集具有类似的特点。具体地说，我们的顺序算法在$\tilde{O}(m)$时间内运行，并构造一个具有$\tilde{O}(n)$边和$β= n^{1/2+o(1)}$的跳集。该算法的并行版本具有工作$\tilde{O}(m)$和跨度$n^{1/2+o(1)}$。
2019-12-11 cs.DS
A General Reduction from Near-Additive Emulators to Near-Exact Hopsets
University of Salzburg（萨尔茨堡大学）
本文针对无向加权图，研究如何利用无向无权图近加法模拟器的构造来构建跳集，给出了具体转换算法及相关结果，回答了特定问题，推进了对两种结构联系的理解，跳集大小不依赖\(m\)的规约仍是开放问题。
2026-07-09 cs.DS
Reducing Shortcut and Hopset Constructions to Shallow Graphs
本文提出一个黑盒框架，将并行可达性和最短路径算法中的捷径与跳集构造归约到浅层图假设，从而显著简化现有近线性工作量并行算法的设计与实现。
2025-08-27 cs.DS
Hopsets with Constant Hopbound, and Applications to Approximate Shortest Paths
加权无向$n$ -顶点图$G=(V,E)$的$(β,ε)$ -跳集是一组边，其添加到图中保证每对顶点之间具有最多包含$β$边的路径，其长度在最短路径的$1+ε$内。在她的开创性论文中，Cohen \cite [JACM 2000]{C 00}在近似最短路径的并行计算的上下文中引入了跳集的概念，从那时起，它在各种其他设置中找到了许多应用，例如动态图形算法、分布式计算和流模型。Cohen \cite{C00}设计了有效的算法来构造具有$n$跳数的{ \em多对数}的跳集。自她在STOC'94上发表论文以来，她的结构仍然是最先进的，即，二十多年来。在本文中，我们展示了第一次建设的稀疏跳集与{ \em常数跳数}。我们还发现有效的算法在各种计算环境中的跳集，提高最知名的建设。一般来说，我们的跳集严格优于\cite{C00}的跳集，无论是在他们的参数，并在建设它们所需的资源。我们证明了我们的结果的适用性计算近似最短路径从$s$源的基本问题。我们的研究结果提高了这个问题的并行，分布式和流模型的运行时间，为广大的$s$。
2016-05-15 cs.DS
Centralized, Parallel, and Distributed Multi-Source Shortest Paths via Hopsets and Rectangular Matrix Multiplication
考虑一个无向加权图$G = (V,E,w)$。我们研究的问题计算$(1+ε)$ -近似最短路径的$S \times V$，一个子集$S \subseteq V$的$|S| = n^r$源，一些$0 < r \le 1$。我们设计了一个显着改进的算法，这个问题在整个范围内的参数$r$，在经典的集中式和并行（PRAM）模型的计算，并在广泛的$r$中的分布式（拥塞集团）模型。具体来说，我们的集中式算法这个问题需要时间$\tilde{O}(|E| \cdot n^{o(1)} + n^{ω(r)})$，其中$n^{ω(r)}$是所需的时间乘以一个$n \times n$矩阵的$n^r \times n$。我们的PRAM算法具有多对数时间$(\log n)^{O(1/ρ)}$，它的工作复杂度是$\tilde{O}(|E| \cdot n^ρ+ n^{ω(r)})$，对于任何任意小的常数$ρ>0$。特别地，对于$r \le 0.313\ldots$，我们的集中式算法计算$S \times V$ $(1+ε)$ -在$n^{2 + o(1)}$时间内的近似最短路径。对于任意小的常数$ρ>0$，我们的PRAM多步时间算法的工作复杂度为$O(|E| \cdot n^ρ+ n^{2+o(1)})$。先前存在的解决方案要么需要$O(|E| \cdot |S|)$的集中时间/并行工作，要么提供弱得多的近似…
2021-02-12 cs.DS
Parallel Batch-Dynamic Algorithms for Spanners, and Extensions
本文提出首个并行批量动态算法，用于维护生成树和稀疏化器，支持批量边更新，实现低深度和近线性摊销工作，并扩展到稀疏生成树和割/谱稀疏化器。
2025-07-08 cs.DS
Parallel Greedy Spanners
本文研究了并行贪心算法构造图的 $t$-spanner，证明即使并行添加匹配边，也能保证 spanner 的稀疏性，并利用长度受限扩展器分解的新进展进行分析。
