Level proximal subdifferential, variational convexity, and pointwise quadratic approximation
Chongqing Normal University（重庆师范大学）；University of British Columbia Okanagan（不列颠哥伦比亚大学奥肯那根分校）
本文研究了水平近似子微分的系统性质，通过局部强非扩张性或局部相对单调性刻画变分凸性，并用于分析近端梯度法的局部收敛性，同时探讨了水平近似子微分的存在性、单值性和积分性，量化了函数的点wise二次近似特性。
2026-04-21 math.OC
Every proximal mapping is a resolvent of level proximal subdifferential
本文提出了一个适当的下连续函数的水平邻近次微分。水平邻近次微分是著名的邻近次微分的统一改进，并且具有其预解式总是与函数的邻近映射一致的令人愉快的特性。证明了近似映射的Mordukhovich极限次微分的预解式表示只对次凸函数有效。我们还提供了水平邻近次微分的性质和大量的例子来说明我们的结果。
2023-03-04 math.OC
The Minimal Robust Core of Abstract Subdifferentials
本文引入度量依赖的核次微分，一种在可度量化拓扑向量空间上扩展实值函数的局部鲁棒仿射支撑构造，并证明其在完备空间和Banach空间上的极小性。
2026-06-03 math.OC
Quadratic Growth and Strong Metric Subregularity of the Subdifferential for a Class of Non-prox-regular Functions
本文主要研究了一个函数的次微分的二次增长性和强度量次正则性，该函数可以表示为一个广义二次可微函数与一个次微分连续、正则、二次epi-可微函数之和.对于这样一个函数，它不一定是正则的，它表明，二次增长，强度量次正则的次微分在局部极小，和正定的次梯度图导数在一个驻点是等价的。此外，还给出了次微分的二次增长性和强度量次正则性的其他刻画。此外，还研究了广义二次可微函数的性质。
2021-09-08 math.OC
The sum of a maximally monotone linear relation and the subdifferential of a proper lower semicontinuous convex function is maximally monotone
单调算子理论中最重要的公开问题是在Rockafellar的约束规格成立的条件下，两个极大单调算子之和的极大单调性.本文证明了$A+\partial f$的极大单调性，条件是$A$是极大单调线性关系，$f$是满足$\dom A\cap\inte\dom \partial f\neq\varnothing$的真下连续凸函数.此外，$A+\partial f$是（FPV）型。$A+\partial f$的最大单调性时，$\intdom A\cap\dom \partial f\neq\varnothing$如下从维罗纳和维罗纳的结果，本工作的补充。
2010-10-21 math.FA math.OC
New Duality Results for Evenly Convex Optimization Problems
我们提出了新的结果最优化问题所涉及的功能是均匀凸的。利用Rockafellar引入的扰动理论和广义共轭方法，对定义在分离局部凸拓扑空间上的一般优化问题提出了一个可供选择的对偶问题.给出了包含扰动函数偶凸性和$c$ -次微分的逆对偶和全对偶的充分条件。给出了一般最优化问题目标函数的$c$ -次微分和双共轭公式。我们还刻画了总的对偶性也通过鞍点理论的拉格朗日适应所考虑的框架的概念。
2019-04-23 math.OC
The quasi-convex Rockafellar theorem
Università di Firenze（佛罗伦萨大学）；Université Paris–Dauphine, Université PSL, CNRS & MOKAPLAN, Inria Paris（巴黎第九大学、巴黎文理研究大学、法国国家科学研究中心及法国国家数字科学与技术研究所巴黎）
该研究建立了拟凸情形下的Rockafellar定理，证明可分Banach空间中循环拟单调算子包含于拟凸函数的法锥算子，推广了Afriat定理并得到最优运输问题的Kantorovich型势函数。
2026-10-14 math.FA math.OC
Nonsmooth Steepest Descent Method by Proximal Subdifferentials in Hilbert Spaces
本文首先研究了定义在希尔伯特空间上的非光滑函数的非光滑最速下降方法，并利用邻近次梯度建立了相应的算法。然后，我们用这个算法来寻找那些满足正则性和利普希茨连续性的函数的驻点。作为一个应用，将所建立的算法用于有限维空间上的下连续凸函数的极小值的搜索。作为对已有的关于二次连续可微凸函数的收敛性结果的推广和改进，文中给出了收敛性定理。
2013-10-10 math.OC
Calculus rules for proximal ε-subdifferentials and inexact proximity operators for weakly convex functions
