Fano hypersurfaces and their birational geometry
Tommaso de Fernex
本文综述了Fano型超曲面的非有理性和双有理刚性的一些结果。重点讨论了Fano指数为1的超曲面，但也讨论了更高指数的超曲面。
We survey some results on the nonrationality and birational rigidity of certain hypersurfaces of Fano type. The focus is on hypersurfaces of Fano index one, but hypersurfaces of higher index are also discussed.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On birational boundedness of Fano fibrations
研究了Fano簇和Fano纤维化的双有理有界性。通过与Fano簇和Fano纤维化的有界性相关的定理，我们建立了一个通向Fano纤维化的双有理有界性的归纳步骤。作为推论，我们提供了双有理有界性和反正则体积的有界性的各种$ε$ -Fano型的方法。进一步证明了$ε$ -Fano型$3$-折叠的双有理有界性.
Birationally rigid Fano cyclic covers
证明了射影空间中超曲面上指标为1的Fano循环覆盖的双有理超刚性。
Birational geometry of Fano double covers
证明了一般位置的Fano双超曲面的除子正规性。
Birationally superrigid Fano 3-folds of codimension 4
我们确定了余维为4且无投影中心的拟光滑素Fano 3-fold的双有理超刚性。特别地，我们证明了最近由Coughlan和Ducat构造的余维为4的Fano 3-折叠的无投影中心的双有理超刚性。我们还提出了一些问题和猜想的分类双理性超刚性Fano 3倍。
Birational geometry of singular Fano varieties
证明了具有初等奇点的一般位置的Fano超曲面和对偶空间的除子标准性。
Birationally rigid Fano threefold hypersurfaces
我们证明了95个加权Fano三重超曲面族中的每一个拟光滑超曲面都是双有理刚性的。
Birational Mori fiber structures of Q-Fano 3-fold weighted complete intersections, II
本文研究了85个余维为2的反正则嵌入的Q-Fano三重加权完全交中的14个，证明了每个拟光滑成员都是双有理双刚性的，即它对另一个Q-Fano三重加权交是双有理的，但对其他Mori纤维空间不是双有理的.
Birational Unboundedness of $\Bbb Q$-Fano threefolds
本文证明了Picard数为1的$\Bbb Q$ -Fano三重图族是双有理无界的.
Birationally rigid varieties with a pencil of Fano double covers. III
研究了Fano纤维空间$π\colon V\to {\mathbb P}^1$的双有理几何，其中纤维是指数为1的Fano双超曲面。对于这些品种的每一个家庭，我们要么证明双有理刚性或生产明确的非平凡结构的Fano纤维空间。本文发展了一种研究Fano纤维空间$V/{\mathbb P}^1$上可动系统的新的线性方法。
On the birational geometry of $\mathbf{Q}$-Fano threefolds of large Fano index, I
本文研究Fano指数≥2的Q-Fano三维流形的理性问题，探讨其几何性质和分类方法。
Birational rigidity of Fano varieties and field extensions
本文的目的是解决关于双有理刚性在代数闭域扩张中的行为的一些基本问题。
K-stability and birational rigidity of Fano 3-fold weighted complete intersections
本研究证明了双有理刚性的良构拟光滑法诺三维加权完全交具有K-稳定性。
$\mathbb{Q}$-Fano threefolds with three birational Mori fiber structures
本文首先给出了$\mathbb{Q}$ -Fano三折叠的例子，其双有理Mori纤维结构恰好由三个$\mathbb{Q}$ -Fano三折叠组成.这些例子被构造为一个特定的加权射影空间中的加权超曲面。我们还观察到双有理Mori纤维结构的数目在一个$\mathbb{Q}$ -Fano三倍族中不表现为上半连续。