2023-08-02 cs.DS
Sparse Hopsets in Congested Clique
我们给出了第一个在多对数时间内计算具有多对数跳界的稀疏跳集的拥塞团算法。给定一个图$G=(V,E)$，一个$(β,ε)$ -跳集$H$，带有“跳界”$β$，是一组添加到$G$的边，使得对于$G$中的任何一对节点$u$和$v$，都有一条路径，在$G \cup H$中最多有$β$跳，其长度在$G$中$u$和$v$之间的最短路径的$(1+ε)$之内.我们的跳集比Censor-Hillel等人最近构建的跳集显着稀疏。[6]，构建了大小为$\tilde{O}(n^{3/2})$的跳集，但具有更小的多对数跳界。另一方面，由Elkin和Neiman [10]，[11]，[12]提出的拥塞集团模型中具有多对数跳界的稀疏跳集的先前已知构造都需要多项式轮。我们使用的一个工具是一个有效的算法，构建一个$\ell$有限的邻域覆盖，这可能是独立的利益。最后，作为一个侧面的结果，我们也给出了一个hopset建设的低内存大规模并行计算模型的一个变体，与现有的算法的运行时间改善。
2020-01-21 cs.DC cs.DS
Folklore Sampling is Optimal for Exact Hopsets: Confirming the $\sqrt{n}$ Barrier
本文证明民间采样对精确跳集是最优的，构造了图使得任何$O(n)$边精确跳集直径下界为$\widetildeΩ(n^{1/2})$，并改进捷径集下界至$\widetildeΩ(n^{1/4})$，确认了$\sqrt{n}$障碍。
2024-04-22 cs.DS
Simple parallel and distributed algorithms for spectral graph sparsification
我们描述了一个简单的算法的频谱图稀疏化，基于加权spectrum和均匀采样的迭代计算。利用Baswana和Sen的谱稀疏化算法，我们得到了第一个分布式谱稀疏化算法。我们还得到了一个并行算法，改进的工作和时间的保证。将该算法与Peng和Spielman求解对称对角占优线性方程组的并行框架相结合，得到了一个更接近实际的并行求解器，其总工作量明显提高.
2014-04-17 cs.DS
New Diameter-Reducing Shortcuts and Directed Hopsets: Breaking the $\sqrt{n}$ Barrier
对于$n$ -顶点有向图$G=(V,E)$，\emph{shortcut set}是从$G$的传递闭包取得的边$H$的（小）子集，当将其添加到$G$时，保证$G \cup H$的直径是小的。Thorup于1993年提出的随机集在算法设计中有着广泛的应用，特别是在有向图上的并行、分布式和动态计算中。在这种背景下的一个民间传说结果表明，每个$n$ -顶点有向图都允许线性大小的捷径集（即，$O(n)$边缘），其将直径减小到$\widetilde{O}(\sqrt{n})$。尽管多年来进行了广泛的研究，但是否可以使用$\widetilde{O}(n)$快捷边将直径减小到$o(\sqrt{n})$的问题一直悬而未决。我们为这个问题提供了第一个改进的直径稀疏性权衡，打破了$\sqrt{n}$直径障碍。具体来说，我们展示了一个$O(n^ω)$时间随机算法计算的线性捷径集，减少了直径的有向图$\widetilde{O}(n^{1/3})$。这缩小了与$Ω(n^{1/6})$当前直径下限的差距[Huang和Pettie，SWAT'18]。此外，我们表明，直径$\widetilde{O}(n^{1/2})$实际上可以实现与\emph{sublinear}数量的$O(n^{3/4})$捷径边缘。形式上，让$S(n,D)$是所需的快捷集的大小上的限制，以减少任何$n$顶点有向图的直径至多$D$，我们的算法…
2021-11-25 cs.DS
$(1+ε)$-Approximate Shortest Paths in Dynamic Streams
在动态流环境中计算近似最短路径是一个基本的挑战，在过去的十年中一直在深入研究。现有的解决方案要么建立一个稀疏的乘法图的输入图和计算最短路径的图离线，或计算一个确切的单源BFS树。对于整数参数$κ$，第一种类型的解注定要引起$2κ-1$与$n^{1+1/κ}$的拉伸空间折衷。(In事实上，现有的解决方案还在加权图的拉伸中产生额外的因子$1+ε$，并且在空间中产生额外的因子$\log^{O(1)}n$。第二种类型的唯一现有解决方案使用$n^{1/2 - O(1/κ)}$通过流（对于空间$O(n^{1+1/κ})$），并且仅适用于未加权图。在本文中，我们表明，$(1+ε)$ -近似单源最短路径可以计算在这种设置与$\tilde{O}(n^{1+1/κ})$空间使用\emph{constantly}许多通行证在未加权的图形，和polymerically许多通行证在加权图（假设$ε$和$κ$是常数）。此外，事实上，相同的结果适用于多源最短路径，只要源的数量是$O(n^{1/κ})$。我们通过设计高效的动态流结构的$(1 + ε, β)$ -sparket和hopset来实现这些结果。我们认为，这些结构具有独立的利益。