本文研究弱凸函数的不精确邻近算子，通过将弱凸性模纳入公式推导出邻近ε-次微分的加法规则，从而基于邻近ε-次微分深入分析该算子。
2024-04-23 cs.NA math.NA math.OC
Subregularity of subdifferential mappings relative to the critical set and KL property of exponent 1/2
对于一个适当的扩张实值函数，研究了它的次微分映射相对于临界集的次正则性与它的指数为1/2的KL性质之间的关系。当函数是lsc凸时，我们在临界集上连续的假设下建立了它们之间的等价性。然后，对于一致逼近正则函数，在其在局部极小值集上连续的条件下，证明了其在局部极小值集上指数为1/2的KL性质等价于其次微分相对于该集的次正则性.此外，对于这类非凸函数，在平稳值分离的假设下，证明了其次微分关于临界集的次正则性也蕴含了其指数$1/2$的KL性质.这些结果为这两类正则性提供了一个桥梁，并举例说明了它们的应用。
2019-09-29 math.OC
Metric subregularity of the convex subdifferential in Banach spaces
在[2]中，我们用二次增长条件刻划了作用在希尔伯特空间中的下连续凸函数的次微分的各种度量正则性。受文[16]中将强正则性的刻画推广到巴拿赫空间的结果的启发，我们将文[2]中度量次正则性和强次正则性的刻画推广到巴拿赫空间.我们还注意到，在这些特征中至少有一个含义仍然有效的极限次微分，而不假设凸的功能在Asplund空间。此外，我们显示了一些直接的影响的邻近点法的收敛性的特征，我们提供了一些度量次正则性和冷静性质的参数广义方程的解映射的特征。
2013-03-15 math.OC
A Unified Approach to Convex and Convexified Generalized Differentiation of Nonsmooth Functions and Set-Valued Mappings
60年代初，Moreau和Rockafellar为凸函数引入了一个称为\emph{subgradient}的概念，开创了凸分析理论和应用的发展。需要超越凸性动机的先驱作品克拉克考虑广义微分理论的Lipschitz连续函数。虽然Clarke广义微分理论适用于非凸函数，但凸性在Clarke次微分中仍然起着至关重要的作用。在70年代中期，Mordukhovich发展了另一个非凸函数和集值映射的广义微分理论，其中“凸脐带”不再存在。本文的主要目标是提出一个统一的方法，并揭示了新的光凸和克拉克广义微分理论使用的概念和技术从Mordukhovich的发展。
2013-08-04 math.OC
A Control Space Ensuring the Strong Convergence of Continuous Approximation for a Controlled Sweeping Process
本文针对带邻近正则集和端点约束的受控扫掠过程，构造完全位于集合内部的连续逼近以证明最优解存在并导出局部最优性条件，所得次微分严格小于Clarke和Mordukhovich次微分。
2023-01-01 math.OC
Bilateral facial reduction: qualification-free subdifferential calculus and exact duality
本文提出了一种无资格条件的双侧面部缩减方法，用于解决一般凸优化问题中的对偶性、最优性条件和子微分计算。
2026-02-10 math.FA math.OC
On second-order variational analysis of variational convexity of prox-regular functions
本文研究了prox-regular函数的变分凸性，去除了次微分连续性假设，通过修改广义导数定义使其与$f$-attentive收敛兼容，给出了二阶特征及精确界公式，并探讨了变分强凸性、倾斜稳定局部极小值与次梯度映射截断的强度量正则性之间的关系。
2025-02-03 math.OC
A Generalized Newton Method for Subgradient Systems
本文提出并发展了一种新的Newton型算法来求解由广义实值近似正则函数的次梯度定义的次微分包含。该算法是制定在这样的函数，享有广泛的微积分规则，可以有效地计算广泛的类扩展的实值函数的二阶次微分。在此基础上，利用次梯度映射的度量正则性和次正则性，建立了算法适定性和局部超线性收敛的可验证条件.所得到的结果也是新的一类方程定义的连续可微函数与Lipschitz梯度（${\cal C}^{1,1}$功能），这是我们考虑的基本情况。利用邻近映射和前后向包络，给出了求解邻近正则函数及其扩展到一类结构化复合函数的算法。除了众多的说明性的例子和比较与已知的算法为${\cal C}^{1,1}$功能和广义方程，本文提出了应用所提出的算法，正则化最小二乘问题中出现的统计，机器学习，和相关学科。
2022-09-14 math.OC
Bregman Proximal Mappings and Bregman-Moreau Envelopes under Relative Prox-Regularity
