Solution of the minimum modulus problem for covering systems
Bob Hough
我们回答了一个问题Erdans的证明，最小模的一个独特的覆盖系统的同余是不大于$10^{18}$。
We answer a question of Erdős by showing that the least modulus of a distinct covering system of congruences is no larger than $10^{18}$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the $j$-th smallest modulus of a covering system with distinct moduli
本研究在Balister等人对Hough关于不同模覆盖系统最小模有界性的证明基础上，推导出具有不同模的极小覆盖系统的第$j$小模的上界为$\exp(cj^2/\log(j+1))$，其中$c$为正绝对常数。
An upper bound for the minimum modulus in a covering system with squarefree moduli
基于P. Balister，B.博略巴什河Morris，J. Sahasrabudhe和M. Tiba，我们表明，如果覆盖系统有不同的平方模，那么最小模是最多118。我们还表明，在一般情况下，$k^{\rm th}$最小模的覆盖系统具有不同的模（提供它是需要的覆盖）是有界的一个绝对常数。
Finiteness of Disjoint Covering Systems with Precisely One Repeated Modulus
研究证明，对于每个固定的m≥2，只存在有限多个不相交覆盖系统，其中最小模数至少为3，且恰好一个模数重复，即最大的模数，且恰好出现m次。
Extreme Covering Systems of the Integers
证明了当一个不同覆盖系统的最小模为4时，其最大模至少为60;当最小模为3时，其模的LCM至少为120;当最小模为4时，其模的LCM至少为360.常数60、120和360不能被更大的常数所取代。
Searching for Disjoint Covering Systems with Precisely One Repeated Modulus
一组具有$$ m_1 \leq m_2 \leq \dots \leq m_k \quad \quad , $$的算术序列$$ a_1\, (\bmod{ \,\, m_1}) \quad, \quad a_2 \, (\bmod{\,\, m_2}) \quad, \quad \dots \quad , \quad a_k \, (\bmod{\,\,m_k}) \quad \quad , $$称为{ \it不相交覆盖系统}（别名{ \it精确覆盖系统}），如果每个正整数都属于{ \bf精确}序列之一. Mirski、Newman、Davenport和Rado著名地证明了模不可能都是不同的。事实上，两个最大的模数必须相等，即$m_{k-1}=m_k$这就提出了一个自然的问题：“你能得到多接近不同的模数？换句话说，你能找到所有这样的系统，其中所有的模量都是不同的，除了最大的，也就是重复$r$次，对于任何特定的给定$r$？事实证明（理论上，但几乎可以肯定），排除最小模为2的平凡情况，对于任何数量的重复$r$，只有1000个这样的系统。Marc Berger、Alexander Felzenbaum和Aviezri Fraenkel发现了$r$直到$9$的所有重复，Mekmamu Zeleke和Jamie Simpson将系统的列表扩展到$12$重复。在本文中，我们继续列表直到$r=3…
On covering systems of integers
整数的覆盖系统是模剩余类$\{a_m \bmod{m}\}_{m \in S}$的有限集合，其并集是所有整数。给定一个有限的模集合$S$，通常很难判断是否存在对覆盖整数的$S$的模元素的余数的选择。Hough已经证明，如果$S$中的最小模量至少为$10^{16}$，则不存在。然而，是否有一个覆盖的整数与所有奇数模仍然开放的问题。我们考虑模集合上的乘法限制，将Hough的负解推广到最小模问题。特别地，我们发现每一个覆盖系统的整数有一个模整除的素数小于或等于$19$。Hough和Nielsen已经证明，每一个覆盖系统都有一个可被$2$或$3$整除的模量。
A Distinct Covering System with Minimum Modulus 7 and Minimal Least Common Multiple 10080
研究最小模为7的独特覆盖系统的最小公倍数，通过连续过滤论证构造出最小公倍数为10080的系统，并证明其最小性。
Erdős covering systems
覆盖系统是等差数列的有限集合，其并集是整数的集合。对这些天体的研究是由Erdens于1950年发起的，在接下来的几十年里，他提出了许多关于它们的问题。最著名的是，他问是否存在覆盖系统与不同的模，其最小模是任意大的。这个问题在2015年由Hough解决，他表明在任何这样的系统中，最小模量至多为$10^{16}$。本文的目的是对霍夫方法的一个更简单、更强的变体进行一个温和的阐述，霍夫方法最近被用来回答关于覆盖系统的其他几个问题。我们希望，这种技术，我们称之为失真方法，将有许多进一步的应用在其他组合设置。
On the minimum modulus problem in number fields
本文通过引入逆系统相关概率测度理论发展畸变方法，解决了数域中的Erdős最小模问题，还证明了数域极小覆盖系中第$j$个最小范数有界。
The structure and number of Erdős covering systems
Erdés在1950年提出的整数覆盖系统是等差数列的有限集合，其并集是集合$\mathbb{Z}$。在过去的几十年里，人们提出了许多关于覆盖系统的美丽问题和理论，但直到最近，人们对它们的性质知之甚少。最著名的是，2015年Hough解决了Erdans的最小模问题，他证明了在每个具有不同模的覆盖系统中，最小模至多为$10^{16}$。在本文中，我们回答另一个问题的Erdens，在1952年提出的，对一些最小覆盖系统。更准确地说，我们证明了最小覆盖系统的数量正好$n$元素是\[ \exp\left( \left(\frac{4\sqrtτ}{3} + o(1)\right) \frac{n^{3/2}}{(\log n)^{1/2}} \right) \]作为$n \to \infty$，其中\[ τ= \sum_{t = 1}^\infty \left( \log \frac{t+1}{t} \right)^2. \]在这个计数结果的途中，我们得到了一个结构描述的所有覆盖系统，在适当的意义上接近最优。
On covering systems of polynomial rings over finite fields
本文基于扭曲方法，证明了有限域上多项式环覆盖系统的模数最小次数有界于s和q依赖的常数，解决了有限域上的最小模问题并推翻了Azlin的猜想。
The Case of the Second Smallest Modulus: or why we cannot be arbitrarily careless?
