On a necessary aspect for the Riesz basis property for indefinite Sturm-Liouville problems
1996年，H. Alummer观察到不等式\[(\int_{-1}^1\frac{1}{|r|}|f'|dx)^2 \le K^2 \int_{-1}^1|f|^2dx\int_{-1}^1\Big|\Big(\frac{1}{r}f'\Big)'\Big|^2dx \]对于$[-1,1]$上的某类函数$f$满足某个正常数$K>0$，如果问题\[ -y"=λ\, r(x)y,\quad y(-1)=y(1)=0 \]的特征函数形成希尔伯特空间$L^2_{|r|}(-1,1)$的Riesz基。这里，假设权重$r\in L^1(-1,1)$满足$xr(x)>0$ a.e.在$[-1,1]$上。我们提出了两个标准的Weyl-Titchmarsh $m$ -函数的Weyl-Titchmarsh不等式是有效的。利用这些结果，我们证明了这个不等式是有效的，如果与谱问题相关联的操作符满足线性预解式增长条件。特别地，我们证明了当$r$为奇数时，特征函数的Riesz基性质等价于线性预解式的增长.
2012-02-11 math.CA math.SP
Accumulation of complex eigenvalues of an indefinite Sturm--Liouville operator with a shifted Coulomb potential
对于一类长程势$V$，我们证明了不定Sturm-Liouville算子$A = \mathrm{sign}(x)(-Δ+ V(x))$的特征值沿复平面中的特定曲线渐近地累积到零.此外，我们将复特征值的渐近性与相关自伴算子特征值的两项渐近性联系起来。
2015-09-18 math.SP
A functional model, eigenvalues, and finite singular critical points for indefinite Sturm-Liouville operators
在权函数具有一个转向点的假设下，研究了加权Sturm-Liouville算子的本质谱的特征值.一个抽象的方法来解决这个问题，通过一个功能模型的不定Sturm-Liouville算子。得到了特征值的代数重数。此外，考虑了具有有限个奇异临界点的算子。
2009-06-19 math.SP
On calculation of eigenvalues of Sturm-Liouville problem with indefinite weight having self-similar primitive
描述了计算问题$-y''-λρy=0$，$y(0)=y(1)=0$的特征值的方法，其中$ρ$是具有自相似基元$P\in L_2[0,1]$的分布。
2006-10-21 math.FA math.SP
Perturbation and spectral theory for singular indefinite Sturm-Liouville operators
本文研究了权函数在奇异端点附近变号的奇异不定 Sturm-Liouville 算子，分析了其本质谱及离散特征值的聚集性质，并探讨了不定权扰动与周期算子的 $L^1$ 扰动。
2023-08-01 math.CA math.FA math.SP
Spectral bounds for singular indefinite Sturm-Liouville operators with $L^1$--potentials
具有实势$q\in L^1(\mathbb R)$的奇异不定Sturm-Liouville算子$$A=\text{\rm sgn}(\cdot)\bigl(-\tfrac{d^2}{dx^2}+q\bigr)$$的谱覆盖了整条实直线，另外，如果势$q$取负值，则可能出现非实本征值.非实特征值的定量分析是一个具有挑战性的问题，到目前为止，只有部分结果在这个方向上得到。本文得到了$A$的非实特征值$λ$的绝对值的界$$|λ|\leq |q|_{L^1}^2$$.此外，这些特征值的虚部和绝对值上的单独的界限被证明在$q$的负部分的$L^1$ -范数。
2017-12-18 math.SP
Indefinite Sturm-Liouville operators $ (\sgn x) (- \frac{d^2}{dx^2} +q(x))$ with finite-zone potentials
