On the complexity of Boolean matrix ranks
Yaroslav Shitov
我们构造了一个约简，证明了布尔矩阵的愚弄集数和行列式秩是NP-难计算的。
We construct a reduction which proves that the fooling set number and the determinantal rank of a Boolean matrix are NP-hard to compute.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The Augmentation Property of Binary Matrices for the Binary and Boolean Rank
我们定义了二元矩阵关于不同秩函数的增广性质。矩阵$A$对于给定的秩函数具有增广性质，如果对于列向量$x_1,...,x_t$的任何子集，当分别用每个向量$x_i$、$1\leq i \leq t$增广时，$A$的秩不增加，则还认为当同时用所有向量$x_1,...,x_t$增广$A$时，秩不增加。这个性质对于实数上通常的线性秩来说是微不足道的，但是正如我们所展示的，当考虑矩阵的二进制和布尔秩时，情况发生了显著的变化。我们证明了一个必要和充分条件下的二元和布尔秩的二元矩阵的这一性质成立。也就是说，一个矩阵对于这些秩函数具有增广性质，当且仅当它具有一个唯一的基，该基关于给定的秩函数跨越矩阵的所有其他基。对于二进制秩，我们还提出了一个具体的特征的家庭矩阵的增广性质。这种表征是基于$V$的行之间的线性依赖关系的可能类型，在矩阵的最佳二进制分解为$A=U\cdot V$。此外，我们使用增广属性来构造简单的矩阵族，对于这些矩阵族，它们的实数秩和二进制秩之间以及它们的实数秩和布尔秩之间存在差距。
DNF complexity of complete boolean functions
在本文中，我们分析了布尔函数的复杂性采取的值为0的一个足够小的点。对于许多函数，这导致分析单个函数仅在从1到d的数字的无符号表示上达到0。在这里，我们得到了一个严格的界限上的DNF复杂性的完全功能的文字和合取的数量。该方法是基于一定的有效近似的超立方体覆盖问题的DNF复杂性的一个给定的布尔函数。
Average case complexity of DNFs and Shannon semi-effect for narrow subclasses of boolean functions
在本文中，我们建立了布尔函数的析取范式的复杂性的一些界限，从狭窄的子类（例如，函数在有限数量的点取值为0）。通过将初始问题转化为一个简单的集合覆盖问题，得到了该问题的界。所提供的复杂性界限的性质与这类的香农效应和半效应紧密相关。
Query complexity of Boolean functions on slices
研究了超立方体切片上布尔函数的确定性查询复杂度。超立方体$\{0,1\}^n$的$k^{th}$片$\binom{[n]}{k}$是具有汉明权重$k$的所有$n$位串的集合。我们发现，存在一个功能的平衡片$\binom{[n]}{n/2}$需要$n - O(\log \log n)$查询。我们给出了一个明确的功能平衡片需要$n - O(\log n)$查询的基础上独立集的约翰逊图。在权-2切片上，我们证明了硬函数与Ramsey图密切相关。此外，我们描述了一个简单的方法转换功能的超立方体上的功能平衡切片，同时保持几个复杂的措施。
A bound on the scrambling index of a primitive matrix using Boolean rank
$n\times n$本原矩阵$A$的加扰索引是使得$A^k(A^{t})^k=J$的最小正整数$k$，其中$A^t$表示$A$的转置，$J$表示$n\times n$全1矩阵。对于$m\times n$布尔矩阵$M$，其{ \it布尔秩} $b(M)$是最小正整数$b$，使得对于某些$m \times b$布尔矩阵$A$和$b\times n$布尔矩阵$B$，$M=AB$。本文给出了$n\times n$本原矩阵$b(M)$的置乱指数的一个上界。此外，我们还刻画了所有达到上界的本原矩阵。
Query complexity of Boolean functions on the middle slice of the cube
本文研究布尔函数在中间层切片上的查询复杂度，证明存在一个函数即使已知输入中0和1数量相同，仍需查询除7位外的所有输入位，回答了Byramji的问题，并给出候选函数及与差异类型问题的联系。