本文系统地研究了Poliquin和Rockafellar提出的相对正则性下非凸函数的Bregman邻近映射的局部单值性和Bregman-Moreau包络的局部光滑性.由于Bregman距离通常是不对称的，根据Bauschke等人，考虑Bregman邻近映射的两个变体是很自然的，根据自变量的顺序，这两个变体被称为左Bregman邻近映射和右Bregman邻近映射。我们首先考虑左Bregman近端映射。然后，通过平移的结果，我们得到类似的（和部分尖锐的）结果的权利Bregman近端映射。相对近正则函数的类显着扩展了最近考虑的相对亚凸函数类。特别地，相对凸正则性允许函数具有可能的非凸域。此外，作为一个主要来源的例子和类似的经典设置，我们引入相对顺从的功能，即凸复合函数，其中内部的非线性映射是组件明智的光滑适应，最近推出的扩展Lipschitz可微。通过举例的方式，我们应用我们的理论来局部解释联合交替Bregman最小化与邻近正则化作为Bregman邻近梯度算法，适用于一个光滑的自适应函数。
2020-01-31 math.OC
Local convergence of an inexact proximal algorithm for weakly convex functions
针对弱凸函数提出一种非精确近端点算法变体，利用Moreau envelope证明其局部收敛性并给出复杂度结果，提升了算法在优化场景中的通用性与适用性。
2023-08-03 math.OC
Computing proximal points of convex functions with inexact subgradients
定位邻近点是许多最小化算法的组成部分。本文主要研究在不精确的预言下，如何求出凸函数在某一点的逼近点。我们的方法假设精确的函数值在手边，但精确的子梯度要么不可用，要么没有用。我们使用近似次梯度来建立目标函数的模型，并证明了该方法在可接受的误差范围内收敛到真实的收敛点。在每个步骤$k$中使用的次梯度$g_k$是这样的，即从$g_k$到当前迭代点处的目标函数的真次微分的距离由某个固定的$\varepsilon>0.$限定。该算法包括应用于近似次梯度的新颖的倾斜校正步骤。
2016-11-02 math.OC
The resolvent average of monotone operators: dominant and recessive properties
在凸分析中，自从凸函数的近似平均在十多年前首次引入以来，已经发展出具有各种应用的丰富理论。当人们考虑的次微分的近端平均，一个自然的平均操作的次微分的平均函数出现。本文将这种平均运算推广到希尔伯特空间中的单调算子理论的框架中，将其转化为预解式平均。预解式平均数理论包含许多理想的性质。特别是，我们研究了一个详细的列表的单调算子的属性，并将它们分类为显性或隐性的预解平均。因此，我们恢复了近端平均理论的重要部分。此外，我们揭示了新的光的近端平均值，并提出了新的结果和理想的性能，近端平均值拥有这是以前没有的。
2015-05-11 math.FA math.OC
Finding a stationary point of a stochastic convex problem
Stanford University（斯坦福大学）
研究随机凸优化问题中寻找驻点，提出以目标函数次微分含小元素为更强概念，借助维度理论分解次微分图像，让随机采样保留其“片段”，实现类似近端点方法的有效应用。
2026-07-28 cs.LG math.OC stat.ML
Transferability of Error Bounds and the Kurdyka-Łojasiewicz Property under $C^1$ Partial Smoothness
The University of Hong Kong（香港大学）；University of Tokyo（东京大学）
研究可识别性和部分光滑性在优化中的作用，基于斜率公式证明\(\mathbb{R}^n\)与可识别流形\(\mathcal{M}\)上局部误差界性质在特定条件下等价，还给出几何分析及应用，恢复\(\ell_1\)正则化优化的EB等价性。
2026-09-29 math.OC
Kurdyka-Łojasiewicz Inequality and Error Bounds of D-Gap Functions for Nonsmooth and Nonmonotone Variational Inequality Problems
本文研究了一类非光滑非单调变分不等式问题的D-间隙函数。给出了D-间隙函数的次导数、正则次微分集和极限次微分集的精确公式。利用这些公式，我们给出了D-间隙函数具有Kurdyka-Kauojasiewicz不等式性质和误差界性质的一些充分和必要条件.作为我们的Kurdyka-Kazojasiewicz不等式结果和[Attouch，et al.，半代数和驯服问题的下降法的收敛性：近似算法、向前向后分裂和正则化高斯-赛德尔方法，数学程序，137（2013）91-129]，我们证明了由具有不精确线搜索的导数自由下降算法生成的序列线性地收敛到变分不等式问题的某个解。
2022-12-06 math.OC
Sensitivity analysis of variational inequalities via twice epi-differentiability and proto-differentiability of the proximity operator