研究了不定Sturm-Liouville算子$A = (\sgn x)(-d^2/dx^2+q(x))$.证明了$A$与自伴算子的相似性等价于Cauchy积分的积分估计.给出了Weyl函数的相似条件。对于有限区势的算子，考虑了分别对应于基本谱和离散谱的$A$的分量$\Aess$和$\Adisc$。对于具有有限区势$q$的Sturm-Liouville算子$-d^2/dx^2+q(x)$，利用Weyl函数给出了$\Aess$与自伴算子相似的一个判据.描述了算子$\Adisc$的Jordan结构。我们给出了一个算子$A = (\sgn x)(-d^2/dx^2+q(x))$的例子，使得$A$是不可定义的，并且$A$类似于正规算子。
2006-10-13 math.SP
Indefinite Sturm-Liouville operators with the singular critical point zero
给出了不定Sturm-Liouville算子与自伴算子相似的一个新的必要条件.这个条件用Weyl-Titchmarsh $m$ -函数表示。得到了$J$ -非负Sturm-Liouville算子的临界点0和$\infty$正则的必要条件.利用这个结果，我们构造了几个具有奇异临界点零点的算子的例子。特别地，证明了0是作用于Hilbert空间$L^2(\R, (3|x|+1)^{-4/3}dx)$的算子$-\frac{(\sgn x)}{(3|x|+1)^{-4/3}} \frac{d^2}{dx^2}$的奇异临界点，因此该算子不类似于自伴算子.我们还构造了一个具有相同性质的$(\sgn x)(-d^2/dx^2+q(x))$型J-非负Sturm-Liouville算子.
2006-12-06 math.FA math.SP
Indefinite Sturm-Liouville operators with periodic coefficients
本文研究了与具有实值周期系数$w$、$p$和$q$的微分表达式$\frac 1 w(-\frac d {dx}(p\frac d {dx}) + q)$相关的极大算子$A$的谱性质，其中$w$改变符号.证明了$A$的非实谱是有界的、关于实轴对称的、由有限条解析曲线组成。真实的光谱是带状的，从上到下都没有边界。我们刻画了$A$的有限谱奇异性，并证明了它们的个数是有限的。最后，我们提供了一个条件的系数，确保$\infty$是不是一个频谱奇异的$A$。
2012-04-27 math.SP
On the Riesz Basis Property of the Eigen- and Associated Functions of Periodic and Antiperiodic Sturm-Liouville Problems
本文研究了Sturm-Liouville算子$$ Ly=-y^{\prime\prime}+q(x)y,\qquad x\in\lbrack0,1], $$在空间$L_{2}=L_{2}[0,1]$中通过周期或反周期边界条件生成的问题。证明了$L$算子根函数的Riesz基性质的几个定理。主要结果之一如下。\textsl{Let $q$ belong to Sobolev space $W_{1}^{p}[0,1]$ with some integer $p\geq0$ and satisfy the conditions $q^{(k)}(0)=q^{(k)}(1)=0$ for $0\leq k\leq s-1$, where s} $\leq p.$ \textsl {令函数$Q$和$S$由等式$Q(x)=\int_{0}^{x}q(t) dt, S(x)=Q^{2}(x)$定义，并且令$q_{n}%, Q_{n},S_{n}$是$q,Q,S$关于三角系统$\{e^{2πinx}\}_{-\infty}^{\infty}$的傅立叶系数。假设序列$q_{2n}-S_{2n}+2Q_{0}Q_{2n}$的减小速度不快于幂$n^{-s-2}$。然后由周期边界条件生成的算子$L$的本征函数和相关函数的系统在空间$L_{2}[0,1]$中形成Riesz基（假设本征函数被归一化）当且仅当条…
2008-11-14 math.SP
The similarity problem for indefinite Sturm-Liouville operators and the HELP inequality