2022-07-11 cs.DC cs.DS
Õptimal Vertex Fault-Tolerant Spanners in Õptimal Time: Sequential, Distributed and Parallel
我们（几乎）解决的时间复杂度计算顶点容错（VFT）空间的最佳稀疏（多对数因子）。VFT空间是稀疏的子图，保留距离信息，直到一个小的乘法拉伸，在顶点故障的存在。这些结构是由[Escherhik et al.，2009年]，从那时起就受到了广泛的关注。我们提供了用于计算任何$n$ -顶点$m$ -边图的接近最优的$f$-VFT空间的算法，在几个计算模型中具有接近最优的运行时间：-具有$\widetilde{O}(m)$的运行时间的随机顺序算法（即，与故障的数量无关（$f$）。最先进的时间范围是[Bodwin，Dinitz and Robelle，SODA 2021]的$\widetilde{O}(f^{1-1/k}\cdot n^{2+1/k}+f^2 m)$。- 一种$\widetilde{O}(1)$轮的分布式拥塞算法。改进[Dinitz和Robelle，PODC 2020]，在$\widetilde{O}(f^{2})$轮中获得具有接近最佳稀疏性的FT空间。- 具有$\widetilde{O}(m)$功和$\widetilde{O}(1)$深度的PRAM（CRCW）算法。由[Dinitz and Krauthgamer，PODC 2011]暗示的先验边界使用$\widetilde{O}(f^3m)$功和$\widetilde{O}(f^3)$深度获得次优FT空间。一个直接的推论提…
2022-09-07 cs.DC cs.DS
On Constructing Spanners from Random Gaussian Projections
图绘制是一种强大的范例，用于通过Ahn，Guha和McGregor（SODA'12）引入的线性测量来分析图结构，此后在流，分布式计算和大规模并行算法等中找到了许多应用。图的草图已被证明是相当成功的各种问题，如连接，最小生成树，边或顶点连接，削减或频谱稀疏。然而，一个图的近似最短路径度量的问题，特别是计算一个最短路径的问题，显然是从成功的列表中缺失的。这使这一根本问题的地位成为这一领域最长期悬而未决的问题之一。我们提出了一个部分的解释，这种缺乏成功的证明一个强大的下限为一个大家庭的图形绘制算法，包括以前的工作spectrometry和许多（但重要的是不是所有）相关的切割为基础的问题上面提到的。我们的下界匹配的算法边界的Filtser，Kapralov，和Nouri（SODA'21），最近的结果，低阶项，通过相同的图形素描家庭构建spectrometry。这建立了这些界限的近最优性，至少限于这个家庭的图形素描技术，并在后者的工作中提出的猜想取得进展。
2022-09-29 cs.DS
Massively Parallel Algorithms for Distance Approximation and Spanners
在过去的十年中，有越来越多的兴趣在分布式/并行算法处理大规模的图形。到目前为止，对于大规模并行计算（MPC）模型中的一些基本图形问题，我们已经有了相当快的算法--通常是亚临界时间，通常是$poly(\log\log n)$时间，甚至更快。该模型是MapReduce风格设置的广泛采用的理论抽象，其中许多机器以全对全的方式进行通信以处理大规模数据。贡献这一行的MPC图形算法的工作，我们提出了$poly(\log k) \in poly(\log\log n)$轮MPC算法计算$O(k^{1+{o(1)}})$ -spectrometry在强次线性制度的本地存储器。据我们所知，这些是第一个亚临界时间MPC算法的结构。作为主要的应用程序，我们得到两个重要的影响，如下：-对于MPC设置，我们得到了一个$O(\log^2\log n)$轮算法的$O(\log^{1+o(1)} n)$近似的所有对最短路径（APSP）在近线性制度的本地内存。据我们所知，这是第一个用于距离近似的亚临界时间MPC算法。- 我们上面的结果也扩展到分布式计算的拥塞集团模型，具有相同的轮复杂度和近似保证。这给出了拥塞集团模型中加权图中近似APSP的第一个亚对数算法。
