Gaudin模型和KP层次的主T算子

量子Gaudin模型与经典KP体系

Quantum Gaudin model and classical KP hierarchy

本文综述了量子Gaudin模型和最近在[1]中建立的经典KP体系之间的有趣联系。我们构造了具有扭曲边界条件（主T算子）的量子Gaudin模型的运动积分的母函数，并证明了它满足经典KP族的双线性恒等式和Hirota方程.这意味着主$T$ -算子在谱参数中的本征值的零点具有与粒子的Calogero-Moser质点系相同的动力学。

Lagrangian Multiform for Cyclotomic Gaudin Models

We construct a Lagrangian multiform for the class of cyclotomic (rational) Gaudin models by formulating its hierarchy within the Lie dialgebra framework of Semenov-Tian-Shansky and by using the framework of Lagrangian multiforms on coadjoint orbits. This provides the first example of a Lagrangian multiform for an integrable hierarchy whose classical $r$-matrix is non-skew-symmetric and spectral parameter-dependent. As an important by-product of the construction, we obtain a Lagrangian multiform for the periodic Toda chain by choosing an appropriate realisation of the cyclotomic Gaudin Lax matr…

gl_{N+1} Gaudin模型的Bethe代数与主函数临界集上的函数代数

Bethe algebra of the gl_{N+1} Gaudin model and algebra of functions on the critical set of the master function

考虑有限维不可约gl_{N+1} -模的张量积及其到不可约模的分解。gl_{N+1} Gaudin模型为该分解的每个重数空间分配作用于重数空间的线性算子的交换（Bethe）代数。Bethe代数方法是一种求Bethe代数的特征向量和特征值的方法。一个从一个合适的（主）函数的临界点开始，构造Bethe代数的特征向量。本文研究了伴随主函数的临界集上的函数代数，证明了该代数在自身上的作用同构于Bethe代数在重数空间的适当子空间上的作用.作为一个副产品，我们证明了Bethe向量对应于不同的临界点的主功能是线性无关，特别是，非零。

非齐次XXX自旋链和mKP族的主T算子

The Master T-Operator for Inhomogeneous XXX Spin Chain and mKP Hierarchy

在[Alexandrov A.，Kazakov V.，Leurent S.，坪井Z Zabrodin A.，J. High Energy Phys.2013（2013），no.9，064，65 pages，arXiv：1112.3310]，我们展示了如何构造具有扭曲边界条件的量子非均匀GL（N）XXX自旋链的主T算子。它满足经典mKP族的双线性恒等式和Hirota方程。我们还描述了一类的解决方案，对应于主T-运营商的特征值的mKP层次和研究动态的频谱参数的函数，他们的零点。这意味着量子自旋链和经典的鲁伊斯塞纳斯-施奈德质点系之间有着显著的联系。

三角$R$ -矩阵为经典τ-函数的顶点模型的主T-算子

The master T-operator for vertex models with trigonometric $R$-matrices as classical tau-function

最近在Alexandrov等人（arXiv：1112.3310）中提出的主T算子的构造被应用于可积顶点模型和与三角R矩阵相关的量子自旋链。主T算子是一个生成函数，用于交换依赖于无穷多个参数的可积顶点模型的传递矩阵。同时，它也是一类可积的经典孤子方程族的τ-函数，因为它满足相同的双线性Hirota方程。刻画了与主T算子本征值对应的Hirota方程的解类，并讨论了它与经典Ruijsenaars-Schneider质点系的关系.

右量子超代数的MacMahon主定理和$\widehat{\mathfrak{gl}}(m|n)$的高阶Sugawara算子

The MacMahon Master Theorem for right quantum superalgebras and higher Sugawara operators for $\widehat{\mathfrak{gl}}(m|n)$

我们证明了一个类似的麦克马洪主定理的右量子超代数。特别地，我们对右量子代数得到了这个定理的一个新的简单证明。在超情形下，利用该定理构造了仿射李超代数$\widehat{\mathfrak{gl}}(m|n)$的高阶Sugawara算子.这些算子是$\widehat{\mathfrak{gl}}(m|n)$在临界水平上的完备泛包络代数的元素。它们以非交换Berezian展开式中的系数和生成矩阵的幂的迹的形式出现。对于与李超代数$\mathfrak{gl}(m|n)$相关的Gaudin模型，同样的构造产生更高的哈密顿量。我们还使用Sugawara算子在仿射李超代数的临界水平上产生任何一般韦尔马模的奇异向量代数的代数独立的生成元。