Bessel过程间隙概率的Riemann-Hilbert方法

硬边三角形结点上不相交的平方贝塞尔路径

Non-intersecting squared Bessel paths at a hard-edge tacnode

平方贝塞尔过程是与高维布朗运动的平方范数相关的一维扩散过程。我们研究了一个$n$不相交的平方贝塞尔路径模型，所有路径在时间$t=0$开始于同一点$a>0$，在时间$t=1$结束于同一点$b>0$。我们的兴趣在于关键政权$ab=1/4$，其中的路径是切线的硬边在原点在一个关键的时间$t^*\in (0,1)$。研究了$n\to\infty$路径随时间$t=t^*+O(n^{-1/3})$和温度$T=1+O(n^{-2/3})$变化的临界行为.这导致通过大小为$4\times 4$的新Riemann-Hilbert问题定义的临界相关核。Riemann-Hilbert问题给出了非齐次Painlevé II方程$q"(x) = xq(x)+2q^3(x)-ν,$的Hastings-McLeod解的一种新的Lax对表示，其中$ν=α+1/2$和$α>-1$是平方贝塞尔过程的参数.这些结果扩展了我们最近与Kuijlaars和Zhang \cite{DKZ}对齐次情形$ν= 0$的工作。

The generating function for the Bessel point process and a system of coupled Painlevé V equations

We study the joint probability generating function for $k$ occupancy numbers on disjoint intervals in the Bessel point process. This generating function can be expressed as a Fredholm determinant. We obtain an expression for it in terms of a system of coupled Painlevé V equations, which are derived from a Lax pair of a Riemann-Hilbert problem. This generalizes a result of Tracy and Widom [24], which corresponds to the case $k = 1$. We also provide some examples and applications. In particular, several relevant quantities can be expressed in terms of the generating function, like the gap probab…

Tacnode过程的渐近性：间隙概率从Tacnode到Airy过程的过渡

Asymptotics of the Tacnode process: a transition between the gap probabilities from the Tacnode to the Airy process

我们研究了单次Tacnode过程的间隙概率。通过最速下降分析一个合适的Riemann-Hilbert问题，我们表明，在适当的标度制度下的Tacnode过程的间隙概率退化成两个独立的Airy过程的间隙概率的产品。

A physicist's guide to explicit summation formulas involving zeros of Bessel functions and related spectral sums

We summarize the mathematical basis and practical hints for the explicit analytical computation of spectral sums that involve the eigenvalues of the Laplace operator in simple domains. Such spectral sums appear as spectral expansions of heat kernels, survival probabilities, first-passage time densities, and reaction rates in many diffusion-oriented applications. As the eigenvalues are determined by zeros of an appropriate linear combination of a Bessel function and its derivative, there are powerful analytical tools for computing such spectral sums. We discuss three main strategies: representa…

非碰撞广义曲折无穷组与Riemann-Liouville积分

Infinite systems of non-colliding generalized meanders and Riemann-Liouville differintegrals

Yor的广义弯曲是$2(ν+1)$维Bessel过程的时间非齐次修正，其中不均匀性由$κ\in [0, 2(ν+1))$索引。我们引入了广义曲折的非碰撞粒子系统，并证明了它们是Pfronan过程，在这个意义上，任何多时间相关函数是由Pfronan。在无穷粒子极限下，我们证明了所得到的无穷Pfronan过程的矩阵核的元素一般由包含分数阶微积分中使用的Bessel函数$J_ν$的函数的Riemann-Liouville微分积分表示，其中微分积分的阶数由$ν-κ$确定.作为两个参数$(ν, κ)$的特例，目前的无限系统包括Forrester，Nagao和Honner以及Nagao研究的四元数行列式过程，它们表现出随机矩阵理论普适类之间的时间转换。

贝塞尔核行列式与可积方程

Bessel kernel determinants and integrable equations

本文利用Its-Izergin-Korepin-Slavnov可积算子与Riemann-Hilbert方法，证明贝塞尔行列式点过程的乘性统计量满足描述Sturm-Liouville等谱形变的可积非线性偏微分方程，并建立其与Painlevé V型方程的联系及初值问题研究。

修正Bessel函数行列式的渐近行为与第二Painlevé方程

Asymptotics of the determinant of the modified Bessel functions and the second Painlevé equation