On the second and third exterior power of tangent bundles of Fano manifolds with birational contractions
本文对具有双有理型基本压缩的Fano流形进行分类，使得切丛的第二或第三外方幂在数值上有效。
Birationally rigid Pfaffian Fano 3-folds
我们对由$5 \times 5$ Pfckans定义的指数为1的双有理刚性Orbifold Fano 3-folds进行了分类。我们给出了一个尖锐的标准双理性刚性的基础上，这些家庭的类型的奇异品种承认。我们的研究产生了各种各样的结果，突出了终端Fano 3-folds分类的可能方法。双有理刚性的情况下是第一个已知的刚性的例子Fanos不是（加权）完全相交。
On the birational geometry of $\mathbf{Q}$-Fano threefolds of large Fano index, II
本文研究Fano指数≥3的Q-Fano三维流形的理性问题，延续前文研究。
Birationally rigid Fano varieties
我们简要地介绍了双有理刚性的概念，从它在二维双有理几何中的起源，到它的现状。讨论了极大奇点法的主要内容。本文给出了高维Fano簇和纤维化的双有理刚性理论的主要结果，并给出了某些自然的公式。
Birationally rigid Fano hypersurfaces with isolated singularities
证明了射影空间中具有一般位置的孤立奇点的指数为1的一般Fano超曲面是双有理刚性的。因此，它不能被一个有理映射纤维化为一个更小维度的非圆簇。双有理自映射群要么是平凡的，要么是二阶循环的。
Birationally rigid Fano fibre spaces. II
在本文中，我们证明了双有理刚性的大型类的Fano森纤维空间在一个基地的任意尺寸，有界的从上面的一个常数，只取决于尺寸的纤维。为了做到这一点，我们首先证明，如果Fano-Mori纤维空间的每个纤维都满足一定的自然条件，那么到另一个Fano-Mori纤维空间上的每个双有理映射都是纤维式的。之后，我们构造了满足这些条件的大类纤维空间（到Fano双空间的指数为1和到Fano超曲面的指数为1）。本文是我以前工作的后续：Pukhlikov A. V.，双理性刚性Fano纤维化，Izvestiya：数学{ \bf 64}（2000），No.3，563-581。
Birationally rigid Fano hypersurfaces
证明了光滑Fano超曲面$V=V_M\subset{\Bbb P}^M$，$M\geq 6$是双有理超刚性的.特别地，它不能被一个非平凡有理映射纤维化为单圆簇，并且每个到相同维数的极小Fano簇上的双有理映上是一个双正则同构。证明是基于最大奇异性的方法结合Shokurov和Kollar的连通性原则。
On the birational geometry of toric Fano 4-folds
我们宣布一个因式分解结果的等变双有理态射之间的环面4倍，其源是法诺：这样的态射总是一个复合材料的爆破沿光滑不变中心。此外，我们用一个反例表明，与三维情况不同，即使源和目标都是Fano，中间品种也不能选择Fano。
On Fano manifolds with a birational contraction sending a divisor to a curve
设X是维数至少为4的光滑Fano簇.我们证明了，如果X有一个初等双有理压缩发送一个除数到曲线，那么X的皮卡数小于或等于5。
On the birational geometry for irreducible symplectic 4-folds related to the Fano schemes of lines
在Fano线格式上有两个群作用使得商成为一个不可约的辛流形。我们证明了这两个双有理元对于K3曲面的广义Kummer簇或2-点Hilbert格式都是双有理的。
On birational superrigidity and conditional birational superrigidity of certain Fano hypersurfaces
在N至少为2s+8且P^N中的N次超曲面只有秩至少为N-s的二次奇异点的条件下，证明了P^N中的N次超曲面的双有理超刚性，其奇异轨迹为s.结合I. A. Chel'tsov和T. de Fernex，这完成了双有理超刚性奇异超曲面的列表，只有普通的二重点，除了在4和6维。进一步，我们对Mori纤维空间的双有理映射的基轨迹施加了一个附加条件。然后证明了指数大于等于2的光滑Fano超曲面的条件双有理超刚性和指数为1的光滑Fano完全交的弱形式的双有理超刚性。
Birationally solid Fano 3-fold hypersurfaces
本文基于Picard数为1的Fano簇的双有理刚性定义，完成了拟光滑双有理刚性Fano 3-重加权超曲面的分类。
Higher index Fano varieties with finitely many birational automorphisms