我们研究两个问题。第一个问题是不定Sturm-Liouville算子\[ A=-(\sgn\, x)\frac{d}{wdx}\frac{d}{rdx} \]作用于$L^2_{w}(-b,b)$的相似性问题。假设$w,r\in L^1_{\loc}(-b,b)$是偶数和正a.e.在$(-b,b)$上。第二个目标是所谓的HELP不等式\[(\int_{0}^b\frac{1}{\tilde{r}}|f'|\, dx)^2 \le K^2 \int_{0}^b|f|^2\tilde{w}\,dx\int_{0}^b\Big|\frac{1}{\tilde{w}}\big(\frac{1}{\tilde{r}}f'\big)'\Big|^2\tilde{w}\, dx, \]，其中系数$\tilde{w},\tilde{r}\in L^1_{\loc}[0,b)$为正a.e.在$(0,b)$上当相应的Sturm-Liouville微分表达式是正则的时，这两个问题都可以很好地理解。本文的主要目的是给出HELP不等式的有效性和在奇异情况下与自伴算子的相似性的判据。也就是说，我们建立了新的标准制定在相应的Weyl-Titchmarsh $m$ -功能在0和$\infty$的行为。作为一个双产品的这一结果，我们表明，这两个问题是密切相关的。也就是说，如果HELP不等式与$\tilde{w}=r$…
2012-07-11 math.AP math.CA math.SP
On the Basis Property of the Root Functions of Sturm-Liouville Operators with General Regular Boundary Conditions
得到了Sturm-Liouville算子在一般正则边界条件下本征值和本征函数的渐近公式。利用这些公式，我们找到了关于势q的充分条件，使得这些算子的根函数不形成Riesz基。
2013-06-06 math.SP
On the Basis Property of the Root Functions of Some Class of Non-self-adjoint Sturm--Liouville Operators
得到了Sturm-Liouville算子在某些正则边界条件下本征值和本征函数的渐近公式。利用这些公式，我们找到了关于势q的充分条件，使得这些算子的根函数不形成Riesz基。
2013-01-29 math.SP
On the Riesz Basisness of Systems Composed of Root Functions of Periodic Boundary Value Problems
本文研究了非自伴Sturm-Liouville算子的周期边界条件和反周期边界条件。我们根据q的傅里叶系数得到了这类算子的根函数系成为Riesz基的充要条件。
2014-07-01 math.SP
On the Nonself-adjoint Sturm-Liouville Operator with Matrix Potential
本文给出了具有可和系数和拟周期边界条件的Sturm-Liouville方程组生成的非自伴随算子的本征值和本征函数的渐近公式。然后利用这些渐近公式，我们找到了该算子的根函数形成Riesz基的势的条件。
2005-08-15 math.SP
Indefinite Sturm-Liouville operators in polar form
本文研究含变号权的极坐标形式 Sturm-Liouville 算子，通过 Krein 空间中耦合对称算子的临界点正则性，给出广义特征函数构成 Riesz 基及相似于 Hilbert 空间自伴算子的系数条件。
2023-08-14 math.SP
On the Non-Self-adjoint Sturm-Liouville Operators in the Space of Vector-Functions
本文给出了具有m × m矩阵势的Sturm-Liouville方程在向量函数空间中生成的非自伴算子的本征值和本征函数的渐近公式，其标量情形（m=1）是强正则的.利用这些渐近公式，我们找到了一个条件的潜力，该运营商的根函数形成一个Riesz基。
2013-06-06 math.SP
A partial inverse problem for the Sturm-Liouville operator on a star-shaped graph
研究了星形图上的Sturm-Liouville算子。我们假设的潜力是已知的先验的所有边缘，除了一个，并研究部分逆问题，其中包括在恢复的潜力，其余的边缘从频谱的一部分。基于向量函数列的Riesz基性，提出了一种构造性的方法来解决这一问题。证明了反问题的局部可解性和解的稳定性。
2017-01-01 math.SP
Uniconvergence theorems for Sturm--Liouville operators with potentials from Sobolev space $W_2^{-1}[0,π]$