本文研究Hilbert空间中参数化第二类非线性变分不等式的灵敏度分析。目前的工作的挑战是考虑到扰动的所有数据的问题。这就需要在所涉及的算子和函数的广义一阶和二阶微分的定义中进行特殊的调整。确切地说，我们扩展了R.T. Rockafellar，分别证明了参数化下半连续凸函数及其次微分的两次上可微性和两次原可微性。这两个概念之间的联系与Attouch定理和本文介绍的收敛支撑超平面的新概念有关。利用已有的工具，我们得到了参数化变分不等式的广义邻近算子的原导数的精确公式，并证明了相应解关于参数的可微性.此外，该导数是一个新的变分不等式的解决方案，涉及半和两次epi-derivatives的数据。给出了一个应用于涉及两个凸函数（其中一个是光滑的）之和的参数化凸优化问题。详细讨论了带不等式约束的光滑凸优化问题。这种方法在文献中似乎是新的，并在非线性最优化的理论和计算问题上打开了几个视角。
2018-02-25 math.OC
Parametrically prox-regular functions
Prox-regularity is a generalization of convexity that includes all C2, lower-C2, strongly amenable and primal-lower-nice functions. The study of prox- regular functions provides insight on a broad spectrum of important functions. Parametrically prox-regular (para-prox-regular) functions are a further extension of this family, produced by adding a parameter. Such functions have been shown to play a key role in understanding stability of minimizers in optimization problems . This document discusses para-prox- regular functions in Rn: we begin with some basic examples of para-prox- regular functi…
2019-09-15 math.FA math.OC
Variational Analysis of Kurdyka-Łojasiewicz Property, Exponent and Modulus
本文通过辅助函数的外极限次微分和次导数函数，完整刻画了KŁ性质与模，并应用于光滑函数等，建立了指数1/2的KŁ性质。
2023-09-02 math.OC
On the efficient computation of proximal operators of affine-constrained nonconvex functions
National University of Singapore（新加坡国立大学）；The University of Chicago（芝加哥大学）；Institute of Operations Research and Analytics, National University of Singapore（新加坡国立大学运筹与分析研究所）；Institute of Applied Mathematics, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院应用数学研究所）
本文提出了一种统一的对偶可表示框架，用于高效计算具有仿射约束的非凸函数的proximal算子，通过建立对偶问题和验证正则性条件，实现了快速收敛的优化方法。
2026-02-27 math.OC
On global properties of lower semicontinuous quadratically minorized functions
利用一类抽象凸性（$Φ_{lsc}$ -凸性）的框架，研究了希尔伯特空间中下连续二次极小化函数的性质.证明了一个新的结果，即对于每个局部$Φ_{lsc}$ -次梯度，存在一个整体次梯度，这在我们的研究中起着至关重要的作用。给出了局部$C^{1,1}$函数、二次连续可微函数、近似正则函数和仿凸函数的抽象次可微性（$Φ_{lsc}$ -次可微性）的条件.作为应用，我们建立了$Φ_{lsc}$ -凸函数的极大极小相等的一个新的充分必要条件.这个新条件用$Φ_{lsc}$ -次微分的热表示。
2020-04-10 math.OC
Nonsmooth Morse-Sard theorems
证明了每个函数$f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$满足：函数$f$具有$n-1$阶泰勒展开式和$n$阶非空次微分的临界点集的象是Lebesgue-零集.作为我们证明的副产品，对于邻近次微分$\partial_{P}$，我们看到对于每个下连续函数$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$，集合$f(\{x\in\mathbb{R}^2 : 0\in\partial_{P}f(x)\})$是$\mathcal{L}^{1}$ -null。
2017-05-16 math.CA math.DG math.OC
A Perturbation Framework for Convex Minimization and Monotone Inclusion Problems with Nonlinear Compositions
本文提出基于Rockafellar扰动理论的框架，用于求解带非线性复合的凸最小化与单调包含问题，在Hilbert空间导出首个完全分裂的块迭代原始-对偶近端算法。
2023-06-22 math.OC