确定Fano簇的双有理自同构群何时是有限的是一个有趣而困难的问题。研究这个问题的主要技术是Noether-Fano方法。该方法已有效地研究这个问题的Fano品种的指数1和2。本文的目的是给出一个新的方法来解决这个问题，并证明了在每一个正特征中，都存在具有有限（甚至平凡）双有理自同构的任意大指标的Fano簇.为了做到这一点，我们证明，这些品种承认充分和双有理等变线丛。我们的结果应用了Kollár在特征p> 0的p-循环覆盖上产生的微分形式。
Birational Mori fiber structures of $\mathbb{Q}$-Fano $3$-fold weighted complete intersections, III
这是一系列论文的延续，研究双有理Mori纤维结构的anticanonically嵌入$\mathbb{Q}$ -Fano $3$ -倍加权完全相交的余维$2$。证明了$19$族由双有理刚性簇组成，$14$族由双有理双刚性簇组成.本文的目的是系统地继续这一工作，并证明在其余的$52$家系中，$21$家系是由双有理双刚性品种组成的。
Birationally rigid varieties with a pencil of Fano double covers. II
我们继续研究Fano纤维化$π\colon V\to {\mathbb P}^1$的双有理几何，其纤维是指数为1的Fano双超曲面。对于大多数家庭的这种类型，不满足条件的充分扭曲的基础上，我们证明了双理性刚性（特别是，这意味着没有其他结构的纤维化合理连接品种）和计算其群体的双理性自映射。我们大大改善了主成分的方法的最大奇异性，首先，技术的多重性的纤维化$V/{\mathbb P}^1$到Fano品种线。
Fano hypersurfaces with no finite order birational automorphisms
利用双有理自同构群的特殊化同态研究了有穷级双有理自同构。对于DVR上的簇族，证明了与剩余特征互素的双有理自同构不能专门化为恒等式。作为应用，我们证明了非常一般的$n$ -维超曲面的次数$d \geq 5 \lceil (n+3)/6 \rceil$没有有穷级双有理自同构。
Birational geometry of Fano double spaces of index two
我们研究Fano簇的双有理几何，实现为双覆盖$σ\colon V\to {\mathbb P}^M$，$M\geq 5$，在次数为$2(M-1)$的一般超曲面$W=W_{2(M-1)}$上分支.证明了$V$上的有理连通纤维空间的唯一结构是自由线性系$|-\frac12 K_V|$的子系统.簇$V$的双有理和双正则自映射群重合。
K-stability of birationally superrigid Fano 3-fold weighted hypersurfaces
该研究证明指数为1的拟光滑Fano三维加权超曲面的α不变量≥1/2，结合已有双有理超刚性与K-稳定性的关系结论，推导出这类双有理超刚性曲面的K-稳定性。
On the canonical bundle formula and effective birationality for Fano varieties in char $p>0$
本文研究了正特征下 Fano 型簇的双有理几何与有界性问题，证明了有界性在正规化下不变，给出了更易用的典范丛公式，并证实了具有良好奇点的弱 Fano 簇的有效双有理性。
Birational geometry of algebraic varieties with a pencil of Fano complete intersections
证明了一般Fano纤维空间$V/{\mathbb P}^1$的双有理超刚性，其中纤维是${\mathbb P}^{M+k}$中指标为1且维数为$M$的Fano完全交，条件是$M\geq 2k+1$ .该证明结合了传统的最大奇点法的二次技巧和基于Shokurov和Kollar连通性原理的线性技巧。还考虑了某些相关结果。
Birational geometry of algebraic varieties, fibred into Fano double spaces
我们开发的二次技术证明双有理刚性的Fano森纤维空间在高维基地。作为应用，我们证明了在维数至多为$\frac12 (M-2)(M-1)$的有理连通基上，一般纤维化到维数为$M\geqslant 4$且指数为1的Fano双空间的双有理刚性.给出了具有正维奇异集的射影空间中给定次数的超曲面子集的余维数的一个估计，该估计接近于最优估计。
Mori dream spaces and birational rigidity of Fano 3-folds
我们强调Sarkisov链接的存在和有限生成（某些）Cox环之间的关系。我们引入明确的方法来使用这种关系，以证明双有理刚性报表。为了说明这一点，我们在奇异加权射影空间中完善了Okada关于Fano完全交3-重的双有理刚性结果.