本文考虑Sturm-Liouville $Ly=-y''+q(x)y$在空间$L_2[0,π]$中的情形，其中$L_2[0,π]$具有来自索伯列夫空间$W_2^{-1}[0,π]$的位势.此外，我们假设，$q=u'$，其中$u\in L_2[0,π]$ .我们考虑Direchlet边界条件$y(0)=y(π)=0$，虽然我们可以处理Sturm型的边界条件。已知这类算子有一个只含聚点$+\infty$的离散算子，本征函数和伴随函数的系统$\{y_k\}_1^\infty$是$L_2[0,π]$中的Riesz基.此外，该基是基$\{sin(kx)\}_1^\infty$的希尔伯特-施密特扰动。本文证明了唯一收敛定理：对于任何元素$f\in L_2[0,π]$，序列$P_nf-S_nf\to0$为$C[0,π]$中的$n\to\infty$（这里$P_n$和$S_n$分别是$\{y_k\}_1^n$和$\{\sin(kt)\}_1^n$的Riesz投影仪）。
2008-06-18 math.FA math.SP
Local solvability and stability of inverse problems for Sturm-Liouville operators with a discontinuity
研究了具有间断的Sturm-Liouville算子的部分反问题。本文的主要结果是所考虑的反问题的局部可解性和稳定性。我们的方法是基于一个建设性的算法来解决反问题。在我们的方法中的关键作用是由一个特殊的向量泛函系统在希尔伯特空间的Riesz基性质。此外，我们得到了一个新的唯一性定理恢复的潜力的一部分，通过使用的分数部分的频谱。
2019-06-15 math.SP
A 2-edge partial inverse problem for the Sturm-Liouville operators with singular potentials on a star-shaped graph
研究了星形图上具有$W_2^{-1}$类位势的Sturm-Liouville算子的边值问题.我们假设的潜力是已知的所有边缘的图，除了两个，并表明，其余边缘上的潜力可以构造两个光谱的分数部分。证明了一个唯一性定理，并给出了部分反问题构造性解的算法。证明的主要成分是特殊构造的函数系统的Riesz基性质。
2017-02-27 math.SP
Inverse Indefinite Spectral Problem for Second Order Differential Operator with Complex Periodoc Coefficients
研究了具有复周期位势和轴上间断系数的Sturm-Liouville算子的反问题。研究了该算子的基本解的主要特征，研究了该算子的谱.我们给出了反问题的公式，证明了一个唯一性定理，并提供了一个建设性的反问题的解决方案。
2008-04-07 math.AP math.SP
Bounds on the non-real spectrum of differential operators with indefinite weights
具有不定权函数的常微分算子和偏微分算子可以看作Krein空间中非负算子的有界扰动。在0和$\infty$不是未扰动算子的奇异临界点的假设下，证明了有界可加扰动导致一个算子的非实谱包含在紧集中，而在紧集中有定型实谱.主要结果是该集合的定量估计，并应用于无界域上的Sturm-Liouville和二阶椭圆型不定权偏微分算子.
2012-04-05 math.SP
Partial Inverse Spectral Problems for Sturm-Liouville Operators with Frozen Arguments on a Star-Shaped Graph
本文研究星形图上具有冻结参数的 Sturm-Liouville 算子的部分逆谱问题，提出了一种基于向量函数系统 Riesz 基性质的构造性算法，利用部分谱数据重构单条边上的未知势函数。
2025-06-25 math.SP
An inverse problem for Sturm-Liouville operators on trees with partial information given on the potentials
我们考虑了几何图上的Sturm-Liouville算子，它不含圈（树），具有$W_2^{-1}$类的奇异势.我们假设的潜力是已知的一部分的图，并研究所谓的部分逆问题，其中包括在恢复的潜力的其余部分的图从一些部分的几个光谱。本文的主要结果是部分反问题解的唯一性定理和构造性步骤。我们的方法是基于完备性和Riesz基性质的特殊系统的向量函数，和减少的部分反问题的一部分图上的完整的。