本文通过引入对数项研究扩展Gross-Witten-Wadia酉矩阵模型，利用Deift-Zhou非线性最速下降法求解Riemann-Hilbert问题，建立了Toeplitz行列式的渐近近似，并与非齐次Painlevé II方程的解相联系。

从随机矩阵理论中的间隙概率到特征值展开

From gap probabilities in random matrix theory to eigenvalue expansions

给出了迹类积分算子$K:L^2(J;dλ)\circlearrowleft$作用在单个区间$J\subset\mathbb{R}$上的特征值渐近性的一种推导方法，该区间属于可积算子环\cite{IIKS} .我们的重点在于作为$|J|\rightarrow\infty$和$i$的$K$的光谱$\{λ_i(J)\}_{i=0}^{\infty}$的行为是固定的。我们发现，这种行为是密切相关的Fredholm行列式$\det(I-γK)|_{L^2(J)}$作为$|J|\rightarrow\infty$和$γ\uparrow 1$在斯托克斯型标度制度的分析。给出了随机矩阵理论中Airy核和Bessel核特征值的具体渐近公式。

大区间上的 Bessel 核行列式与 Birkhoff 遍历定理

The Bessel kernel determinant on large intervals and Birkhoff's ergodic theorem

本文研究 Bessel 过程在大区间上无点的概率渐近，利用 Birkhoff 遍历定理和丢番图性质简化涉及 Riemann θ 函数的积分，得到精确的大间隙渐近式。

q-变形的随机分割，行列式结构与黎曼-希尔伯特问题

$q$-deformation of random partitions, determinantal structure, and Riemann-Hilbert problem

本文研究q-变形的随机分割，通过q-变形的离散Bessel核推导相关函数的行列式公式，并从q-差Lax形式中推导出q-Painlevé方程。

起点和终点均为正的不相交平方Bessel路

Non-intersecting squared Bessel paths with one positive starting and ending point

考虑一类$n$非相交平方Bessel过程模型，其起点$a>0$在t=0，终点$b>0$在t=0，终点$t=T$ .在适当缩放之后，路径填充$tx$平面中的区域。根据乘积$ab$的值，该区域可能在0处到达硬边缘，也可能不在0处到达硬边缘。我们制定了一个向量平衡问题，该模型被定义为三个措施，上的第一和第三措施和第二措施的外部字段的限制。它示出的路径在时间$t$的极限平均分布是由第二个组件的向量，最大限度地减少这个向量平衡问题。证明是基于一个最速下降分析的$4 \times 4$矩阵值的黎曼-希尔伯特问题，其特征的相关核的路径在时间$t$。我们还讨论了相变的精确位置。

非Hermite随机矩阵理论中的间隙概率

Gap Probabilities in Non-Hermitian Random Matrix Theory

我们计算出一个围绕原点的半径为r的圆恰好包含k个复本征值的间隙概率。四个不同的合奏随机矩阵被认为是：Ginibre合奏和他们的手征复杂的同行，与复杂的（β =2）或四元数实（β =4）矩阵元素。对于一般的非高斯权重，我们给出一个Fredholm行列式或Pfidholm表示，分别取决于非厄米参数。在最大非厄米性下，即对于旋转不变权重，与厄米系综的已知关系相反，通过跳过每隔一个因子，从β =2得出β =4的Fredholm本征值的乘积。在另外选择高斯权重，我们给新的明确表达式的Fredholm本征值的手征的情况下，在贝塞尔-K和不完整的贝塞尔-I函数。这与已知的结果Ginibre合奏方面的不完全指数。此外，我们提出了一个渐近展开的对数的间隙概率为大参数r在大N在所有四个合奏，包括三阶线性项。我们可以提供严格的上限和下限，并提出了数值证据，其固定值，这取决于手征系综中的精确零本征值的数量。对于β =2的Ginibre系综，Forrester以前得出了精确的结果。

作为$τ$ -函数的Hermite随机矩阵系综双区间的间隙概率--谱奇异情形

Gap Probabilities for Double Intervals in Hermitian Random Matrix Ensembles as $τ$-Functions -- Spectrum Singularity case