Examples of Fano varieties of index one that are not birationally rigid
Pukhlikov的一个猜想指出，一个至少维数为4且指数为1的光滑Fano簇是双有理刚性的。我们证明了一般成员的线性系的充分生成元的皮卡德群的模空间的稳定，秩二丛与固定行列式的奇数度曲线亏格至少为三，是不是双有理刚性。
Birational Mori fiber structures of Q-Fano 3-fold weighted complete intersections
本文研究了Iano-Fletcher表中85个族的余维为2的Q-Fano三重加权完全交，并确定了哪一个圈是极大中心。对于每一个极大中心，我们构造一个双有理对合的untwists的极大奇点或Sarkisov链接中心的循环到另一个明确描述的森纤维空间。其结果是，19个家庭被证明是双理性刚性和其余66个家庭被证明是双理性非刚性。
Exceptional collections on toric Fano threefolds and birational geometry
Bernardi和Tirabassi证明了在假设Bondal猜想的情况下，光滑复曲面Fano $3$ -folds上存在由线丛组成的完全强例外集合，该猜想指出结构层$\mc O_X$的Frobenius推进生成光滑投射复曲面簇$X$的导出范畴$D^b(X)$。本文利用双有理几何证明了光滑复曲面Fano $3$ -折叠的Bondal猜想，并改进了其结果.
Cubic fourfolds with birational Fano varieties of lines
本文给出了几对非同构三次四重体例子，证明其 Fano 直线簇是有理等价的，为 Fourier-Mukai 伙伴猜想提供新证据，并提出三次四重体与其 Fano 直线簇有理等价性相关的猜想。
Effective birational rigidity of Fano double hypersurfaces
证明了具有二次和多二次奇异性的指数为1的Fano双超曲面的双有理超刚性，满足一定的正则性条件，并给出了该族自然参数空间中非刚性簇集余维数的一个有效的显式下界.下界在簇的维数上是二次的。证明是基于超切因子的技术结合最近发现的$4n^2$ -不等式的完全相交奇点。
On explicit birational geometry for weak Fano varieties and polarised Calabi-Yau varieties
给定一个自然数$l$和一个弱Fano $n$ -fold $X$与$\operatorname{dim}\overline{φ_{-lK_X}(X)}\geq n-1$，我们研究了反正则体积的下界和反正则稳定指数的上界.该方法也可以用来给极化的Calabi-Yau品种类似的界限。
Birational geometry of Fano varieties of lines on cubic fourfolds containing pairs of cubic scrolls
研究包含三次滚动面对的三次四重线上Fano簇（超Kähler四重）的双有理几何，识别所有双有理模型并给出显式映射，同时刻画双有理自同构群的生成元和关系。
Birational rigidity and K-stability of Fano hypersurfaces with ordinary double points
推广了已有的结果，证明了对于$n \ge 5$，$n+1$中所有具有孤立的普通二重点的次超曲面都是双有理超刚性的，K-稳定的，从而存在弱Kähler-Einstein度量.