2017-11-15 math.SP
Hamiltonian systems and Sturm-Liouville equations: Darboux transformation and applications
我们介绍了GBDT形式的达布变换的辛和哈密顿系统以及Shin-Zettl系统和Sturm-Liouville方程。这是关于一般型哈密顿量和Shin-Zettl系统的达布变换的第一个结果。所得结果可应用于Weyl-Titchmarsh函数的相应变换，并可应用于动力辛系统、双向扩散方程和不定Sturm-Liouville方程的显式解的构造.动力系统的显式解的能量用GBDT的参数矩阵表示（以一种非常简单的形式）。
2016-08-08 math-ph math.CA math.DS
Eigenvalue estimates for singular left-definite Sturm-Liouville operators
研究了奇异左定Sturm-Liouville算子$JA$的谱性质，并通过用其绝对值代替不定权函数得到相应的右定自伴算子$A$的谱性质来描述. $J$ -自伴算子$JA$的谱是实数，并且由此得出区间$(a,b)\subset\mathbb R^+$是$A$的本质谱中的间隙当且仅当区间$(-b,-a)$和$(a,b)$都是$J$ -自伴算子$JA$的本质谱中的间隙。作为主要结果之一，证明了在$(-b,-a) \cup (a,b)$中$JA$的本征值的个数最多相差间隙$(a,b)$中$A$的本征值的个数的3;作为副产品，得到了奇异左定Sturm-Liouville算子的本征值的累加结果.此外，还讨论了具有对称和周期系数的左定问题，并举例说明了一般结果。
2011-06-20 math.CA math.FA math.SP
The similarity problem for $J$-nonnegative Sturm-Liouville operators
得到了权值为不定的算子$A := 1/r(x) (-d^2/dx^2 +q(x))$与权值为不定的算子$r(x)=(\sgn x)|r(x)|$相似的充分条件.这些条件是根据Titchmarsh-Weyl $m$系数来制定的。得到了$J$ -非负Sturm-Liouville算子临界点0和$\infty$正则的充分条件.利用这一结果证明了各类Sturm-Liouville算子0的正则性。这意味着所考虑的自伴算子的相似性。特别地，在$r(x)=\sgn x$和$q\in L^1(R, (1+|x|)dx)$的情况下，我们证明了$A$类似于自伴算子当且仅当$A$是$J$ -非负的。$q$上的后一个条件是尖锐的，即，我们构造$q\in \cap_{γ<1} L^1(R, (1+|x|)^γdx)$使得$A$是$J$ -非负的，奇异临界点为0。因此，$A$不类似于自伴算子。对于周期和无限区的潜力，我们表明，$J$ -积极性是足够的$A$自伴算子的相似性。在$q\equiv 0$的情况下，我们证明了广泛的一类权重$r$的临界点0的正则性。这产生了新的结果，“向前向后”扩散方程。
2008-03-20 math.CA math.SP
Equiconvergence theorems for Sturm--Liouville operators with distribution potentials^ the rate of equiconvergence
本文考虑一类Sturm-Liouville算子$Ly=-y''+qy$在具有Dirichlet边界条件的$L_2[0,π]$中的情形.我们假定，势$q$是复值的，属于Sobolev空间$W_2^θ[0,π]$，$θ\in(-1,-1/2$ .在Savchuk A.M.和Shkalikov A.A.的论文中成功地定义了这种算子。证明了这类算子具有离散谱，记为$\{λ_n\}$和$\limλ_n=+\infty$。除此之外，大多数都很简单。本征函数形成$L_2[0,π]$中的Riesz基。研究了该系统和三角系统$\{\sin(nt)\}_1^\infty$的级数的$[0,π]$等敛性的一致性.不仅得到了等收敛的一个定理，而且给出了等收敛率的估计。
2008-03-21 math.FA math.SP
Uniform stability for the Hochstadt-Lieberman problem
本文证明了Hochstadt-Lieberman问题的均匀稳定性，通过将半逆问题简化为完全问题，并利用Sturm-Liouville正逆问题的均匀稳定性、正弦型函数恢复及Riesz基的一致有界性来实现。
2024-10-14 math.SP