从一个间隔$(-x,x)$对称的厄米特随机矩阵，其中的Fredholm内核是一种类型的贝塞尔内核参数$ a $（广义的正弦内核在批量缩放的情况下）的起源的特征值的排除概率被认为是。它表明，这个概率是一个$τ$函数的平方，在冈本的意义下，Painlevé系统\PIII。然后，这导致概率的因式分解为Painlevé系统\PIIIdash的两个$τ$ -函数的乘积。以前的研究已经给出了这种类型的公式，但涉及具有不同参数的\PIIIdash系统，从而意味着$τ$ -函数的乘积或等价的Hamilton和之间的同一性。

离散间隙概率和离散Painleve方程

Discrete gap probabilities and discrete Painleve equations

本文证明了det（1-K_s）形式的Fredholm行列式，其中K_s是离散Bessel核或离散{}_2F_1核对{s，s+1，.}的限制，可以分别通过离散Painleve II和V方程的解来表示。这些Fredholm行列式也可以被看作是根据泊松化Plancherel测度和z测度分布的随机划分的第一部分的分布函数，或者被看作是具有符号exp（η（u+1/u））和（1+u）^z（1+ η/u）^{z '}的归一化Toeplitz行列式。证明是基于一个一般的形式主义，涉及离散可积算子和离散Riemann-Hilbert问题。在math-ph/0111007中已经给出了该形式的连续版本。

不相交平方贝塞尔路：临界时间和双标度极限

Non-intersecting squared Bessel paths: critical time and double scaling limit

我们考虑了在合流情形下$n$非相交平方贝塞尔过程模型的双标度极限：所有路径在时间$t=0$开始于相同正值$x=a$，保持正值，并被限制为在时间$t=1$结束于$x=0$ .在适当的重新缩放之后，路径填充$tx$ -平面中的区域作为在关键时刻$t=t^{*}$与$x=0$处的硬边相交的$n\to \infty$。在以前的论文（arXiv：0712.1333）中，路径在时间$t\neq t^{*}$的位置的标度极限被证明是随机矩阵理论的通常标度极限。在这里，我们描述的限制为$n\to \infty$的相关内核在关键时刻$t^{*}$和双标度制度。我们推导出一个积分表示的极限核承担的Pearcey核的一些连接。分析的基础上的$3\times 3$矩阵值Riemann-Hilbert问题的Deift-Zhou最速下降法的研究。其主要内容是在原点处构造一个局部参数化方程，该局部参数化方程由一个特定的三阶线性微分方程的解导出，并与全局参数化方程相匹配。

乘积随机矩阵和Muttalib-Borodin系综在硬边的大间隙渐近性

Large gap asymptotics at the hard edge for product random matrices and Muttalib-Borodin ensembles

本文研究了一类正定Hermite随机矩阵的最小特征值的分布。它们的极限分布可以表示为与Meijer $G$-函数或Wright广义Bessel函数构建的核相关联的积分算子的Fredholm行列式。他们以自然的方式推广了硬边贝塞尔核Fredholm行列式。我们用$2\times 2$ Riemann-Hilbert问题来表示Fredholm行列式的对数导数，并利用这种表示来获得所谓的大间隙渐近性.

谱原点处特征多项式平均值的普适性态

Universal behavior for averages of characteristic polynomials at the origin of the spectrum

Strahov和Fyodorov已经证明，对应于酉系综的厄米矩阵的特征多项式的乘积和比的平均值涉及与正交多项式及其柯西变换相关的核。我们将证明，对于$n\times n$厄米矩阵的酉系综$\frac{1}{\hat Z_n}|\det M|^{2α}e^{-nV(M)}dM$，这些内核在谱的原点具有通用行为，如$n\to\infty$，根据贝塞尔函数。我们的方法是基于正交多项式的表征连同他们的柯西变换通过矩阵黎曼-希尔伯特问题，由于Fokas，其和Kitaev，并在Deift/周最速下降法矩阵黎曼-希尔伯特问题的应用程序，以获得黎曼-希尔伯特问题的渐近行为。

The boundary of the orbital beta process

The unitarily invariant probability measures on infinite Hermitian matrices have been classified by Pickrell, and by Olshanski and Vershik. This classification is equivalent to determining the boundary of a certain inhomogeneous Markov chain with given transition probabilities. This formulation of the problem makes sense for general $β$-ensembles when one takes as the transition probabilities the Dixon-Anderson conditional probability distribution. In this paper we determine the boundary of this Markov chain for any $β\in (0,\infty]$, also giving in this way a new proof of the classical $β=2$ …