The Curve Exclusion Theorem for elliptic and K3 fibrations birational to Fano 3-fold hypersurfaces
在标题中提到的定理是一个技术性的结果，需要分类的椭圆和K3纤维化双有理Fano 3重超曲面在加权射影空间。我们提出了曲线排除定理的完整证明，该定理首次出现在作者未发表的博士论文[Ry02]中，并且此后一直依赖于纤维化分类问题的许多情况的解决方案。我们给出这些解决方案的例子，并简要讨论它们。
Classification of elliptic and K3 fibrations birational to some Q-Fano 3-folds
本文给出了椭圆和K3纤维化对某些轻度奇异复Fano 3-folds的双有理的完全分类。对于一个例子给出了详细的证明，即加权P^4中30次的一般超曲面X的例子，权值为1，4，5，6，15;但是我们的方法适用于更一般的情况。为了构造从X到椭圆和K3纤维化的双有理映射，我们使用Kawamata blowup和Mori理论来计算反典范环;为了排除其他可能的纤维化，我们仔细检查（X，（1/n）H）的严格典范奇异性，其中H是与假定的双有理映射相关的线性系，n是其反典范度。
Toric Fano varieties and birational morphisms
本文利用本原关系和复曲面Mori理论研究了光滑复曲面Fano簇。本文证明了对复曲面Fano簇X中的任一不可约不变因子D，X和D的Picard数之差有$0\leqρ_X-ρ_D\leq 3$.此外，如果$ρ_X-ρ_D>0$（如果是$ρ_X-ρ_D=1$，则有一些附加的假设），我们给出了X的一个显式双有理描述。利用这个结果，我们证明了当dim X=5时，我们有$ρ_X\leq 9$。第二部分研究了以Fano为源的等变双有理态射f。我们给出了一些一般性的结果，并在4维，我们表明，f总是一个复合材料的光滑等变爆破。最后，我们研究了在哪些假设下，一个非投射复曲面簇可以成为Fano后，一个光滑的等变爆破。
Explicit Birational Geometry of Fano threefold complete intersections
完成了对分次环数据库中作为完全交出现的拟光滑Fano三重变形族的双有理刚性的分析。当这样的变形家庭$X$有Fano指数至少为2和最小嵌入在加权射影空间的余维2，我们确定的循环商奇异是一个最大的中心。如果循环商奇异性是极大中心，则我们构造到非同构Mori纤维空间或双有理对合的Sarkisov链。这使得，特别是，建设新的例子法诺3倍的余维6实现为完整的交叉假加权射影空间。我们定义线性循环商奇点$X$，并证明这些是最大的中心明确计算Sarkisov链接集中在他们。结果表明，每个$X$都有一个线性循环商奇异性，从而得到一个新的双有理模型。因此，我们表明，如果$X$是双理性刚性，那么它的Fano指数是1。如果新的双有理模型是一个严格的Mori纤维空间，我们确定它的纤维化类型明确。在这种情况下，$X$的一个一般成员对于1、2或3次的del Pezzo纤维化或圆锥丛$Y/S$是双有理的，其中$S$是一个加权的投影平面，至多有$A_2$奇点。
Birational rigidity of singular Fano hypersurfaces
建立了一类指数为1的奇异射影Fano超曲面的双有理超刚性。在孤立奇点的特殊情况下，我们的结果例如适用于：（1）具有多重半齐次奇点的超曲面渐近有界于超曲面维数的平方根的两倍，（2）具有孤立奇点的超曲面其Tyurina数满足类似的界，（3）具有孤立奇点的超曲面，其对偶簇是次数足够接近期望次数的超曲面。
On birational boundedness of some Calabi-Yau hypersurfaces
证明了构成3重plt对的反标准不可约超曲面的双有理有界性。我们还治疗的杜瓦尔K3曲面的集合，这是双理性有界，但无界。
Birational geometry of Fano hypersurfaces of index two
证明了在$M\geq 14$的$(M+1)$维射影空间中的一般（在Zeromki拓扑意义下）$M$度超曲面上的有理连通纤维空间的每一个非平凡结构（以及Mori-Fano纤维空间的每一个结构）由超平面截面束给出.特别地，簇$V$是非有理的，它的双有理自映射群与双正则自同构群重合，因此是平凡的。证明是基于极大奇异性方法和逆的附加技术。
Birational geometry of singular Fano hypersurfaces of index two
对于$(M+1)$维射影空间中的次数为$M$的Zurski一般（正则）超曲面$V$，其中$M$至少为16，最多具有秩至少为13的二次奇点，我们给出了有理连通（或Fano-Mori）纤维空间结构的完整描述：在正维基上的每个这样的结构是超平面截面束。这意味着，特别是，$V$是非理性的，它的双有理和双正则自同构群重合。在自然参数空间中，非正则超曲面的余维数至少为$\frac12(M-11)(M-10)-10$.