通过极大性论证，给出一个简洁初等的证明，说明覆盖系统中第二小模数必须有界，简化了已知结果。
On a conjecture of Krukenberg and a problem of Dalton and Trifonov
本文证明了不同模数覆盖系在最小模数为5时最大模数≥108、最小公倍数≥1440，最小模数为6时最小公倍数≥5040（均为最优值），解决了Krukenberg猜想及Dalton与Trifonov的问题。
Covering systems with restricted divisibility
我们证明了每一个不同的覆盖系统有一个模可被2或3整除。
On the range of a covering function
设{a_s（mod n_s）}_{s=1}^k（k>1）是模为n_1，…，n_k不同。利用代数整数证明了覆盖函数w（x）=|{1 \le s \le k：x=a_s（mod n_s）}|不包含在模大于1的任何剩余类中。特别地，w（x）的值不能具有相同的奇偶性。
Bounds for Erdős covering systems in global function fields
本文研究了全球函数域中覆盖系统的界，证明了在特定条件下不存在具有乘法次数s的覆盖系统，并改进了之前与李、王和伊合作的研究结果。
On Erdős covering systems in global function fields
本文基于 distortion 方法，证明了在特定条件下，全球函数域中不存在具有特定乘数的覆盖系统，尤其指出当 q≥759 时，F_q[x] 上不存在具有不同模数的覆盖系统。
The Erdős-Selfridge problem with square-free moduli
覆盖系统是等差数列的有限集合，其并集是整数的集合。具有不同模的覆盖系统的研究是由Erdens在1950年发起的，在接下来的几十年里，许多问题被提出来。一个特别臭名昭著的问题，由于埃尔德什，问是否存在覆盖系统的模是不同的，所有奇数。我们表明，如果另外一个假设的模是无平方，那么必须有一个偶数模。
A further investigation on covering systems with odd moduli
本文研究一种奇数覆盖问题变体，允许一个奇数模多次出现，其余模为不同大于1的奇数。
Covering systems with the sum of the reciprocals of the moduli close to $1$
本文证明了在有限不同模覆盖系统中，当最小模数大于4时，模数倒数之和必远离1，解决了Davenport提出的问题并证实了Erdos和Selfridge的猜想。
Covering systems with odd moduli
本文研究奇数覆盖问题的一个变体，允许一个奇素数模重复出现而其余模互异且为奇数，并进一步考虑模为无平方因子的情形。
Covering systems where the prime divisors of all moduli are only $2$, $3$, or $5$
本文研究了所有正整数四元组(m,a,b,c)的问题，其中a≥b≥c，使得存在一个具有最小模m和模数的最小公倍数为2^a 3^b 5^c的覆盖系统。当m=2,3,4,5或6时，除了m=6且b=c=1的情况外，得到了所有这样的四元组的完整描述。还证明了如果模数的最小公倍数仅包含2，3或5作为质因数，则m≤9，并构造了一个具有m=8，a=8，b=3，c=2的覆盖系统。当存在覆盖系统时，提供了示例。通过整数规划或新的估计方法证明了覆盖系统的不存在性。
Covering Projective Height Balls by Subspaces in Rigid Adelic Spaces
本文针对数域K上的n维刚性阿代尔空间，研究用真K-子空间覆盖射影高度球的最少子空间数与线性一般位置子集的最大基数，得出其阶的渐近结果及标准阿代尔空间的具体阶形式。
Computations and observations on congruence covering systems
该研究针对同余覆盖系领域，完成了模数不超过10的不同模覆盖系的完整分类，并据此得出所有模大于2的不同模覆盖系的最小基数为11的结论。
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