2021-06-28 cs.DC cs.DS
New Greedy Spanners and Applications
Weizmann Institute（魏茨曼科学研究所）
本文提出一种简单贪心方法生成(α,β)-生成树，并展示其在构建容错生成树和加权图生成树中的应用，改进了容错生成树的边界并优化了加权图的生成树性能。
2026-03-17 cs.DS
Faster Multi-Source Reachability and Approximate Distances via Shortcuts, Hopsets and Matrix Multiplication
Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）；Reykjavik Uniersity（雷克雅未克大学）
本文提出了一种基于捷径、跳转集和矩阵乘法的算法，用于加速多源可达性计算和近似距离计算，改进了现有方法的复杂度。
2026-05-11 cs.DC cs.DS
Massively Parallel Approximate Distance Sketches
允许有效距离估计的数据结构（距离预言、距离草图等）已经被广泛研究，特别是在集中式模型和经典的分布式模型（如CONGEST）中研究得很好。我们开始他们的研究在较新的（可以说是更现实的）分布式计算模型：拥塞集团模型和大规模并行计算（MPC）模型。我们在这两个模型中提供了有效的构造，但我们的核心结果是MPC。在MPC中，我们给出了两个主要结果：构造拉伸/空间最佳距离草图但需要（小）多项式数量的轮次的算法，以及构造拉伸较差但只需要多对数轮次的距离草图的算法。一路上，我们表明，其他有用的组合结构也可以计算在MPC。特别是，我们用来构建距离草图的一个关键组件是Elkin和Neiman（2016）的跳集的MPC构造。这一结果有额外的应用，如第一次多项式时间算法恒定近似单源最短路径加权图在低内存MPC设置。
2019-09-12 cs.DC cs.DS
Almost Shortest Paths with Near-Additive Error in Weighted Graphs
设$G=(V,E,w)$是一个具有$n$顶点和$m$边的加权无向图，固定一个$s$源$S\subseteq V$的集合。我们研究的问题，计算{ \em几乎最短路径}（ASP）的所有对$S \times V$在经典的集中式和并行（PRAM）模型的计算。考虑$1+ε$的乘法近似，对于任意小的常数$ε> 0$。在这种情况下，现有的集中式算法需要$Ω(\min\{|E|s,n^ω\})$时间，其中$ω< 2.372$是矩阵乘法指数。具有多对数深度（aka时间）的现有PRAM算法需要工作$Ω(\min\{|E|s,n^ω\})$。我们的集中式算法具有运行时间$O((m+ ns)n^ρ)$，其PRAM对应物具有多对数深度和工作$O((m + ns)n^ρ)$，对于任意小的常数$ρ> 0$。对于一对$(s,v) \in S\times V$，它提供了一条长度为$\hat{d}(s,v)$的路径，满足$\hat{d}(s,v) \le (1+ε)d_G(s,v) + β\cdot W(s,v)$，其中$W(s,v)$是某条最短$s-v$路径上最重边的权重。因此，我们的加法项线性依赖于{ \em局部}最大边权重，而不是以前的工作中的全局最大边权重。最后，我们的$β= (1/ρ)^{O(1/ρ)}$。我们还扩展了Dor等人的集中式算法\cite{DHZ00}。对于参数$κ= 1,2,\ldots$，该…
2022-07-12 cs.DS
Faster Parallel Algorithm for Approximate Shortest Path
我们提出了第一个$m\,\text{polylog}(n)$工作，$\text{polylog}(n)$时间算法的PRAM模型，计算$(1+ε)$近似单源最短路径的加权，无向图。这改进了Cohen~[JACM'00]实现$O(m^{1+ε_0})$工作和$\text{polylog}(n)$时间的突破性结果。虽然大多数以前的方法，包括科恩的，利用跳集的力量，我们的算法建立在最近的发展\emph{continuous optimization}，研究最短路径问题的密切相关的\emph{minimum transshipment}问题的镜头。为了获得我们的算法，我们证明了一系列的近似线性的工作，多任务时间减少之间的问题的近似最短路径，近似转运，和$\ell_1$ -嵌入，并建立一个递归算法，循环通过这三个问题，并减少每个周期的图形大小。因此，我们也获得了更快的并行算法近似转运和$\ell_1$ -嵌入与多对数失真。最小转运算法是对Sherman~[SODA'17]的最佳$m^{1+o(1)}$工作顺序算法的改进。为了提高可读性，这篇论文几乎是完全独立的，除了算法和组合学中的几个主要定理。