Birational rigidity and alpha invariants of Fano varieties
本文构造双有理超刚性及带有限群作用的 Fano 簇，证明其 alpha 不变量可任意接近 $1/2$，群版本 alpha 不变量可任意小。
Birational geometry of Fano direct products
本文证明了以下两类原Fano簇的直积$V=F_1\times...\times F_K$的双有理超刚性：$F_i\subset{\mathbb P}^M$是次数为$M$的一般超曲面，$M\geq 6$，或$F_i\stackrelσ{\to}{\mathbb P}^M$是指数为1的一般对偶空间，$M\geq 3$ .特别地，$V$上的有理连通纤维空间的每个结构由到直因子上的投影给出。证明是基于Shokurov和Kollar的连通性原理和超切因子技术。
Variation of Stable Birational Types of Hypersurfaces
引入并研究了光滑真族中稳定双有理型如何变化的问题。我们的出发点是专业化的稳定的双有理类型的尼凯斯和作者，我们的重点是稳定的双有理类型的超曲面。在Totaro和Schreieder关于高次超曲面的稳定非理性的工作的基础上，我们证明了特征为零的域上的大次光滑Fano超曲面一般都是不稳定的。在附录克莱尔Voisin证明了一个类似的结果在不同的设置使用周分解的对角和unramified上同调。
Birational superrigidity and slope stability of Fano manifolds
在Ross-Thomas意义下，证明了Fano流形的双有理超刚性与其斜率稳定性之间的关系.
Birational geometry of hypersurfaces in products of weighted projective spaces
本研究扩展了加权射影空间乘积中超曲面的双有理几何理论，确定了Mori梦想空间情形下的所有相关锥、双有理模型及Cox环，并证明了终端Calabi-Yau超曲面的Kawamata-Morrison锥猜想之双有理形式。
Birational geometry of hypersurfaces in products of projective spaces
研究了射影空间乘积中超曲面的双有理性质。对于P^m x P^n中的超曲面，我们描述了它们的nef、可动锥和有效锥，并确定了它们何时是Mori梦空间.利用这些结果，我们给出了非Mori梦空间的新的简单例子，并类似于Mumford的严格Nef线丛的例子，它是不充分的.
On the birational geometry of sextic threefold hypersurface in $\mathbf{P}(1,1,2,2,3)$
研究六次三维超曲面在加权射影空间中的理性质，证明其非理性。
Birational geometry of singular Fano double spaces of index two
本文描述了指数为2且维数为$\geqslant 8$的Fano双空间$V\stackrelσ{\to}{\mathbb P}^{M+1}$的双有理几何，其中至多有秩为$\geqslant 8$的二次奇点，满足一般位置的某些附加条件：我们证明了这些簇在维度为$\geqslant 2$的基上不具有合理连通纤维空间的结构，到Mori纤维空间$V'/{\mathbb P}^1$的全空间上的每个双有理映射$χ\colon V\dashrightarrow V'$诱导多样性$V$的爆破$V^+$沿着$σ^{-1}(P)$的同构$V^+\cong V'$，其中$P\subset {\mathbb P}^{M+1}$是余维2的线性子空间，证明了簇$V$到Fano簇$V'$上的每一个具有${\mathbb Q}$ -阶乘终端奇点和Picard数1的双有理映射是同构.我们给出了一个显式的下估计的余维数的品种$V$更差的奇异性或不满足一般的位置，二次$M$的条件。利用极大奇点法和改进的$4n^2$ -不等式对移动线性系统的自相交性进行了证明。
On special quadratic birational transformations of a projective space into a hypersurface
我们研究变换的标题中强调那些具有光滑连接的基础轨迹，称为“特殊”。特别是，我们将所有特殊的二次双有理映射到一个二次超曲面，其逆是由二次型显示，只有四个例子具有一般超平面部分的Severi品种作为基轨迹。
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