Potential Vector Fields in $\mathbb R^4$ and New Generalizations of the Cauchy-Riemann System

This paper extends approach of recent author's paper devoted to special classes of exact solutions of the static Maxwell system in inhomogeneous isotropic media and new generalizations of the Cauchy-Riemann system in $\mathbb R^3$. Two families of generalizations of the Cauchy-Riemann system with variable coefficients in $\mathbb R^4$ are presented in the context of non-Euclidean geometry. Analytic models of a wide range of potential meridional vector fields in $\mathbb R^4$ are characterized using a family of Vekua type systems in cylindrical coordinates. The specifics of meridional fields al…

q-联络的模空间与间隙概率

Moduli spaces of q-connections and gap probabilities

我们的目标是表明，一个间隔间隙的q-Hahn正交多项式系综的概率可以表示通过非对称q-Painleve V方程的解决方案。我们考虑的q-哈恩系综的情况下是最一般的情况下，正交多项式系综已被研究。我们的方法是基于分析的q-连接的黎曼球面上的一个特殊的奇异结构。它要求重新推导A_{2} ^{（1）}型Sakai族的q-差分方程。我们还计算了它的拉克斯对。

涉及第二Painlevé超越的Fredholm行列式的渐近性

Asymptotics of a Fredholm determinant involving the second Painlevé transcendent

研究了可积Fredholm算子$K_{\textnormal{PII}}$作用在区间$(-s,s)$上的行列式$\det(I-K_{\textnormal{PII}})$，其核由第二类潘勒韦方程的Hastings-McLeod解所对应的$Ψ$ -函数构造.这个Fredholm行列式描述了随机厄米特矩阵的特征值间隙概率的临界行为，该厄米特矩阵是从酉包络中选择的，在极限平均特征值密度的二次零附近的大双标度极限中。利用Riemann-Hilbert方法，我们计算了$\det(I-K_{\textnormal{PII}})$的大$s$ -渐近性.

带点电荷的复与辛球系综的大间隙概率

Large gap probabilities of complex and symplectic spherical ensembles with point charges

本文研究带点电荷的复与辛诱导球系综，证明极点附近球冠内无特征值的概率具有精确到常数项的渐近展开，并显式确定所有系数，是二维点过程大间隙精确渐近的第二个例子。

Higher order large gap asymptotics at the hard edge for Muttalib--Borodin ensembles

We consider the limiting process that arises at the hard edge of Muttalib--Borodin ensembles. This point process depends on $θ> 0$ and has a kernel built out of Wright's generalized Bessel functions. In a recent paper, Claeys, Girotti and Stivigny have established first and second order asymptotics for large gap probabilities in these ensembles. These asymptotics take the form \begin{equation*} \mathbb{P}(\mbox{gap on } [0,s]) = C \exp \left( -a s^{2ρ} + b s^ρ + c \ln s \right) (1 + o(1)) \qquad \mbox{as }s \to + \infty, \end{equation*} where the constants $ρ$, $a$, and $b$ have been derived e…

Tracy-Widom distributions in critical unitary random matrix ensembles and the coupled Painlevé II system

We study Fredholm determinants of the Painlevé II and Painlevé XXXIV kernels. In certain critical unitary random matrix ensembles, these determinants describe special gap probabilities of eigenvalues. We obtain Tracy-Widom formulas for the Fredholm determinants, which are explicitly given in terms of integrals involving a family of distinguished solutions to the coupled Painlevé II system in dimension four. Moreover, the large gap asymptotics for these Fredholm determinants are derived, where the constant terms are given explicitly in terms of the Riemann zeta-function.

复射影几何中的全部量子概率

All Quantum Probability viewed in Complex Projective Geometry

本文通过复射影空间的几何性质直接描述量子概率，无需引用希尔伯特空间，为物理几何化计划奠定基础。

Hölder平衡概率流形上的测地线与动力学信息投影

Geodesics and dynamical information projections on the manifold of Hölder equilibrium probabilities

本文在Hölder平衡概率流形上研究两类几何问题：证明在Ruelle算子核具有类Fourier基时存在测地路径，并将KL散度最小化的信息投影问题推广到动力学不变概率集合，得到显式方程并探讨三角与Pythagorean不等式。