2022-05-31 cs.DC cs.DS
Deterministic PRAM Approximate Shortest Paths in Polylogarithmic Time and Slightly Super-Linear Work
研究了$n$ -顶点无向加权图并行（PRAM）计算模型中的一个$(1+ε)$ -近似单源最短路径（以下简称$(1+ε)$ -SSSP）.对于任意小的$ρ>0$，Cohen [Coh 94]在$25$多年前给出了一个具有多对数时间和略微超线性工作的随机算法$\tilde{O}(|E|\cdot n^ρ)$。近年来，在这个问题上取得了令人兴奋的进展[ElkinN 17，ElkinN 19，Li 19，AndoniSZ 19]，最终在随机多对数时间和$\tilde{O}(|E|)$工作中达到高潮。然而，是否存在科恩算法的确定性对应物的问题仍然是开放的。在目前的文件中，我们设计的第一个确定性的多项式时间算法，这个基本问题，与工作$\tilde{O}(|E|\cdot n^ρ)$，对于一个任意小的$ρ>0$。这一结果是基于第一个有效的确定性的并行算法建立跳集，我们在本文中设计。
2020-09-30 cs.DC cs.DS
Massively Parallel Algorithms for Approximate Shortest Paths
该研究在近线性内存大规模并行计算模型下，提出了轮复杂度为poly(log log n)的SSSP(1+ε)近似算法与距离预言机，突破了此前Ω(log n)的轮数或近似比下界，核心工具可在亚线性MPC模型中构建。
2025-05-17 cs.DC cs.DS
Parallel Breadth-First Search and Exact Shortest Paths and Stronger Notions for Approximate Distances
我们引入更强的近似单源最短路径距离的概念，展示了如何有效地计算它们从较弱的标准概念，并展示了这些新的概念和变换的算法能力。一个应用程序是第一个工作效率的并行算法计算精确的单源最短路径图-解决了一个主要的开放问题，在并行计算。给定一个具有多项式有界非负整数长度的有向图中的源顶点，该算法计算$m \log^{O(1)} n$工作和$n^{1/2+o(1)}$深度的精确最短路径树。以前，没有已知的并行算法在不显著增加工作的情况下改进Dijkstra算法的平凡线性深度，即使对于无向和无权图的情况（即，用于计算BFS树）。我们的主要结果是一个黑盒变换，使用$\log^{O(1)} n$标准的近似距离计算产生的近似距离，也满足减法三角不等式（$(1+\varepsilon)$因素），甚至诱导一个确切的最短路径树的图中，只有轻微的扰动边的长度。这些增强的近似在算法上显著更强大，并且克服了使用近似距离的众所周知的和经常遇到的障碍。在有向图中，它们甚至可以被提升到精确的距离。这导致了任何（并行或分布式）有向图中近似最短路径算法的黑盒变换，变成了基本上没有成本的精确距离计算算法。将其应用于Fineman等人最近的突破，通过近似跳集计算近似SSSP距离，给出了精确最短路径的新并行分布式算法。
2022-10-28 cs.DC cs.DS
Parallel Approximate Undirected Shortest Paths Via Low Hop Emulators
本文提出了一个计算无向图最短路的$(1+\varepsilon)$ -近似并行算法，实现了$n$ -节点图$m$ -边图的$\mathrm{poly}(\log n)$深度和$m\mathrm{poly}(\log n)$工作量.虽然具有（接近）最优运行时间的顺序算法已经存在了几十年，但接近最优的并行算法已经成为一个更严峻的挑战。对于$(1+\varepsilon)$ -近似，所有具有$\mathrm{poly}(\log n)$深度的现有算法对于某个常数$c>0$至少执行$Ω(mn^{c})$工作。改进Cohen（STOC'94）获得的这个长期存在的上限已经开放了$25$多年。我们开发了几个独立的兴趣的新工具。其中之一是跳集之外的一个新概念--低跳仿真器--一个$\mathrm{poly}(\log n)$ -近似仿真器图，其中每个最短路径最多有$O(\log\log n)$跳（边）。低跳仿真器的直接应用是$\mathrm{poly}(\log n)$的并行算法-近似单源最短路径（SSSP）、Bourgain嵌入、度量树嵌入和低直径分解，所有这些都具有$\mathrm{poly}(\log n)$深度和$m\mathrm{poly}(\log n)$工作。为了提高对$(1+\varepsilon)$的近似比，我们引入了可压缩预处理器，并将其应用于Sherman的框架（SODA'1…