Variational Gram Functions: Convex Analysis and Optimization
University of Washington（华盛顿大学）；Microsoft Research（微软研究院）
我们提出了一类新的凸罚函数，称为\emph{variational Gram functions}（VGF），它可以促进向量空间中一组向量之间的成对关系，如正交性。这些函数可以作为正则化的凸优化问题所产生的分层分类，多任务学习，估计向量与不相交的支持，以及其他应用。研究了VGF的凸性，给出了VGF的凸共轭、次微分和邻近算子的有效刻画。我们讨论有效的优化算法正则化损失最小化问题的损失承认一个共同的，但简单的，变分表示和正则化是一个VGF。这些算法享有一个简单的核技巧，一个有效的线搜索，以及计算上的优势，一阶方法的基础上的次微分或邻近的地图。我们还建立了这类学习问题的一般表示定理。最后，一个层次分类问题的数值实验，以证明VGF和相关的优化算法的有效性。
2017-04-12 cs.LG math.OC stat.ML
A Proximal Method for Composite Optimization with Smooth and Convex Components
University of Washington（华盛顿大学）
本文提出了一种近端方法用于复合优化问题，通过强凸度量和隐式信任区域策略实现高效收敛。
2025-12-22 math.OC
Symbolic computation with monotone operators
我们考虑一类适合于计算机代数系统中的符号表示和操作的单调算子。类的各种结构属性（例如，封闭下取逆，预解式）进行了研究，以及类内的最大单调性所发挥的作用。特别是，我们表明，有一个自然的对应关系，我们的类的单调算子和凸函数的次微分属于一类的凸函数被认为适合于符号计算的Fenchel共轭，以前研究的Bauschke和冯Moenschildt和Borwein和Hamilton。提供了利用所引入的一类算子的一些说明性示例，包括邻近算子的计算、与硬阈值算子相关联的凸罚函数的恢复以及超期望、超分布和超分位数的计算，其中超期望、超分布和超分位数具有针对风险度量的专门化。
2017-03-17 math.OC
Variational Theory and Algorithms for a Class of Asymptotically Approachable Nonconvex Problems
本文针对内层函数可能非局部Lipschitz连续的复合非凸优化问题，提出保证epi-收敛的渐近分解方法，建立必要最优性条件并设计相应数值算法，扩展了amenable函数与prox-linear方法的理论框架。
2024-11-20 math.OC
Error bounds, PL condition, and quadratic growth for weakly convex functions, and linear convergences of proximal point methods
University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
本文研究了弱凸函数中误差界、PL条件和二次增长等正则条件之间的关系，并证明了近点法在凸和弱凸优化问题中的线性收敛性。
2026-02-03 cs.SY eess.SY math.OC
Upper and lower bounds of the value function for optimal control in the Wasserstein space
本文在Wasserstein空间中利用非光滑分析，通过$\u0003varepsilon$-次微分和超微分将值函数刻画为Bellman方程的严格粘性解，并证明连续次解和超解给出值函数的上下界，上界估计还提供了近似最优反馈策略。
2025-04-25 math.AP math.OC math.PR
On a fixed-point continuation method for a convex optimization problem
本文提出一种用于求解两项凸代价函数最小化的不动点连续方法，可一次性逼近惩罚参数全范围的权衡曲线，并证明其收敛性、收敛速率及其与 ε-次微分迭代算法的联系。
2022-12-23 cs.NA math.NA math.OC
A $\mathcal{VU}$-calculus for composite functions and the $\mathcal{U}$-Hessian of partly smooth functions
School of Mathematics and Statistics, Nanfang College（南方学院数学与统计学院）
本文为外凸复合非光滑函数建立有限维$\mathcal{VU}$-演算，推导$\mathcal{U}$-Hessian与倾斜稳定性及强度量正则性的等价条件，并在铰链复合上验证。
2026-09-17 math.OC
Regularized extragradient method for structured bilevel optimization in continuous and discrete time
University of Vienna（维也纳大学）
本文针对实希尔伯特空间中的结构化双层优化问题，提出正则化外梯度算法，在合适几何条件下证明了内外残差的最后迭代收敛速率及迭代序列的弱收敛性。
2026-09-28 math.OC