A Study of the Binary and Boolean Rank of Matrices with Small Constant Real Rank
本文研究了在实数域上具有小常数秩的0,1矩阵的二进制秩与布尔秩，证明了当实秩d为小常数时实秩与这两种秩的差距为小常数，并给出了1≤d≤4时的紧致上下界及最大隔离集大小。
The Complexity of Weighted Boolean #CSP
本文给出了加权布尔约束满足问题实例的配分函数计算复杂性的一个二分法。该问题由非负函数的有限集合F参数化，该非负函数可以用于将权重分配给问题实例的配置（可行解）。经典的约束满足问题对应于0，1值函数的特殊情况。我们证明了配分函数，即所有配置的权重之和，可以在多项式时间内计算，如果（1）F中的每个函数都是"乘积型“，或（2）F中的每个函数都是"纯仿射”。对于每一个其他的固定集合F，计算配分函数是FP^{#P}-完全的。
Parking functions, Fubini rankings, and Boolean intervals in the weak order of $\mathfrak{S}_n$
本文通过单位Fubini排名与停车函数的联系，完整刻画并枚举了对称群弱序中的布尔区间总数及秩为k的区间数，并证明以任意元素为最小元素的布尔区间数为斐波那契数乘积。
Boolean Rank via Monomial Ideals
本文从交换代数视角，利用组合定义理想的Castelnuovo-Mumford正则性，为布尔矩阵秩建立了新的下界，从而推进了布尔矩阵分解问题的理论研究。
Upper Bounds on the Boolean Rank of Kronecker Products
一个$0,1$矩阵$A$的布尔秩，表示为$R_\mathbb{B}(A)$，是覆盖$A$的$1$ -条目所需的单色组合矩形的最小数目.在1988年，de Caen、Gregory和Pullman提出了一个问题，即Kronecker积$C_n \otimes C_n$的布尔秩是否严格小于$R_\mathbb{B}(C_n)$的平方，其中$C_n$是对角线上为0，其他地方为1的$n \times n$矩阵（Carib. Conf. Comb.& Comp.，1988年）。Watts对$n=4$（线性Alg.及其应用，2001年）。Karchmer、Kushilevitz和Nisan的由非确定性通信复杂性中的直和问题激发的结果暗示$C_n \otimes C_n$的布尔秩在$C_n$的布尔秩中线性增长（SIAM J. Disc.数学、1995），因此对于每个足够大的$n$，都有$R_\mathbb{B}(C_n \otimes C_n) < R_\mathbb{B}(C_n)^2$。他们的证明依赖于概率论。本文给出了一个证明$0,1$ -矩阵的Kronecker积的布尔秩上界的一般方法。我们使用它来肯定地解决de Caen等人的问题。对于所有整数$n \geq 7$。我们进一步提供了一个明确的覆盖$C_n \otimes C_n$，其矩形的数量几乎匹配的最佳渐近界的建设。我们的方法证明上…
The Log-Rank Conjecture: New Equivalent Formulations
本文提出带符号矩形秩作为对数秩猜想的新等价表述，并证明其与秩在准多项式范围内等价，同时将其扩展到张量，并与Lovett和Singer-Sudan的猜想建立等价关系。
On the Binary and Boolean Rank of Regular Matrices
如果一个$0,1$矩阵的所有行和列都有相同数目的1，则称该矩阵是正则矩阵。证明了对于无穷多个整数$k$，存在一个二进制秩的正则平方$0,1$矩阵$k$，使得其补矩阵的布尔秩为$k^{\widetildeΩ(\log k)}$.等价地，矩阵中的1可以被划分成$k$组合矩形，而覆盖其0所需的矩形的数量是$k^{\widetildeΩ(\log k)}$。这以强有力的形式解决了Pullman（线性代数应用，1988）和Hefner，Henson，Lundgren和Maybee（Congr.Numer.，1990年）。这个结果可以被看作是Balodis、Ben-David、Göös、Jain和Kothari（FOCS，2021）最近的一个结果的常规模拟，其动机是通信复杂性中的团与独立集问题以及图论中的（被否定的）Alon-Saks-Seymour猜想。作为所产生的正则矩阵的一个应用，我们得到了Alon-Saks-Seymour猜想的正则反例，并证明了对于无穷多个整数$k$，存在一个正则图，其双圈划分数为$k$，色数为$k^{\widetildeΩ(\log k)}$.