2019-11-05 cs.DC cs.DS
Parallel $(1+ε)$-Approximate Multi-Commodity Mincost Flow in Almost Optimal Depth and Work
INSAIT, Sofia University “St. Kliment Ohridski”（索菲亚大学“圣克利门特·奥赫里德斯基”）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；MPI-INF（马克斯·普朗克信息学研究所）；Saarland University（萨尔兰大学）；University of Michigan（密歇根大学）
提出并行算法，以几乎最优的工作量和深度计算无向图上带边和顶点容量的(1+ε)-近似最小费用流，并推广到k商品情形，核心是首次构造长度约束流捷径。
2025-10-23 cs.DS
Massively Parallel Computation in a Heterogeneous Regime
大规模并行图算法在过去的十年中受到了广泛的关注，研究集中在三个内存区域：超线性区域，近线性区域和次线性区域。次线性制度是最可取的，在实践中，但条件硬度的结果指向其局限性。在这项工作中，我们研究了一个\emph{heterogeneous}模型，其中的机器的内存大小不同。我们主要关注的是通过在次线性MPC区域中添加单个近线性机器所产生的异质设置，并且表明即使是单个大机器也足以规避次线性区域的大多数条件硬度结果：对于具有$n$顶点和$m$边的图，我们给出了（a）在$O(\log\log(m/n))$轮中运行的MST算法;（b）在$O(1)$轮中构造大小为$O(n^{1+1/k})$的$O(k)$ -矩阵的算法;以及（c）在$O(\sqrt{\log(m/n)}\log\log(m/n))$轮中运行的最大匹配算法。我们还观察到，最有名的近线性MPC算法的其他几个图形问题，这是被证明是很难在次线性政权（最小割，最大独立集，顶点着色）可以很容易地转换到异构MPC模型与一个单一的近线性机器的工作，同时保留其原始轮的复杂性在近线性政权。如果允许大型机器具有\emph{superlinear}内存，则上述所有问题都可以在$O(1)$轮中解决。
2023-02-28 cs.DC cs.DS
Nearly Tight Spectral Sparsification of Directed Hypergraphs by a Simple Iterative Sampling Algorithm
针对有向超图谱稀疏化，提出首个构造 $O^*(n^2)$ 大小 $\varepsilon$-谱稀疏化器的迭代采样算法，达到最优界，并给出非平凡下界，同时扩展至无向情形。
2023-05-11 cs.DS
A Framework for Analyzing Resparsification Algorithms
图$G$的谱稀疏因子是近似保持$G$的二次形式的稀疏图$H$，即对于所有向量$x$、$x^T L_G x \approx x^T L_H x$，其中$L_G$和$L_H$表示相应的图拉普拉斯算子。谱稀疏算子是割稀疏算子的推广，在图算法设计中有着广泛的应用。近年来，在半流式和动态设置中计算谱稀疏器一直受到关注。这些设置中的自然算法通常涉及图的重复稀疏化，以及这些步骤中的错误累积。我们提出了一个框架，用于分析算法，执行重复的稀疏化，只会产生错误对应于一个单一的稀疏化步骤，导致更好的结果为许多基于重新稀疏化的算法。作为一个应用程序，我们展示了如何保持一个频谱稀疏在半流设置：我们提出了一个简单的算法，对于一个图形$G$的$n$顶点和$m$边缘，计算一个频谱稀疏的$G$与$O(n \log n)$边缘在一个单一的通过$G$，只使用$O(n \log n)$空间，和$O(m \log^2 n)$总时间。这改善了以前最好的半流算法的频谱和削减稀疏的$\log{n}$在空间和运行时的因素。该算法扩展到一般PSD矩阵的半流行采样。我们还使用我们的框架相结合的频谱稀疏化算法Koutis与改进的并行结构，给出了一个并行算法，用于构建$O(n\log^2{n}\log\log{n})$大小的频谱稀疏在$O(m\log^2{n}\log\log{n})$时间。这是最著名的组合图稀疏化算法，稀疏化器的大小仅比…
2016-11-21 cs.DS