State complexity of catenation combined with a boolean operation: a unified approach
本文研究了结合对称差分的连接的状态复杂性。首先，使用一些组合工具计算上界。然后，这个界限是紧的，给出了它的一个witness.此外，我们将这项工作与其他两个组合的状态复杂性的研究：连接与并集和连接与交集。我们提取一个统一的方法，允许获得任何组合的状态复杂性，涉及连锁和一个二元布尔运算。
Relationships between the number of inputs and other complexity measures of Boolean functions
我们推广和扩展的想法在最近的一份文件中的Chiarelli，哈塔米和萨克斯证明新的界限的数量有关的变量的布尔函数的各种复杂性措施。我们的方法统一和细化所有以前已知的这种类型的界限。我们还改进了Nisan和Szegedy著名的块灵敏度与度不等式的常数因子，从而改进了黄的最近证明的灵敏度猜想相同的常数。
Decompositions of the Boolean lattice into rank-symmetric chains
布尔格$2^{[n]}$是按包含排序的$[n]$的幂集。$2^{[n]}$中的链$c_{0}\subset...\subset c_{k}$是秩对称的，如果对于$i=0,...,k$是$|c_{i}|+|c_{k-i}|=n$;如果是$|c_{i}|=(n-k)/2+i$，则它是对称的。证明了$[n]^{(\geq n/2)}$上存在一个双射$$p: [n]^{(\geq n/2)}\rightarrow [n]^{(\leq n/2)}$$和一个偏序$<$，满足以下性质：（i）$\subset$是$<$在$[n]^{(\geq n/2)}$上的扩张;（ii）如果$C\subset [n]^{(\geq n/2)}$是关于$<$的链，则$p(C)\cup C$是$2^{[n]}$中的秩对称链，其中$p(C)=\{p(x): x\in C\}$ ;（iii）偏序集$([n]^{(\geq n/2)},<)$具有规范化匹配性质.我们展示了这个结果的两个应用。Füredi的一个猜想是，$2^{[n]}$是否可以划分为$\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor}$链，使得任意两个链的大小相差至多1。我们证明了这个猜想的一个渐近版本的附加条件，每个链的分区是秩对称的：$2^{[n]}$可以被划分成$\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor}$秩对称链，每个大小…
Gap theorems for robust satisfiability: Boolean CSPs and beyond
当两个不相交的实例集之间没有易处理的边界时，计算问题表现出“间隙性质”。我们建立了一个缺口三分定理的家庭的约束问题的变种，完全分类的复杂性可能的${\bf NP}$ -硬缺口的情况下，布尔域。因此，我们得到了一些二分法的约束满足问题的特定变体的复杂性：所有的多项式时间易处理或$\mathbf{NP}$完成。Schaefer最初对$\textsf{SAT}$变体的二分法是一个值得注意的特例。通用代数方法已中央最近的努力，在分类的复杂性约束满足问题。第二个贡献的文章是发展方面的代数方法的上下文中的一些变种的约束满足问题。特别是，这使我们能够将我们在布尔域上的结果提升到非布尔域上的许多模板。
The relation between tree size complexity and probability for Boolean functions generated by uniform random trees
本文考虑由随机布尔表达式导出的n元布尔函数集上的一个概率分布。这样的表达式是一个随机根平面树，其中内部顶点用连接词And和OR标记，叶子用变量或否定变量标记。本文研究了树的大小趋于无穷大时的极限分布，导出了树的大小复杂度与函数概率之间的关系。这是通过首先将表示特定函数的树表示为表示该函数的最小树的扩展，然后通过依赖于生成函数和奇异性分析的组合计数参数来计算概率来完成的。
Complexity of the CNF-satisfiability problem
本文研究布尔可满足性问题的复杂性。我们考虑这个问题的一个版本，其中的布尔公式指定的合取范式。我们证明了一个意想不到的结果，CNF-可满足性问题可以解决的确定性图灵机在多项式时间。
Topological aspects of Boolean functions
我们讨论的方法，从拓扑学的工具可以用来推导出布尔函数的电路复杂性的下界。
Block Sensitivity and Certificate Complexity of Rotation Symmetric Boolean Functions
该研究分析旋转对称布尔函数的块灵敏度与证书复杂度，明确奇次、二次单项式旋转对称布尔函数的相关测度关系，还确定连续四次族Rₙ的测度，得到灵敏度小于块灵敏度且二者与证书复杂度相等的无穷多类函数。
On the Relationship between Energy Complexity and other Boolean Function Measures
在这项工作中，我们调查到能量复杂性，一个布尔函数的措施有关的电路复杂性。给定标准基$\{\vee_2,\wedge_2,\neg\}$上的电路$\mathcal{C}$，由$\mathrm{EC}(\mathcal{C})$表示的$\mathcal{C}$的能量复杂度是其在所有输入上激活的内部门的最大数目。布尔函数$f$的能量复杂度，用$\mathrm{EC}(f)$表示，是所有电路$\mathcal{C}$上$\mathrm{EC}(\mathcal{C})$计算$f$的最小值。这个概念在文学中引起了很多关注。最近，Dinesh，Otiv和Sarma [COCOON'18]在决策树复杂性方面给了$\mathrm{EC}(f)$一个上限，$\mathrm{EC}(f)=O(\mathrm{D}(f)^3)$。他们还展示了$\mathrm{EC}(f)\leq 3n-1$，其中$n$是输入大小。回想一下，计算$f$的电路的最小大小可以与$2^n/n$一样大。通过证明$\mathrm{EC}(f)\leq\min\{\frac12\mathrm{D}(f)^2+O(\mathrm{D}(f)),n+2\mathrm{D}(f)-2\}$ .对于下限，Dinesh，Otiv和Sarma定义了正敏感性，一种由$\mathrm{psens}(f)$表示的复杂性度量，并表明$\mathrm{E…
Certificate complexity and symmetry of nested canalizing functions
布尔嵌套渠化函数在分子调控网络、工程和计算机科学中有着重要的应用。在本文中，我们研究他们的证书复杂性。对于这两个布尔值$b\in\{0,1\}$，我们得到了一个公式的$b$ -证书的复杂性，因此，我们开发了一个直接证明的证书复杂性公式的NCF。对称性是布尔函数的另一个有趣的性质，我们显着简化了最近的一些定理的证明NCF的部分对称性。我们还描述了$s$ -对称NCF的代数正规形。得到了$s=1,\dots,n$的$n$ -变量$s$ -对称布尔NCF集的基数的一般公式.特别是，我们列举了强非对称布尔NCF。
Bialgebraic structures on boolean functions
本文研究了布尔函数上的双代数结构，通过引入刚性布尔函数，得到了一个独特的多项式不变量，扩展了图的色多项式。
A new notion of vertex independence and rank for finite graphs
引入了有限图G的点独立性和秩的新概念。顶点的独立性基于与G相关联的自然布尔矩阵的列的布尔独立性。秩是最大的独立列集的基数。证明了一些基本性质和一些更高级的定理。图的几何性质与图的秩和独立集有关。
Certificate complexity and symmetry of nested canalizing functions
本文研究布尔嵌套信道函数的证书复杂度与对称性，给出了证书复杂度公式、简化了部分对称性证明，并枚举了强不对称NCF。
Wreath product action on generalized Boolean algebras
设G是作用在有限集X上的有限群，使得相应的（复）置换表示是无重数的.圈积G~S_n在广义布尔代数B_X（n）上具有自然的保秩保序作用。我们显式地将这个作用的交换子块对角化。
Generalized rank functions and quilts of alternating sign matrices
本文引入了基于两个给定偏序集的交替符号矩阵拼图概念，扩展了多个数学常用概念，并证明了当其中一个偏序集为反链或链时的拼图计数结果。
Rank of the vertex-edge incidence matrix of $r$-out hypergraphs
我们考虑一个空间的稀疏布尔矩阵的大小$n \times n$，有有限的共同秩在$GF(2)$的概率很高。特别地，对于大的$n$，这样的矩阵具有满秩并且因此是可逆的概率是具有大约$0.2574$的值的正常数。这些矩阵是作为1-out 3-一致超图的点边关联矩阵而产生的。零空间是有限的这一结果可以与基于随机$k$ -一致超图的点边关联矩阵的稀疏布尔矩阵的通常模型的结果相比较。对于后一种模型，预期的协同秩在顶点数$n$、\cite{ACO}、\cite{CFP}中是线性的。对于高阶域，联合秩通常是泊松分布的。
Nearest neighbor representations of Boolean functions
布尔函数的最近邻表示是$R^n$中的一组正原型和负原型，使得该函数在输入上具有值1，当且仅当最近原型为正。对于$k$ -最近邻表示，考虑$k$最接近原型的多数分类。布尔函数的最近邻复杂度是表示该函数所需的原型的最小数量。我们给出了这一措施的几个界限。当原型可以是真实的或需要是布尔的情况之间的分离。奇偶校验的复杂性是精确确定的。给出了模2内积的指数下界和$k$ -最近邻复杂度的线性下界.结果证明使用连接到其他模型，如多项式门限函数在$\{1, 2\}$。我们还讨论了一些出现的许多开放的问题。
Certificate Complexity of Elementary Symmetric Boolean Functions of Arbitrary Degree
本文解决了初等对称布尔函数证书复杂度的开放问题，给出了任意次数$d$（$1\le d\le n$）下的完整确定结果。
Classification of Boolean Cubic Forms in Ten Variables
通过秩分层枚举，对十变量布尔三次型在GL(10,2)作用下的轨道进行分类，得到3691560个非零轨道，并提供了快速完全不变量。
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